七宝中学自招数学试卷

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上海市七宝中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

6． 2x + y - 3 = 0(x ³ 1) 【详解】分析:第一式子乘以 2 与第二式相加消去参数即得普通方程，根据参数的范围可得 x ³1 详解：由题可得 2x + y = 2 t + 2 +1- 2 t ,化简可得 2x + y - 3 = 0
再由 x = t +1可得 x ³ 1
故答案为 2x + y - 3 = 0( x ³ 1) ．
uuur OC
，
则
x
+
y
+
z
=
5 6
，
故答案为：
5 6
.
8．
y2 4
-
x2 5
= 1( y
³
2)
【分析】利用向量的模公式及双曲线的定义，结合双曲线焦点在 y 轴上的方程即可求解.
【详解】由题意，
ar
=
r xi
+
(
y
+
3)
r j
，
r b
=
r xi
+
(
y
-
3)
r j
，
所以 ar =
x2
+ ( y + 3)2
故答案为： 2x + y - 6 = 0 .
4． p 3
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，求出渐近线的斜率，由夹角公式
tan a
=
k1 - k2 1+ k1k2
即可求出渐近线的夹角．
【详解】因为双曲线
x2
-
3
= 1，所以渐近线方程为
y
=
3x 或 y = - 3x ，
设两条渐近线的夹角为锐角a ，

上海市七宝中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

-
2
，即
g
(x)
=
ì2x - 2, x íî24-x - 2,
£2 x>
2
，
则 g ( x) 关于 x = 2 对称，且当 x = 2 时， g (2) = 4 - 2 = 2 ，
且 g ( x) 在 (-¥, 2) 上单调递增，在 (2, +¥) 上单调递减，
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
16．已知 tana × tan b = tan(a + b ) ，有下列两个结论；
①存在a 在第一象限， b 在第三象限；
②存在a 在第二象限， b 在第四象限；则（）
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①对②错
D．①错②对
三、解答题
试卷第21 页，共33 页
17．已知函数
试卷第31 页，共33 页
(3)若方程 g(x) = 4 在[-1,1] 上有 4 个实数解，求实数 m 的取值范围． 21．对于函数 f ( x)( x Î D) ，若存在正常数T ，使得对任意的 x Î D ，都有 f ( x + T ) ³ f ( x) 成立，我们称函数 f ( x) 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ， f ( x) = x2 都不是“T 同比不减函数”；（2）若函数 f ( x) = kx + sin x 是“ p 同比不减函数”，求 k 的取值范围；
．
(1)当q
=
π 6
时，求边
AB
的长.（结果保留两位小数）
(2)求矩形 ABCD 的面积 S 最大值是多少？（结果保留两位小数）
20．已知函数
f
(x)

