2019届安徽省皖南八校高三第三次联考数学(文)试题(解析版)(可编辑修改word版)
精品解析：【校级联考】安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学(文科)试题(原卷版)
4.若 ， 满足约束条件
，则
A. 2
B. 3
的最大值为（ ）
C. 4
D. 5
5.已知
，则
（）
A.
B.
C.
D.
6.函数
的大数图象为（中国劳动人民发明
一种中国传统智力玩具， 它由五块等腰直角三角形， 一块正方形和一块
平行四边形共七块板组成 . 清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之
概率；
（ 2）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售
55 元，若是合格品每件可售 25 元. 甲种生产方式每生产
一件产品的成本为 15 元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为
20 元 . 用样本估计总体比较在甲、乙两种
不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？
20. 在平面直角坐标系 相交于 、 两点，且
13. 若平面向量
，
，且
，则
__________．
14. 已知
是函数
的一个极值点，则曲线
在点
__________ ．
处的切线斜率为
15.已知 是双曲线
上一点， 、 是左、右焦点，
16. 在
，则双曲线的渐近线方程为 __________． 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
的三边长成等差数列，且
频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（
）
的 A. 抽出的 100 人中，年龄在 40～45 岁的人数大约为 20
B. 抽出的 100 人中，年龄在 35～ 45 岁的人数大约为 30 C. 抽出的 100 人中，年龄在 40～ 50 岁的人数大约为 40 D. 抽出 100 人中，年龄在 35～ 50 岁的人数大约为 50
安徽省皖南八校近年届高三数学第三次联考试题理(含解析)(1)(最新整理)
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ， 的最小值是 ，转化为求 的最小值即为 ．
【详解】
双曲线 中 ， ， ， ，圆 半径为 ， ，
∴ ， （当且仅当 共线且 在 间时取等号．
∴ ,当且仅当 是线段 与双曲线的交点时取等号．
∴ 的最小值是9．
故选：A．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，常常与定义联系，双曲线上点到一个焦点的距离可能转化为到另一个焦点的距离，圆外一点到圆上点的距离的最大值为圆外的点到圆心距离加半径，最小值为圆外的点到圆心距离减半径．
【详解】（1）∵ ，
∴ 平面 ，而 平面 ，
∴ 。
（2）由（1)知 是二面角 平面角，
又平面 平面ABD，∴ ，即 ,
分别以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
在四边形 中,∵ ，∴ ， ， ，
∴ ， 是 中点,∴
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在 中， 分别为角 所对的边， 。
（1）求角 的大小;
(2）若 , 的面积为 ，求 。
【答案】（1） ;（2） 。
【解析】
【分析】
（1）应用二倍角公式化 为 的形式，然后正弦定理转化为边的关系，最后由余弦定理求得 ；
（2）由面积公式求得 ,再由余弦定理求得 。
8。执行如图所示的程序框图,输出的 的值为( ）
A. B. C. D。
【答案】B
【解析】
【分析】
模拟程序运行，寻找规律，得出结论．
【详解】程序运行时，变量 的值依次为： ; ； ； ；…， 是奇数时， ， 是偶数时 ，输出时 , ．
故选：B．
安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学(文科)试题 Word版含解析
“皖南八校”2019届高三第三次联考数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|10}A x x =+>，{1,0,1}B =-，则A B =（ ）A. {1}B. {}1-C. {0,1}D. {1,0}-【答案】C 【解析】 【分析】求得集合{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，又由{1,0,1}B =-， 所以{0,1}AB =，故选C .【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A ，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 2.已知复数11iz i+=-，则i z +=（ ）A. 0B. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得221ii z i++=-，再根据复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意复数11i z i +=-，则212211i i i ii z i i ++-++==--，所以2i z +==，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B. 抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C. 抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D. 抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质，求得0.04a =，再逐项求解选项，即可得到答案．【详解】根据频率分布直方图的性质得(0.010.050.060.020.02)51a +++++⨯=，解得0.04a =所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为0.04510020⨯⨯=人，所以A 正确； 年龄在35～45岁的人数大约为(0.060.04)510050+⨯⨯=人，所以B 不正确； 年龄在40～50岁的人数大约为(0.040.02)510030+⨯⨯=人，所以C 不正确； 年龄在35～50岁的人数大约为(0.060.040.02)510060++⨯⨯=，所以D 不正确； 故选A ．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4.若x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】 【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值，得到答案.【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数3z x y =+，可化为直线3y x z =-+，当3y x z =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得3,4x y ==-，即(3,4)A -，所以目标函数的的最大值为3345z =⨯-=，故选D .【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 5.已知tan 74πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A.724B.247C. 724-D. 247-【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式，求得3tan 4α=，再由正切的倍角公式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据两角和的正切公式，得tan 1tan()741tan πααα++==-，解得3tan 4α=，又由正切的倍角公式，得22322tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯===--，故选B . 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用两角和的正切和正切的倍角公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.函数f （x ）=3344x x -的大数图象为（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项；再由当()0,1x ∈时，函数()f x 值小于0，排除B ，即可得到答案.【详解】由题知，函数()f x 满足()333()3()4444xx x x f x f x ---==-=---，所以函数()f x是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项；又由当()0,1x ∈时，函数()f x 的值小于0，排除B ，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7.