2121配方法第一课时
21.2.1配方法(1)
课 题
22.2.1 配方法(1) 多媒体
课 型
新授
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想． 教 学 目 标 过 程 方 法 情 感 态 度 教学重点 教学难点 2.根据平方根的意义解形如 x =p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n） =p（p≥0） 知 识 技 能 型的一元二次方程． 3.把一般形式的一元二次方程（二次项系数是 1，一次项系数是偶数）与左边是含有未知数的完 全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比，引入配方法，并掌握. 1. 通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活. 2. 通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法，配方法 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 1.运用开平方法解形如（mx+n） =p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2 用配方法解二次项是 1，一次项系数是偶数的一元二次方程 降次思想，配方法 教学过程设计
师生行为 点题，板书课题.
设 计 意 图 开门见山明确本 节课内容
学生读题找等量关系列 方程，思考解方程的依 据. 学生观察所列方程特 点，辨析方程的解与问 题的答案. 学生尝试描述何为降次 及方法，把握方程结构 特点，初步体会直接开 平方法解一元二次方 程. 教师组织学生讨论，尝 试回答，教师及时肯定 并总结
2 2
B．x -8x+（-4） =1 D．x2-4x+4=-11
2
6．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m） ，•另
归纳
思
淡化列方程难度， 重点突出解方程 方法，关注方程的 解，以及方程的解 要受到实际问题 的检验，作出取 舍.
《配方法》第一课时参考课件
可以验证，5和－5是方程 ① 的两根， 但是棱长不能是负值，所以正方体 的棱长为5 dm．
用方程解决实 际问题时，要考虑 所得结果是否符合 实际意义.
探究
( x 3) 2 5， 解 ： 由 方 程 ( x 3) 2 5，
①
得
x 3 5，
即 x 3 5,或 x 3 5.
③
于是，方程 ( x 3) 2 5 的两个根为
x1 3 2 ,
x2 3 2
上面的解法中，由方程②和③， 实质上是把一元二次方程“降 次”，转化为两个一元一次方程， 这样就把方程②转化为我们会解 的方程了.
练习
解下列方程：
2 x 8 0; 2 9 x 5 3; 3 1 x 6 9 0; 2 2 2 4 3 x 1 6 0 ； 5 x 4 x 4 5; 6 9 x ＋6 x＋ 1 4.
2 2 2
解：
1 2x
2
2
8 0
9 x2 5 3 2
移项 x 4,
移项 9 x2 8,
得 x 2,
方程的两根为:
8 得 x 2 , 9
x
2 2 , 3
方程的两根为:
x1 2 2 3
x1 2 x2 2.
x2
2 2 . 3
x2 1 2 .
方程两根为
x1 1 2
5 x2 4x 4 5
解：
x 2
2
5,
x 2 5,
x 2 5, x 2 5, x 2 2 5. 方程的两根为 x 1 2 5
21.2.1 配方法(第1课时)
,又两根均为
正数, 且 ������������>7.所以整数 c 的最小值为 8.
一课一案 创新导学
直接开平方法适用于下列类型的方程:
一元二次方程 x2=p(p≥0), x2=p(p≥0), (mx+n)2=p(p≥0), (mx)2+2mnx+n2=p (p≥0).
2
2
李琼的解法并不对.一个数的平方根有2个,它们互为相反 数,所以直接开平方得x-6=±(9-2x),即x-6=9-2x或x6=-(9-2x),解得x1=5,x2=3.
一课一案 创新导学
3.想一想:在实际问题中求出方程的解后要注意
什么问题?
求出方程的解后不但要检验是否是原方程的解,还要 检验是否符合实际意义.
������ ������
2
2
一课一案 创新导学
若方程(3x-c)2-60=0的两根均为正数,其中c为整数. 求c的最小值.
解: 移项,得(3x-c) =60,3xc= ± ������������,3x=c± ������������,x=
������± ������������ ������
2
解 :(1)移项,得 3x =6,系数化为 1,得 x =2, 开平方 , 得 x=± ������,所以 x1= ������,x2=- ������. 2 (2)移项,得 4(x-1) =9 方程两边同时除以 4, 得 (x-1) = .
������
2
2
2
������
开平方 , 得 x-1=± ,即 x-1= 或 x-1=- .所以
1.解决“问题导引”中的问题.
解:设 x 秒后△PBQ 的面积等于 18 cm ,依题 意,得 x²2x=18,x =18.
