第5章 主理想整环与欧氏环(2015)
近世代数课件全 4 2 主理想整环欧式环 优质课件
xf ( x) ( x2 1)g( x)
2019/12/11
例5
在 Z[i] 中, a 8 38i, b 11 7i ,求
s, t 使得(a, b) as bt.
因为 (r1 ) (r2 ) , 故最后必有某个
(不妨设为 rn1 )为零.从而有
(a, b) (b, r1) (r1, r2 ) (rn1, rn ) (rn, 0) rn
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而且 rn rn2 rn1qn rn2 (rn3 rn2qn1 )qn
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做成一个欧氏环.
例1 Z 是欧氏环.
证明： ( x) | x |, x Z
a, b Z, b 0, q, r Z, st. a bq r
且 0 r | b | r 0, 或者 (r) | r | (b) | b | .
Z 是欧氏环.
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近世代数
第四章 整环里的因子分解 §2 主理想整环、欧式环
2019/12/11
一、主理想整环 定义1：如果整环R的每一个理想都是一个
主理想， 称其为主理想环. 引理1：假定R是一个主理想环，若在序列
a1,a2,a3,…,(ai∈R)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.
引理2：假定R是一个主理想环，那么I的 一个不可约元P生成一个最大理想.
，令q a bi, r [( x a) ( y b)i] ,则 q Z[i] ,且 r q Z[i] ,而
近世代数参考答案
近世代数参考答案《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案⼀、判断题（每题4分，共60分）1、如果循环群G=(a)中⽣成元a 的阶是⽆限的，则G 与整数加群同构。
（ √ ）2、如果群G 的⼦群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ × ）3、两个⼦群的交⼀定还是⼦群。
（ × ）4、若环R 满⾜左消定律，那么R 必定没有右零因⼦。
（ √ ）5、任意置换均可表⽰为若⼲个对换的乘积。
（ √ ）6、F （x)中满⾜条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极⼩多项式。
（ × ）7、已知H 是群G 的⼦群，则H 是群G 的正规⼦群当且仅当g G ?∈，都有 1gHg H -= （ √ ）8、唯⼀分解环必是主理想环。
( × )9、已知R 是交换环，I 是R 的理想，则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。
（ √ ）10、欧⽒环必是主理想环。
（ √ ）11、整环中，不可约元⼀定是素元。
（ √ ）12、⼦群的并集必是⼦群。
（ × ）13、任何群都同构于某个变化群。
( √ )14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。
( √ )15、集合,A Z B N ==，::2f A B nn →+是从A 到B 的映射。
（ × ）⼆、证明题（每题20分，共300分）1Q 上的最⼩多项式。
解：令=u 32==u u .于是3223323315(32-?-=+-+=u u u u u u .移项后得32152(3+-=-u u u 两边平⽅，得到3222(152)(35)5+-=-?u u u .这是u 上满⾜的Q 上6次⽅程，故[():]6≤Q u Q .⼜3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，知2|[():]Q u Q .u (()=Q u Q u .⼜[]3=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ，因⽽[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---?=u u u ，故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最⼩多项式.2、求出阶是32的循环群(a )的所有⼦群，这些⼦群是否都是不变⼦群。
高等几何讲义(第5章§2 圆环点与欧氏几何)
若 T 作用下，IJ 而 JI，则由 IJ 得
由此得
a11 a12i i a21 a22i
，
(a22 + a11) i a21 a12 0，
故 a22 a11，a21 a12．(由JI 代入可得相同结果)
反之，不难验证仿射变换(5.9)保持{I, J}不动．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
a11 a22，a12 0．
故圆的齐次坐标方程为
a11x12 a11x22 a33x32 2a13x1x3 2a23x2x3 0． 令 b13 a13/a11，b23 a23/a11，b33 a33/a11，化为 非齐次坐标方程，即得结果．
➢ 通过一个圆环点的虚直线称为迷向直线．
坐标系．
o(1)
o(2)
➢ 建立了齐次直角坐标系的扩
大仿射平面称为扩大欧氏平 面．(如右图)
e
e(2)
e(1)
o(3)
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§2 圆环点与欧氏几何
➢2.3 保距变换与欧氏度量
➢ 在扩大欧氏平面上，有如下重要结论
➢ 定理4 在齐次直角坐标下，度量单位圆的方程为
§2 圆环点与欧氏几何
➢ 在以齐次正交坐标系的第三个基点为圆心的圆中， 指定一确定的圆，称为度量单位圆．
➢ 记度量单位圆与o(1)o(3)的交点为e(2)，与o(2)o(3) 的交点为e(1)，令e (o(1)e(1))(o(2)e(2))．
➢ 指定了度量单位圆，且如上选取单位点 e 的齐次
正交坐标系 [o(1), o(2), o(3); e ] 称为齐次直角
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
05 商环、欧氏环
n 1
作成 R x 的一个理想。 注：以上是常数项为零的多项式的集合，关于多 项式的加法与乘法。 以上两个理想显然既不是零理想也不是单位理想。
7
理想的性质