七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.516B.1132C. 38D.1332【答案】A 【解析】 【分析】求出阴影部分的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到答案. 【详解】设正方形的边长为4，则正方形的面积为4416S =⨯=，此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为，所以阴影部分的面积为1152S =⨯=， 根据几何概型，可得概率为1516S P S ==，故选A .【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A P N=求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 4643π-B. 6412π-C. 12πD.443π 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为2R =，母线长为4l =，圆锥的底面圆的半径为1r =，高为4h =，再由体积公式求解，即可得到答案. 【详解】由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为2R =，母线长为4l =，圆锥的底面圆的半径为1r =，高为4h =， 所以几何体的体积为：2213V R l r h ππ=-=22144241433πππ⨯⨯-⨯⨯=，故选D. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.9.在正方体1111ABCD A B C D -中，若点M 为正方形ABCD 的中心，则异面直线1AB 与1D M 所成角的余弦值为（ ）A.6B.3C.6D.3【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2AB =，则11(2,0,0),(2,2,2),(0,0,2),(1,1,0)A B D M ， 则向量11(0,2,2),(1,1,2)AB D M ==-， 则向量1AB 与1D M的夹角为1111cos 62AB D MAB D M θ⋅===⋅, 即异面直线1AB 与1D M C .【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，合理利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a ba b +=>>的两个焦点，以12F F为直径的圆与直线22x a b+=相切，则椭圆C 的离心率为（） A.3B.3C.2D.2【答案】D 【解析】 【分析】由圆222x y c +=与直线22x a +=相切，利用圆心到直线的距离等于半径和离心率的定义，即222b a c =-，整理422320e e --=，即可求解.【详解】由题意，以12,F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，其中圆心(0,0)O ，半径为r c =，又由圆222x y c +=与直线22x a b+=相切，则圆心(0,0)O 到直线220bx ab +-=的距离为d c ==，又由222b a c =-，整理得42242320c a c a --=，即422()3()20cc a a--=， 即422320e e --=，解的212e =，又由01e <<，所以2e =，故选D . 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)． 11.已知函数2log (1),1()1,1x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，则满足(21)(32)f x f x +<-的实数x 的取值范围是（ ） A. (,0]-∞ B. (3,)+∞C. [1,3)D. (0,1)【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式(21)(32)f x f x +<-，转化为相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数2log (1),1()1,1x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，可得当1x <时，()1f x =，当1x ≥时，函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且()21log 21f ==，要使得(21)(32)f x f x +<-，则2132321x x x +<-⎧⎨->⎩，解得3x >， 即不等式(21)(32)f x f x +<-的解集为(3,)+∞，故选B .【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中根据函数的解析式，得出函数单调性，合理利用函数的单调性，得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，若对任意的(1,2)a ∈，关于x 的方程()0(0)f x a x m -=≤<总有两个不同的实数根，则m 的取值范围为（ ）A. 2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D.,63ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】令()1f x =，且0x ≥，解得20,,,,323x πππ=，根据12a <<且()2f x ≤，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令()1f x =，且0x ≥， 即2sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭±1，解得20,,,,323x πππ=，又因为12a <<，且()2f x ≤，所以要使得()0f x a -=总有两个不同实数根时，即函数()y f x =与12()y a a =<<的图象由两个不同的交点， 结合图象，可得32m ππ≤≤，所以实数m 的取值范围是,32m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题 ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若平面向量(1,2)a =，(,3)b x =，且a b ⊥，则()a a b ⋅-=__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由a b ⊥，则0a b ⋅=，可得所以22()a a b a a b a ⋅-=-⋅=，即可求解. 【详解】由题意，平面向量(1,2)a =，(,3)b x =，且a b ⊥，则0a b ⋅=， 所以2222()(15a a b a a b a⋅-=-⋅===.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14.已知1x =是函数2()()x f x x ax e =+的一个极值点，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为__________． 【答案】32- 【解析】 【分析】由1x =是函数2()()xf x x ax e =+的一个极值点，求得32a =-，进而求得3'(0)2f =-，根据导数的几何意义，即可得到答案.【详解】由题意，函数2()()x f x x ax e =+，则2'()(2)xf x x ax x a e =+++， 又由1x =是函数2()()xf x x ax e =+的一个极值点，所以'(1)(32)0f a e =+=，解得32a =-，即213'()()22x f x x x e =+-， 所以3'(0)2f =-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处切线的斜率为32-.【点睛】本题主要考查了利用函数的极值点求参数，以及导数的几何意义的应用，其中解答中熟记函数的极值点的定义，合理利用导数导数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15.已知P 是双曲线2221(0)y x b b-=>上一点，1F 、2F 是左、右焦点，12PF F ∆的三边长成等差数列，且1290F PF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为__________．【答案】y =± 【解析】 【分析】设12,PF m PF n ==，不妨设点P 位于第一象限，则由已知条件和双曲线的定义，列出发方程组，求得5c =，进而求得b =. 【详解】由题意，设12,PF m PF n ==，不妨设点P 位于第一象限，则由已知条件和双曲线的定义，可得2m n -=且()2222m n c +=且22n c m +=， 整理得2650c c -+=，解得5c =，又由22224b c a =-=，即b =所以双曲线的渐近线的方程为by x a=±=±. 