岩土塑性力学(2015-06-10)

一点的应力只和其位置坐标有关！ 积分此时可得到不同形状的荷载在地基中引起的应力。 实测结果表明，用Boussinesq解计算的地基应力与实测值 非常接近，我们用分层总和法时就用的这样得到的应力。
半无限空间弹性体在条形荷载作用下地基中 任意点的应力
半无限空间弹性体在圆形荷载作用下地基中 任意点的应力
R f 1 sin 1 3 3 E t 1 K p i a p 2 C cos 2 sin 3 a
2

n
（8） 当卸载与再加载时，~关系接近直线。在不同固结压力3下，做加 荷—卸荷试验，确定相应的弹性模量Eur。通过至少两个土样的试验数据在类 似坐标系下求出如下关系式：
目前poisson比t的确定一般都采用经验值，而不用上式计算。
（10）作业：求切线模量 首先准备三个土样，在不同固结压力下做固 结排水试验，或做固结不排水试验同时测孔隙水压力，取得应力与应变的数 值，例如下表给出两个不同固结压力下的试验结果，按下表整理试验数据。 然后按前面的定义计算。
3
200kPa 300kPa 1 (%) 1 100 150 2 125 179 4 150 210 6 166 230 8 175 237 10 179 247 12 180 253 14 186 253 16 187 253 uf 124 200
由于地基土不是均质的，所以很少用这个公式计算。但所采用的单 向分层总和法，基本概念还是按照弹性体计算的，只不过不同土层 采用了不同的计算模量和初始空隙比。
5. 土力学中常用的一下模量的关系和用法
6. 弹性力学的解法
1. 理论上，联立平衡方程、几何方程和虎克定律，加 上边界条件，可以解弹性体的受力和变形问题。但 实际上对于即使非常简单的问题要求得解析解是非 常困难的，通常要采用有限元方法来解决。 2. 弹性力学没有破坏准则，任何应力组合都是可能的。 但实际材料总会破坏或变形过大，因此不同材料都 要建立破坏准则。
7.非线性弹性本构关系—双曲线模型
(σ1-σ3)u (σ1-σ3)f ε1≥15%
1 b 1 a 1 3
模型参数的确定方法：岩土材料都是非线性的。如果假定为弹性非线性（弹性 模量随应力水平变化）更接近实际情况。邓垦等根据康纳(Kondner)的建议， 将三轴剪切试验中当3=常数时的1－3~1关系近似的用双曲线来表示
四、应力空间及应力不变量
以主应力为坐标，则任何一点的应力对于应力空间的一点。可以证明，有些应 力（或应变）的组合并不随坐标系而变化，称为不变量。应用这些不变量，可 以使一些公式的表达更为简洁，而且物理意义明确。
（三）边坡稳定问题—力矩极限平衡+破坏准则 （土坡的极限高度和坡度）
四、弹性力学（门派之二）
如果不考虑变形只能解决稳定问题。土力学依赖弹性力 学的结果来计算土中的应力和变形。 1. 弹性力学:单元体首先满足平衡方程和几何方程
2. 由此可推得半无限空间弹性体（假定地球不是圆的） 在点荷载作用下地基中任意点（实际上是微元体）的应 力（Boussinesq解）
在平衡状态，看不见的三 个面上的应力与相对的面 上的应力相等
可以证明，总存在三个正交的主应 力面，其上的剪应力均为0
二、解决工程力学问题的一般方法及基本方程
F
1 平衡方程（最基本的方程） 当外部荷载变化时（见，单元体初始应力都会变化。单元的应力变化应满足 平衡方程（我们关心的其实就是物体受荷时的应力变化量）。 平衡方程对于任何力学都是必需满足的条件。 当单元正应力方向与坐标方向相同时，应力的增量和外荷载之间必须满足平 衡方程。1 Βιβλιοθήκη 3 1a b 1

1
3 u
1 a b1

1
1
a b 1
1

1
b
（1）由图（b）可以得到初始切线模量Ei
d a Et 1 3 d 1 (a b 1 )2
Ei
1 a
（2）还可以得到极限应力 ( 1 3 )
1 3
1 1R f 1 Ei 1 3 f
2
d 1 3 R f 1 3 Et 1 Ei 1 3 f d 1
3 （6）初始模量 Ei与固结压力3的关系可用Janbu公式表示 E i K i p a p a
{ } [D ]{ }
或者
{ } [D ] { }
1
K
对于任一分量，有以下几种 假定的应力-应变关系
4. 破坏准则：
在外部荷载施加后，单元体产生的各应力之间必须满足一定的 关系，即有的应力组合是可能的，有的应力组合是不可能存在 的，这与材料的特性有关系。应力只可能在某区域内变化。 例如：土的抗剪强度（莫尔圆、强度线为界）
T xy yz zx x , y , z , , , 2 2 2
1 D E 1 1 1 2

