专题05 导数的计算及其几何意义(解析版)
导数的几何意义 课件
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
导数的几何意义
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
函数 y f (x) 在 x x0 处的瞬时变化率是:
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
我们称它为函数 y f (x) 在 x x0 处的导数，记
作 f (x) 或 y |xx0 ，即：
f (x) lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x
(3)取极限，得导数f
( x0
)
lim
x0
y x
.
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
观察动画你能得到什么结论？
切线的定义：
当点Pn 沿着曲线逼近 P 点
时，即 x 0 ，割线趋近于确 定的位置，这个确定位置上的直 线PT称为点P处的切线。
x x0
x0
x
以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限， 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的 导数的步骤是:
(1)求函数的增量y f (x0 x) f (x0 );
回 顾
(2)求平均变化率 y f (x 0 x) f (x0 ) ;
x
割线的斜率 x 0 切线的斜率
应用：
例1：已知 y x2 1 曲线，求过点ｐ
（1，2）的切线方程．
解求：曲线k在 l某ixm0点f (处x0 的x切x) 线f (方x0 ) 程①的求基出本P点步lixm的骤0 (1坐: 标x);2x1 (11)
高考数学真题分项汇编专题05 导数选择、填空(理科)(解析版)
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编导数选择、填空目录题型一：导数的概念及其几何意义 ..................................... 1 题型二：导数与函数的单调性 ......................................... 8 题型三：导数与函数的极值、最值 ..................................... 9 题型四：导数与函数的零点 .......................................... 14 题型五：导数的综合应用 ............................................ 16 题型六：定积分 (20)题型一：导数的概念及其几何意义一、选择题1．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( )A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e a b <<【答案】D解析:在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y ′=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t −=−，即()1t ty e x t e +−， 由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e +−上，可得()()11t tt b ae t e a t e =+−=+−，令()()1t f t a t e =+−，则()()t f t a t e ′=−．当t a <时，()0f t ′>，此时函数()f t 单调递增， 当t a >时，()0f t ′<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max a f t f a e ==， 由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max a b f t e <=， 当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点,故选D ．2．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第0题)函数43()2f xx x =−的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为( )A ．21y x =−− B ．21y x =−+ C ．23y x =− D ．21y x =+ 【答案】B【解析】()432f x x x =− ，()3246f x x x ′∴=−，()11f ∴=−，()12f ′=−， 因此，所求切线的方程为()121y x +=−−，即21y x =−+． 故选：B ．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第0题)若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +12【答案】D解析：设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =的导数为y ′=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x −−，即00x x −+=， 由于直线l 与圆2215x y +==， 两边平方并整理得2005410x x −−=，解得01x =，015x =−(舍)， 则直线l 的方程为210x y −+=，即1122y x =+． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第6题)已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则( )A ．,1a e b ==−B ．,1a e b ==C ．1,1a e b −==D ．1,1a e b −==−【答案】D【解析】由/ln 1x y ae x =++，根据导数的几何意义易得/1|12x y ae ==+=，解得1a e −=，从而得到切点坐标为(1,1)，将其代入切线方程2y x b =+，得21b +=，解得1b =−，故选D ．【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。
导数的几何意义及导数的计算
导数的几何意义及导数的计算导数的几何意义（1）函数y=f （x ）在x0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点（x0 ，f （x0））处的切线的斜率。
(2)求曲线上某点处的切线的方程的一般步骤和方法：1.求函数值的增量00()()y f x x f x =+-；2.求y x ；3.令x 趋于0，求出y=f （x ）在0x 处的导数，即为切线的斜率；4.写出切线的点斜式方程。
注意：过点在曲线上与点在曲线外切线的求法。
（3）若曲线y=f （x ）在某点处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直，函数在某点可导是曲线上过该点存在切线的充分而不必要条件。
导数的计算(4).求函数的导数的流程图。
1.求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆2.求平均变化率xx y ∆=∆∆ 3.取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim (5).导函数定义：(6).常见函数的导数例1：若2)1()(-=x x f ，求)2('f 和((2))'f例2：已知函数x x f =)(，求)(x f 在2=x 处的切线。
例3：求曲线y =3，2）的切线方程.例4：已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x ≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。
例5.若直线y x b=-+为函数1yx=图象的切线,求b的值和切点坐标.总结切线问题：找切点求导数得斜率变式1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.变式2:求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程变式3:求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程变式4:已知直线1y x=-,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.小结：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x 0处的变化率'0()f x ，得到曲线在点(x 0,f(x 0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即追踪练习题1.下列等式成立的是（ ）A.'(3)3=B.3'22()5X X =C.3'22()6x x -=- D.5'52()10x x = 2.由曲线在点（1，43）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19 B ．29 C ．13 D.23 3.cos y x =在6x π=处的切线的斜率为（ ）A.2B. 2-C.12-D. 124.若函数f （x ）的导数为'()sin f x x =-，则函数图像在点(4,(4))f 处的切线的倾斜角为（ ）A.90B.0C.锐角D.钝角5.求曲线1y x =4，-74）处的切线方程。
导数的计算和几何意义
导数的计算和几何意义一、导数的定义2121()()f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率。
记21x x x ∆=-，()()21y f x f x ∆=-，平均变化率就等于y x ∆∆。
函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆称为函数()y f x =在0x x =的导数。
记作0()f x '或0x x y ='。
二、导数的几何意义 导数0()f x '就是()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。
三、常见的基本初等函数的导数公式C '= （C 是常数）； ()n x '= ，n Q ∈；()s i n x '= ； ()cos x '= ； ()x e '= ； ()x a '= ；（0a >，且1a ≠） ()ln x '= ； ()log a x '= 。
（0a >，且1a ≠）四、常用的导数运算法则法则1 ()()u x v x '±⎡⎤⎣⎦= ；法则2 ()()u x v x '⎡⎤⎣⎦= ；法则3 ()()u x v x '⎡⎤⎢⎥⎣⎦= ；法则4 若()y f u =，()u g x =，则[]{}()x y f g x ''== ； 例1 求下列函数的导数：（1）y =， （2）2sin cos 22x x y x =，（3）22x x y ee -=+， （4）2log ex y e x =。
（5）y = （6）1y x =+。
例2 设()()()()12f x x x x x n =++⋅⋅+，则(0)f '= 。
变式：（1）cos y x x =在3x π=处的导数值是 。
（2）设()()()()12f x x x x x n =--⋅⋅-，则(1)f '= ；()f n '= 。
专题05 导数中含参讨论问题总结(解析版)
专题05 导数中含参讨论问题总结一、重点题型目录【题型】一、由函数的单调区间求参数 【题型】二、由函数在区间上的单调性求参数 【题型】三、含参分类讨论求函数单调性区间 【题型】四、根据极值点求参数【题型】五、有导数求函数的最值（含参） 【题型】六、已知函数最值求参数 【题型】七、参变分离法解决导数问题【题型】八、构造函数并利用函数的单调性判定函数值大小 【题型】九、构造函数法解决导数问题 二、题型讲解总结【题型】一、由函数的单调区间求参数例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln x ax f x x =++的单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ）. A ．(],3a ∈-∞- B ．3a =- C ．3a = D ．(],3a ∈-∞【答案】B【分析】根据()f x 得到()f x '，再根据()f x 的单调递减区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到12和1是方程()0f x '=的两个根，代入解方程即可.【详解】由()2ln x ax f xx =++得()221x ax f x x++'=，又()f x 的单调递减区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12和1是方程2210x ax x++=的两个根，代入得3a =-.经检验满足题意故选：B.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≥-【答案】B【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.【详解】由题意，()cos sin 0f x x a x '=-≤在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即cos 1sin tan x a x x ≥=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， 因为tan y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 1y x =>，所以在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，101tan x <<， 所以1a ≥. 故选：B例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32f x x ax bx c =+++，()g x 为()f x 的导函数．若()f x 在(0，1)上单调递减，则下列结论正确的是（ ）A ．23a b -有最小值3B ．23a b -有最大值C ．()()010f f ⋅≤D ．()()010g g ⋅≥【答案】D【分析】由()f x 在(0，1)上单调递减，得到()00g b =≤，()1230g a b =++≤，即可判断D ；求出()()()2011f f c a b c ⋅=+++，当0c <时，有()()010f f ⋅>，可否定C ；记23z a b =-，其中(),a b 满足2300a b b ++≤⎧⎨≤⎩，利用数形结合求出，判断A 、B.【详解】由题意可得()()232g x f x x ax b ='=++.因为()f x 在(0，1)上单调递减，所以()0g x ≤在(0，1)上恒成立，即()00g b =≤，()1230g a b =++≤，所以()()010g g ⋅≥， 因为()()0,11f c f a b c ==+++，()f x 在(0，1)上单调递减， 所以1c a b c >+++，即10a b ++<，所以()()()()20111f f c a b c c a b c ⋅=+++=+++，当0c <时，有()()010f f ⋅> 所以C 错误，D 正确.记23z a b =-，其中(),a b 满足2300a b b ++≤⎧⎨≤⎩，作出可行域如图示：由2300a b b ++=⎧⎨=⎩解得：3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当抛物线21133a z b -=，经过点3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时94z =最小，没有最大值.故A 、B 错误.故选：D.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知()2121()1e 2x f x a x -=--，若不等式11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立，则a 的值可以为（ ）A ．B ．1-C ．1D 【答案】AD【分析】由条件可得()f x 在(1,)+∞上单调递增，再结合导数和单调性的关系列不等式求a 的范围，由此确定正确选项.【详解】设1ln (1)y x x x =-->，则110y x'=->， 所以1ln y x x =--在(1,)+∞上单调递增，所以1ln 0x x -->， 所以ln 1,(1,)x x x <-∈+∞，∴0ln 1x x <<-， ∴110ln 1x x >>-． 又11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()21()1e 0x f x a x -=--≥'对(1,)x ∀∈+∞恒成立，即211e x x a --≥恒成立．令111(),()eex x xxg x g x ---='=，当1x >时，()0g x '<，故()(1)1g x g <=，∴211a -≥，解得a ≥a ≤所以a 的值可以为， 故选：AD.【题型】二、由函数在区间上的单调性求参数例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数2()ln 2f x x x x =+--在其定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．33,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】先求出函数的定义域(0,)+∞，则有210k -≥，对函数求导后，令()0f x '=求出极值点，使极值点在(21,21)k k -+内，从而可求出实数k 的取值范围.【详解】因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以210k -≥，即12k ≥， 2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x+-+-'=+-==， 令()0f x '=，得12x =或=1x -（舍去）， 因为()f x 在定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数， 所以121212k k -<<+，得4143k -<<， 综上，1324k ≤<， 故选：D例6．（2023·全国·高三专题练习）若函数()324f x x ax x =-++在区间()0,2上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)2,+∞ B ．()2,+∞ C ．(],2-∞ D ．(),2-∞【答案】A【分析】将问题转化为()0f x '≥在()0,2上恒成立，采用分离变量法可得423a x x ≥-，由434x x-<可构造不等式求得结果. 【详解】()f x 在()0,2上单调递增，()23240f x x ax '∴=-++≥在()0,2上恒成立，即234423x a x x x-≥=-在()0,2上恒成立， 又43y x x =-在()0,2上单调递增，43624x x ∴-<-=，24a ∴≥，解得：2a ≥，即实数a 的取值范围为[)2,+∞. 故选：A.例7．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（ ）A ．设{}25A x x =≤≤，{}23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是[]1,2 B ．“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件C ．命题p ：x ∀∈R ，20x >，则p ⌝：x ∃∈R ，20x <D ．“5a ≤”是“函数()()e 23xf x a x -=--是R 上的单调增函数”的必要不充分条件【答案】BD【分析】分B =∅与B ≠∅两种情况讨论，求出参数a 的范围，即可判断A ，根据不等式的性质及充分条件的定义判断B ，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断C ，求出函数的导数，由()0f x '≥恒成立求出a 的取值范围，再根据集合的包含关系判断D 即可； 【详解】解：对于A ：当B =∅，即23a a >+，解得3a >时满足B A ⊆， 当B ≠∅，因为B A ⊆，所以352223a a a a +≤⎧⎪≥⎨⎪≤+⎩，解得12a ≤≤，综上可得[][)1,23,a ∈+∞，故A错误；对于B ：由1a >，1b >则1ab >，故“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件，即B 正确； 对于C ：命题p ：x ∀∈R ，20x >，则p ⌝：x ∃∈R ，20x ≤，故C 错误；对于D ：因为()()e 23xf x a x -=--，所以()()e 2x f x a =-'-，若()f x 在R 上单调递增， 则()()e 20xf x a -'=-≥恒成立，所以20a -≤，解得2a ≤，因为(],2-∞ (],5-∞， 所以“5a ≤”是“函数()()e 23xf x a x -=--是R 上的单调增函数”的必要不充分条件，故D正确； 故选：BD例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数m 的最小值是___________【分析】原问题等价于()2cos 206f x x x m π⎛⎫'=+--≤ ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数求最值即可.【详解】由()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，得()2cos 206f x x x m π⎛⎫'=+--≤ ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即2cos 26x x m π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，令()2cos 26g x x xπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()4sin 216g x x π⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， 当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2662x πππ≤+≤ ，则24sin 246x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以54sin 2+136x π-≤-≤-⎛⎫- ⎪⎝⎭，即()0g x '<，所以()g x 在0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是单调递减函数，max ()(0)g x g ≤=得m ≥m【题型】三、含参分类讨论求函数单调性区间 例9．（2023·全国·高三专题练习）已知()()ln 11axf x x x =+++，则下列说法正确的是（ ） A ．当0a >时，()f x 有极大值点和极小值点 B ．当a<0时，()f x 无极大值点和极小值点 C ．当0a >时，()f x 有最大值 D ．当a<0时，()f x 的最小值小于或等于0【答案】D【分析】讨论0a >、a<0，利用导数研究()f x 在定义域上的单调性，进而判断极值点及最值情况，即可确定答案. 