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的定义和几何性质，列出方程组求得c 的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos b C c B a B +=，且2a =，3b =，则ABC ∆的面积是__________．【解析】 【分析】由正弦定理化简得()sin 2sin cos B C A B +=，进而得到1cos 2B =，再由余弦定理得到关于c 的方程，求得c 的值，进而利用面积公式，即可求解． 【详解】由题意，可知cos cos 2cos bC c B a B +=，由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，即()sin 2sin cos B C A B +=， 又由在ABC ∆中，()A B C π=-+,则sin sin[()]sin()A B C B C π=-+=+， 即sin 2sin cos A A B =，又由(0,)A π∈，则sin 0A >，所以1cos 2B =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2942c c =+-，整理得2250c c --=，解得1c =所以ABC ∆的面积为11sin 2(12222S ac B ==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，已知11a =，且2a ，5a ，52S +成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 满足2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）2(41)3nn T =-. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，利用等差数列的通项公式，求得2d =，即可得出数列的通项公式； （2）由（1）得2112242na n nn b -===⋅，再利用等比数列的求和公式，即可求解． 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意知()25522a S a =+. ∵11a =，∴()()()2141710d d d +=++，解得2d =或12d =-. 又{}n a 各项为整数，∴2d =. 所以数列的通项公式21n a n =-. （2）由题意，2112242na n nn b -===⋅，故{}n b 为等比数列，首项为2，公比为4， 则其前n 项和()()()112142411143nnnn b q T q--===---.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，点M 为PB 中点，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD CD ⊥，12AD CD PC AB ===.（1）证明：//CM 平面PAD ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为4，求点M 到平面PAD 的距离. 【答案】（1）详见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）取PA 中点E ，连接DE ，ME ，根据平行四边形的性质，证得//DE CM ，再利用线面平行的判定定理，即可证得//CM 平面PAD .（2）设AD x =，利用四棱锥P ABCD -的体积，求得2x =，又由//CM 平面PAD 知，点M 到平面PAD 的距离等于点C 到平面PAD 的距离,过C 作CF PD ⊥，证得CF ⊥平面PAD ，即可求得答案．【详解】（1）如图所示，取PA 中点E ，连接DE ，ME ， ∵M 是PB 中点，∴//ME AB ，12ME AB =， 又//AB CD ，12CD AB =，∴//ME CD ，ME CD =， ∴四边形CDEM 为平行四边形，∴//DE CM .∵DE ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ，∴//CM 平面PAD . （2）设AD x =，则CD PC x ==，2AB x =， 由ABCD 是直角梯形，PC ⊥平面ABCD 知， 则四棱锥P ABCD -的体积为()2112432x x x ⨯+=，解得2x =， 由//CM 平面PAD 知，点M 到平面PAD 的距离等于点C 到平面PAD 的距离, 过C 作CF PD ⊥，垂足为F ， 由PC ⊥平面ABCD ，得PC AD ⊥， 又AD CD ⊥，∴AD ⊥平面PCD ，∵CF ⊂平面PCD ，∴AD CF ⊥，∴CF ⊥平面PAD .由2PC CD ==，PC CD ⊥知CF =∴M 到平面PAD【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及点到平面的距离公式的求解，其中解答中熟记线面平行与垂直的判定与证明，以及合理转化点到平面的距离是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及运算与求解能力，属于基础题．19.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100]的为优等品；指标在区间[60,80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式：乙种生产方式：（1）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；（2）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？【答案】（1）①优等品3件，合格品2件；②35；（2）选择乙生产方式.【解析】【分析】（1）①根据频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，即可得到抽去的件数；②记3件优等品为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中随机抽2件，列举出基本事件的总数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解；（2）分别计算出甲、乙种生产方式每生产100件所获得的利润为1T 元2T 元，比较即可得到结论．【详解】（1）①由频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，所以抽出的5件产品中，优等品3件，合格品2件.②记3件优等品为A ，B ，C ，2件合格品分别为a ，b ，从中随机抽2件，抽取方式有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10种，设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为M ，则事件M 发生的情况有6种， 所以()63105P M ==. （2）根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品. 设甲种生产方式每生产100件所获得的利润为1T 元， 乙种生产方式每生产100件所获得的利润为2T 元， 可得()()16055154025152800T =-+-=（元），()()28055202025202900T =-+-=（元），由于12T T <，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫村来脱贫较好.【点睛】本题主要考查了频率分布直方表与频率分布直方图的应用，其中解答中熟记在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，且所有小长方形的面积的和等于1，合理利用古典概型及其概率的计算公式求解概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．20.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22(0)x py p =>，过抛物线焦点F 且与y 轴垂直的直线与抛物线相交于A 、B 两点，且OAB ∆的周长为2. （1）求抛物线C 的方程；（2）若过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 相交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点P ，求：2PF MF NF -⋅的值.【答案】（1）22x y =；（2）0.【解析】 【分析】 （1）将2p y =代入抛物线C 的方程可得点A 、B 的坐标分别为,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭、,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而利用三角形的周长为2，列出方程，求得1p =，即可得到抛物线的方程； （2）将直线l 方程为12y x =+与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系，得到直线12,l l 的方程，进而得到点P 的坐标为11,2⎛⎫-⎪⎝⎭，再利用抛物线的几何性质，即可作出证明． 