上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、填空题1．函数tan 2y x =的最小正周期为．2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=.3．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B ⋃=R ，则实数a 的取值范围是______________________ .4．某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为．5．已知(1,0),(5,5)a b ==r r ，则向量b r 在向量a r 方向上的投影向量的坐标为． 6．一圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的体积是．7．在ABC V 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∠=．（结果用反三角函数值表示） 8．若32(2)+2n n n x x ax bx cx +=++++…（*n N ∈且3n ≥），且:3:2,a b =则n =.9．对于正数a 、b ，称2a b +是a 、b 的算术平均值，a 、b 的几何平均值.设1x >，1y >，若ln x 、ln y 的算术平均值是1，则x e 、y e 的几何平均值（e 是自然对数的底）的最小值是.10．已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x (1,3)-内，关于x 的方程()()f x kx k k R =+∈有4个根，则k 的取值范围是 11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线C 的右支上，12MF MF ⊥，若1MF 与C 的一条渐近线l 垂直，垂足为N ，且12NF ON -=，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的标准方程为．12．已知()()()1111R 2a b a b c m m d n n m n ===⋅==--∈r r r r r r ，，，，，，，存在a b r r ，，对于任意的实数,m n ，不等式a c b d T -+-≥r r r u r ，则实数T 的取值范围为．二、单选题13．设a 、b 均为非零实数且a b >，则下列结论中正确的是（）A ．22a b -->B ．11a b -->C ．22a b >D ．33a b >14．已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（）A ．()1P AB =IB ．()()()P A B P A P B ⋂=C ．()()1P A P B =-D ．()1P A B =U15．设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，高为2，平面α经过顶点A ，且与棱1,,AB AD AA 所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面α共有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．416．已知{}n a 是等差数列，()sin n n b a =，存在正整数()8t t ≤，使得n t n b b +=，n ∈N ，1n ≥.若集合{}|,,1n S x x b n n ==∈≥N 中只含有4个元素，则t 的可能取值有（）个A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点， 2AC =，1BD =，2OP =．(1)求异面直线AP 与BM 所成角；(2)求平面ABM 与平面P AC 所成锐二面角18．某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为1a ，2a ，3a ，…(1)写出1a ，2a ，3a ，并证明数列{}3n a -是等比数列；(2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？19．某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的率为25，高一年级胜高三年级的概率为13，且每轮对抗赛的成绩互不影响. (1)若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；(2)若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X 的分布列与数学期望.20．已知椭圆2222:1x y a b Γ+=的右焦点为()1,0，且经过点()0,1A ，设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆Г交于两个不同点P ，Q ，(1)求椭圆Г的方程；(2)若直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，且2OM ON ⋅=，求证：直线l 经过定点；(3)若AP AQ ⊥，求APQ △面积的最大值，并求此时直线l 的方程．。

上海七宝中学自招数学试题

上海七宝中学自招数学试题今天分享几道能够比肩上海四大名校的七宝中学的自招数学试题。

题目一：计算 \frac{\sqrt{6}+4 \sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}【详解】\frac{\sqrt{6}+4 \sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6} +\sqrt{3}+3\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}=\boxed{\sqrt{6}-\sqrt{2}}.\square一般我们看到分式化简第一时间想到的就是分母有理话，比如针对这道题应该分子、分母同时乘以 (\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})。

这样做也是可以的，毕竟分母变成整数，肯定是能够做出来的。

不过，这样做分子的计算量比较大，且很容易就会算错了。

上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案和详细解析)

【详解】设渐近线 y
所以 tan
b
，结合离心率公式即可得解.
a
b
x 的倾斜角为，则 2 60 ，即 30 ，
a
b
3
b2 2 3
，离心率 e 1 2
.

a
3
a
3
2 3

, .
故答案为：
3

9．直线 l 的方程为 2 x 2 1 y 3 0 R ，当原点 O 到直线 l 的距离最大时，
第 2页共 16页
8．已知 O a 0, b 0 的右支上存在两点 A ， B ，使得
a2 b2
AOB 60 ，则 C 的离心率的取值范围是.
2 3

,
【答案】
3

【分析】由题意得出 30 ，其中 tan
3
由直线的夹角公式可得 tan
2
1
3
π
π
1 ，又 [0, ] ，所以 .
1
4
2
1 ( 2) ( )
3
π
故答案为： .
4
2．平行直线 l1 : 3 x 4 y 1 0 与 l2 : 6 x 8 y 1 0 之间的距离是.
【答案】
1
的值为．
【答案】
1
3
【分析】整理直线方程，建立方程组，求其定点的坐标，结合直线垂直的斜率公式，可得答
案.
【详解】由 2 x 2 1 y 3 0 ，整理可得 x 2 y 1 2 x y 3 0 ，
x 2 y 1 0

上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)

七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．函数的定义域为______．2．计算______．3．已知是1与9的等比中项，则正实数______．4．在的展开式中，的系数为______（用数字作答）．5．在复平面内，复数对应的点位于第______象限。