【详解】由题设，2211()(1)1(1)a x a f x x x x ++'=+=+++且(1,)∈-+∞x ，当0a >时()0f x '>，则()f x 在(1,)-+∞上递增，无极值点和最大值，A 、C 错误； 当a<0时，若(1,1)x a ∈---则()0f x '<，()f x 递减；(1,)x a ∈--+∞则()0f x '>，()f x 递增；所以()(1)1ln()f x f a a a ≥--=++-，即()f x 无极大值点，有极小值点，B 错误； 令()1ln()g a a a =++-且(,0)a ∈-∞，则11()1a g a a a+'=+=， 当1a <-时()0g a '>，()g a 递增；当10a -<<时()0g a '<，()g a 递减； 所以()(1)0g a g ≤-=，即()f x 的最小值小于或等于0，D 正确； 故选：D例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln 1f x x x =--，若不等式()()21f x a x ≥-在区间(]0,1上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】2()(1)0f x a x --≥即为2ln 1(1)0x x a x ----≥，设2()ln 1(1)g x x x a x =----，(0,1]x ∈，求出函数()g x 的导函数，分解12a ≤和12a >讨论函数()g x 的单调性，求出函数()g x 在区间(]0,1上的最小值，即可得解.【详解】解：由已知可得2()(1)0f x a x --≥即为2ln 1(1)0x x a x ----≥，设2()ln 1(1)g x x x a x =----，(0,1]x ∈， 则(1)(12)()x ax g x x--'=，当0a ≤时，显然()0g x '≤，当102a <≤时，()0g x '≤在(0,1]x ∈上也成立， 所以12a ≤时，()g x 在(0,1]上单调递减，()(1)0g x g ≥=恒成立； 当12a >时，当102x a <<时，()0g x '<，当112x a<<时，()0g x '>， 所以()g x 在10,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 于是，存在01,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()(1)0g x g <=，不满足()0g x ≥，舍去此情况，综上所述，12a ≤. 故选：A.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知()()22e 2e e 2e a a b bm m a m m +--=+-，则（ ）A ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b >B ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b <C ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b >D ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b < 【答案】AC【分析】根据等号两边式子的结构特征构造函数()f x ,利用导数分类讨论函数()f x 的单调性进行求解.【详解】设()()2e 2e x xf x m m x =+--，因为()()22e 2e e 2e a a b bm m a m m +--=+-，所以()()f a f b b =+，当a ，(),0b ∈-∞时，()()0f a f b b -=<，即()()f a f b <.易知()()()e 12e 1x xf x m '=-+，当()1,0m ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-上单调递减， 所以a b >，故选项A 正确，选项B 错误.当a ，()0,b ∈+∞时，()()0f a f b b -=>，即()()f a f b >. 当()1,2m ∈时，令()0f x '=，解得ln x m =-，所以()f x 在(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增， 所以a b >，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：AC.【题型】四、根据极值点求参数例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数3()3f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(1,0)-【答案】B【分析】先利用导数求出函数的极小值点，然后使极小值点在(0,1)内，从而可求出b 的取值范围【详解】由题意，得2()33f x x b '=-，当0b ≤时，()0f x '>在(0,1)上恒成立，所以()f x 在(0,1)上递增，函数无极值， 所以0b >，令()0f x '=，则x ＝，∴函数在（）上()0f x '<，+∞）上()0f x '>，函数递增 ∴x =∴函数3()3f x x bx b =-+在区间（0，1）内有极小值，∴01， ∴b ∴（0，1） 故选：B ．例13．（2023·全国·高三专题练习）若3π-，3π分别是函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的零点和极值点，且在区间,155ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，则下列数值中，ω的可能取值是（ ） A ．814B ．994C ．1054D ．1174【答案】C【分析】由函数的零点和极值点的概念结合正弦函数图象的性质对各个选项进行判断即可. 【详解】设函数()y f x =的最小正周期为T ,由题意得1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩则3(21),4,24k k ωππϕ+⎧=⎪='⎪⎨⎪+⎪⎩其中121221,(,),k k k k k Z k k k =+⎧∈⎨=-⎩'在区间,155ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上， 函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =， 所以22,51515T πππ-=≤解得030,ω<≤即3(21)30,4k +≤解得19.5.k ≤ 对于D.若1174ω=，则19.k =由11139(),34k k k Z ππϕπωπ=+=+∈且0ϕπ<<可知3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立， 当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1173(2.7,6.6),44x πππ+∈当011739442x ππ+=或132π时，()01f x =都成立，故不符合； 对于C. 若1054ω=，则17k =，1135,34k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知 3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1053(2.5,6)44x πππ+∈，当010539442x ππ+=时，存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，故符合条件； 对于B. 若949ω=，则16,k =由1133,34k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知,4πϕ= 可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时99(1.9,5.2)44x πππ+∈， 当0995442x ππ+=或92π时，()01f x =都成立，故不符合； 对于A. 若148ω=，则13,k =由 112734k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，813(2,1,4.8)44x πππ+∈， 当08135442x ππ+=或92π时，()01f x =都成立，故不符合； 故选：C【题型】五、有导数求函数的最值（含参）例14．（2023·全国·高三专题练习）设直线x t =与函数()22f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12CD 【答案】B【分析】由题意，函数()()22ln y f x g x x x =-=-的最小值即|MN |达到最小值时，再求导分析()()22ln y f x g x x x =-=-的极小值点即可【详解】设函数()()22ln y f x g x x x =-=-，求导数得()()212114x x y x x x+-'=-= 因为0x >，故当102x <<时，0'<y ，函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调减函数， 当12x >时，0'>y ，函数在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为单调增函数 所以x 12=为()()22ln y f x g x x x =-=-的极小值点.故当|MN |达到最小时t 的值为12． 故选：B ．例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC △，ECA △，FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm )的最大值为______.【答案】3【分析】连接OD ，交BC 于点G ，设OG x =，则BC =，5DG x =-， 进而算出三棱锥的高和体积，构造函数，令45()2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，求导，根据导函数的正负判断单调性进而求出最大值．【详解】由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD BC ⊥，OG =，即OG 的长度与BC 的长度成正比，设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h 221)2ABCS==，则213ABC V Sh =⨯=45()2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，34()10050f x x x '=-，令()0f x '≥，即4320x x -≤，解得2x ≤，则()(2)80f x f ≤=，∴3V ，∴体积最大值为3．故答案为：3【点睛】思路点睛：本题将三棱锥体积的计算转化为利用导数研究函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，本题的解题关键是掌握根据导数求单调性的方法，属于中档题.例16．（2023·河北·高三阶段练习）R,2e 12x x x a ∀∈-≥+，则a 的最大值为_____________．【答案】1【分析】R,2e 12x x x a ∀∈-≥+，即R,2e 12x x x a ∀∈--≥，令()2e 12xf x x =--，分1ln2x >和1ln2x ≤两种情况讨论，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案. 【详解】解：R,2e 12xx x a ∀∈-≥+， 即R,2e 12xx x a ∀∈--≥， 令()2e 12xf x x =--，当2e 10x ->，即1ln 2x >时，()2e 12xf x x =--，则()2e 2xf x '=-，当1ln02x <<时，()0f x '<，当0x >时，0f x ，所以函数()f x 在1ln ,02⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()0,∞+上递增，所以当1ln 2x >时，()()min 01f x f ==，当2e 10x -≤，即1ln2x ≤时，()12e 2xf x x =--， 因为函数2e ,2x y y x ==为增函数，所以函数()12e 2xf x x =--在1,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，所以当1ln2x ≤时，()min 1ln ln 412f x f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭， 综上所述，()()min 01f x f ==， 所以1a ≤， 即a 的最大值为1. 故答案为：1.【题型】六、已知函数最值求参数例17．（2023·广西·模拟预测（文））已知函数()ln f x x ax =+存在最大值0，则a 的值为（ ） A ．2- B ．1e-C ．1D ．e【答案】B【分析】讨论a 与0的大小关系确定()f x 的单调性，求出()f x 的最大值. 【详解】因为()1f x a x'=+，0x >， 所以当0a ≥时，0fx恒成立，故函数()f x 单调递增，不存在最大值；当a<0时，令()0f x '=，得出1x a=-，所以当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0fx ，函数单调递增，当1,x a ∈-+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，所以() max11ln 10f x f a a ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：=a 1e -. 故选：B.例18．（2023·全国·高三专题练习）若函数()22e xx x af x +-=在区间(,1)a a +上存在最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞-B ．()2,1--C ．⎛-∞ ⎝⎭D ．1⎫-⎪⎪⎝⎭【答案】D【分析】求得()22exx a f x -++'=，根据()f x 在区间(,1)a a +上存在最小值，得到()00f x '=且()0f a '<，()10f a '+>，设()22g x x a =-++，根据()0g a <且()10g a +>，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()22e xx x af x +-=，可得()22e x x a f x -++'=，且()f x 在区间(,1)a a +上存在最小值， 即()f x '在区间(,1)a a +上存在0(,1)x a a ∈+， 使得()00f x '=且()0f a '<，()10f a '+>，设()22g x x a =-++，即满足()0g a <，且()10g a +>，可得()()2220110g a a a g a a a ⎧=-++<⎪⎨+=--+>⎪⎩1a <<-，即实数a 的取值范围是1⎫-⎪⎪⎝⎭.故选：D.例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()e xx x f x +-=，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 只有一个零点B ．函数()f x 只有极大值而无极小值C ．当e 0k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若当[,)x t ∈+∞时，max 25()e f x =，则t 的最大值为2 【答案】CD【分析】解方程()0f x =判断A ；利用导数探讨()f x 的极值判断B ；分析函数()f x 的性质，借助图象判断C ；由25(2)e f =结合取最大值的x 值区间判断D 作答.【详解】对于A ，由()0f x =得：210x x +-=，解得x =A 不正确；对于B ，对()f x 求导得：22(1)(2)()e ex xx x x x f x '--+-=-=-，当1x <-或2x >时，()0f x '<，当12x -<<时，()0f x '>，即函数()f x 在(,1)-∞-，(2,)+∞上单调递减，在(1,2)-上单调递增，因此，函数()f x 在=1x -处取得极小值(1)e f -=-，在2x =处取得极大值25(2)e f =，B 不正确；对于C ，由选项B 知，作出曲线()y f x =及直线y k =，如图，观察图象得当e 0k -<<时，直线y k =与曲线()y f x =有2个交点，所以当e 0k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，C 正确； 对于D ，因25(2)e f =，而函数()f x 在(2,)+∞上单调递减，因此当[,)x t ∈+∞时，max25()e f x =， 当且仅当2[,)t ∈+∞，即2t ≤，所以t 的最大值为2，D 正确. 故选：CD【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f (x )=0的解；(2)图象法：作出函数f (x )的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.【题型】七、参变分离法解决导数问题例20．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）若关于x 的不等式(41ln )ln 3k x x x x --<-+对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1【答案】C【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得. 【详解】(41ln )ln 3k x x x x --<-+对于任意(1,)x ∈+∞恒成立 等价于ln 34ln x k x x x<++对于任意(1,)x ∈+∞恒成立 令ln 3()ln x f x x x x =++，则2221ln 13ln 2()x x x f x x x x x ---'=+-= 令()ln 2g x x x =--，则11()10x g x x x-'=-=> 所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(3)1ln30,(4)2ln 40g g =-<=->所以()g x 在()3,4有且仅有一个根0x ，满足00ln 20x x --=，即00ln 2x x =- 当0(1,)x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，函数()f x 单调递减， 0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以0min 000000231()()21x f x f x x x x x x -==+-+=+- 由对勾函数可知001113114134x x +-<+-<+-，即0713()34f x << 因为04()k f x <，即0()4f x k <，0()71312416f x <<，Z k ∈ 所以0k ≤. 故选：C例21．（2023·全国·高三专题练习）已知1a >，1x ，2x ，3x 均为2x a x =的解，且123x x x <<，则下列说法正确的是（ ） A ．1(2,1)x ∈-- B ．2e (1,e )a ∈ C ．120x x +< D ．232e x x +<【答案】B【分析】A 选项：根据“三个等价”，将方程根的问题转化成构造出的函数零点的问题，利用零点存在性定理确定出1x 的取值情况；B ，C ，D 选项：对方程变形，参变分离构造函数，从函数的角度以及利用极值点偏移可以得出相应结论，详细过程见解析.【详解】对于A ，令2()x f x a x =-，因为1a >，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，与x 轴有唯一交点，由零点存在性定理，得1(1)10f a --=-<，0(0)00f a =->，则1(1,0)x ∈-，故A 错误. 对于B ，C ，D ，当0x >时，两边同时取对数，并分离参数得到ln ln 2a xx=， 令ln ()x g x x =，()21ln xg x x -'∴=， 当()0,e x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 如图所示，∴当0x >时，ln 2ay =与ln ()x g x x =的图象有两个交点，ln 1(0,)2ea ∈，解得2e (1,e )a ∈，故B 正确； ∴2(1,e)x ∈，由A 选项知1(1,0)x ∈-，120x x ∴+>，故C 错误；由极值点偏移知识，此时函数()g x 的极值点左移，则有23e 2x x +>，故D 错误. 故选：B.例22．（2023·上海·高三专题练习）在空间直角坐标系O xyz -中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程2221x y z ++=表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点(,,)P x y z 是二次曲面22420x xy y z -+-=上的任意一点，且0x >，0y >，0z >，则当zxy取得最小值时，不等式ln e 3022xa yx za +-≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[e,)-+∞【分析】先通过zxy取得最小值这个条件找出当,,x y z 的关系，带入后一个不等式，利用对数恒等式变型，此后分离参数求最值即可.【详解】根据题意22420x xy y z -+-=，带入z xy 可得：2224212222z z x xy y x y xy xy xy y x -+===+-，而0x >，0y >，利用基本不等式222x y y x +≥=，当22x y y x =，即2y x =取得等号，此时22224246z x x x x x =-⋅+=，即23z x =，综上可知，当z xy 取得最小值时，223y x z x =⎧⎨=⎩，带入第二个式子可得，2e ln 02x a x ax x +-≥，即e ln 0x ax a x x +-≥，于是ln e ln (ln )0xx x ax a x e a x x x-+-=+-≥，设()ln u u x x x ==-，11()1x u x x x -'=-=，故当1x >时，()u x 递增，01x <<时，()u x 递减，min ()(1)1u x u ==；于是原不等式转化为1u ≥时，0u e au +≥恒成立，即ue a u -≤在1u ≥时恒成立，设()u e h u u=(1)u ≥，于是2(1)()0u e u h u u -'=≥，故()h u 在1u ≥时单调递增，min ()(1)h u h e ==，故a e -≤，a e ≥-即可. 故答案为：[e,)-+∞【点睛】本题e ln 0xax a x x+-≥恒成立的处理用到了对数恒等式，若直接分离参数求最值，会造成很大的计算量.【题型】八、构造函数并利用函数的单调性判定函数值大小例23．（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∴R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∴（﹣1，0） B ．（0，1）∴（1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1）∴（0，1） D ．