【详解】（1）由题意知，焦点F 的坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将2p y =代入抛物线C 的方程可求得22x p =，解得x p =±， 即点A 、B 的坐标分别为,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭、,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又由2AB p =，2OA OB p ===，可得OAB ∆的周长为2p +，即22p +=1p =， 故抛物线C 的方程为22x y =. （2）由（1）得10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 方程为12y x =+， 联立方程21212y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 整理为：2210x x --=，则12122,1x x x x +==-，所以121213y y x x +=++=，2212121144y y x x ==. 又因为212y x =，则21112y x =， ∴可得直线1l 的方程为()211112y x x x x -=-，整理为21112y x x x =-.同理直线2l 的方程为22212y x x x =-.联立方程2112221212y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点P 的坐标为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.由抛物线的几何性质知112MF y =+，112NF y =+，PF ==有()12121211112224MF NF y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1312424=++=. ∴20PF MF NF -⋅=.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21.已知函数221()ln (1)()2f x a x a x ax a R =-++∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x x +>对1x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）1(0,]2. 【解析】 【分析】（1）求得函数的导函数()()()1'(0)ax x a f x x x--=>，分类讨论即可求解函数的单调性，得到答案；（2）由题意()0f x x +>，即221ln 02a x a x ax -+>，当0a >时，转化为ln 1 2x a x x <+，令()ln 12x g x x x =+，1x ≥，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可得到结论． 【详解】（1）由题意，函数()()221ln 12f x a x a x ax =-++，可得()()()21'1(0)ax x a a f x a ax x x x--=--+=>，当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调减区间为()0,+∞，没有增区间. 当01a <<时，当1a x a <<，()'0f x <；当0x a <<或1x a>，()'0f x >. ∴()f x 单调增区间为()0,a 与1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭. 当1a =时，()'0f x ≥对0x >成立，()f x 单调增区间()0,+∞，没有减区间.当1a >时，当1x a a <<，()'0f x <；当10x a<<或x a >时，()'0f x >. ∴()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与(),a +∞，单调减区间为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由()0f x x +>，即221ln 02a x a x ax -+>， 当0a >时，21ln 02x ax x -+>，ln 12x a x x <+， 令()ln 12x g x x x =+，1x ≥，则()2221ln 122ln '22x x x g x x x--+=+=， 令()222ln h x x x =-+，则()2'2h x x x=-， 当1x ≥时，()'0h x ≥，()h x 是增函数，()()130h x h ≥=>，∴()'0g x >. ∴1x ≥时，()g x 是增函数，()g x 最小值为()112g =，∴102a <≤. 当0a =时，显然()0f x x +>不成立， 当0a <时，由()g x 最小值为12知，()a g x >不成立， 综上a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(cos 2sin )2ρθθ+=.（1）求曲线C 的普通方程；（2）若l 与曲线C 交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）2cos sin ρθθ=+. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系，消去参数，即可得到曲线C 的普通方程；（2）将直线的极坐标方程化为22x y +=，联立方程组，求得()2,0A ，()0,1B ，得到AB 为直径的圆的直角坐标方程，进而可得圆的极坐标方程．【详解】（1）由2x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），得2xcos y sin αα⎧=⎪⎨⎪=⎩（α为参数）， 故曲线C的普通方程为2214x y +=.（2）由()cos 2sin 2ρθθ+=，得22x y +=，联立221422x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得()2,0A ，()0,1B ，可得AB 中点坐标为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且AB =，故以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. 即2220x y x y +--=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得2cos sin ρθθ=+.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，其中熟记参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及确定以AB 为直径的圆的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．23.已知函数()3223f x x x =---.（1）求不等式()f x x >的解集；（2）若关于x 的不等式2()2f x a a <+恰有3个整数解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）15(,)(,)24-∞-+∞；（2）11[1,)(0,]22--. 【解析】【分析】 （1）由题意，分类讨论，即求解不等式()f x x >的解集.（2）由（1）结合函数的单调性，以及()2f -，()1f -，()0f ，()1f ，()2f 的值，得到不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()3223f x x x =---，可得()21,32355,3231,2x x f x x x x x ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩， 因为()f x x >，所以当23x ≤时，1x x -->，12x <-， 当2332x <<时，55x x ->，5342x <<， 当32x ≥时，1x x +>，32x ≥， 所以不等式()f x x >的解集为15,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由（1）知()f x 的单调减区间为2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 又()21f -=，()10f -=，()01f =-，()10f =，()23f =，所以2021a a <+≤，所以112a -≤<-或102a <≤， 故a 的取值范围为111,0,22⎡⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解及应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理利用绝对值不等式的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。