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推论 域是单环。
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理想的交与和
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谢
谢
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理想的传递
设 N 是 R 的理想, I 是 N 的理想, 那么 I 不一定是 R 的理想。
x y 例.设 R z w | x , y , z , w Z M 2 ( Z ) ，
a1 , a2 2a1 a2 N | ai 2 Z 是 R 的理想,而 I | ai 2Z 是 N 的理想, a3 , a4 a3 a4
近世代数及其应用
罗守山 教授 博士生导师
北京邮电大学计算机学院
1
第5章 商环、欧氏环
群是只有一种二元运算的代数系统。第2章群 之后介绍第3章特殊子群，由正规子群引出商 群，得到群同态基本定理。 环是建立在群基础上的代数系统，有二种二元 运算。第4章环之后介绍第5章特殊子环：理想， 由理想引出商环，得到环同态基本定理。 整数环上整数相除有余数和商，推广引出欧氏 环。 学习环知识应随时与群的相应概念与理论进行 比较，即复习群的内容，又学习新的知识。
近世代数考试复习
<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .则称G对代数运算做成一个群。
2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。
-------------7、素理想：设R是一个交换环，P ◁R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。
显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。
近世代数基础课件
第3讲 特殊的唯一分解环 1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根
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第六章 群论补充
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第1讲 共轭元与共轭子群 1 第2讲 群的直积 第3讲 群在集合上的作用 第4讲 西罗定理
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第1讲 共轭元与共轭子群
研究群内一些特殊类型的元素和子群
1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子
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四 代数学发展的四个阶段
代数学经历了漫长的发展过程,抽象代 数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世 纪前30年才发展起来的现代数学分支. 1 最初的文字叙述阶段 2 代数的简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段
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1 最初的文字叙述阶段
古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时 代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊 数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学. 此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数 运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理 也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而 在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表 是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方 法.例如通过图形的组合可以得到
}
} }
映射相关概念及举例
映射的运算 映射及其相关概念的推广
}
特殊映射
6
第3讲 基本概念之代数运算适应的规则 ——运算律 运算律
1 与一种代数运算发生关系的运算律 （1）结合律 （2）交换律 （3）消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律 （1）第一分配律 （2）第二分配律
7
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射 同态映射 1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
第五章 惟一分解整环
定义
对于 K 中的单位 ε， aε 叫做 a 的相伴元，也称为做 a 的
平凡因子，其余的 a 的因子，叫做真因子.
K 中元素的相伴关系是一个等价关系。即 a, b 在 K 中相伴
⇔ a, b 互相整除。
例 4 因为整数环 Z 的单位仅有 1 与 -1, 故任一非零元 a 有 2 个相伴元: a 与
例 1 整数环是一个欧氏环。 其欧氏映射为: ϕ x） | x |, x ∈ Z . （ = 例 2 一个域 F 上的一元多项式环 F[x]是一个欧氏 环。
（ = 其欧氏映射为： ϕ f ( x)） ∂ ( f ( x)), f ( x) ∈ F [ x] .
二
主要结论
定理 任何欧氏环 K 一定是一个主理想环，因而一定是一个
惟一分解环。
逆命题不成立：主理想整环未必是欧氏环。
欧氏环 ⊂ 主理想整环 ⊂ 惟一分解环 ⊂ 有单位元素的环 。
作业
P240-241，习题 5.4
1，2，3
§5.5* 惟一分解整环的多Байду номын сангаас式扩张
一 基本内容
定义 个推广。 惟一分解环 K 上的多项式环 K[x]就是 K 的一个扩张。 如果环 R 是环 S 的一个子环，则称 S 是环 R 的一
−a .
