偏微分方程组解法

偏微分方程组解法

某厚度为10cm 平壁原温度为20C ︒，现其两侧面分别维持在20C ︒和120C ︒，试求经过8秒后平壁温度分布，并分析温度分布随时间的变化直至温度分布稳定为止。

22x

t a t ∂∂=∂∂τ 式中a 为导温系数，/s m c 2；2=a 。 解：

模型转化为标准形式：

2

21x t

t a ∂∂=∂∂τ 初始条件为：

()200,=x t

边界条件为：

()120,0=τt ，()20,1.0=τt

函数： pdefun.m

%偏微分方程(一维动态传热) function [c,f,s]=pdefun(x,t,u,dudx) c=1/2e-4;f=dudx;s=0; icbun.m

%偏微分方程初始条件(一维动态传热) function u0=icbun(x) u0=20; bcfun.m

%偏微分方程边界条件(一维动态传热) function [pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t) pl=ul-120;ql=0;pr=ur-20;qr=0;

命令：

x=linspace(0,10,20)*1e-2; t=linspace(0,15,16);

sol=pdepe(0,pdefun,icfun,bcfun,x,t);

mesh(x,t,sol(:,:,1)) %温度与时间和空间位置的关系图 %画1、2、4、6、8、15s 时刻温度分布图

plot(x,sol(2,:,1)) 1s时刻，（因为本题sol第一行为0时刻）

hold on

plot(x,sol(3,:,1))

plot(x,sol(5,:,1))

plot(x,sol(7,:,1))

plot(x,sol(9,:,1))

plot(x,sol(16,:,1))

计算结果：

%第8秒时温度分布

x

sol(9,:,1)

经过8秒时的温度分布为：

x/cm 0 0.5263 1.0526 1.5789 2.1053 2.6316 3.1579 t/C

︒120.0000 112.5520 105.1653 97.8994 90.8100 83.9477 77.3562 x/cm 3.6842 4.2105 4.7368 5.2632 5.7895 6.3158 6.8421 t/C

︒71.0714 65.1202 59.5200 54.2784 49.3930 44.8518 40.6338 x/cm 7.3684 7.8947 8.4211 8.9474 9.4737 10.0000

t/C

︒36.7095 33.0419 29.5877 26.2982 23.1207 20.0000

或者求第8秒时，x=0,2,4,,6,8,10cm处的温度

[uout,duoutdx]=pdeval(0,x,sol(9,:,:),[0,2,4,6,8,10]*1e-2)

120.0000 92.2279 67.5007 47.5765 32.3511 20.0000

不同时刻温度分布图

将上图的视角转至xt平面也得到本图，从本图可知当时间达到15s时平壁的温度分布已近稳定。

某厚度为20cm 钢板原温度为20C ︒，现将其置于1000C ︒的炉中加热，平壁导热系数为C W/m 8.34︒⋅，对流传热系数C W/m 1742︒⋅=h ，导温系数为/s m 10555.025-⨯=a ；试分析温度分布随时间的变化及钢板表面温度达到500C ︒时所需的时间。

22x

t

a t ∂∂=∂∂τ 解：

模型转化为标准形式：

221x

t

t a ∂∂=∂∂τ 初始条件为：

()200,=x t

边界条件为：

()0,0=∂∂x t τ（平壁中心坐标为0，绝热），()[]()x

t t t h ∂∂-=-∞τλτ,1.0,1.0

函数： pdefun1.m

%偏微分方程(一维动态平壁两侧对流) function [c,f,s]=pdefun1(x,t,u,dudx) c=1/0.555e-5;f=dudx;s=0; icbun1.m

%偏微分方程初始条件(一维动态平壁两侧对流) function u0=icbun1(x) u0=20; bcfun1.m

%偏微分方程边界条件(一维动态平壁两侧对流) function [pl,ql,pr,qr]=bcfun1(xl,ul,xr,ur,t)

pl=0;ql=1;pr=174*(ur-1000);qr=34.8; %平壁两侧置于同一流体中具有对流传热,平壁中心为绝热

命令：

%600s 的温度分布变化 x=linspace(0,10,20)*1e-2; t=[0:60:600];

sol=pdepe(0,pdefun1,icfun1,bcfun1,x,t); mesh(x,t,sol)

%2160s的温度分布变化

t=[0:60:2160];

sol=pdepe(0,pdefun1,icfun1,bcfun1,x,t);

mesh(x,t,sol)

%60、120、180、240、300、360、420s时刻温度分布图

plot(x,sol(2,:,1)) 60s(t网格为0:60:2160,其时间间隔为0,60,120,180,……2160,第二点为60s) hold on

plot(x,sol(3,:,1))

plot(x,sol(4,:,1))

plot(x,sol(5,:,1))

plot(x,sol(6,:,1))

plot(x,sol(7,:,1))

plot(x,sol(8,:,1))

%1080、1440、1800、2160s时刻温度分布图

plot(x,sol(19,:,1))

hold on

plot(x,sol(25,:,1))

plot(x,sol(31,:,1))

plot(x,sol(37,:,1))

600s的温度分布变化