21.2.1配方法(1)课件
5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所以正 方体的棱长为5 dm．
-7 -
1.数学思想：换元思想、转化思想、分类讨论思想 2.会解原方程变为x2=p(p≧0) 或(x+n)2＝p(p ≥0)的 形式(其中n,p是常数）简单的一元二次方程。 当p<0(n<0)时，原方程无解。
次
思考：
你会解方程：（x + 3）2= 5吗？
一元一次方程
-4 -
二、探究新知，发现规律 例2 解下列方程：
（1）2x2-8=0； （2）(x+6)2-9=0 （2）：移项
（3）3(x-1)2-6=0 解：(1) 移项 x2 4,
得 x 2,
∴方程的两根为
∴方程的两根为 x2 =-9. x1 =－3, 如何解简单的一元二次方程(x+n)2＝p (其中n,p是 常数）的形式呢？
x1 2 x2 2.
∴x＋6=3 x＋6=－3,
-5 -
二、探究新知，发现规律
一般地，对于方程(x+n)2=p
x1 n p , x2 n 。p （1）当p＞0时，方程有两个不等的实数根，
（2）当p=0时，方程有两个相等的实数根，x1=x2=-n。
（3）当p＜
一、复习回顾，引入新课
问题1：说出下列各数的平方根。
（1）121（2）-25（3）0.81（4）0（5）3 问题2：求出下列各式中x的值． ⑴x2＝49；⑵9x2＝16；⑶x2＝6；⑷x2＝-9。 一般地，对于方程x2=p
（1）当p＞0时，方程有两个不等的实数根，x1 p , x2 p 。
-6 -
二、探究新知，发现规律
例3：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这 桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
配方法(第一课时)教学设计
21.2.1配方法（第一课时）教案教学目标1、知识与技能（1）会用直接开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程。
（2）理解开方是“降次”将一元二次方程转化为两个一元一次方程，体会数学化归思想。
2、过程与方法（1）通过合作探究，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。
（2）经历“平方根的意义—解一元二次方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观在数学活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，从而提高学生学习数学的兴趣。
重点难点重点：用直接开方法解一元二次方程。
难点：直接开方后得两个一元一次方程。
(降次思想)教学过程设计意图一、复习引入1、如果一个数的平方等于9，则这个数是，若一个数的平方等于7，则这个数是。
一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？2、用字母表示完全平方公式。
3、你会解下列一元二次方程吗？（1）x2=5 （2）(x+5)2=5 （3）x2+12x+36=0 （教师给出题目，学生思考、回答）第3小题设疑，激发学生的探究热情。
二、探索新知1．探求解决：问题1 解方程x 2 = 25解得x1 = 5，x2 = - 5追问：你的依据是什么？答：平方根的意义请解下列方程：x2 = 3，2x2 - 8=0，x2 = 0，x2 = - 2…这些方程有什么共同的特征？结构特征：方程可化成x2 = p的形式，（当p≥0 时）一般地，对于方程x2 = p，（1）当P＞0时，根据平方根的义，方程x2 = p有两个不等的实数根（2）当P=0时，方程x2 = p有两个相等的实数根x1 = x2 = 0；按照从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程，启发学生温故而知新。
让学生类比发现、自己总结结论，实现学生主动参与、探究新知的目的。
p x±=p x-=1p x=2（3）当P ＜0时，因为对任意实数，都有x 2≥0，所以方程x 2 = p 无实数根设计意图 三、问题解决例1、解方程 (x+3)2=5（分析）由方程x 2 = 25得 x 1 = 5，x 2 = - 5.由此想到:由 方程 (x+3)2=5得 即 于是,方程 (x+3)2=5的两个根为归纳:（小组讨论归纳总结，用时3分钟）用直接开平方法解一元二次方程,实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元二次方程，这样就把原方程转化为我们会解的方程了。
初中数学 21.2.1配方法
课标 要求
知识 梳理
2.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式 当 b2-4ac≥0 时,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 x= 式.
-������ ± ������2 -4ac 2������
的形式,这个式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公
D
12± 192 2×4 3±2 3 .故选 2
=
D.
关闭 解析 答 案
1
3.方程 2x2+4 3x+6 2=0 的根是( ) A.x1= 2,x2= 3 C.x1=2 2,x2= 2 B.x1=6,x2= 2 D.x1=x2=- 6
2
3
4
5
关闭
D
题中方程整理可得 x2+2 6x+6=0. 因为 a=1,b=2 6,c=6,b2-4ac=(2 6)2-4×1×6=0,所以 x1=x2=- 6. 关闭
解析
答 案
1
4.方程 x2-3x+1=0 的解是 .
2
3
4
5
关闭 3± 5 因为 a=1,b=-3,c=1,b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5,所以由求根公式可得 x= . 2 关闭 3+ 5 3 5 3+ 5 3- 5 故 x = , x = . x = , x = 1 1 22 2 2
2 2
解析
答 案
利用求根公式解一元二次方程的方法,叫做公式法.
名师指导由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数
根.
1
1.方程 x2+x-1=0 的一个根是( A.1- 5 B.
配方法第一课时
得到___________ ，方程的根为x1=____________，x2=____________。
【归纳】1、形如 或 的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做_______________。
2、如果方程能化成 或 的形式，那么可得 ，或 。
3、用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程。
（三）自我尝试：解下列方程。
⑴2x2-8=0;⑵ ⑶3(x-1)2-6=0;⑷9x2+6x+1=4.