函数的单调性(解析版)
考点10 函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果当x ∈(a ，b)时，u ∈(m ，n)，且u ＝g(x)在区间(a ，b)上和y ＝f(u)在区间(m ，n)上同时具有单调性，则复合函数y ＝f(g(x))在区间(a ，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f(x)在D 上是增函数； f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0⇔f(x)在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a ，＋∞)，减区间为(－a ，0)和(0，a)． (3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反； (4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12. 故选B.3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13， 解得12≤x <23.故选D.4、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.【解析】 如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.5、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】 函数f （x ）＝21xx +在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下： 设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（.∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0. 又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0， 即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx +在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0． 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． f ′(x )＝1－kx 2．令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )． 故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 变式2、试讨论函数f(x)＝axx 2＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．【解析】 (方法1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21＋1－ax 2x 22＋1＝ax 1（x 22＋1）－ax 2（x 21＋1）（x 21＋1）（x 22＋1）＝a[x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2]（x 21＋1）（x 22＋1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵x 1＜x 2，x 2－x 1>0，又a>0，(x 21＋1)(x 22＋1)>0. ∴当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1<0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递增； 当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）>0，即f(x 1)－f(x 2)>0⇒f(x 1)>f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递减． ∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x<0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、 函数f(x)＝x ＋12x ＋1的单调减区间为________________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞【解析】 因为f(x)＝x ＋12x ＋1＝x ＋12＋122x ＋1＝12＋14⎝⎛⎭⎫x ＋12，且定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－12)，(－12，＋∞)．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间 例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x 2－2x －3；（2）212log (32)y x x =-+ 【解析】(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－12x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为（ ）A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,+∞D ．(),2-∞- 【答案】 D【解析】 根据复合函数的单调性判断．因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． 变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
精品解析：【校级联考】安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学(文科)试题(原卷版)
“皖南八校”2019届高三第三次联考数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2.已知复数，则（ ）A. 0B. 1C.D. 23.从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B. 抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C. 抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D. 抽出100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50 4.若，满足约束条件，则的最大值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 55.已知，则（ ） A.B.C.D.6.函数的大数图象为（ ）A.B.C.D.7.七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.B.C.D.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.C.D.9.在正方体中，若点为正方形的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.10.已知，是椭圆：的两个焦点，以为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.11.已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.12.已知函数，若对任意的，关于的方程总有两个不同的实数根，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若平面向量，，且，则__________．14.已知是函数的一个极值点，则曲线在点处的切线斜率为__________． 15.已知是双曲线上一点，、是左、右焦点，的三边长成等差数列，且，则双曲线的渐近线方程为__________．16.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的面积是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.各项均为整数的等差数列，其前项和为，已知，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）已知数列满足，求数列前项和. 18.如图，在四棱锥中，平面，点为中点，底面为梯形，，，.（1）证明：平面；（2）若四棱锥的体积为4，求点到平面的距离.19.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间的为优等品；指标在区间的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式：乙种生产方式：（1）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；（2）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？20.在平面直角坐标系中，已知抛物线：，过抛物线焦点且与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，且的周长为.（1）求抛物线的方程；（2）若过焦点且斜率为1的直线与抛物线相交于、两点，过点、分别作抛物线的切线、，切线与相交于点，求：的值.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若对恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）若与曲线交于，两点，求以为直径的圆的极坐标方程.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式恰有3个整数解，求实数的取值范围.。