例 5 Z [i ] 有 4 个单位, 1, -1,
,
.
任一非零元 a + bi (a, b ∈ Z ) 有 4 个相伴元: ± (a + bi ), ± (b − ai ) . 例 6 设 a, b ∈ K . 证明: a ∼ b 当且仅当 ( a ) = (b) . 例7 求 Gauss 整环的所有单位以及整数 5 在 Z[i]中的所有真因子。
主理想整环上的纯子模与有限生成模
主理想整环上的纯子模与有限生成模摘要：本文主要讨论主理想整环上纯子模与有限生成模的性质。
首先介绍主理想整环及其性质，接着给出纯子模与有限生成模的定义和性质，讨论它们之间的关系以及对每种模的分类和描述。
最后给出一些相关的例子和定理的证明。
关键词：主理想整环；纯子模；有限生成模；分类；定理正文：1. 引言主理想整环是一类非常特殊的环，在学习和研究线性代数和抽象代数中起到了很重要的作用。
纯子模和有限生成模是主理想整环上最具代表性的两种模，它们在很多领域应用广泛。
本文将介绍主理想整环、纯子模和有限生成模的定义和性质，以及它们之间的关系。
此外，本文还将对每种模的分类和描述进行讨论，并给出一些相关的例子和定理的证明。
2. 主理想整环和其性质主理想整环是指每个理想都是主理想的整环。
一个整环被称为主理想整环，当且仅当它满足以下条件：（1）它是一个整环。
（2）所有它的理想都是主理想。
（3）它有一个非零元素作为唯一基本域。
主理想整环具有如下性质：（1）每个主理想整环都是唯一分解整环。
（2）每个主理想整环都是域当且仅当它是PID（主理想整环）。
（3）每个有限生成交换整环都是主理想整环。
3. 纯子模和有限生成模3.1 纯子模设M是主理想整环R的一个左模，如果对任意的0 ≠ a∈R和任意非0元素m∈M，存在一个整数n=n(a,m) (n可能是负数)，使得am^n \in M，则称M是R的纯子模。
3.2 有限生成模设M是主理想整环R的一个左模，如果存在一个元素集{m1,m2, ..., mn} \subset M，使得M=\sum Rm_i，则称M是R的有限生成模。
4. 纯子模和有限生成模的分类和描述下面对纯子模和有限生成模根据条件进行分类和描述。
4.1 纯子模的分类和描述对于纯子模M，以下是几个可能的情况：（1）如果M ={0}，则M是零模。
（2）如果M ≠ {0}，但存在一个元素 a∈R，使得am \notin M，对于任意m\in M，则称M是零子模。
主理想整环与欧几里得整环讲解
一、主理想整环
定义4.4.1
定理4.4.1
例1 例2
定义4.4.2 ---欧几里得整环 例4 三、欧几里德整环、 主理想整环及惟一分解 整环的关系 定理4.4.5 例5
定理4.4.2
定理4.4.3 二、欧几里得整环 定理4.4.4 ---最大公因子的存 在表示定理 例3
例 6 设F为域. 则 F [ x ]为欧几里德整环, 因而也 是主理想整环及惟一分解整环. 证 令
: F [ x] {0} N {0}
f ( x)
设
deg f ( x).
f ( x), g ( x) F [ x], g ( x) . 0 令 { f ( x) g ( x)h( x) | h( x) F [ x]},
a dq, 于是 a d . 由此得 I d . 因而 I d
,
即 I 为 D 的主理想. 注：这个定理的逆是不成立的. 例如, 可以证明整 1 Z[ ] {a b | a, b Z}, (1 19), 环 2 是主理想整环, 但却不是欧几里德整环(参见[1]).
d ak . 另一方面,
ak I d
, 所以
d ak d .
从而
d ak .
由此知, 真因子链(4.4.1)仅有 k项.
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定理4.4.3 设 D为主理想整环, a是 D 的一个非 零非单位的元素. 则下列条件等价: (1)a是素元; (2)a是不可约元; (3) a 是极大理想; (4) a 是素理想. 证 (1) (2) 见定理 4.3.3。 (2)(3) 因为 a不是单位, 所以 a 为 D 的真理想.