（﹣1，0）∴（1，+∞）【答案】D【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f xg x x=的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'=∴当x ＞0时，有()()0xf x f x '->， ∴当x ＞0时，()0g x '>， ∴函数()()f xg x x=在（0，+∞）上为增函数， ∴函数f （x ）是奇函数， ∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数， g （x ）在（﹣∞，0）上递减， 由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0， ∴不等式f （x ）＞0∴x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∴（1，+∞）， 故选：D ．例24．（2023·全国·模拟预测）以下数量关系比较的命题中，正确的是（ ）A ．2e e 2> B ．2ln 23>C ．ln π1πe< D ．ln 2ln π2π> 【答案】ABC【分析】令()()eln 0f x x x x =->，利用导数研究函数的单调性，进而可判断A ；根据指数函数与对数函数的单调性可判断B ；令()()ln 0xg x x x=>，利用导数研究函数的单调性，进而可判断CD ；【详解】对于A ：设()()eln 0f x x x x =->，则()()e e 10xf x x x x-'=-=>， 当0e x <<时，0fx，函数单调递增；当e x >时，()0f x '<，函数单调递减；所以()()e elne e 0f x f <=-=，所以()()2eln 22e 0f f =-<=，即2>eln 2， 所以 2e e 2>，故A 正确；对于B ：因为28e >，所以2ln8ln e >，所以3ln 22>，即2ln 23>，故B 正确； 对于CD ：设()()ln 0xg x x x =>，()21ln x g x x-'=， 当0e x <<时，()0g x '>，函数单调递增；当e x >时，()0g x '<，函数单调递减； 所以()()e πg g >，即ln π1πe<，故C 正确； 又()()()e π4g g g >>，所以ln πln 4ln 2π42>=，故D 错误； 故选：ABC【题型】九、构造函数法解决导数问题例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞，【答案】D【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解. 【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ，由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ， ∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．例26．（2023·全国·高三专题练习）已知e ,3,e a b c πππ===，则它们的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．c a b >>【答案】C【分析】由y x π=在区间(0,)+∞上为单调递增函数，可得到b c >，设()eln f x x x =-，利用导数求得函数()f x 单调递增，可得eln 0ππ->，进而得到c a >，即可求解. 【详解】由函数y x π=在区间(0,)+∞上为单调递增函数， 因为3e >，所以3e ππ>，即b c >， 设()eln f x x x =-，可得()e 1f x x'=-， 令()e10f x x'=-=，解得x e =， 当e x >时，0fx，()f x 单调递增，可得()()e 0f f π>=，即eln 0ππ->，即eln ππ>， 两边取e 的指数，可得e e ππ>，即c a >， 所以b c a >>. 故选：C.例27．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()3R f x f x x '>∈，1e 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式()3ln f x x <的解集为（ ）A ．e 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1e ,e 3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(D ．e 3⎛ ⎝【答案】C【分析】构造函数()()3exf xg x =，由已知可得函数()g x 在R 上为增函数，不等式()3ln f x x <即为()1ln 3g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，根据函数的单调性即可得解.【详解】解：令()()3e x f x g x =，则()()()33e xf x f xg x '-'=， 因为()()()3R f x f x x '>∈，所以()()()330e xf x f xg x '-'=>，所以函数()g x 在R 上为增函数， 不等式()3ln f x x <即不等式()3ln <1>0f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，又()()()3ln 3ln ln ln e x f x f x g x x ==，11313e f g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭，所以不等式()3ln f x x <即为()1ln 3g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln 3x <，解得0x <<所以不等式()3ln f x x <的解集为(.故选：C.例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()()e 1,1ln xf x xg x x x =+=+，若()()120f x g x =>，则21x x 可取（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．2e【答案】CD【分析】由()()()ln 1ln ln e 1xg x x x x =+=+，利用同构结合()f x 在(0,)+∞上单调递增，即可得到12ln x x =，则()12111e ,0x x x x x =>，记e(),(0)xh x x x=>，求出()h x '即可判断()h x 在(0,)+∞上的单调性，即可得出21e x x ≥，由此即可选出答案. 【详解】因为()()120f xg x =>，所以120,1x x >>，因为()e ()0e e 111x x xx x x f =+'+++>=恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，又()()()ln 1ln ln e 1xg x x x x =+=+，因为()()12f x g x =，即()()12ln 12e 1ln e 1x xx x +=+，所以1122ln e xx x x =⇒=，所以()12111e ,0x x x x x =>，记e (),(0)xh x x x=>， 所以2(1)()x e x h x x '-= 当01x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()(1)e h x h ≥=，即21e x x ≥ 故选：CD.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于难题，其中将()()()ln 1ln ln e 1x g x x x x =+=+变形为()()e 1x f x x =+的结构，是解本题的关键.。
第01讲 导数的计算与几何意义(解析版)
第1讲 导数的计算与几何意义1．若直线y kx b =+是曲线2y lnx =+的切线，也是曲线(1)y ln x =+的切线，则(b = ) A ．1B ．12C ．12ln -D ．122ln -【解析】解：设y kx b =+与2y lnx =+和(1)y ln x =+的切点分别为1(x ，1)kx b +、2(x ，2)kx b +； 由导数的几何意义可得12111k x x ==+，得121x x =+， 再由切点也在各自的曲线上，可得11222(1)kx b lnx kx b ln x +=+⎧⎨+=+⎩，联立上述式子解得2k =，112x =，212x =-．代入112kx b lnx +=+，解得12b ln =-． 故选：C ．2．已知函数31()34f x x ax =-+，若x 轴为曲线()y f x =的切线，则a 的值为( ) A ．12B ．12-C ．34-D ．14【解析】解：设切点为(,0)m ，则31304m am -+=，① 31()34f x x ax =-+的导数为2()33f x x a '=-， 由题意可得2330m a -=，② 由①②解得12m =，14a =．故选：D ．3．过函数321()3f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A ．3[0,]4πB ．3[0,)[,)24πππC ．3[,)4ππ D ．3(,]24ππ【解析】解：由函数321()3f x x x =-，得2()2f x x x '=-，设函数321()3f x x x =-图象上任一点0(P x ，0)y ，且过该点的切线的倾斜角为(0)ααπ<，则22()2(1)11f x x x x '=-=---，tan 1α∴-，02πα∴<或34παπ<．∴过函数321()3f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，3)[24ππ，)π． 故选：B ．4．若函数2()1f x x =-与函数()1g x alnx =-的图象存在公切线，则正实数a 的取值范围是( ) A ．(0,)eB ．(0，]eC ．(0,2)eD ．(0，2]e【解析】解：()2f x x '=，()a g x x'=， 设与曲线2()1f x x =-相切的切点为(,)m n ， 与()1g x alnx =-相切的切点为(s ，)(0)t s >， 则有公共切线斜率为2a n tm s m s-==-， 又1t alns =-，21n m =-，可得2222n t m alns m ms -=-=-，2a m s=， 即有22m ms alns =-，即224a a alns s=-，可得2244a s s lns =-，0s >， 设22()44h s s s lns =-，0s >，()84(2)484(12)h s s slns s s slns s lns '=-+=-=-，可得0s <<()0h s '>，()h s 递增，当s >时，()0h s '<，()h s 递减，可得s =处()h s 取得极大值，且为最大值2e ， 则02a e <， 故选：D ．5．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()y ln x b =+相切，则22a b-的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．[1，)+∞【解析】解：函数()y ln x b =+的导数为11y x b'==+，1x b =-，切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，(0,1)a ∴∈，则2221a a b a=-+，令g （a ）21a a=+，则g '（a ）2(2)0(1)a a a +=>+，则函数g （a ）为增函数，∴21(0,)22a b ∈-． 故选：C ． 6．若曲线212y x e=与曲线y alnx =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则实数(a = ) A ．2-B ．12C ．1D ．2【解析】解：曲线212y x e =的导数为：x y e '=，在(,)P s t 处的斜率为：s k e=． 曲线y alnx =的导数为：ay x'=，在(,)P s t 处的斜率为：a k s =．曲线212y x e=与曲线y alnx =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，可得s a e s =，并且212t s e =，t alns =，即212s a e s s alnse⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12lns =，解得2s e =．可得1a =． 故选：C ．7．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，2()()01f x xf x x +'>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则f （1）(= )A ．0B ．1C ．38D ．15【解析】解：当0x >且1x ≠时，2()()01f x xf x x +'>-，可得：1x >时，2()()0f x xf x +'>；10x >>时，2()()0f x xf x +'<． 令2()()g x x f x =，(0,)x ∈+∞．2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x ∴'=+'=+'．可得：1x >时，()0g x '>；10x >>时，()0g x '<． 可得：函数()g x 在1x =处取得极值，g ∴'（1）2f =（1）f +'（1）0=，f '（1）34=-，f ∴（1）133()248=-⨯-=，故选：C ．8．设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则20181201822018320182017log log log log x x x x +++⋯+的值为 1- ．【解析】解：求导函数，可得()(1)n f x n x '=+ 设过(1,1)的切线斜率k ，则k f ='（1）1n =+， ∴切线方程为1(1)(1)y n x -=+-．令0y =，可得1n nx n =+． 12201812201712320182018x x x ∴⋯=⋯=． 20181201822018320182017201812201820181log log log log log ()log 12018x x x x x x x ∴+++⋯+=⋯==-． 故答案为：1-．9．设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令2nn x a n =，则122015a a a ++⋯+的值为20152016． 【解析】解：函数的导数()(1)n f x n x '=+， 则函数在(1,1)处的切线斜率k f ='（1）1n =+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-， 不妨设0y =，1n nx n =+， 则221111(1)1n n n x n a n n n n n n +====-++， 则1220151111112015112232015201620162016a a a ++⋯+=-+-+⋯+-=-=， 故答案为：20152016． 10．设函数23()()xx axf x a R e+=∈．若()f x 在0x =处取得极值，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为 3y x e= ．【解析】解：函数23()()x x ax f x a R e +=∈的导数为23(6)()xx a x af x e -+-+'=， 由条件知(0)0f '=得0a =，则2233633(),(),(1),(1)x x x x x f x f x f f e e e e-+''====， 则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为33(1)y x e e -=-，即3y x e=．故答案为：3y x e=．11．函数2()cos f x x =在点1(,)42π处的切线方程为 1024x y π+--= ．【解析】解：函数2()cos f x x =的导数为()2sin cos f x x x '=-，可得在点1(,)42π处的切线斜率为2sin cos 144ππ-=-，即有在点1(,)42π处的切线方程为1()24y x π-=--，即为1024x y π+--=． 故答案为：1024x y π+--=． 12．若一直线与曲线y lnx =和曲线2(0)x ay a =>相切于同一点P ，则a 的值为 2e ． 【解析】解：曲线y lnx =的导数为：1y x'=， 曲线2(0)x ay a =>即21(0)y x a a =>的导数为：2y x a '=，由12x x a=，0x >得：x =即切点坐标应为：，1)2，代入y lnx =得：12= 解得：2a e =， 故答案为：2e。
导数的几何意义解析与归纳
导数的几何意义解析与归纳导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在几何学中也有着重要的几何意义。
本文将对导数的几何意义进行解析与归纳，以帮助读者更好地理解这一概念。
1. 导数的定义与几何意义首先，我们来回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下极限来定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h直观上，这个定义可以理解为函数f(x)在点x处的切线的斜率。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化趋势。
2. 导数与函数的递增与递减性根据导数的定义，我们可以得出以下结论：如果函数f(x)在某个区间内的导数大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数小于零，那么函数是递减的。
这是因为导数描述了函数的变化率，正值表示函数在该点上升，负值表示函数在该点下降。
3. 导数与函数的极值点导数还可以帮助我们找到函数的极值点。
如果函数f(x)在某一点x处的导数为零，那么这个点可能是一个极值点。
具体而言，如果导数由正变负，那么这个点是极大值点；如果导数由负变正，那么这个点是极小值点。
这是因为导数为零表示函数的变化率为零，也就是函数在该点存在水平切线，可能对应着极值点。
4. 导数与函数的拐点除了极值点，导数还能帮助我们找到函数的拐点。
拐点是函数曲线由凸变凹或由凹变凸的点。
我们可以通过导数的变化来判断函数的拐点。
如果函数f(x)在某一点x处的导数由正变负或由负变正，那么这个点可能是一个拐点。
5. 导数与函数的图像在坐标平面上，函数的导数可以帮助我们画出函数的图像。
我们可以通过导数的正负性来确定函数曲线的大致形状。
例如，如果导数在某一区间内始终为正，则函数在该区间上是递增的，曲线会向上凸起；如果导数在某一区间内始终为负，则函数在该区间上是递减的，曲线会向下凸起。
同样地，我们还可以根据导数为零或无定义的点来确定函数图像的特殊点，如极值点、拐点等。
专题05 利用导数研究函数零点问题 (解析版)
导数及其应用专题五：利用导数研究函数零点问题一、知识储备1、利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 2、利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数(()a g x =)后，将原问题转化为()y g x =的值域(最值)问题或转化为直线y a =与()y g x =的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 二、例题讲解1．（2022·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知函数()e e x x f x x =+. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）讨论函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点的个数.【答案】（1）单调递减区间是(,2)-∞-，单调递增区间是(2,)-+∞，极小值为21e -，无极大值；（2）详见解析. 【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间，进而求得极值.（2）由（1）画出()f x 大致图象，由此对a 进行分类讨论，求得()g x 的零点个数. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，且()(2)e x f x x '=+， 令()0f x '=得2x =-，则()'f x ，()f x 的变化情况如下表示：(2,)-+∞.当2x =-，()f x 有极小值为21(2)e f -=-，无极大值. （2）令()0f x =有1x =-：当1x <-时，()0f x <；当1x >-时，()0f x >，且()f x 经过212,e A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)B -，(0,1)C .当x →-∞，与一次函数相比，指数函数e x y -=增长更快，从而1()0e xx f x -+=→；当x →+∞时，()f x →+∞，()f x '→+∞，根据以上信息，画出大致图象如下图所示.函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点的个数为()y f x =与y a =的交点个数. 当2x =-时，()f x 有极小值21(2)e f -=-. ∴关于函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点个数有如下结论： 当21e a <-时，零点的个数为0个； 当21e a =-或0a ≥，零点的个数为1个； 当210ea -<<时，零点的个数为2个. 【点睛】求解含参数零点问题，可利用分离常数法，结合函数图象进行求解.感悟升华（核心秘籍）本题讨论()()()g x f x a a =-∈R 零点的个数，将问题分解为()y f x =与y a =交点的个数，注意在利用导函数求()f x 单调性，极值后，画出草图，容易出错，本题利用极限x →-∞时，()0f x →，从而将草图画的更准确；三、实战练习1．（2022·河南高三开学考试（文））若函数()34f x ax bx =+－，当2x =时，函数()f x 有极值43-．（1）求函数的递减区间；（2）若关于x 的方程()0f x k -=有一个零点，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）递减区间为()2,2-；（2）428,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）对函数进行求导，利用()()2120,42824,3f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩，解方程即可得1,34.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，对函数求导，根据导数的性质列表，即可得答案；（2）作出函数的图象，直线与函数图象需有1个交点，即可得答案； 【详解】（1）()23f x ax b '=-，由题意知()()2120,42824,3f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩解得1,34.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故所求的解析式为()31443f x x x =-+，可得()()()2422f x x x x '=-=-+，令()0f x '=，得2x =或2x =-，由此可得所以函数的递减区间为2,2-.