6．已知，则______．7．已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______．8．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为______（从中选择作答）．9．已知函数．在中，，且，则______．10．如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．11．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段y =(4log =a a =4(x -2x 2ii-π1sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πcos 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭{}22,,A a a x y x y ==+∈N ,x y A ()f x '()f x ()f x y e '=()f x ,,,a b c d ()22cos 2xf x x =+ABC △()()f A f B =a b ≠C ∠=,AD BC O ,,,AB AD BC CD {}1,3,5,,90x ABO DCO ∠=∠=︒x 24y x =F ,,l A B π3AFB ∠=AB的中点在准线上的投影为，则的最大值是______．12．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A ．B ．C ．D14．已知直线，动直线，则下列结论正确的为（）A ．不存在，使得的倾斜角为B ．对任意的与都不垂直C ．存在，使得与重合D ．对任意的与都有公共点15．一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（）A ．5B ．6C ．7D ．816．若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．M l N MNAB(0,1)λλλ>≠,,a b c 1,2,1a c b a b ===⋅=1122c a c b ++-a 1a a>2211a a a a+≥+12a a+>-≥-1:10l x y --=()()2:10l k x ky k k +-+=∈R k 2l π21,k l 2l k 1l 2l 1,k l 2l 3n ≥12,,,n a a a k k S 1k k S S +>11k n ≤≤-3n ≥12,,,n a a a 3n ≥12,,,n a a a 1111ABCD A B C D -P 1BD 11D PD Bλ=（1）求证：；（2）若异面直线与所成角为，求的值．18．已知点是坐标原点．（1）若，求的值：（2）若实数满足，求的最大值．19．英语学习中学生喜爱用背单词"神器"提升自己的英文水平，为了解上海中学生和大学生对背单词“神器”的使用情况，随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款背单词“神器”，结果如下：百词斩扇贝单词秒词邦沪江开心词场中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对背单词“神器”的喜爱互不影响．（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用“百词斩”的概率；（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记X 为这3人中最喜爱使用“扇贝单词”的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为的方差为．写出的大小关系．（结论不要求证明）20．在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．（1）求该粗圆的离心率；（2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值；（3）如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．21．若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为．已知曲线1AP B C ⊥AP 11D B π3λ()())1,1,1,1,,A B CO θθ-BC BA -=sin2θ,m n π,0,2mOA nOB OC θ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭22(3)m n ++1234,,,x x x x 21s 1234,,,y y y y 2212341234;,,,,,,,s x x x x y y y y 23s 222123,,s s s 12,F F 22143x y +=1F l ,A B 2F l d l 2F AB △11,,AF l BF d k 12,l l ():C y f x =12,l l C C 12,l l 12,l l C C k ()d k．（1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；（2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由．（3）对于任意的正实数，函数是否都存在"双夹线"？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由．2025届七宝中学高三（上）期中考试参考答案一、填空题1、； 2、； 3、3； 4．18； 5、四；6．；7、； 8、a ； 9、；10、4；11、1； 12、10、【答案】412、【答案】二、选择题13～16、BDBC三、解答题17、（1）证明：如图，连接．由已知可得，平面平面，所以，又是正方形，所以，又平面平面，所以平面，又动点在对角线上，所以平面，所以平面，所以．():sin C f x mx n x =+0,1m n ==C 1,1m n ==-1:1l y x =+2:1l y x =-()y f x =()d k ,m n ()y f x =()d k ()1,+∞3412{}0,1,2,4π311,BC AD AB ⊥111,BCC B B C ⊂11BCC B 1AB B C ⊥11BCC B 11B C BC ⊥1BC ⊂11,ABC D AB ⊂111,ABC D AB BC B = 1B C ⊥11ABC D P 1BD P ∈11ABC D AP ⊂11ABC D 1AP B C ⊥（2）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，设，则，则．由已知，可得，设点，则，所以，所以，即，所以，．又异面直线与所成角为，所以，即，解得或0，因为，所以满足条件．18、【答案】（1）；（2）16．19、【答案】（1）；（2）；（3）20．【答案】（1）；（2 （3）．21、【答案】（1）存在；（2）是，3）是，C 1CD CB CC 、、x y z 、、1CD =()()()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,0C D B C D B A ()11111,1,0,D B D B =-=11D PD Bλ=11D P D B λ= ()000,,P x y z ()10001,,1D P x y z =-- 00011x y z λλλ-=-⎧⎪=⎨⎪-=-⎩00011x y z λλλ=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩()1,,1P λλλ-+-+(),1,1AP λλλ=---+AP ==AP 11D B π311π1cos ,cos 42AP D B 〈==〉 11cos ,2AP D 1λ=01λ<<45λ=12-320[]34E X =222231s s s <<12()d k =()0)d k n =>。