主理想整环的分式环
主题：主理想整环的分式环导语：分式环是数学中一个重要的代数结构，在抽象代数和环论中有广泛的应用。
其中，主理想整环作为分式环的一种特殊情况，在研究整数环、多项式环等方面起到了重要的作用。
本文将从浅入深，分析主理想整环的性质及其在数学中的应用。
一、分式环的基本定义1.1 分式环的引入有理数的概念是我们日常生活中最为熟悉的分数形式，其表现的是实数之间的比值关系。
在代数学中，如果将一个环扩展为能充分描述其中元素之间的比值关系的代数结构，我们就得到了一个分式环。
1.2 主理想整环的定义主理想整环是指一个含有单位元的环，在此环中，每个非零元素都生成一个称为主理想的特殊理想。
具体而言，对于主理想整环R，元素a生成的主理想为(a) = {ra | r∈R}。
二、主理想整环的性质2.1 主理想的生成元对于主理想整环中的任意一个非零元素a，我们可以证明一定存在一个元素b，使得主理想(a) = (b)。
这个元素b就是a的一个生成元。
2.2 主理想整环中的主理想主理想整环中的每一个主理想都可以表示为某个元素的生成，即对于主理想I，存在一个元素a使得I = (a)。
由此可得，主理想整环中的主理想是非常特殊的。
2.3 主理想整环中的不可约元素不可约元素指在主理想整环中无法分解为两个非单位元的乘积的元素。
主理想整环中不可约元素具有很多重要的性质，如素元意味着不可约。
三、主理想整环在数学中的应用3.1 整数环整数环是主理想整环的一个重要实例。
整数环中的每个元素都可以表示为一个主理想的生成元。
整数环是一个主理想整环。
3.2 多项式环多项式环也是主理想整环的一个重要实例。
对于多项式环R[x]，其中x是一个变元，任意一个非零多项式f(x)生成的主理想即为(f(x))。
多项式环的理论在代数几何、代数拓扑等领域有重要应用。
四、个人观点和理解主理想整环作为分式环的一种特殊情况，具有一些重要的性质和应用。
在数学的研究中，我们经常需要将一个环扩展为能描述元素之间比值关系的结构，而主理想整环为我们提供了一种有力的工具。
近世代数10套试题
《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。
2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3. （）存在一个4阶的非交换群。
4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5. （）无零因子环的特征不可能是2001。
6. （）无零因子环的同态象无零因子。
7. （）模97的剩余类环Z97是域。
8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
9. （）域是唯一分解整环。
10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。
3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。
（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。
四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。
抽象代数名词解释
1，抽象代数名词解释1-1映上的映射（30 ）当映射 f 是单射又是满射，称之为双射或f 是1-1 映上的。
2，二元运算（50）设S上个非空集合，把S×S到S的映射称之为S上的二元运算，简称为S上运算。
3，二元多项式（329）设R是个有1的交换表达式f(x,y)=a0.0+a1.0x+a0.1y+a2.0x2 +a0.2y2+a1.1xy+…+a n.0x n+a n-1. 1x n-1y+…+a0.n y n, a ij∈R,称为R上关于x,y的二元多项式。
4，子环（222）设（R，+，·）上个环，S是R的一个非空子集，如果+和·也是S的运算，且（S，+，·）也是个环，则说（S，+，·）是（R，+，·）的一个子环。
5，子域（334）设（F，+，·）是个域，F上的子集S称为（F，+，·）的子域。
如果（1）（S，+，·）是（F，+，·）的子环，（2）（S，+，·）本身是个域。