(2)由(1)知，得到当2x <-或2x >时， ()f x 为增函数; 当22x -<<时， ()f x 为减函数，∴函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当43k <-或283k >时， ()f x 与y k =有一个交点，所以实数k 的取值范围为428,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点睛：根据函数的单调性做出该函数的大致图像，进而利用数形结合求解，考查利用导数研究函数的极值、单调性、零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2．（2022·陕西西安中学高三月考（理））已知函数()()1xf x e ax a R =--∈.（1）试讨论函数()f x 的零点个数；（2）若函数()()ln 1ln xg x e x =--，且()()f g x f x <⎡⎤⎣⎦在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a 或1a =时，函数()f x 只有一个零点；当()()0,11,a ∈+∞时，函数()f x 有两个零点．（2）(],1-∞【分析】（1）通过求解函数的单调性，然后根据零点存在定理，通过讨论求解得出函数零点的个数；（2）根据（1）中结论，得到函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，将不等式转换为自变量的比较，最后得出结论． 【详解】解：（1）根据题意，可得()x f x e a '=-，则有：①若0a ，则()0x f x e a '=->，此时可得函数()f x 在R 上单调递增， 又因为(0)0f =，所以函数只有一个零点； ②若0a >，令()0f x '=，则有ln x a =，所以()0ln f x x a '>⇒>，此时函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增；()0ln f x x a '<⇒<，此时函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减；即()(ln )1ln min f x f a a a a ==--，则有：()i 当ln 01a a =⇒=时，则()0f x ，此时函数()f x 只有一个零点；()ii 当ln 0a ≠时，即1a ≠时，则(ln )(0)0f a f <=，又因为x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 根据零点存在定理可得，此时函数()f x 在R 上有两个零点． 综上可得，当0a 或1a =时，函数()f x 只有一个零点；当()()0,11,a ∈+∞时，函数()f x 有两个零点．（2）下面证明：0x ∀>，有()0g x x <<，先证：0x ∀>，有()0g x >，由（1）可知当1a =时，()()00min f x f ==，即当0x >时，1x e x ->，故0x ∀>，()()()1ln 1ln ln ln10x xe g x e x g x x ⎛⎫-=--==>= ⎪⎝⎭，再证0x ∀>，()g x x <；要证0x ∀>，()g x x <，只需证明0x ∀>，1x xe e x-<，即证0x ∀>，1x x e xe -<，即证0x ∀>，10x x xe e -+> 令()1(0)x x H x xe e x =-+>()0x H x xe '=>在(0,)+∞上恒成立，即得函数()H x 在(0,)+∞上单调递增，故有()(0)0H x H >=，即0x ∀>，10x x xe e -+>恒成立，即0x ∀>，有()0g x x <<，当1a ≤时，由（1）得，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则由上结论可知，[()]()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立，符合题意；当1a >时，由（1）得，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增， 此时当0ln x a <<时，0()ln [()]()g x x a f g x f x <<<⇔>，不合题意， 综上可得，1a ，即(],1a ∈-∞． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．3．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）()0,1. 【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）把()f x 有两个零点，转化为2ln x xa x +=有两个解，令()2ln x x h x x+=，二次求导后得到函数()h x 的单调性和极值，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-． 所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）若()f x 有两个零点，即2ln 0ax x x --=有两个解，2ln x x a x +=．设()2ln x x h x x +=，()312ln x h x xx '-=-， 设()12ln F x x x =--，因为函数()F x 在()0,∞+上单调递减，且()10F =， 所以当01x <<时，()0F x >，()0h x '>，当1x >时，()0F x <，()0h x '<． 以函数()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 且 x →+∞时，()0h x →，()11h =， 所以01a <<．即实数a 的取值范围为()0,1.4．（2022·沙坪坝·重庆南开中学）已知函数()e 1xf x x a -=++（R a ∈）．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增；（2）()20,e -.【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的符号，进而得到函数的单调区间；（2）由（1）可以判断0a >，根据（1）可知()()min ln 0f x f a =<，进而根据零点存在定理结合放缩法得到答案. 【详解】（1）()f x 的定义域为R ，()1e xf x a -'=-，①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增； ②当0a >时，令()0f x '=得ln x a =， 当ln x a <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.（2）由（1）可知，0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，函数至多有一个零点，不合题意.0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，因为函数有2个零点，所以()()2min ln ln 200e f x f a a a -==+<⇒<<，且()11e 02f a -+>=.记()()e 0x g x x x =-<，则()e 1xg x '=-，所以(),0x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()010g x g >=>，则e xx >，于是2e2x x ->-，则x <0时，2e 4xx ->. 所以当x <0时，()214ax f x x >++，限定1x <-，则()()212844ax f x x x ax >+=+， 所以当1x <-且8x a<-时，()0f x >.于是，若函数有2个零点，则()20,e a -∈.【点睛】在“()()2min ln ln 200e f x f a a a -==+<⇒<<，且()11e 02f a -+>=”这一步之后，另一个特值不太好找，这时候需要利用e xx >得到2e2x x->-，进而根据放缩法得到结论. 5．（2022·赣州市第十四中学高三月考（文））已知函数()e 2xf x x =+. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()()()g x f x ax a =-∈R ，在定义域内恰有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在(),2-∞-和()2,1--上为减函数，在()1,-+∞上为增函数；（2）⎛⎫+∞⎪⎪⎭. 【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）分析可知，直线y a =与函数()22xeh x x x=+（0x ≠且2x ≠-）的图象有三个交点，利用导数分析函数()22xe h x x x=+的单调性与极值，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）因为()e 2xf x x =+的定义域为{}2x x ≠-，且()()()212x e x f x x +'=+，则当2x <-时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当21x -<<-时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当1x >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，综上可得：()f x 在(),2-∞-和()2,1--上为减函数，在()1,-+∞上为增函数； （2）令函数()()0g x f x ax =-=，因为0x =不是方程的解，所以可得22xe a x x=+，构造函数()22xeh x x x =+（0x ≠且2x ≠-），则()()()22222x e x h x x x -'=+，由()0h x '=可得x =作出函数()h x 的图象如下图所示：由图可知，当a >时，函数y a =与函数()y h x =的图象有三个不同的交点，因此实数a 的取值范围是⎛⎫+∞⎪⎪⎭.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.6．（2022·天津静海一中高三月考）已知函数32()3f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行． （1）求a 的值和函数()f x 的单调区间； （2）若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点，求b 的取值范围． 【答案】（1）-9，单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调减区间为(1,3)-；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）根据(1)0f '-=即可求得a 的值，利用导函数求解单调区间；（2）令23239()()1536322g x f x x x x x x b ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭，转化为()g x 有三个不同的零点.【详解】（1）由已知得2()36f x x x a '=-+， ∵在1x =-处的切线与x 轴平行 ∴(1)0f '-=，解得9a =-．这时2()3693(1)(3)f x x x x x ==+'--- 由()0f x '>，解得3x >或1x <-； 由()0f x '<，解13x ．∴()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调减区间为(1,3)-． （2）令23239()()1536322g x f x x x x x x b ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭，则原题意等价于()g x 图象与x 轴有三个交点． ∵2()3963(1)(2)g x x x x x '=-+=--， ∴由()0g x '>，解得2x >或1x <； 由()0g x '<，解得12x <<．∴()g x 在1x =时取得极大值1(1)2g b =-；()g x 在2x =时取得极小值(2)1g b =-．依题意得10210b b ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解得112b <<．故b 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．7．（2022·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）已知函数()()2ln =+-∈f x ax x x a R ．（1）当1a =时，求()f x 在区间1[,1]3上的最值；（2）若()()g x f x x =-在定义域内有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）3()=ln 24min f x +，()2max f x =；（2）10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）当1a =时，求出导函数，求出函数得单调区间，即可求出()f x 在区间1[,1]3上的最值；（2）由()()0g x f x x =-=，分离参数得2ln ()x a h x x ==，根据函数2ln ()xh x x =得单调性作图，结合图像即可得出答案. 【详解】解：（1）当1a =时，()2ln f x x x x =+-，(21)(1)()x x f x x-+'=，∴()f x 在11[,)32单调递减，在1(,1]2单调递增，11114ln ln 339339f ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，()414112ln 993f e f ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，∴13()()ln 224min f x f ==+，()(1)2max f x f ==.（2）()()0g x f x x =-=2ln ()x a h x x ⇔==，则312ln ()xh x x -'=，∴()h x在单调递增，在)+∞单调递减，12h e=，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()0h x →， 作出函数2ln ()x h x x =和y a=得图像， ∴由图象可得，1(0,)2a e∈.8．（2022·全国高三专题练习）已知函数()ln f x a x bx =+的图象在点(1,3)-处的切线方程为21y x =--. （1）若对任意1[,)3x ∈+∞有()f x m 恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点，求实数k 的范围. 【答案】（1）[ln31--，)+∞；（2）3(ln2,0)4-.【分析】（1）()af x b x'=+，(0)x >，根据函数()f x 的图象在点(1,3)-处的切线的方程为21y x =--．可得f '（1）2=-，f （1）3=-，解得a ，b ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出实数m 的取值范围． （2）由（1）可得：2()ln 32g x x x x k =-+++，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数k 的取值范围．【详解】解：（1）()a f x b x'=+，(0)x >.函数()f x 的图象在点(1,3)-处的切线的方程为21y x =--. f '∴（1）2=-，f （1）3=-，∴23a b b +=-⎧⎨=-⎩，解得3b =-，1a =.()ln 3f x x x ∴=-.13()13()3x f x x x --=-='，1[,)3x ∈+∞，()0f x '∴.∴当13x =时，函数()f x 取得最大值，1()ln313f =--.对任意1[,)3x ∈+∞有()f x m 恒成立，所以()max m f x ，1[,)3x ∈+∞.ln31m ∴--.∴实数m 的取值范围是[ln31--，)+∞.（2）由（1）可得：2()ln 32g x x x x k =-+++，∴1(21)(1)()23x x g x x x x--'=+-=， 令()0g x '=，解得12x =，1. 列表如下：由表格可知：当1x =时，函数()f x 取得极小值g （1）k =；当2x =时，函数()g x 取得极大值13()ln224g k =-++.要满足函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点， 3ln2040k k ⎧-++>⎪⎨⎪<⎩， 解得3ln204k -<<， 则实数k 的取值范围3(ln2,0)4-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力于计算能力，属于难题．9．（2022·全国高三开学考试）已知函数()()()21102f x x a x x =-+>. （1）若()()ln g x f x a x =+，讨论函数()g x 的单调性；（2）已知()()()2ln 222m x f x x x a x a =-++-+，若()m x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）求出导函数，对a 进行分类讨论：①0a ≤；②01a <<；③a =1；④a >1，利用导数研究单调性. （2）把()m x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点转化为关于x 方程2ln 2=2x x x a x -++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令()2ln 21=,,22x x x h x x x -+⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭利用导数判断单调性，求出值域，即可求出a 的范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,+∞)，()()()()11x x a a f x x a x x--'=-++=. ①当0a ≤时，令()0f x '<，得到01x <<；令()0f x '>，得到1x >，此时()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；②当01a <<时，令()0f x '<，得到1<<a x ；令()0f x '>，得到0x a <<或1x >，此时()f x 在(a ,1)上为减函数，在(0,a )和()1,+∞上为增函数；③当a =1时,显然()0f x '≥恒成立，此时()f x 在0,+∞)上为增函数；④当a >1时,令()0f x '<，得到1x a <<；令()0f x '>，得到01x <<或x a >.此时()f x 在(1,a )上为减函数,在(0,1)和(a ,+∞)上为增函数.综上：①当0a ≤时， ()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数； ②当01a <<时， ()f x 在(a ,1)上为减函数，在(0,a )和()1,+∞上为增函数； ③当a =1时，()f x 在0,+∞)上为增函数；④当a >1时，()f x 在(1,a )上为减函数,在(0,1)和(a ,+∞)上为增函数.（2）()()()22ln 222ln 22m x f x x x a x a x ax x x a =-++-+=---+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点，即关于x 方程2ln 2=2x x x a x -++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令()2ln 21=,,22x x x h x x x -+⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭则()()2232ln 4=2x x x h x x +--'+， 令()2132ln 4,2p x x x x x ⎡⎫=+--∈+∞⎪⎢⎣⎭，，则()()()212x x p x x-+'=，显然()0p x '≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立,故()p x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.因为p (1)=0，所以当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，有()0p x <，即()0h x '<所以()h x 单调递减；当()1x ∈+∞，，有()0p x >，即()0h x '>所以()h x 单调递增； 因为()()9ln 24=,1,0111423ln 21532h h h h ⎛⎫⎛⎫+==-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a 的取值范围9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦ 10．（2022·贵州贵阳一中（文））已知函数3211()()32f x x ax a =-∈R 在[0,1]上的最小值为16-．（1）求a 的值；（2）若函数()()2()g x f x x b b =-+∈R 有1个零点，求b 的取值范围． 【答案】（1）1a =；（2）76b <-或103b >．【分析】（1）利用导数分0a ，01a <<，1a =和1a >四种情况求出函数的最小值，然后列方程可求出a 的值； （2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，可得3211232b x x x =-++，构造函数3211()232h x x x x =-++，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图像可得答案 【详解】解：（1）由3211()32f x x ax =-，2()()f x x ax x x a =--'=，当0a 时，()'f x 在[0,)+∞上恒大于等于0，所以()f x 在[0,1]上单调递增， min ()(0)0f x f ==，不合题意；当01a <<时，则[0,]x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； [,1]x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以333min 111()()326f x f a a a a ==-=-，31166a -=-，所以1a =，不满足01a <<；当1a =时，在[0,1]上，()0f x '且不恒为0，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f ==-=-，适合题意；当1a >时，在[0,1]上，()0f x '<，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f a ==-=-，所以1a =，不满足1a >；综上，1a =． （2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，所以3211232b x x x =-++，令3211()232h x x x x =-++，则2()2(2)(1)h x x x x x =-++=--+'，所以(2)0,(1)0h h ''=-=，且当1x <-时，()0h x '<； 当12x -<<时，()0h x '>；当2x >时，()0h x '<，所以 117()(1)2326h x h =-=+-=-极小， 1110()(2)844323h x h ==-⨯+⨯+=极大，如图：函数()g x 有1个零点，所以76b <-或103b >．。
高考数学专题《导数的概念、运算及导数的几何意义》习题含答案解析