安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学(文)试题 含解析
“皖南八校”2019届高三第三次联考数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，又由，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.2.已知复数，则（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得，再根据复数模的计算公式，即可求解。
【详解】由题意复数，则，所以，故选D。
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
3.从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A. 抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B. 抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C. 抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D. 抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质，求得，再逐项求解选项，即可得到答案。
【详解】根据频率分布直方图的性质得，解得所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为人，所以A正确；年龄在35～45岁的人数大约为人，所以B不正确；年龄在40～50岁的人数大约为人，所以C不正确；年龄在35～50岁的人数大约为，所以D不正确；故选A。
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
安徽省皖南八校近年届高三数学第三次联考试题理(含解析)(1)(最新整理)
过 且与 垂直的截面圆半径为 ，则 ,这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径 ，∴ ， ，
， 。
故选:C。
【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是确定三棱锥外接球球心。结论：多面体外接球球心一定在过各面外心与此面垂直的直线上。
∴ 。
故选：B。
【点睛】本题考查复数的除法运算,考查共轭复数的概念。属于基础题。
3。某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍,为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如图所示：则下列结论正确的（ )
A. 与2016年相比，2019年一本达线人数有所减少
11。关于函数 有下述四个结论:① 的最小值为 ;② 在 上单调递增;③函数 在 上有3个零点；④曲线 关于直线 对称.其中所有正确结论的编号为（ ）
A. ①②B。 ②③C。 ②④D。 ③④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据各个选项研究函数的性质，如最值,单调性，零点，对称性等．
【详解】 ，①错；当 时, ，在 上不是单调函数，实际上它在 上递减，在 递增，②错；当 时， ，函数 无零点，当 ，即 时，注意到 是偶函数，研究 时， ，只有 ,因此在 时 ，函数 有三个零点，③正确； ，∴曲线 关于直线 对称，④正确．
∴正确结论有③④，
故选：D．
【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数的图象和性质，本题的难点在于含有绝对值符号，因此我们可以通过绝对值定义去掉绝对值符号后研究函数的性质，如 ，然后分段研究．
12。已知三棱锥 满足 底面 ，在 中， ， ， ， 是线段 上一点，且 ，球 为三棱锥 的外接球，过点 作球 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为 ，则球 的表面积为（ ）
安徽省皖南八校2019届高三下学期第三次联考数学（文）试题+含答案
“皖南八校"2019届高三第三次联考数 学（文科）2019.4考生注意：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II 卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超申管舞匹尊节写的答案无规.在试题眷、.草稠纸 上作答矛效。
. ...................................................3. 做选做题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.4. 本卷命题范围：高考范围.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知集合A = (x|x + l>0), B = {-1,0,1},则A B=()A. { 1}B. {-1}C. (0,1}D. {0,-1}2.已知复数z=虫，贝>J|z + z|=()1-iA. 0B. 1C. V2D. 23.从某地区年龄在25-55岁的人员中，随机抽出10人，了解他们对&生两仝的执占间独的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是A. 抽出的100人中,年龄在40 ~ 45岁的人数大约为20.B. 抽出的100人中，年龄在35-45岁的人数大约为30.C. 抽出的100人中,年龄在40 ~ 50岁的人数大约为40.D. 抽出的100人中，年龄在35-50岁的人数大约为50.x-2y+4>04.若x, y 满足约束条件< x+y + l>0 ,则z = 3x+y 的最大值为() 2x + y -2 <0第3题图A. 2B. 3C. 4D.5JI 5.己知 tan(a + —) = 7,则 tan 2q =(4)724724A.—— B.—— C.—— D.----2472473x 26.函数 /(x)=T —的大致图象为 411 — 47.8.七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成，清陆以滋《冷庐杂识》卷一中写道:近又有七巧图，其式五,其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，蓝游戏之具，足以排破寂，故世俗皆喜为之,如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）5 11 3A. — B. — C.—16 32 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（『 4 『A. 64---B. 64 —12〃C. 12〃3在正方体ABCD —ABGDi 中,若点M 为正方形ABCQ 的中心，32)44 D.——TI 39.则异面直线A 片与D X M 所成角的余弦值为（）（第8题图）A.还610.已知鸟，互是椭圆C ： 土 + 土 = 1 （a>b> 0）的两个焦点，以强为直径的圆与直线a b41y o-------= z a b 相切,则椭圆。
【校级联考】安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学(理科)试题-771d83f6089d42648c104ec8904b1a9c
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线方程，利用线线垂直求出a，然后求解双曲线的实轴长．
【详解】
∵双曲线 a＞0）的一条渐近线与直线 垂直，
∴双曲线的渐近线方程为ay＝±2x
∴ ，得a＝3，∴2a＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了双曲线的标准方程与简单几何性质，关键是得到双曲线的渐近线方程，属于基础题．
故选A.