6，子集合（3）设A，B都是集合，说集合A是集合B的子集合。
7，子集族（6）设J是一共非空集合（可以有无限多个元素），每个j ∈J对应集合S的一个字集A j，则通常说｛A j︱A j⊆S，j ∈J｝是S的一个以J标号的字集族，J称为指标集。
8，子集生成的子群（80）设G是个群，S为其一非空字集合，℘为G的所有包含S的子群的族，则称子群℘∈HH为S在G中生成的子群，记为〈S〉。
9，子集生成的理想（236）设R是个环，T⊆R，ΦΦT非空，作R的理想族B={I是R的理想，T ⊆I}得到的理想BII∈称之为R的由子集T生成的理想，记为（T）。
10.子群（75）设（G，·）是个群，如果G的子集H对于·也构成群，则说（H，·）是（G，·）的子群。
10.么元（59）单位元，恒等元，中性元设·是集合A上的一个运算，如果元素e∈A对任何a∈A都有a*e=e*a=a，则说e是A对于运算·的一个单位元或恒等元，或么元、中性元。
2009抽象代数
2009抽象代数湖北省⾼等教育⾃学考试⼤纲课程名称：抽象代数课程代码：2009第⼀部分课程性质与⽬标⼀、课程性质与特点《抽象代数》是湖北省⾼等教育⾃学考试数学教育专业本科的⼀门重要的专业基础课。
作为代数学的⼀门重要的⼊门课程，具有⾼度的抽象性，它的研究对象是各种代数结构以及它们之间的内在联系，它的思想和⽅法已渗透到数学的⼏乎所有的分⽀。
《抽象代数》的许多内容对于中学数学教学也具有重要的指导意义，作为数学教育专业的学⽣，学习抽象代数的基础知识，掌握其基本理论和基本思想⽅法是⼗分必要的，对于学⽣加深理解数学的基本思想和⽅法, 提⾼抽象思维能⼒, 培养数学修养都具有重要意义。
不仅如此，它的理论也已应⽤到⾃然科学技术的许多⽅⾯，已成为物理、通信、系统⼯程、计算机科学等领域的研究⼈员的基本⼯具。
抽象代数是数学教育专业的必修课程，根据⾼等教育⾃学考试课程设置的相关规定，该课程代码为2009，总教学时数为80学时，6学分，所需预修课程是《⾼等代数》或《⾼等代数与解析⼏何》。
《抽象代数》的主要内容包括群、环、域的基本概念和基本性质。
⼆、课程⽬标与基本要求通过本课程的学习使学⽣了解抽象代数的基本概念，常⽤术语，掌握抽象代数的基本思想和推理⽅法，培养学⽣的抽象思维能⼒、逻辑推理能⼒、运算能⼒、综合应⽤知识解决有关实际问题的能⼒和⾃学能⼒，为后续课程的学习提供条件，为学⽣今后从事数学教学和数学研究⼯作奠定扎实的理论基础。
⾃学应考者在理解抽象的代数结构时，应从熟悉的常见例⼦出发来理解抽象的代数结构(如从整数集合、剩余类集合、⼀个⾮空集合上的所有可逆变换来引出群的概念；从整数集合、剩余类集合、域上的多项式集合、域上的⽅阵集合等来引出环、域的概念等)。
⼤纲中少量加*号的内容⾃学应考者可根据实际情况决定是否⾃学。
⾃学应考者可以阅读⼀些关于抽象代数应⽤的例⼦和有关抽象代数发展历史的资料，激发学习兴趣，培养和提⾼⾃学能⼒。
坚持做好课后练习，在整个⾃学过程中，都要按计划选作⼀定数量的课后练习，并要求在复习基本知识的基础上完成。
近世代数考试复习
近世代数考试复习文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a =e .则称G对代数运算做成一个群。
2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号 + 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。
-------------7、素理想：设R是一个交换环，P R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。
欧氏环
其中或 r ( x) 0 或 r ( x) 的次数小于 g ( x) 的次数 n 。
证明 方可。下设
若 f ( x) 0 或 f ( x) 的次数小于 n ， 则取 q( x) 0 ， r ( x) f ( x)
f ( x) bm xm bm1xm1 b0 ， (m n) 。
注意：这个定理的逆定理不成立。就是说，一个主理想环不 一定是一个欧氏环。 例如整环 {
a b 19i | a, b Z , a b(mod 2)} 是 2