专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义1.（2021·浙江高三其他模拟）函数312x y +=在0x =处的导数是（ ）A ．6ln 2B ．2ln 2C ．6D ．2【答案】A 【解析】利用符合函数的求导法则()()()()()()f g x '''f g x g x =⋅，求出312x y +=的导函数为3131'223322x x y ln ln ++=⋅⋅=⋅，代入x =0，即可求出函数在x =0处的导数.【详解】312x y +=的导函数为3131'223322x x y ln ln ++=⋅⋅=⋅,故当x =0时，'62y ln =.故选：A2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））曲线2cos sin y x x =+在(,2)π-处的切线方程为（）A ．20x y π-+-=B ．20x y π--+=C ．20x y π++-=D ．20x y π+-+=【答案】D 【解析】先求得导函数,根据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程.【详解】'2sin cos y x x=-+当x π=时,2sin cos 1k ππ=-+=-所以在点(),2π-处的切线方程,由点斜式可得()21y x π+=-⨯- 化简可得20x y π+-+=故选:D练基础3．（2021·全国高三其他模拟（理））曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线方程为（ ）A ．0x y -=B ．10ex y e --+=C ．10ex y e ---=D ．20x y --=【答案】D 【解析】根据切点和斜率求得切线方程.【详解】因为12sin()2x y ex π-=-，所以1cos()2x y e x ππ-'=-，当1x =时，1y '=，所以曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线的斜率1k =，所以所求切线方程为11y x +=-，即20x y --=.故选：D4．（2021·山西高三三模（理））已知a R ∈，设函数()ln 1f x ax x =-+的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 过定点（ ）A ．(0,2)B ．(1,0)C ．(1,1)a +D ．(,1)e 【答案】A 【解析】根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解【详解】由()1()ln 1'f x ax x f x a x=-+⇒=-，()'11f a =-，()11f a =+，故过(1,(1))f 处的切线方程为：()()()11+112y a x a a x =--+=-+，故l 过定点(0,2)故选：A5．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））设曲线()xf x ae b =+和曲线()cos2xg x c π=+在它们的公共点()0,2M 处有相同的切线，则b c a +-的值为（ ）A ．0B ．πC ．2-D ．3【答案】D 【解析】利用导数的几何意义可知()()00f g '='，可求得a ；根据()0,2M 为两曲线公共点可构造方程求得,b c ，代入可得结果.【详解】()x f x ae '= ，()sin22xg x ππ'=-，()0f a '∴=，()00g '=，0a ∴=，又()0,2M 为()f x 与()g x 公共点，()02f b ∴==，()012g c =+=，解得：1c =，2103b c a ∴+-=+-=.故选：D.6.（2021·重庆高三其他模拟）曲线()ln f x ax x x =-在点()()1,1f 处的切线与直线0x y +=垂直，则a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a 的方程，解方程可得所求值．【详解】解：()f x ax xlnx =-的导数为()1f x a lnx '=--，可得在点()()1,1f 处的切线的斜率为()11k f a '==-，由切线与直线0x y +=垂直，可得11a -=，解得2a =，故选：D ．7．（2021·重庆八中高三其他模拟）已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足ln a fx x =-，若曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线斜率为2，则()1f =（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．2【答案】C 【解析】先由换元法求出()f x 的解析式，然后求导，利用导数的几何意义先求出a 的值，然后可得出()1f 的值.【详解】设t =，则()22ln t f t t a =-，()22at tf t '=-．由()2212a f =-='，解得0a =，从而()10f a =-=，故选: C ．8．（2018·全国高考真题（理））设函数f (x )=x 3+(a ―1)x 2+ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y =f (x )在点(0 ， 0)处的切线方程为( )A ．y =―2xB ．y =―xC ．y =2xD ．y =x 【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得a =1，进而得到f (x )的解析式，再对f (x )求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数f (x )是奇函数，所以a ―1=0，解得a =1，所以f (x )=x 3+x ，f′(x )=3x 2+1，所以f′(0)=1,f (0)=0，所以曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ―f (0)=f′(0)x ，化简可得y =x ，故选D.9.（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（理））设曲线2xy x =-在点()3,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a 等于（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-【答案】B 【解析】利用导数求出曲线 2xy x =-在点()3,3处的切线的斜率，利用两直线平行可得出实数a 的值.【详解】对函数2x y x =-求导得()()222222x x y x x --'==---，由已知条件可得32x a y ='-==-，所以，2a =.故选：B.10．（2020·河北高三其他模拟（文））已知曲线()xax e f x x =+在点()()0,0f 处的切线斜率为2，则a =___________.【答案】1【解析】求导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，解方程即可求解.【详解】解：()xax e f x x =+的导数为()()1xf x a x e =++'，可得曲线()xax e f x x =+在点()()0,0f 处的切线斜率为12a +=，解得1a =.故答案为：1.1．（2021·浙江金华市·高三三模）已知点P在曲线y =θ为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则θ的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】首先根据导数的几何意义求得切线斜率的取值范围，再根据倾斜角与斜率之间的关系求得倾斜角的取值范围.【详解】因为y =='，由于124xxe e ++≥，所以[y ∈'，根据导数的几何意义可知：tan [θ∈,所以2[,)3πθπ∈，故选：D.练提升2．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数()2xf x ae x =+的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是()22y e x b =++，那么ab =（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D 【解析】根据导数的几何意义确定斜率与切点即可求解答案.【详解】因为()2xf x ae x =+，所以()2x f x ae x '=+，因此切线方程的斜率(1)2k f ae '==+，所以有222ae e +=+，得2a =，又切点在切线上，可得切点坐标为(1,22)e b ++，将切点代入()f x 中，有(1)2122f e e b =+=++，得1b =-，所以2ab =-.故选：D.3．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知直线l 为曲线sin cos y x x x =+在2x π=处的切线，则在直线l 上方的点是（ ）A ．,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．()2,0C ．(),1π-D ．()1,π-【答案】C 【解析】利用导数的几何意义求得切线的方程，进而判定点与切线的位置关系即可.【详解】'cos cos sin 2cos sin y x x x x x x x =+-=-,22x y ππ==-',又 当2x π=时，1y =，所以切线的方程为122y x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,对于A,当2x π=时，1y =，故点,12π⎛⎫⎪⎝⎭在切线上；对于B,当2x =时，2921π11 3.2502244y πππππ⎛⎫=--+=-++>-++=-> ⎪⎝⎭，故点()2,0在切线下方；对于C,当x π=时，2π91111,2512244y πππ⎛⎫=--+=-+<-+=-<- ⎪⎝⎭，故点(),1π-在切线上方；对于D,当x =1时，211122242y ππππππ⎛⎫=--+=-++>->- ⎪⎝⎭,故点()1,π-在切线下方.故选：C.4．（2021·甘肃高三二模（理））已知函数()ln f x x x =，()2g x x ax =+()a ∈R ，若经过点()0,1A -存在一条直线l 与()f x 图象和()g x 图象都相切，则a =（ ）A ．0B ．-1C ．3D ．-1或3【答案】D 【解析】先求得过()0,1A -且于()f x 相切的切线方程，然后与()()2g x x ax a =+∈R 联立，由0∆=求解.【详解】设直线l 与()ln f x x x =相切的切点为(),ln m m m ，由()ln f x x x =的导数为()1ln f x x '=+，可得切线的斜率为1ln m +，则切线的方程为()()ln 1ln y m m m x m -=+-，将()0,1A -代入切线的方程可得()()1ln 1ln 0m m m m --=+-，解得1m =，则切线l 的方程为1y x =-，联立21y x y x ax=-⎧⎨=+⎩，可得()2110x a x +-+=，由()2140a ∆=--=，解得1a =-或3，故选：D .5．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））若点P 是曲线2ln 1y x x =--上任意一点，则点P 到直线3y x =-的最小距离为（ ）A ．1BCD ．2【答案】C 【解析】由已知可知曲线2ln 1y x x =--在点P 处的切线与直线3y x =-平行，利用导数求出点P 的坐标，利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】因为点P 是曲线2ln 1y x x =--任意一点，所以当点P 处的切线和直线3y x =-平行时，点P 到直线的3y x =-的距离最小，因为直线3y x =-的斜率等于1，曲线2ln 1y x x =--的导数12y x x'=-，令1y '=，可得1x =或12x =-（舍去），所以在曲线2ln 1y x x =--与直线3y x =-平行的切线经过的切点坐标为()1,0，所以点P 到直线3y x =-的最小距离为d .故选：C.6．（2021·安徽省舒城中学高三三模（理））若函数()ln f x x x =+与2()1x mg x x -=-的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线21y x =+平行，则实数m =（ ）A ．178B ．176C ．174D ．172【答案】A 【解析】设函数()ln f x x x =+图象上切点为00(,)x y ，求出函数的导函数，根据0()2f x '=求出切点坐标与切线方程，设函数()21x m g x x -=-的图象上的切点为11(,)x y 1(1)x ≠，根据1()2g x '=，得到211244m x x =-+，再由1112211x mx x --=-，即可求出1x ，从而得解；【详解】解：设函数()ln f x x x =+图象上切点为00(,)x y ，因为1()1f x x'=+，所以001()12f x x '=+=，得01x =， 所以00()(1)1y f x f ===，所以切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，设函数()21x mg x x -=-的图象上的切点为11(,)x y 1(1)x ≠，因为222(1)(2)2()(1)(1)x x m m g x x x ----'==--，所以1212()2(1)m g x x -'==-，即211244m x x =-+，又11111221()1x m y x g x x -=-==-，即211251m x x =-+-，所以221111244251x x x x -+=-+-，即2114950x x -+=，解得154x =或11x =（舍），所以25517244448m ⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭．故选：A7．（2021·全国高三其他模拟）已知直线y ＝2x 与函数f （x ）＝﹣2lnx +xe x +m 的图象相切，则m ＝_________.【答案】2ln 4-+【解析】设出切点()00000,2ln ,0xx x x e m x -++>，根据切线方程的几何意义，得到()00000002ln 2212x x x x e m x x e x ⎧-++=⎪-⎨++=⎪⎩，解方程组即可.【详解】因为()2ln xf x x xe m =-++，所以()()21x f x x e x-'=++设切点为()00000,2ln ,0xx x x e m x -++>，所以切线的斜率为()()000021x k f x x e x -'==++又因为切线方程为y ＝2x ，因此()00000002ln 2212x x x x e m x x e x ⎧-++=⎪-⎨++=⎪⎩，由()000212x x e x -++=，得()000210x x e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为010x +≠，所以02x ex =，又00ln 2ln x x =-，所以()000022ln 2ln 2ln x x m x x -+⋅+=-，得2ln 4m =-+.故答案为：2ln 4-+.8．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））若两曲线y ＝x 2+1与y ＝a ln x +1存在公切线，则正实数a 的取值范围是_________．【答案】（0，2e ]【解析】设公切线与曲线y ＝x 2+1和y ＝a ln x +1的交点分别为（x 1，x 12+1），（x 2，a ln x 2+1），其中x 2＞0，然后分别求出切线方程，对应系数相等，可以得到122122111a x x x a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，然后转化为﹣2224a x ＝a ln x 2﹣a ，，然后参变分离得到a ＝4x 2﹣4x 2ln x ，进而构造函数求值域即可.【详解】解：设公切线与曲线y ＝x 2+1和y ＝a ln x +1的交点分别为（x 1，x 12+1），（x 2，a ln x 2+1），其中x 2＞0，对于y ＝x 2+1，y ′＝2x ，所以与曲线y ＝x 2+1相切的切线方程为：y ﹣（x 12+1）＝2x 1（x ﹣x 1），即y ＝2x 1x ﹣x 12+1，对于y ＝a ln x +1，y ′＝ax，所以与曲线y ＝a ln x +1相切的切线方程为y ﹣（a ln x 2+1）＝2a x （x ﹣x 2），即y ＝2ax x ﹣a +1+a ln x 2，所以122122111a x x x a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，即有﹣2224a x ＝a ln x 2﹣a ，由a ＞0，可得a ＝4x 2﹣4x 2ln x ，记f (x )＝4x 2﹣4x 2ln x （x ＞0），f ′(x )＝8x ﹣4x ﹣8x ln x ＝4x （1﹣2ln x ），当x时，f ′(x )＞0，即f (x )在（0x时，f ′(x )＜0，即f (x )，+∞）上单调递减，所以f (x )max ＝f）＝2e ，又x →0时，f (x )→0，x →+∞时，f (x )→﹣∞，所以0＜a ≤2e ．故答案为：（0，2e ]．9．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知函数()2ln f x x x =+，点P 为函数()f x 图象上一动点，则P 到直线34y x =-距离的最小值为___________.(注ln 20.69≈)【解析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线与已知直线平行时切点坐标，然后转化为求点到直线的距离即可求解．【详解】解：()12f x x x'=+，()0x >，与直线34y x =-平行的切线斜率132k x x ==+，解得1x =或12x =，当1x =时，()11f =，即切点为()1,1，此时点P 到直线34y x =-的距离为d 当12x =时，11ln 224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即切点为11,ln 224⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点P 到直线34y x =-的距离为d =>10．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）已知1P ，2P 是曲线:2|ln |C y x =上的两点，分别以1P ，2P 为切点作曲线C 的切线1l ，2l ，且12l l ⊥，切线1l 交y 轴于A 点，切线2l 交y 轴于B 点，则线段AB 的长度为___________.【答案】44ln 2-【解析】由两切线垂直可知，1P ，2P 两点必分别位于该函数的两段上，故可设出切点坐标111222(,),(,)P x y P x y ，表示出两条切线方程，根据两切线垂直，可得124x x =，又两切线分别与y 轴交于1(0,22ln )A x -，2(0,22ln )B x -+，则可求出44ln 2AB =-.【详解】曲线2ln ,01:2ln ,1x x C y x x -<<⎧=⎨≥⎩ ，则2,012,1x x y x x⎧-<<⎪⎪=⎨'⎪≥⎪⎩，设111222(,),(,)P x y P x y ，两切线斜率分别为1k ，2k ，由12l l ⊥得121k k =-，则不妨设1201,1x x <<³，111(,2ln )P x x \-，112k x =-，11112:2ln ()l y x x x x +=--，令0x =，得1(0,22ln )A x -222(,2ln )P x x ，222k x =，22222:2ln ()l y x x x x -=-，令0x =，得2(0,22ln )B x -+由121k k =-，即12221x x -×=-，得124x x =，则1242ln()44ln 2AB x x =-=-.故答案为：44ln 2-.1.（2021·全国高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a<B ．e a b <C ．0e ba <<D ．0e ab <<【答案】D【解析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；练真题解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线x y e =上任取一点(),t P t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()tt y e e x t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()t f t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.2.（2020·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.3．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D【解析】43()2f x x x =-(1(1))f ，21y x =--21y x =-+23y x =-21y x =+()432f x x x =- ()3246f x x x '∴=-()11f ∴=-()12f '=-()121y x +=--21y x =-+设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =的导数为y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D.4.（2020·全国高考真题（文））设函数．若，则a =_________．【答案】1【解析】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.5．（2019·全国高考真题（文））曲线在点处的切线方程为___________．【答案】.【解析】所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．6．（2020·全国高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.e ()xf x x a =+(1)4e f '=()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++()241ae e a =+2210a a -+=1a =123()e x y x x =+(0,0)30x y -=/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++/0|3x k y ===23()e x y x x =+(0,0)3y x =30x y -=【答案】2y x=【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x =++'=+，00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =.故答案为：2y x =.。
第五章5.1.2第2课时 导数的几何意义课件(人教版)
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
则
y
|x＝x0
＝ lim Δx→0
x0＋Δx3－2x0＋Δx－x30－2x0 Δx
＝3x20－2＝tan π4＝1，
所以x0＝±1， 当x0＝1时，y0＝－1. 当x0＝－1时，y0＝1.