【点睛】
本题考查了有关球的组合体问题，考查了垂径定理的应用，考查了空间想象能力，属于中档题.
11．B
【解析】
【分析】
令 ，且 ，解得 ，根据 且 ，结合图象，即可求解。
【详解】
由题意，函数 ，令 ，且 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，且 ，
所以要使得 总有两个不同实数根时，
即函数 与 的图象由两个不同的交点，
7．D
【解析】
【分析】
根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为 ，母线长为 ，圆锥的底面圆的半径为 ，高为 ，再由体积公式求解，即可得到答案.
【详解】
由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为 ，母线长为 ，圆锥的底面圆的半径为 ，高为 ，
所以几何体的体积为： ，故选D.
4．D
【解析】
【分析】
将两等式两边分别平方相加，结合同角的平方关系和两角差的正弦公式，化简整理，即可得到所求值．
2019-2020年安徽省皖南八校高考第三次(4月)联考数学(文)模拟试题有答案
“皖南八校”高三第三次联考文数学卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22{|1},{|2}A x x B y y x =>==-+，则A B =I （ ） A ．(1,2] B ．(,2]-∞ C ．(,1)(1,2]-∞-U D ．(,1]-∞- 2. 已知复数3,(13)iz z i +=-是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A ．14 B ．12C ．1D ．2 3. （ ）A ．111111B ．111111C ．111111D ．1111114. 已知等差数列{}n a 中，21a =，前5项和515S =-，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．3- B ．52-C ．2-D ．1- 5. 定义某种运算:S m n ⊗=⊗的运算原理如右边的流程图所示，则6547⊗-⊗=（ ） A ．3 B ．1 C ．4 D ．06. 中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一中名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为（ ）A ．43π B ．4π C ．8π D ．64π7. 设,x y满足约束条件20220480x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则3zx y=+的最大值为（）A．15 B．13 C．3 D．28. 将函数()4cos()13f x xπ=++的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）再把图像向左平移6π个单位，得到函数()y g x=的图象，则函数()y g x=图象的一个对称中心为（）A．11(,1)12π- B．11(,1)12πC．7(,1)12π- D．7(,1)12π9. 2018年行平昌冬季奥运会与2月9~2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟项长为8，宽为5的长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为n个，圆环半径为1，则比值P的近似值为（）A．325nNπB．32nNπC．8nNπD．532nNπ10. 函数1siny xx=+的部分图象大致为（）11. 已知12,F F分别是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左右焦点，过1F的直线l与双曲线左右两支分别交于,A B两点，若2ABF∆是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．2 B7 C131512. 已知a R∈，若()()xaf x x ex=+在区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a的取值范围是（）A．0a> B．1a≤ C．1a> D．0a≤第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量1,a b a==r r r与br夹角为045，则(2)a b a+⋅=r r r．14.若过点(2,0)有两条直线与圆222210x y x y m+-+++=相切，则实数m的取值范围是．15. 14.如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD ⊥平面CDEF ，现测得20,15,30AB cm AD cm EF cm ===,AB 与EF 间的距离为25cm ，则几何体EF ABCD -的体积为3cm ．16.已知数列的前{}n a 的前n 项和为1222,log (2)n an n n n S b a +==⋅，数列的{}n b 的前n 项和为n T ，则满足1024n T >的最小n 的值为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,(sin cos )a b c a b C C =+。
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2019 届安徽省皖南八校高三第三次联考数学（文）试题一、单选题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，又由，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.2.已知复数，则（）A．0 B．1 C．D．2【答案】D【解析】根据复数的运算法则，求得，再根据复数模的计算公式，即可求解。
【详解】由题意复数，则，所以，故选D。
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
3.从某地区年龄在25～55 岁的人员中，随机抽出100 人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.抽出的100 人中，年龄在40～45 岁的人数大约为20B.抽出的100 人中，年龄在35～45 岁的人数大约为30C.抽出的100 人中，年龄在40～50 岁的人数大约为40D.抽出的100 人中，年龄在35～50 岁的人数大约为50【答案】A【解析】根据频率分布直方图的性质，求得，再逐项求解选项，即可得到答案。
【详解】根据频率分布直方图的性质得，解得所以抽出的100 人中，年龄在40～45 岁的人数大约为人，所以A 正确；年龄在35～45 岁的人数大约为人，所以B 不正确；年龄在40～50 岁的人数大约为人，所以C 不正确；年龄在35～50 岁的人数大约为，所以D 不正确；故选A。
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