主理想环，但不是欧氏环（它的证明已超出本书范围） 。 这样，根据以上各节的讨论，则有以下关系： 欧氏环 主理想环 唯一分解环 有单位元的整环。
: a 1 ,a F （F 为域） ， a 0 ，那么
是 F * N 的一个映射。 a F * ，则对 b F 有
b ba 1 a 0 。所以 F 是一个欧氏环。
3 证明 设 a、 b 均为 0，则它们的最大公因子为 0。 若 a、 b 中至少有一个不为 0， 在欧氏环中， 每一个非零元素 都 有一个非负整数 x ， 令 d 是集 N xa yb x, y K 中对应的非负 整数最小元素，因此 d 能够写成 d sa tb （对某个 s, t K ） ，因此
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第四章
整环里的因子分解
第 29 讲
第四章 整环里的因子分解
§4 欧氏环
一、另一种特殊的唯一分解环——欧氏环。 定义 1 设 K 是一个有单位的整环，如果 （１）有一个从 K 的非零元素集 K 到非负整数集的映射 存 在； （２）对 K 中任意元素 b 及 a 0 ，在 K 中存在元素 q , r 使得
近世代数主理想环.ppt
（1）
/ (r m)2 (s n)2 1 1 1 1. （2）
44 2
现在令 . 显然 0 N. 于是N 中绝对值最小的非零元，故 0. 从而 ( ).，因此 N () 。
a ( p) ( p) 或 b ( p) ( p) 即 a ( p) 或 b ( p) 亦即 p | a 或 p | b 这说明 K 中的不可约元都是素元。
综上，由定理 4.2.3 知 K 是唯一分解环。
注意：这个定理的逆命题不成立，即一个唯一分解环 不一定是一个主理想环。
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第四章 整环里的因子分解
第 28 讲
第四章 整环里的因子分解 §3 主理想环
在这一节和下一节，我们介绍两种特殊的唯一分解 环，那就是主理想环和欧氏环，它们对我们判断一个整 环是不是唯一分解环有一定帮助。
引理 1 设 K 是一个主理想环，若在序列 a1, a2 ,..., ai ,... (ai K ) (1)中， 每个元素都是前一个元素的真因子，则这个序列一定是有限序列。
证明：作主理想 (a1)、(a2 )、(a3 )... 因 ai1 是 ai 的真因子，对这些元素中的每一 个 作 主 理 想 ， 必 得 (a1) (a2 ) (a3) ... ， 令 N (a1) (a2 ) (a3) ... 则 a、b N 及 r K 总有 a (ai ), b (a j ) 其中 i, j 为某两个正整数，假设 i j ， 则 (ai ) (a j ) ，从而 a (a j ) ，于是 a b, ra (a j ) N 因此 N 是 K 的一个理想， 因为 K 是主理想环，所以 N (d) 于是 d N (ak ) 从而 d 属于某个 (an ) 下证 an 是序列(1)中最后一个元素。若不然，设在(1)中还有 an1则由于 d (an ) ， an1 N (d ) 因此 an | d, d | an1 。从而 an | an1 ，这与 an1是 an 的真因子矛盾。
主理想整环上的模的性质
主理想整环上的模的性质模式在各个领域中都是一个重要的概念。
它可以被用来描述事物，现象或者过程。
现在，越来越多的人们开始关注模式在理想整环上的性质，这一领域本质上就是通过模式来描述一个理想的情况，并让它被大多数人所接受。
首先，要理解理想整环上的模的性质，需要先理解什么是“整环”概念。
可以从如下几点入手，整环概念指的是一种建立在环境和资源之间的能量有效循环。
它描述了一个系统中许多不同部分之间的各种关系，以及它们如何协同作用以形成一个完整的、有机的、动态的“整体”。
换句话说，理想整环上的模指的是一种让系统完美运行所需的关键环节。
它可以帮助人们更好地理解系统的功能和性能，把不同的部件联系起来，从而有效地利用环境和资源，从而实现有效的、完美的运行。
借助模式，可以更深入地了解理想整环上的模的性质。