当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0，这时，在t ＝t1附近曲线降落，即函数在t＝t1附近单调递减. 当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0，这时，在t ＝t2附近曲线降落，即函数在t＝t2附近单调递减. 通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这 说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近降落的缓慢.
内容索引
一、导数的几何意义 二、函数的单调性与导数的关系 三、导函数(导数)
随堂演练
课时对点练
一、导数的几何意义
问题1 导数f′(x0)的几何意义是什么？ 提示 我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率， 反应了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图.
容易发现，平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0表示的是割线 P0P 的斜率，当
跟踪训练 3 已知函数 f(x)＝x2－12x.求 f′(x).
解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(Δx)2＋2x·Δx－12Δx，
∴ΔΔyx＝2x＋Δx－12.
∴f′(x)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝2x－12.
课堂小结
1.知识清单： (1)导数的几何意义. (2)函数的单调性与导数的关系. (3)导函数的概念. 2.方法归纳：方程思想、数形结合. 3.常见误区：切线过某点，这点不一定是切点.
导数的几何意义及导数公式
导数的几何意义及导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在特定点的变化率。
导数的几何意义是描述函数曲线在其中一点的切线的斜率。
本文将详细介绍导数的几何意义以及导数的计算公式。
一、导数的几何意义在几何中，我们知道曲线上每一点的切线可以用斜率来描述。
而导数就是函数在其中一点的切线的斜率，它告诉我们函数在该点的变化情况。
导数的几何意义可以通过以下两个方面来理解：1.切线的斜率导数是切线的斜率，它表示函数在特定点上的变化速率。
如果导数是正数，那么函数在该点上是递增的；如果导数是负数，那么函数在该点上是递减的。
导数的绝对值越大，曲线在该点附近的变化速率越大；导数的绝对值越小，曲线在该点附近的变化速率越小。
2.切线的方向导数不仅告诉我们切线的斜率，还告诉我们切线的方向。
如果导数是正数，那么切线是向上倾斜的；如果导数是负数，那么切线是向下倾斜的。
导数等于零表示切线是水平的，也就是曲线上的极值点。
通过以上两个方面，我们可以通过导数来近似描述函数在任意点的行为，从而更好地理解函数的性质。
二、导数的计算公式导数的计算公式是一系列可以计算导数的规则。
下面是一些常见的导数计算公式：1.常数规则如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
这是因为常数的导数为零，表示该常数没有变化。
2.幂规则如果f(x) = x^n，其中n是整数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
这是指数函数的导数公式。
3.常见函数的导数公式- 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。
- 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
- 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。
-如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。
- 如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。
4.和、差的导数规则如果f(x)和g(x)是可导函数，那么(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
导数的几何意义与计算
导数的几何意义与计算导数是微积分中的重要概念，它既有几何意义，也有计算方法。
在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率，而在计算上，导数代表了函数的变化率。
一、导数的几何意义：在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处可导。
则函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示了函数图像在点(x=a,f(a))处的切线的斜率。
这也可以理解为函数f(x)在点x=a处的瞬时变化率。
对于曲线上的任意一点，导数给出了曲线在该点处的瞬时变化情况。
以函数y=x^2为例，我们可以计算出其在点(1,1)处的导数。
首先，我们求得函数在该点的切线方程，即y-1=2(x-1)，然后求出斜率为2，表示函数在该点附近变化的速率。
在图像上，可以看到切线的斜率为正，说明函数在该点的右侧局部增加。
二、导数的计算：导数的计算方法有很多种，下面介绍两种常见的计算方法：导数定义和导数的基本公式。
1.导数定义：导数的定义是通过函数的极限来计算的。
设函数f(x)在点x=a处连续，则f(x)在点x=a处的导数f'(a)定义为：f'(a) = lim(x->a) [f(x)-f(a)] / (x-a)也就是说，导数f'(a)是函数f(x)在x=a处的极限值。
以函数y=x^2为例，我们来计算其在点x=1处的导数。
根据导数定义，我们有：f'(1) = lim(x->1) [x^2-1] / (x-1)= lim(x->1) (x+1)=2所以函数y=x^2在点x=1处的导数为22.导数的基本公式：导数的基本公式可以通过一些公式和规则直接计算导数，而不需要通过极限的定义。
下面是几个常用的导数公式：(1)常数规则：若c是一个常数，则导数f(x)=c的结果为0。
(2)幂规则：若f(x)=x^n，其中n是一个非零常数，则导数f'(x)=n*x^(n-1)。
导数的几何意义 课件
1 85
,
6 12
.
(2)因为切线平行于直线6x-y-2=0,
所以切线的斜率为6,即f'(x0)=6x0=6,得x0=1.
所以该点的坐标为(1,10).
(3)因为切线与直线x+12y-3=0垂直,
所以切线的斜率为12,即f'(x0)=6x0=12,得x0=2.
所以该点的坐标为(2,19).
反思解答此类题目,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由
切线与x轴正方向的夹角为钝角;若f'(x0)=0,则切线与x轴平行或重
合.
2.“用割线的极限位置来定义切线”和“与曲线只有一个公共点的
直线是切线”的区别是什么?
剖析:在初中我们学习过圆的切线:当直线和圆有唯一公共点时,
我们称直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做
切点,圆是一种特殊的曲线.如果将圆的切线推广为一般曲线的切
点斜式方程求切线方程;解答第(2)小题,可把第(1)小题中求得的直
线方程与已知的曲线方程组成方程组,求方程组的解.
解:(1)将 x=2 代入曲线 C 的方程,得 y=4,
∴切点的坐标为(2,4).
y
Δx→0 x
∴y'|x=2= lim
=
1 (2 + Δx)3 + 4 - 1 × 23 - 4
需注意f'(x0)与f'(x)的意义不同,f'(x)为f(x)的导函数,而f'(x0)为f(x)在
x=x0处的导函数值.
区别
f'(x0)是具体的值,是数
值
f'(x)是 f(x)在某区间 I
f'(x) 上每一点都存在导数
导数的概念几何意义与运算
导数的概念几何意义与运算一、导数的概念导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化速度的衡量工具。
对于一条曲线上的任意一点，其导数值表示了该点处的切线斜率。
导数的定义为：若函数f(x)在点x0处有定义，那么函数在该点的导数为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中 lim 表示极限，h 表示的是 x 的增加量。
导数的概念可以推广到函数的各种高阶导数，分别表示函数变化的速率、加速度、变化的变化率等。
二、导数的几何意义1.切线斜率：导数可以看作是函数曲线在其中一点处切线的斜率。
特定点处的切线斜率表示了函数在该点的变化速度。
2.函数的增减性：若函数在其中一区间内的导数恒大于0，则函数在该区间上是递增的；若导数恒小于0，则函数在该区间上是递减的。
导数的正负性能够直观地反映函数的增减趋势。
3.极值点：若函数在其中一点的导数为0，那么这个点称为函数的极值点。
导数为0相当于切线水平，函数在这一点上由增转为减或由减转为增。
三、导数的运算法则1.常数乘法：对于常数k，(k*f(x))'=k*f'(x)。
2.求和与差：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
4.商法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^25.复合函数求导：对于复合函数y=f(g(x))，若g(x)在点x处可导，而f在g(x)处可导，则y也在点x处可导，且y'=f'(g(x))*g'(x)。
四、应用举例1.速度和加速度：对于一个物体的位移函数s(t)，其导数s'(t)表示在时间t的瞬时速度。
二次导数s''(t)则表示在时间t的瞬时加速度。
导数的几何意义及四则运算
f
f (x)
( x)
在对应区间I
1.
x
( y)
证
任取
由y
x
f(
Ix
x)
, 给 x 一个增量 x，且
的单调性可知，y 0,
(x 0, x x Ix
于是有
y x
1 x
)
,
f (x) 连续，y 0 (x 0),
y
又知 (
即
y)
f
(
0， f ( x)
x) 1
( y)
也可简写为
(1u1 2u2 nun ) 1u1 2u2 nun
证明 （略）
15
定理3 设函数 y u(x)及y v(x) 都在点 x 处可导，则 f (x) u(x)v(x)也在 x 处可导，且其导数为
f ( x) u( x)v( x) u( x)v( x) u( x)v( x)
( x) ( x ) (sin x) (ln π)
1 1 cos x. 2x
13
例2已知 y 2x3 5x2 3x 7，求 y.
解 y (2x3 5x2 3x 7) 2( x3 ) 5( x2 ) 3( x) (7) 2 3x2 5 2x 3 0 6x2 10x 3.
不连续,一定不可导.
4. 判断可导性
直接用定义;
连续 看左右导数是否存在且相等.
11
§2-4 求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 设函数 u(x)及 v( x) 都在点x处可导，则 f ( x) u( x) v( x)也在x 处可导，且其导数为
f ( x) u( x) v( x) 其中、 为常数.
导数的几何意义与像解析
导数的几何意义与像解析导数是微积分中的重要概念之一，它不仅在数学中有着重要的应用，也在几何学中具有重要的意义。
本文将探讨导数的几何意义以及如何通过像解析来理解导数。
一、导数的几何意义导数可以理解为函数在某一点上的斜率或者切线的斜率。
具体而言，函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示了函数在该点处的切线的斜率。
通过几何意义来理解导数，我们可以将导数看作是函数曲线在某一点处的切线的斜率。
这表示了函数在该点的变化率，即函数在该点附近的局部斜率。
当导数为正时，表示函数逐渐增加；当导数为负时，表示函数逐渐减少；当导数为零时，表示函数的变化趋于平缓。
例如，考虑函数f(x) = x^2，在x=1处的导数f'(1)为2。
这意味着函数在x=1处的切线的斜率为2，即切线与x轴的夹角为45度。
可以想象，随着x的增加，函数的值以一个较大的斜率逐渐增加。
二、像解析像解析是一种将几何图形转化为代数表达式的方法，通过像解析，我们可以将几何问题转化为代数问题，从而更好地理解导数的几何意义。
像解析的主要思想是将几何图形中的点的坐标表示为代数形式。
在几何问题中，点的坐标通常采用(x, y)表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
而在导数的几何意义中，我们需要将点的坐标表示为函数的表达式。
举例说明，考虑函数f(x) = x^2，在点x=a处的导数f'(a)表示函数在该点处的切线的斜率。
通过像解析，我们可以将切线的斜率表示为函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)的表达式。
具体操作如下：首先，我们需要计算导数f'(x)的表达式，对于函数f(x) = x^2，导数f'(x) = 2x。
然后，将x的值替换为a，即得到导数f'(a)的表达式，即f'(a) = 2a。
因此，函数f(x) = x^2在点x=a处的切线的斜率为2a。
像解析的方法可以帮助我们更好地理解导数的几何意义，将几何问题转化为代数问题，从而更加灵活地应用导数的概念。
导数的几何意义 课件
[例 3] 若曲线 y＝x2＋6 在点 P 处的切线垂直于直线 2x－
y＋5＝0，求点 P 的坐标及 f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝Δlixm→0
x0＋Δx2＋6－x20＋6 Δx
＝Δlixm→0 (2x0＋Δx)＝2x0，
导数的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的 斜率 k ，即k＝ f′(x0)＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
导数与函数图象升降的关系 若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)＞0(即切 线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升 的；若f′(x0)＜0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x ＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线 上升和下降的快慢.
f′(x0) f′(x)
f′(x0)与f′(x)的异同 区别
联系
f′(x0)是具体的值，是 在 x＝x0 处的导数 f′(x0)
数值
是导函数 f′(x)在 x＝x0 处
f′(x)是 f(x)在某区间 I 的函数值，因此求函数在
上每一点都存在导数 某一点处的导数，一般先
而定义的一个新函数， 求导函数，再计算导函数
(1)求Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(2)求ΔΔxy＝fx＋ΔΔxx－fx；
(3)计算f′(x)＝Δlixm→0
Δy Δx.