四、达标过关测试
教
学
反
思
1、试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流。
（1） （2）
解：移向，得： 解：化简,得：
∵x是1的平方根∴x＝______∵x是4的平方根∴x＝______
即原方程的根为：即原方程的根为：
______， =______ ______， =______
2、对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?
分析：（1）方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为 __________，即将方程变为 和 ______两个一元一次方程，从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=______________，x2=______________。
在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了。
21配方法(第1课时)教案.docx
21. 2解一元二次方程21. 2」配方法第1课时用直接开平方法解一元二次方程教学目标1.会利用直接开平方法解形如x2=p(p$0)或(mx + n)2 = p(p20)的一元二次方程.2.在用直接开平方法解一元一次方程的过程屮，体会解一元二次方程降次的转化思想. 教学重点运用直接开平方法解形如(mx + n)2 = p(p$0)的一元二次方程.教学难点通过平方根的意义解形如x2=p(p$0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx + n)2=p(p$0)的一元二次方程.教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景明确目标一桶某种油漆可刷的而积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？你能根据题意设未知数，并列出方程吗？这个一元二次方程有什么特点？怎样解这个一元二次方程？归纳导入：利用方程解决生活中的实际问题，一般需要先根据题意“设未知数一找等量关系一列方程一解方程一写答”这一过程，但用一元二次方程解决实际问题会多出“检验” 这一步.二、自主学习指向目标1.自学教材第5至6页.2.学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分.三、合作探究达成目标探究点一用直接开平方法解形如x2 = p(p$0)的一元二次方程活动一：出示教材第5页问题1,思考下面的问题：(1)问题1中的等量关系是什么？(2)解方程的依据是什么？(3)所列方程的根都是问题1的解吗？【展示点评】题中的等量关系是：10个正方体盒子的表面积=油漆可刷的总面积；解方程依据是平方根的意义；因为正方体的棱长不能为负，所以5是方程的根，一5不是方程的根.【小组讨论】(1)形如x2=p(pN0)的一元二次方程可用什么方法求解？依据是什么？(2)对于常数p,为什么要限定条件p20?【反思小结】当方程的一边是未知数的平方，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解.依据是平方根的意义.一般地，对于x2 = p,当p>0时，xl=p, x2=—p ;当p=0 时，xl=x2=0 ;当pVO时，方程无实数根.【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一探究点二用直接开平方法解形如(ax+b)2=p(p>0)的一元二次方程活动二：岀示教材第6页“探究”，思考：1.类比活动一的方法，直接开平方可得到什么？2.这个过程，我们把它叫做什么？【展示点评】解方程(x + 3)2 = 5,首先直接开平方得到x + 3 = ±5,这样就得到了两个一元一次方程，这个过程实质就是“降次”，从而得到两个一元一次方程，进而求解.【小组讨论】降次体现了什么数学思想？【反思小结】对于形如(ax+b)2=p(p$0)的一元二次方程的解法，首先直接开平方降次得两个一元一次方程，进而通过解一元一次方程得解，这体现数学中的转化思想.【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二.四、总结梳理内化目标1.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解.2.用直接开平方法解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程降次转化为两个一元一次方程求解，降次体现了数学的转化思想.五、达标检测反思目标1.判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解.(1)x2=2(可以) (2)p2—49=0(可以)(3)6x2=3(可戒)(4)(5x + 9)2-2x-16=0(耒可必)(5)121—(y+3)2=0(可")2.(1)如果25x2-16=0,那么x]= 坐，x2=_^£5_.(2).如果2(x+3)2 = 8,那么xl=_-Z_, x2=__5_・3.下列方程中，一定有实数解的是(B)A. x2+l=0B. (2x+1)2=0 C・(2x+l)2+3=() D・(x-a)2 = a4.解下列方程：(l)(x-l)2 = 8； (2)(2x + 3)2 = 24； (3)1,3(x—1,2)2=9；(4)l,2(x+1)2 —3=0.【答案】(1)x1 = 1+22, x2 = l-22, (2)x7= -3,2 + 6, x2= -3,2-6；(3)x1 = 1,2+ 33, x2=l,2-33； (4)x1=-1 + 6, x2=-l-6.5・已知方程(x—l)2=k2+2的一个根是x = 3,求k的值和方程的另一个根.解；把x=3代入(x-Q2 = k2 + 2,得；(3-2)2 = *2 + 2,解得；k = ±2,廉方程签；(x一1)2 = 4,所必方程的根x/ = 3, x2=-l,即方程的另一个根巻一/・六、布置作业巩固目标1.上交作业教材第16页习题21.2第1题.2.课后作业见学生用书的“课后作业”部分.教学反思—。