从系统的模型上来看，可以把它分为三个层次：首先是系统的框架，它描述了系统的整体结构；第二层是连接层，它描述了系统中组件与组件之间的关系；第三层是控制层，它描述了系统中各种功能之间的协作和联系。
深入理解理想整环上的模的性质，可以说，它是一种建立在环境和资源之间的有效循环的一种体系。
它的特点是：（1）资源的投入和输出是平衡的；（2）系统的输出力能够满足系统的要求；（3）前提是系统得到及时有效的维护和管理。
在实际应用中，理想整环上的模的性质可以被运用到多个领域，例如经济、农业、能源、生态等。
有关各个系统设计和运行整个系统，都必须以理想整环上的模式为基础，以此来保证系统的有效运行。
归纳起来，理想整环上的模的性质可以定义为：一种建立在环境和资源之间的有效循环的一种体系，它的特点是资源的投入和输出是平衡的，系统的输出力能够满足系统的要求，前提是系统得到及时有效的维护和管理。
它可以被用于经济、农业、能源、生态等多个领域，以此来保证系统的有效运行。
理想整环上的模的性质，正在成为一种新的商业模式，它倡导更环保、更节能、更合理的可持续发展理念。
几种整环之间的探讨
几种整环之间的探讨卢梦霞;凡美金;赵廷芳【摘要】首先介绍了主理想整环、最大公因子、R-模及唯一分解整环之间的逻辑关系;其次介绍了整环与整环上的多项式环之间的等价关系.【期刊名称】《周口师范学院学报》【年(卷),期】2015(032)005【总页数】2页(P34-35)【关键词】域;欧氏环;主理想整环;唯一分解整环;多项式环【作者】卢梦霞;凡美金;赵廷芳【作者单位】周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001;周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001;周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001【正文语种】中文【中图分类】O1521 预备知识引理1［1］设R是唯一分解整环，则R为主理想整环的充要条件对∀a，b∈R∃u，v使得d＝ua＋vb为a，b的最大公因子.引理2［2］环R是整环当且仅当R［x］是整环.引理3［2］环R是唯一分解整环，则R［x］也是唯一分解整环.引理4［3］域R上多项式环R［x］是一个欧氏环.定理1［2］主理想整环是唯一分解整环.此定理逆定理不成立.即一个唯一分解整环不一定是一个主理想整环.定理2［2］欧氏环必为主理想整环，因而是唯一分解整环.此定理逆定理不成立.即一个主理想整环不一定是一个欧氏环.定理3［2］凡域一定是欧氏环.证设F是任意一个域，故F是整环，定义φ：x→1，x∈F，x≠0，则φ是F＊到N的一个映射，其中F＊＝F－｛0｝，N是非负整数集，∀a∈F＊，∀b∈F，则b＝（ba－1）a＋0.故F是一个欧氏环.2 主要结论2.1 欧氏环、主理想整环和唯一分解整环之间的关系定理4 设R是唯一分解整环，则下列条件等价：1）R是主理想整环；2）R中任一有限生成的理想是主理想；3）对∀a，b∈R，必存在u，v∈R使d＝ua＋vb为a，b的最大公因子.证 1）⇒2）显然.2）⇒3）∀a，b∈R，由a，b生成的主理想记为＜d＞，即＜d＞＝＜a，b＞，则∃u，v∈R使d＝ua＋vb，且易证d是a，b的最大公因子.3）⇒1）见引理1.推论设R是唯一分解整环，则下列条件等价：1）R是主理想整环；2）R上任一有限生成的R－模M有分解式－1.证 1）⇒2）显然.2）⇒1）由分解定理知，若M为无扭的有限生成模，则必为自由模，设a，b为R中任意两个元，则Ra＋Rb的秩为1，设基元为d，则Ra＋Rb＝Rd，于是有u，v∈R使d＝ua＋vb，由定理4知R是主理想整环.2.2 整环和整环上的多项式环定理5 设R是一个阶大于1的整环.证明：R是域⇔R［x］是主理想整环.证⇒由引理4和定理2结论显然.⇐设R［x］是主理想整环，∀a∈R，a≠0.则∃f（x）∈R［x］，使＜f（x）＞＝＜a，x＞，从而由知，f（x）＝b∈R，且b≠0；再由b＝f（x）整除x知，b必是可逆元.于是＜a，x＞＝＜b＞＝＜1＞ .从而∃u（x），v（x）∈R［x］，使1＝u（x）a＋v（x）x.取x＝0得u（0）a＝1，从而a是R的可逆元.故R的每个非零元都有逆元，故R是域.定理6 环R是唯一分解整环当且仅当R［x］是唯一分解整环.