求曲线的切线方程
[例 2] 已知曲线 y＝13x3 上一点 P 2，83.
(1)求点 P 处切线的斜率；
(2)写出点 P 处的切线方程． 解：(1)∵y＝13x3，
∴y′＝Δlixm→0 ΔΔxy＝Δlixm→0
(2)∵Δy＝x＋3Δx2＋a－x32－a ＝－6xx2·Δxx＋－Δ3xΔ2 x2， ∴ΔΔxy＝－x62xx·Δ＋x－Δx32ΔΔxx2＝－x26xx＋－Δ3xΔx2 ， ∴Δlixm→0 ΔΔxy＝Δlixm→0 －x26xx＋－Δ3xΔx2 ＝－x63， 即y′＝－x63.
人教版数学选择性必修二5_2导数的概念与运算、导数的几何意义课件
′ − ′
2
′＝______________________(g(x)≠0)．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f [g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的
y′u·u′x ， 即 y 对 x 的 导 数 等 于
导 数 间 的 关 系 为 y ′ x ＝ ________
求切线方程
[例2] (202X全国卷Ⅰ，13)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的
3x－y＝0
切线方程为________________．
解题技法
➢ 求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f ′(x0)·(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
0处的导数，记作f
即f
0 + − 0
lim
→0
′(x0)＝ lim
＝_____________________．
→0
′(x0)或y′|x=x0，
2．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数 f ′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上
切线的斜率
点P(x0，y0)处的____________．相应地，切线方程为
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
考点微练
1．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点
A(1，3)，则2a＋b＝________.
1
2．(202X届河南郑州一中高考适应性考试)已知l为曲线y＝
+ln
在(1，a)处的切线，当直线l与坐标轴围成的三角形的面积为
专题05 导数的计算及其几何意义(原卷版)
第5讲导数的计算及其几何意义考点1：导数基本知识导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx=x1−x0，Δy=y1−y0=f(x1)−f(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)，则当Δx≠0时，商f(x0+Δx)−f(x0)Δx =ΔyΔx称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+Δx]（或[x0+Δx，x0]）的平均变化率．2. 函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为Δx时，函数值相应的改变Δy=f(x0+Δx)−f(x0)．如果当Δx趋近于0时，平均变化率ΔyΔx =f(x0+Δx)−f(x0)Δx趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．“当Δx趋近于零时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx趋近于常数l”可以用符号“→”记作：“当Δx→0时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx →l”，或记作“limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=l”，符号“→”读作“趋近于”．函数在x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在x=x0处的导数，并记作f′(x0)．这时又称f(x)在x=x0处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx→0时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx→f′(x0)”或“limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′(x0)”．3. 可导与导函数：如果f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数．记为f′(x)或y′（或y x′）．4. 导数的几何意义：设函数y=f(x)的图象如图所示：AB为过点A(x0,f(x0))与B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线．由此割线的斜率是ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线过点A的切线，即lim Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=切线AD的斜率．由导数的几何意义可知，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．5. 在点(x0，f(x0))处的切线方程与过点a，b的切线方程(1)函数y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)；(2)函数y=f(x)过点(a，b)的切线方程此时(a，b)可能是切点，也可能不是切点；因此设切点为(t，f(t))，求出在(t，f(t))处切线方程y−f(t)=f′(t)(x−t)代入(a，b)，得b−f(t)=f′(t)(a−t)，解出t，再代入y−f(t)=f′(t)(x−t)即可．典例精讲【典例1】已知函数f（x）＝﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则f（x）的导函数f′（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【典例2】若过点P（﹣1，m）可以作三条直线与曲线C：y＝xe x相切，则m的取值范围是（）A．（−3e2，+∞）B．（−1e，0）C．（0，+∞）D．（−3e2，−1e）【典例3】过点P（0，﹣1）作曲线C：y＝lnx的切线，切点为A1，设A1在y轴上的投影是点B1，过点B1再作曲线C的切线，切点为A2，设A2在y轴上的投影是点B2，…，依次下去，得到第n（n∈N*）个切点An，则点A n的坐标为．【典例4】已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b＝0，实数c，d满足2d﹣c−√5=0，则（a ﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．【典例5】已知f（x）＝alnx+12x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1] B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【典例6】已知函数y＝f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x0））处的切线斜率k＝（x0﹣3）（x0+1）2，则该函数的单调递增区间为．考点2：导数运算一、导数的运算1. 导数公式表2. 复合函数的导数复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即=f′(u)⋅g′(x)．设y=f(u)，u=g(x)，则y′x3. 导数的四则运算(1)(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)，即两个函数和的导数，等于两个函数的导数的和．(2)(f(x)−g(x))′=f ′(x)−g ′(x)，即两个函数差的导数，等于两个函数的导数的差．(3)[f(x)g(x)]′=f ′(x)g(x)+f(x)g ′(x)，即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数． (4)[f(x)g(x)]′=g(x)f ′(x)−f(x)g ′(x)g 2(x)(g(x)≠0)，即两个可导函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．二、导函数与原函数的关系1．导函数的图像对于非基本初等函数以及无法通过平移和伸缩做出图形的函数，可以采用考察特殊点与求导相结合的方法做出该函数的大致图像，考察特殊点可以研究该函数与坐标轴的交点，然后利用求导研究该函数单调性的方法得出函数的增减走向，进而大体勾画出函数的图像． 2、求导公式的逆用导函数与原函数的关系密切透过导函数的符号可以反映原函数的增减性，据此，可以通过配凑等方法构造某一函数的导函数并判断其符号，进而得到原函数的增减性．典例精讲【典例1】已知函数3()1x f x x e =-，则它的导函数()f x '等于( )A ．23x x eB ．2x x e (3)x +C ．2(3)1x x e x +-D ．231x x e -【典例2】设函数F （x ）=f(x)e x是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f '（x ），满足f '（x ）＜f （x ）对于x ∈R 恒成立，则（ ）A ．f （2）＞e 2f （0），f （2 017＞e2017f （0） B ．f （2）＞e 2f （0），f （2 017）＜e 2017f （0） C ．f （2）＜e 2f （0），f （2 017）＞e 2017f （0）D ．f （2）＜e 2f （0），f （2 017）＜e 2017f （0）【典例3】已知函数f(x)=2e x +1+sinx ，其导函数记为f ′（x ），则f （2016）+f （﹣2016）+f ′（2016）﹣f ′（﹣2016）的值为 ．【典例4】已知函数f （x ）=lnx x，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（1）的值为 ．【典例5】如图，函数y ＝f （x ）的图象在点P （4，f （4））处的切线方程是y ＝﹣2x +9，则f （4）+f ′（4）的值为 ．【典例6】设函数f （x ）的导函数为f ′（x ），若f （x ）＝5x 3+2xf ′（1），则f ′（3）＝【典例7】若函数()f x 满足321()(1)23f x x f x x '=-+，则f '（2）的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3综合练习一．选择题（共5小题）1．已知函数f （x ）＝e x +ax 2（a ∈R ），若曲线y ＝f （x ）在点 P （m ，f （m ））（m ＞1）处的切线为l ，且直线l 在y 轴上的截距小于1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（−12，+∞） B ．[﹣1，+∞） C ．[−12，+∞） D ．（﹣1，−12）2．已知函数f （x ）＝﹣x 4+2ax 2+（a ﹣1）x 为偶函数，则f （x ）的导函数f ′（x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．设函数f （x ）在x ＝1处存在导数为2，则lim△x→0f(1+△x)−f(1)3△x=（ ）A ．2B ．1C ．23 D ．64．函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x ∈（0，+∞），f [f （x ）﹣lnx ]＝e +1，则方程f （x ）﹣f ′（x ）＝e （其中e 为自然对数的底数）的解所在的区间是（ ）A ．（0，12） B ．（12，1） C ．（1，2） D ．（2，3）5．已知函数f （x ）=2e +1+sin x ，其中f ′（x ）为函数f （x ）的导数，求f （2018）+f （﹣2018）+f ′（2019）﹣f ′（﹣2019）＝（ ） A ．2B ．2019C ．2018D ．0二．填空题（共3小题）6．已知实数a ，b 满足ln （b +1）+a ﹣3b ＝0，实数c ，d 满足2d ﹣c −√5=0，则（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为 ．7．函数f （x ）＝x 3﹣（a ﹣1）x 2+（a ﹣3）x 的导函数f '（x ）是偶函数，则实数a ＝ ．8．若函数f （x ）满足f ′(x)−f(x)e x=2x ，f （0）＝1，则当x ＞0时，f ′(x)f(x)的取值范围是 ．。
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第5讲导数的计算及其几何意义考点1：导数基本知识导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx=x1−x0，Δy=y1−y0=f(x1)−f(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)，则当Δx≠0时，商f(x0+Δx)−f(x0)Δx =ΔyΔx称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+Δx]（或[x0+Δx，x0]）的平均变化率．2. 函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为Δx时，函数值相应的改变Δy=f(x0+Δx)−f(x0)．如果当Δx趋近于0时，平均变化率ΔyΔx =f(x0+Δx)−f(x0)Δx趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．“当Δx趋近于零时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx趋近于常数l”可以用符号“→”记作：“当Δx→0时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx →l”，或记作“limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=l”，符号“→”读作“趋近于”．函数在x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在x=x0处的导数，并记作f′(x0)．这时又称f(x)在x=x0处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx→0时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx→f′(x0)”或“limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′(x0)”．3. 可导与导函数：如果f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数．记为f′(x)或y′（或y x′）．4. 导数的几何意义：设函数y=f(x)的图象如图所示：AB为过点A(x0,f(x0))与B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线．由此割线的斜率是ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线过点A的切线，即lim Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=切线AD的斜率．由导数的几何意义可知，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．5. 在点(x0，f(x0))处的切线方程与过点a，b的切线方程(1)函数y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)；(2)函数y=f(x)过点(a，b)的切线方程此时(a，b)可能是切点，也可能不是切点；因此设切点为(t，f(t))，求出在(t，f(t))处切线方程y−f(t)=f′(t)(x−t)代入(a，b)，得b−f(t)=f′(t)(a−t)，解出t，再代入y−f(t)=f′(t)(x−t)即可．典例精讲【典例1】已知函数f（x）＝﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则f（x）的导函数f′（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数f（x）为偶函数求得a的值，再求出f（x）的导函数f′（x），利用导数判断f′（x）的单调性与极值，从而得出函数f′（x）的大致图象．【解答】解：函数f（x）＝﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则a﹣1＝0，解得a＝1，∴f（x）＝﹣x4+2x2，∴f′（x）＝﹣4x3+4x；设g（x）＝f′（x），则g′（x）＝﹣12x2+4，，令g′（x）＝0，解得x＝±√33时，g′（x）＞0，∴当0＜x＜√33时，g′（x）＜0；当x＞√33∴g （x ）在x =√33时取得极大值为 g （√33）＝﹣4×(√33)3+4×√33=8√39＜2， ∴导函数f ′（x ）的图象大致为选项A 所示． 故选：A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的图象和性质的应用问题，是中档题．【典例2】若过点P （﹣1，m ）可以作三条直线与曲线C ：y ＝xe x相切，则m 的取值范围是（ ）A ．（−3e2，+∞） B ．（−1e ，0）C ．（0，+∞）D ．（−3e 2，−1e ）【分析】求指数函数的导数，利用导数的几何意义列出方程．【解答】解：设切点为（x 0，y 0），过点P 的切线方程为y =(x 0+1)e x 0(x−x 0)+x 0e x 0，代入点P 坐标化简为m =(−x 02−x 0−1)e x 0，即这个方程有三个不等根即可，令f(x)=(−x 20−x 0−1)e x 0，求导得到f ′（x ）＝（﹣x ﹣1）（x +2）e x，函数在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞） 上单调递减，故得到f （﹣2）＜m ＜f （﹣1），即(−3e 2，−1e ) 故选：D ．【点评】本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键．【典例3】过点P （0，﹣1）作曲线C ：y ＝lnx 的切线，切点为A 1，设A 1在y 轴上的投影是点B 1，过点B 1再作曲线C 的切线，切点为A 2，设A 2在y 轴上的投影是点B 2，…，依次下去，得到第n （n ∈N *）个切点An ，则点A n 的坐标为 （en ﹣1，n ﹣1） ．【分析】设A 1（x 1，lnx 1），可得切线方程代入点P 坐标，可解得x 1＝1，即A 1（1，0），B 1（0，0），在写切线方程代入点B 1（0，0），可得A 2（e ，1），B 2（0，1），… 由此可得推得规律，从而可得结论．