1 1

4. 破坏准则
强度线
所以土力学解决稳定问题只依靠平衡方程和摩尔库仑破坏准则
（一）土压力问题（作用在 挡墙上的极限土压力）
土推墙--主动土压力
墙推土--被动土压力
（二）地基极限承载力问题：地基能够承受的极限荷载
条形基础整体平衡模式 极限平衡法，Prandtl 与 Reissner 的解答
为了考虑土自重对地基承载力的贡献，Taylor加上了第三项（近似， 只能通过试验或试算确定）
1－3 1－3
注：uf 为破坏时的孔隙水压力。
1） 绘出 ( 1 3 ) 1及 (1－3)u；
1 3
1
求初始切线模量 Ei 及极限强度， 1 关系曲线，
2）求初始切线模量 Ei 的模量系数 Ki 及幂次 n； 3）求破坏比 Rf 及试样的，c； 4）写出试样切线弹性模量 Ei 的具体表达式。
E ur
3 K ur p a p a

n
式中Kur及n分别为卸载再加载时的模量系数与指数；确定方法与Ki及n 的 方法相同。
（9）切线poisson比t的确定：邓肯张模型的确定方法如下：
3
t
h 1 1 d 1
h G F lg 3
d 3 G F lg 3 / p a d 1 d 1 3 1 R 1 sin 3 K p / p n 1 f 1 i a 3 a 2C cos 2 3 sin

n
需要做至少两个土样， 得出不同的σ3和Ei，来 得到n和Ki
lgki
3 Ei lg( ) lgK i nlg p Pa a

（7） 综合起来，可得到切线模量的表达式要确定切线模量Et，需要通过至少 二个土样的试验来确定ϕ，C，Ki，n及Rf共五个试验常数。
1
0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 1 2 1

1 1
Sym
0 0 0 0 1 2 1 0
4. 土力学中的沉降计算方法
从理论上说，各方向的变形量可以通过积分虎克定律的各项求得。 例如，对于均质半无限空间体，竖向沉降可以通过下式求得：
2. 几何方程（应变与变形的关系） 当外部荷载变化时，单元的产生变形，变形与单元原尺度的比值为正应变， 形状的变化称为剪应变。应变变化应满足几何方程（也就是应变的定义）。 如果考虑应变的高阶项，就变成几何非线性的大变形问题，非常复杂。
[ ]
dx dv dy du
3. 物理方程 荷载变化后，对于某种材料，应力和应变应满足一定关系， 这就是物理方程。将应力和应变都写成向量形式，则物理 方程为（向量与矩阵的表示方法）
dz A
A(x,y,z)
当dx、dy、dz—>0 时，即为该点应力
我们习惯用六个面上的应力（单位面积上的作用力）的六个应力分量（x、y、 z、xy、yz、zx）（共9个，因为剪力互等略去三个）或三个主应力（1、2、 3）及三个主方向（cos、cos、cos）来表示一点的应力状态；用六个面上 的应变分量（x、y、z、xy、yz、zx）或三个主应变（1、2、3）及三个主 方向（cos、cos、cos）来表示一点的应变状态。（土力学中以压力为正， 以下我们主要讨论有效应力）
x
E 1 x y z 1 1 2 1
D 虎克定律的矩阵形式
式中{}及{}分别为应力和应变列向量，即：
x , y , z , xy , yz , zx T
u
1
b
（3）土样达不到极限值时就已经破坏（例如应变达到15%），可以得出 破坏时的应力值
( 1 3 )f
破坏时的强度 1 3 f 强度的极限值 1 3 u
由此定义破坏比Rf定义（对不同σ3的值可能不同，取平均值）
Rf
（4）摩尔-库仑破坏准则
（5）切线模量
3. 应力应变关系 对于弹性力学，单元受力后发生变形，单元体的应力应 变关系应满足虎克定律：。知道应力就可以计算应变。
式中 E 为弹性模量，为泊松比，G 为剪切弹性模量，其值为：
G E 21
虎克定律的各种形式：用应变表示应力
E 1 y x y z 1 1 2 1 1 E 1 x y z z 1 1 2 1 E E xy xy ; yz yz 21 21 E zx zx ; 21