剪力图和弯矩图(史上最全面).
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二、例题
[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
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[例2] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
MO
L
P
解：①求支反力
Q(x)
YO YO MO M(x)
YO P ; MO PL
x
②写出内力方程
P
Q(x)
Q( x ) YO P
x M ( x) x
–PL
M ( x ) YO x M O P( x L )
③根据方程画内力图
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
3
3. 工程实例
4
4. 对称弯曲：
横截面对称的杆件发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。 P
1
q
P
2
M
纵向对 称面
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵
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§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系 q(x)
对dx 段进行平衡分析，有：
Y 0 Q( x ) q( x )dx Q( x ) dQ( x ) 0
x y M ( x)
dx q(x) Q(x)+d Q(x) A dx
q( x )dx dQ( x )
dQx qx dx
剪力图上某点处的切线斜率等
Q(x)
M(x)+d M(x)
于该点处荷载集度的大小。
18
mA(Fi ) 0 , 1 Q( x)dx q( x)(dx)2 M ( x) [M ( x) dM ( x)] 0 2 dM ( x) Q( x) dx
1
第四章
弯曲内力
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 §4–2 梁的剪力和弯矩 §4–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
§4–5 按叠加原理作弯矩图 §4–6 平面刚架和曲杆的内力图 弯曲内力习题课
2
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
3. 支座简化
6
3. 支座简化 ①固定铰支座
2个约束，1个自由度。如：桥梁
下的固定支座，止推滚珠轴承等。 ②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
③固定端 3个约束，0个自由度。如：游泳池 的跳水板支座，木桩下端的支座等。 YA XA MA
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4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
X 0, XA 0 Pa mA 0 , RB l P(l a) Y 0 , YA l
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②求内力——截面法
Y 0 , Q YA
P(l a) l
XA A
m
P
B
mC 0 , M YA x
剪力 ∴ 弯曲构件内力 弯矩 1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作 用面垂直于截面的内力偶矩。
14
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q( x2 a ) 0
1
2
q
1 a
y qL x
2
b
Q2 q( x2 a L)
mB (Fi ) 0 , 1 2 qLx2 M 2 q( x2 a) 0 2
图（a） B M2 x2 Q2
对称面但外力并不作用在对称面内，这种
弯曲则统称为非对称弯曲。
5 下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M ( x) Q(x) dx A M(x)+d M(x) q(x) 弯矩与荷载集度的关系是：
Q(x)+d Q(x)
dM 2( x) q( x) 2 dx
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二、剪力、弯矩与外力间的关系 外 力 无外力段
q=0
均布载荷段
q>0 q<0
集中力
P C
钢的密度为： 7.8g/cm³ ，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。
解： q — 均布力
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§ 4–2
一、弯曲内力：
梁的剪力和弯矩
a A l XA A YA P B RB P B
[举例]已知：如图，P，a，l。
求：距A端x处截面上内力。
解：①求外力
YA
m
x
RB
A
YA M
Q C Q C RB
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M P
2. 剪力：Q
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。 3.内力的正负规定: ①剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Q(+) Q(+) Q(–) Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 M(+) M(+) M(–) M(–)
M — 集中力偶
q(x) — 分布力 ②悬臂梁 ③外伸梁
q — 均布力
P — 集中力
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5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本
形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
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[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10mm，
1 M2 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
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§4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q ( x) M M ( x)
剪力方程
弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
Q Q( x) 的图线表示 M M ( x) 的图线表示
集中力偶
m C
Q Q 图 特 征
水平直线
Q Q
斜直线
Q
自左向右突变
Q
无变化
Q C
x
Q<0
x
x
x
Q1 C
Q>0
斜直线 M M1 x 图 x 与 x x x x m 特 M2 征M 反 M M M M M 20 增函数 降函数 碗状 m 馒头状 折向与P反向 M1 M2
二、例题
[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
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[例2] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
MO
L
P
解：①求支反力
Q(x)
YO YO MO M(x)
YO P ; MO PL
x
②写出内力方程
P
Q(x)
Q( x ) YO P
x M ( x) x
–PL
M ( x ) YO x M O P( x L )
③根据方程画内力图
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
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3. 工程实例
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4. 对称弯曲：
横截面对称的杆件发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。 P
1
q
P
2
M
纵向对 称面
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵
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§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系 q(x)
对dx 段进行平衡分析，有：
Y 0 Q( x ) q( x )dx Q( x ) dQ( x ) 0
x y M ( x)
dx q(x) Q(x)+d Q(x) A dx
q( x )dx dQ( x )
dQx qx dx
剪力图上某点处的切线斜率等
Q(x)
M(x)+d M(x)
于该点处荷载集度的大小。
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mA(Fi ) 0 , 1 Q( x)dx q( x)(dx)2 M ( x) [M ( x) dM ( x)] 0 2 dM ( x) Q( x) dx
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第四章
弯曲内力
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 §4–2 梁的剪力和弯矩 §4–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
§4–5 按叠加原理作弯矩图 §4–6 平面刚架和曲杆的内力图 弯曲内力习题课
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§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
3. 支座简化
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3. 支座简化 ①固定铰支座
2个约束，1个自由度。如：桥梁
下的固定支座，止推滚珠轴承等。 ②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
③固定端 3个约束，0个自由度。如：游泳池 的跳水板支座，木桩下端的支座等。 YA XA MA
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4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
X 0, XA 0 Pa mA 0 , RB l P(l a) Y 0 , YA l
11
②求内力——截面法
Y 0 , Q YA
P(l a) l
XA A
m
P
B
mC 0 , M YA x
剪力 ∴ 弯曲构件内力 弯矩 1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作 用面垂直于截面的内力偶矩。
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2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q( x2 a ) 0
1
2
q
1 a
y qL x
2
b
Q2 q( x2 a L)
mB (Fi ) 0 , 1 2 qLx2 M 2 q( x2 a) 0 2
图（a） B M2 x2 Q2
对称面但外力并不作用在对称面内，这种
弯曲则统称为非对称弯曲。
5 下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M ( x) Q(x) dx A M(x)+d M(x) q(x) 弯矩与荷载集度的关系是：
Q(x)+d Q(x)
dM 2( x) q( x) 2 dx
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二、剪力、弯矩与外力间的关系 外 力 无外力段
q=0
均布载荷段
q>0 q<0
集中力
P C
钢的密度为： 7.8g/cm³ ，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。
解： q — 均布力
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§ 4–2
一、弯曲内力：
梁的剪力和弯矩
a A l XA A YA P B RB P B
[举例]已知：如图，P，a，l。
求：距A端x处截面上内力。
解：①求外力
YA
m
x
RB
A
YA M
Q C Q C RB
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M P
2. 剪力：Q
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。 3.内力的正负规定: ①剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Q(+) Q(+) Q(–) Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 M(+) M(+) M(–) M(–)
M — 集中力偶
q(x) — 分布力 ②悬臂梁 ③外伸梁
q — 均布力
P — 集中力
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5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本
形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
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[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10mm，
1 M2 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
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§4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q ( x) M M ( x)
剪力方程
弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
弯矩图
Q Q( x) 的图线表示 M M ( x) 的图线表示
集中力偶
m C
Q Q 图 特 征
水平直线
Q Q
斜直线
Q
自左向右突变
Q
无变化
Q C
x
Q<0
x
x
x
Q1 C
Q>0
斜直线 M M1 x 图 x 与 x x x x m 特 M2 征M 反 M M M M M 20 增函数 降函数 碗状 m 馒头状 折向与P反向 M1 M2