2024—2025学年上海市七宝中学高三上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年上海市七宝中学高三上学期期中考试数学试卷一、填空题(★) 1. 函数的定义域为 __________ ．(★★) 2. 计算 ______ ．(★★) 3. 已知是1与9的等比中项，则正实数 ______ ．(★) 4. 在的展开式中，的系数为 ______ （用数字作答）．(★) 5. 在复平面内，复数对应的点位于第 ______ 象限.(★★) 6. 已知，则 ______ ．(★) 7. 已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为 ______ ．(★★★) 8. 已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为 ______ （从中选择作答）．(★★★) 9. 已知函数．在中，，且，则 ______ ．(★★★) 10. 如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ______ ．(★★★) 11. 抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ______ ．(★★★★) 12. 平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为 ______ ．二、单选题(★★★) 13. 已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．(★★) 14. 已知直线，动直线，则下列结论正确的为（）A．不存在，使得的倾斜角为B．对任意的，与都不垂直C．存在，使得与重合D．对任意的，与都有公共点(★★★★) 15. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（）A．B．C．D．(★★★★) 16. 若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题三、解答题(★★★) 17. 如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．(1)求证：；(2)若异面直线与所成角为，求的值．(★★★) 18. 已知点、、，是坐标原点.（1）若，求的值；（2）若实数、满足，，求的最大值.(★★★) 19. 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）(★★★★) 20. 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．(1)求该椭圆的离心率；(2)若直线经过坐标原点，求面积的最大值；(3)如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．(★★★) 21. 若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线.(1)判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；(2)若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由；(3)对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由.。

2025届上海市七宝中学高三第二次模拟考试数学试卷含解析

2025届上海市七宝中学高三第二次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（）A ．16B ．17C ．18D ．192．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<<D ．116a > 3．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个4．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12 B ．32- C ．12- D ．325．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（）A ．±6B ．6C ．-6D ．1326．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥ 7．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 8．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（） A ．-1 B ．1 C ．0D ．2 9．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( )A ．()112n n +B ．()1312n n -C ．2n n 1-+D ．222n n -+10．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（）A ．34B ．13C ．12D ．14 11．已知复数11i z i+=-，则z 的虚部是（）A ．iB ．i -C ．1-D ．1 12．已知函数()ln x f x x =，()x g x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（）A ．2eB ．eC ．24eD ．21e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期12月测试数学试卷

l : a(x -1) + b( y + 2) = 0 ，若点 P 到直线 l 的距离为d ，则d 的取值范围是
．
四、单空题
( ) 11．已知函数
f
(
x)
=
lg 25 - x2 x+5 -5
.若项数为8 的等差数列{an} 公差为1，且使得
f (a1 ) + f (a2 ) + f (a3 ) + ××× + f (a8 ) = 0 ，则写出一个符合条件的数列的通项公式为 .
å å { } 8．已知无穷等比数列
an
，
+¥ i =1
ai
=
3，
+¥ i =1
ai2
=
9 2
q
，则公比
=
．
{ } 9．已知数列{an} 是公差为d
的等差数列， Sn
n 是其前
项和，若
Sn - 2n 也是公差为
试卷第11 页，共33 页
d 的等差数列，则{an} 的通项为
.
10．在平面直角坐标系中，已知点 P(-2, 2) ，对于任意不全为零的实数 a 、 b ，直线
(3)是否存在 m，使得圆 C 被直线 l 所截的弦 AB 中点到点 P (2, 0) 距离等于弦 AB 长度的
一半？若存在，求圆 C 的方程；若不存在，请说明理由．
21．已知数列{xn} ．若存在 B Î R ，使得{ xn - B } 为递减数列，则{xn} 称为“ B 型数
列”． (1)是否存在 B Î R 使得有穷数列1，，3 2 为 B 型数列？若是，写出 B 的一个值；否则，说明理由；
可得 Sn - 2n = a1 - 2 + (n -1) d ，