4.若，满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值，得到答案.【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，即，所以目标函数的的最大值为，故选D.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．5.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据两角和的正切公式，求得，再由正切的倍角公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据两角和的正切公式，得，解得，又由正切的倍角公式，得，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用两角和的正切和正切的倍角公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.函数的大数图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D 项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D 项；又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出阴影部分的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到答案.【详解】设正方形的边长为4，则正方形的面积为，此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为，下底边长为，高为，所以阴影部分的面积为，根据几何概型，可得概率为，故选A.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的底面圆的半径为，高为，再由体积公式求解，即可得到答案.【详解】由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的底面圆的半径为，高为，所以几何体的体积为：，故选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.9.在正方体中，若点为正方形的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则向量，则向量与的夹角为,即异面直线与所成角的余弦值为，故选C.【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，合理利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10.已知，是椭圆：的两个焦点，以为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由圆与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径和离心率的定义，即，整理，即可求解.【详解】由题意，以为直径的圆的方程为，其中圆心，半径为，又由圆与直线相切，则圆心到直线的距离为，又由，整理得，即，即，解的，又由，所以，故选D.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得( 的取值范围)．11.已知函数，则满足的实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式，转化为相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数，可得当时，，当时，函数在单调递增，且，要使得，则，解得，即不等式的解集为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中根据函数的解析式，得出函数单调性，合理利用函数的单调性，得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.已知函数，若对任意的，关于的方程总有两个不同的实数根，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，且，解得，根据且，结合图象，即可求解。
【详解】由题意，函数，令，且，即，解得，又因为，且，所以要使得总有两个不同实数根时，即函数与的图象由两个不同的交点，结合图象，可得，所以实数m 的取值范围是.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。
二、填空题13.若平面向量，，且，则．【答案】5【解析】由，则，可得所以，即可求解.【详解】由题意，平面向量，，且，则，所以.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14.已知是函数的一个极值点，则曲线在点处的切线斜率为．【答案】【解析】由是函数的一个极值点，求得，进而求得，根据导数的几何意义，即可得到答案.【详解】由题意，函数，则，又由是函数的一个极值点，所以，解得，即，所以，所以函数在点处切线的斜率为.【点睛】本题主要考查了利用函数的极值点求参数，以及导数的几何意义的应用，其中解答中熟记函数的极值点的定义，合理利用导数导数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15.已知是双曲线上一点，、是左、右焦点，的三边长成等差数列，且，则双曲线的渐近线方程为．【答案】【解析】设，不妨设点P 位于第一象限，则由已知条件和双曲线的定义，列出发方程组，求得，进而求得，即可求得渐近线的方程.【详解】由题意，设，不妨设点P 位于第一象限，则由已知条件和双曲线的定义，可得且且，整理得，解得，又由，即，所以双曲线的渐近线的方程为.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的定义和几何性质，列出方程组求得的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 16.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的面积是．【答案】【解析】由正弦定理化简得，进而得到，再由余弦定理得到关于的方程，求得的值，进而利用面积公式，即可求解。
【详解】由题意，可知，由正弦定理得，即，又由在中，,则，即，又由，则，所以，由余弦定理得，即，整理得，解得，所以的面积为.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．三、解答题17.各项均为整数的等差数列，其前项和为，已知，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公差为，利用等差数列的通项公式，求得，即可得出数列的通项公式；（2）由（1）得，再利用等比数列的求和公式，即可求解。
【详解】（1）设的公差为，由题意知.∵，∴，解得或.又各项为整数，∴.所以数列的通项公式.（2）由题意，，故为等比数列，首项为2，公比为4，则其前项和.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.18.如图，在四棱锥中，平面，点为中点，底面为梯形，，，.（1）证明：平面；（2）若四棱锥的体积为4，求点到平面的距离.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）取中点，连接，，根据平行四边形的性质，证得，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（2）设，利用四棱锥的体积，求得，又由平面知，点到平面的距离等于点到平面的距离,过作，证得平面，即可求得答案。