证⇐设R［x］为唯一分解整环，则R［x］是整环，由引理2知R是整环，∀a∈R，a≠0，a不是单位，由于a∈R［x］，故a在R［x］中能唯一分解，设a＝f1（x）f2（x）…fr（x）（fi（x）是 R［x］的素元，i＝1，2，…，r）故∂（f1（x））＋∂（f2（x））＋…＋∂（fr（x））＝∂（a）＝0，由于R是整环，无零因子，f1（x）≠0，f2（x）≠0，…，fr（x）≠0.于是∂（f1（x））＝∂（f2（x））＝… ＝∂（fr（x））＝0.即fi（x）∈R从而a＝f1（x）f2（x）…fr（x）也是a在R中的唯一分解，因此，R为唯一分解整环.⇒见引理3.定理7 下列三个命题是等价的：（1）R 为域.（2）R［x］为欧氏环.（3）R［x］为主理想整环.证（1）⇒（2）由引理4可得.（2）⇒（3）由定理2可得.（3）⇒（1）设R不是域，则存在R的非零非单位的元a.下证R［x］不是主理想整环：取R［x］的理想＜a，x＞，假设＜a，x＞是R［x］的一个主理想，设＜a，x＞＝＜p（x）＞，p（x）∈R［x］.由a∈＜p（x）＞，x∈＜p（x）＞，存在q（x），h（x）∈R［x］，使a＝q（x）p（x），x＝h（x）p（x），由a＝q（x）p（x）可得p（x）∈R.事实上，若p（x）∉R，则可设p（x）＝b0＋b1x＋…＋bnxn，n为正整数，b0，b1，…，bn ∈R，bn ≠0，q（x）＝c0＋c1x ＋…＋cmxm，m 为非负整数，c0，c1，…，cm ∈R，cm ≠0.若R不是整环，则由引理2知R［x］不是整环，R［x］更不是主理想整环；若R是整环，则R无零因子，于是cmbn≠0，从而q（x）p（x）＝c0b0＋…＋cmbnxm＋n≠a与假设矛盾，从而p（x）∈R，记p（x）＝b∈R，则b≠0且x＝bh（x），设h（x）＝d0＋d1x＋…＋dnxn，n为非负整数，d0，d1，…，dn ∈R，dn ≠0，则x＝bh（x）＝bd0＋bd1x＋…＋bdnxn，比较等式两边可得bd1＝1，于是1＝bd1∈＜b＞＝＜a，x＞.从而存在d∈R使得1＝da.因此，a为R的一个单位，与a的取法矛盾.矛盾说明＜a，x＞不是R［x］的主理想，即R ［x］不是主理想整环.定理8 对于任何整环R，R［x］都不是域.证 R［x］至少有非零元x没有逆元，事实上，假设x有逆元q（x），则xq（x）＝1，设q（x）＝c0＋c1x＋…＋cmxm，m为非负整数，c0，c1，…，cm ∈R，cm ≠0，从而xq（x）＝c0x＋c1x2＋…＋cmxm＋1≠1，矛盾.矛盾说明R［x］的非零元x 没有逆元，即R［x］不是域.推论对于任何整环R，R［x］都不是除环.参考文献：［1］喻方元.主理想整环的几个等价刻画［J］.南昌大学学报，2000，24（3）：240－241.［2］杨子胥.近世代数［M］.北京：高等教育出版社，2004.［3］郭世乐.整环上的一元多项式环［J］.福建师范大学福清分校学报，2004（2）：3－4.。
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作业
第三版 5-4第201页 1，2
5.3-5.4
、理想的定义 、理想的构造 一、主理想整环 二、 欧氏环
一、主理想整环
——（第五章第三节）
定义 设K是一个有单位元的整环，如果K的每个 理想都是Байду номын сангаас理想，则称K是一个主理想整环.
例 (1) 整数环是主理想整环. (2) 域F上的多项式环F[x]是主理想整环. (P166 习题3(1)） (3) 整数环Z上的多项式环Z[x]不是主理想整环. (因为 <2,x>不是主理想 ) 故Zn不是主理想整环. （4）当n为合数时，环Zn有零因子， 定理 Gauss整环Z[i]={a+bi|a,b∈Z}是主理想整环.
二、 欧氏环
——（第五章第四节）
定义 设K是一个有单位元的整环.如果 （1）有一个从K-{0}到非负整数集的映射 存在, 使 （2）对于K中任意元素a及b≠0, 存在元素q, r∈K，
a bq r , r 0, 或 ( r ) (b), 则称K关于 作成一个欧氏环.
例 整数环Z是一个欧氏环. 例 域F上的多项式环F[x]是一个欧氏环. 定理 欧氏环必是主理想整环.