【解答】解：设A 1（x 1，lnx 1），此处的导数值为1x 1，故切线方程为y ﹣lnx 1=1x 1（x ﹣x 1），代入点P （0，﹣1）可得﹣1﹣lnx 1=1x 1（0﹣x 1），解得x 1＝1，即A 1（1，0），B 1（0，0），同理可得过点B 1再作曲线C 的切线方程为y ﹣lnx 2=1x 2（x ﹣x 2），代入点B 1（0，0），可得0﹣lnx 2=1x 2（0﹣x 2），可解得x 2＝e ，故A 2（e ，1），B 2（0，1），…依次下去，可得A n 的坐标为（e n ﹣1，n ﹣1）故答案为：（en ﹣1，n ﹣1）【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，归纳推理是解决问题的关键，属中档题．【典例4】已知实数a ，b 满足ln （b +1）+a ﹣3b ＝0，实数c ，d 满足2d ﹣c −√5=0，则（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为 1 ．【分析】问题转化为曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0与直线2x ﹣y −√5上的两点之间距离的最小值．利用导数的意义可得：与曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0相切，而与直线2x ﹣y −√5平行的直线方程，即可得出．【解答】解：问题转化为曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0与直线2x ﹣y −√5上的两点之间距离的最小值．y ＝f （x ）＝3x ﹣ln （x +1），f ′（x ）＝3−1x+1，令3−1x+1=2，解得x ＝0，可得切点P （0，0）．点P 到直线2x ﹣y −√5的距离l =√5|√5=1．∴（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为1． 故答案为：1．【点评】本题考查了导数的应用、直线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【典例5】已知f（x）＝alnx+12x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1] B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=ax+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max＝1故选：D．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想．【典例6】已知函数y＝f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x0））处的切线斜率k＝（x0﹣3）（x0+1）2，则该函数的单调递增区间为[3，+∞）．【分析】由题意可求得导数f′（x），解不等式f′（x）＞0即得函数的递曾区间．【解答】解：由题意知，函数f（x）在任一点处的导数f′（x）＝（x﹣3）（x+1）2，令（x﹣3）（x+1）2＞0，解得x＞3，所以函数的单调递增区间为[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查导数的几何意义及不等式的解法，属基础题，准确理解导数的几何意义是解题的关键．考点2：导数运算一、导数的运算1. 导数公式表2. 复合函数的导数复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即=f′(u)⋅g′(x)．设y=f(u)，u=g(x)，则y′x3. 导数的四则运算(1)(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)，即两个函数和的导数，等于两个函数的导数的和．(2)(f(x)−g(x))′=f ′(x)−g ′(x)，即两个函数差的导数，等于两个函数的导数的差．(3)[f(x)g(x)]′=f ′(x)g(x)+f(x)g ′(x)，即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数． (4)[f(x)g(x)]′=g(x)f ′(x)−f(x)g ′(x)g 2(x)(g(x)≠0)，即两个可导函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．二、导函数与原函数的关系1．导函数的图像对于非基本初等函数以及无法通过平移和伸缩做出图形的函数，可以采用考察特殊点与求导相结合的方法做出该函数的大致图像，考察特殊点可以研究该函数与坐标轴的交点，然后利用求导研究该函数单调性的方法得出函数的增减走向，进而大体勾画出函数的图像． 2、求导公式的逆用导函数与原函数的关系密切透过导函数的符号可以反映原函数的增减性，据此，可以通过配凑等方法构造某一函数的导函数并判断其符号，进而得到原函数的增减性．典例精讲【典例1】已知函数3()1x f x x e =-，则它的导函数()f x '等于( )A ．23x x eB ．2x x e (3)x +C ．2(3)1x x e x +-D ．231x x e -【分析】根据题意，有导数的计算公式可得数3()()x f x x e '='-（1）33()()x x x e x e '='+'，化简变形即可得答案．【解答】解：根据题意，函数3()1x f x x e =-，其导数3()()x f x x e '='-（1）33232()()3x x x x x x e x e x e x e x e '='+'=+=(3)x +； 故选：B ．【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题． 【典例2】设函数F （x ）=f(x)e x是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f '（x ），满足f '（x ）＜f （x ）对于x ∈R 恒成立，则（ ）A ．f （2）＞e 2f （0），f （2 017＞e2017f （0） B ．f （2）＞e 2f （0），f （2 017）＜e 2017f （0） C ．f （2）＜e 2f （0），f （2 017）＞e 2017f （0）D ．f （2）＜e 2f （0），f （2 017）＜e2017f （0）【分析】对f （x ）求导，利用f '（x ）＜f （x ）得到单调性，利用单调性求2与0以及2017与0的函数值的大小． 【解答】解：F '（x ）＝[f(x)e x]'=f ′(x)e x −f(x)e x(e x )2=f ′(x)−f(x)e x，因为f '（x ）＜f （x ），所以F '（x ）＜0，所以F （x ）为减函数， 因为2＞0，2017＞0，所以F （2）＜F （0），F （2017）＜F （0）， 即f(2)e 2＜f(0)e 0，所以f （2）＜e 2f （0）；f(2017) e2017＜f(0)e0，即f（2017）＜e2017f（0）；故选：D．【点评】本题考查了利用函数的单调性判断函数值的大小关系；关键是正确判断F（x）的单调性，并正确运用．【典例3】已知函数f(x)=2e x+1+sinx，其导函数记为f′（x），则f（2016）+f（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）的值为 2 ．【分析】利用导数的公式和导数的运算法，探究一下之间的关系，即可得到结论．【解答】解：函数f(x)=2e x+1+sinx，则f（﹣x）=2e x1+e x−sin x；f′（x）=−2e x(1+e x)2+cos x，f′(−x)=−2e x(1+e x)2+cos x，∵f′（x）﹣f′（﹣x）＝0，f（x）+f（﹣x）＝2．∴f（2016）+f（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了导数的公式的运用，简单复合函数求导的能力，同时要求有一定的化简能力和计算能力．探究其之间的关系．属于中档题．【典例4】已知函数f（x）=lnxx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为 1 ．【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f′（x），将x＝1代入可得f′（1）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=lnxx，则f′（x）=(lnx)′x−lnx(x)′x2=1−lnxx2，则f′（1）=1−ln11=1；故答案为：1．【点评】本题考查导数的计算，关键是正确计算函数f（x）的导数．【典例5】如图，函数y＝f（x）的图象在点P（4，f（4））处的切线方程是y＝﹣2x+9，则f（4）+f′（4）的值为﹣1 ．【分析】由函数在点P（4，f（4））处的切线方程得到切线的斜率，即f′（4），再由切线方程求出f（4）的值，则答案可求．【解答】解：由图可知，f′（4）＝﹣2，且f（4）＝﹣2×4+9＝1，∴f（4）+f′（4）＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．【典例6】设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）＝5x3+2xf′（1），则f′（3）＝105【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x＝1代入导函数中，列出关于f'（1）的方程，进而得到f'（1）的值，再求出f′（3）即可【解答】解：求导得：f′（x）＝15x2+2f′（1），令x＝1，得到f′（1）＝15+2f′（1），解得：f′（1）＝﹣15，∴f′（3）＝15×9+2×（﹣15）＝105，故答案为：105．【点评】本题主要考查了导数的运算，运用求导法则得出函数的导函数，求出常数f'（1）的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键．【典例7】若函数()f x 满足321()(1)23f x x f x x '=-+，则f '（2）的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】可以得出2()2f x x f '=-'（1）2x +，进而求出f '（1）1=，从而得出导函数2()22f x x x '=-+，将x 换上2即可得出f '（2）的值．【解答】解：2()2f x x f '=-'（1）2x +，f ∴'（1）12f =-'（1）2+，解得f '（1）1=，2()22f x x x ∴'=-+， f ∴'（2）4422=-+=．故选：C ．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．综合练习一．选择题（共5小题）1．已知函数f （x ）＝e x+ax 2（a ∈R ），若曲线y ＝f （x ）在点 P （m ，f （m ））（m ＞1）处的切线为l ，且直线l 在y 轴上的截距小于1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（−12，+∞） B ．[﹣1，+∞） C ．[−12，+∞） D ．（﹣1，−12）【分析】求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和方程，令x ＝0，可得切线在y 轴上的截距，再由不等式恒成立思想，运用参数分离和构造函数法，求得范围，即可得到所求范围． 【解答】解：函数f （x ）＝e x +ax 2的导数为f ′（x ）＝e x+2ax ，可得曲线y ＝f （x ）在点 P （m ，f （m ））（m ＞1）处的切线斜率为e m+2am ， 即有切线的方程为y ﹣（e m +am 2）＝（e m+2am ）（x ﹣m ）， 可令x ＝0可得y ＝e m ﹣me m ﹣am 2，由题意可得e m﹣me m﹣am 2＜1对m ＞1恒成立， 则a ＞e m −me m −1m 2，由g （m ）=e m −me m −1m 2+1=e m −me m −1+m 2m 2，由e m﹣me m﹣1+m 2＝（1﹣m ）（e m﹣1﹣m ）， 由m ＞1可得1﹣m ＜0，由y ＝e x ﹣1﹣x 的导数为y ′＝e x﹣1，当x ＞0时，y ′＞0，函数y 递增；当x ＜0时，y ′＜0，函数y 递减， 可得y ＝e x﹣1﹣x 的最小值为e 0﹣1﹣0＝0， 可得m ＞1时，e m﹣1﹣m ＞0，则（1﹣m ）（e m﹣1﹣m ）＜0，即g （m ）＜0， 则e m −me m −1m 2＜−1恒成立，可得a≥﹣1，即a的范围是[﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．2．已知函数f（x）＝﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则f（x）的导函数f′（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数f（x）为偶函数求得a的值，再求出f（x）的导函数f′（x），利用导数判断f′（x）的单调性与极值，从而得出函数f′（x）的大致图象．【解答】解：函数f（x）＝﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则a﹣1＝0，解得a＝1，∴f（x）＝﹣x4+2x2，∴f′（x）＝﹣4x3+4x；设g（x）＝f′（x），则g′（x）＝﹣12x2+4，，令g′（x）＝0，解得x＝±√33∴当0＜x ＜√33时，g ′（x ）＞0， 当x ＞√33时，g ′（x ）＜0； ∴g （x ）在x =√33时取得极大值为 g （√33）＝﹣4×(√33)3+4×√33=8√39＜2， ∴导函数f ′（x ）的图象大致为选项A 所示． 故选：A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的图象和性质的应用问题，是中档题．3．设函数f （x ）在x ＝1处存在导数为2，则lim△x→0f(1+△x)−f(1)3△x=（ ）A ．2B ．1C ．23D ．6【分析】根据题意，由极限的性质可得lim △x→0f(1+△x)−f(1)3△x=13×lim△x→0f(1+△x)−f(1)△x=13×f ′（1），据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f （x ）在x ＝1处存在导数为2，即f ′（1）＝2， 则lim△x→0f(1+△x)−f(1)3△x=13×lim△x→0f(1+△x)−f(1)△x=13×f ′（1）=23；故选：C ．【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的计算，属于基础题．4．函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x ∈（0，+∞），f [f （x ）﹣lnx ]＝e +1，则方程f （x ）﹣f ′（x ）＝e （其中e 为自然对数的底数）的解所在的区间是（ ） A ．（0，12） B ．（12，1） C ．（1，2） D ．（2，3）【分析】由设t ＝f （x ）﹣lnx ，则f （x ）＝lnx +t ，又由f （t ）＝e +1，求出f （x ）＝lnx +e ，则方程f （x ）﹣f ′（x ）＝e 的解可转化成方程lnx −1x =0的解，根据零点存在定理即可判断．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]＝e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，设t＝f（x）﹣lnx，则f（x）＝lnx+t，又由f（t）＝e+1，即lnt+t＝e+1，解得：t＝e，则f（x）＝lnx+e，f′（x）=1x，∴f（x）﹣f′（x）＝lnx+e−1x=e，即lnx−1x=0，则方程f（x）﹣f′（x）＝e的解可转化成方程lnx−1x=0的解，令h（x）＝lnx−1x，而h（2）＝ln2−12＞0，h（1）＝ln1−11＜0，∴方程lnx−1x=0的解所在区间为（1，2），∴方程f（x）﹣f′（x）＝e的解所在区间为（1，2），故选：C．【点评】本题考查了导数的运算和零点存在定理，关键是求出f（x），属于中档题．5．已知函数f（x）=2e+1+sin x，其中f′（x）为函数f（x）的导数，求f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝（）A．2 B．2019 C．2018 D．0【分析】化函数f（x）＝sin x+1−e x1+e +1，设g（x）＝sin x+1−e x1+e，判断g（x）为奇函数，求出f（﹣x）+f（x）的值；再判断g′（x）为偶函数，求出f′（x）﹣f′（﹣x）的值．【解答】解：函数f（x）=2e x+1+sin x＝sin x+1−e x1+e x+1，设g（x）＝sin x+1−e x1+e x，则g（﹣x）＝sin（﹣x）+1−e −x1+e−x =−（sin x+1−e x1+e x）＝﹣g（x），即g（﹣x）+g（x）＝0，即f（﹣x）+f（x）＝2，则f（2018）+f（﹣2018）＝g（2018）+1+g（﹣2018）+1＝2；又f′（x）＝g′（x），由g（x）为奇函数，则g′（x）为偶函数，可得f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝g′（2019）﹣g′（﹣2019）＝0，即有f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝2．故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性与对应导数的奇偶性问题，是中档题．二．填空题（共3小题）6．已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b＝0，实数c，d满足2d﹣c−√5=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为 1 ．【分析】问题转化为曲线ln（x+1）+y﹣3x＝0与直线2x﹣y−√5上的两点之间距离的最小值．利用导数的意义可得：与曲线ln（x+1）+y﹣3x＝0相切，而与直线2x﹣y−√5平行的直线方程，即可得出．【解答】解：问题转化为曲线ln（x+1）+y﹣3x＝0与直线2x﹣y−√5上的两点之间距离的最小值．y ＝f （x ）＝3x ﹣ln （x +1），f ′（x ）＝3−1x+1，令3−1x+1=2，解得x ＝0，可得切点P （0，0）．点P 到直线2x ﹣y −√5的距离l =√5|√5=1．∴（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为1． 故答案为：1．【点评】本题考查了导数的应用、直线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．函数f （x ）＝x 3﹣（a ﹣1）x 2+（a ﹣3）x 的导函数f '（x ）是偶函数，则实数a ＝ 1 ． 【分析】先求出函数的导数，再利用偶函数的性质f （﹣x ）＝f （x ）建立等式关系，解之即可．【解答】解：对f （x ）＝x 3﹣（a ﹣1）x 2+（a ﹣3）x 求导，得f '（x ）＝3x 2﹣2（a ﹣1）x +（a ﹣3），又f ′（x ）是偶函数，即f ′（x ）＝f ′（﹣x ）， 代入，可得：3x 2﹣2（a ﹣1）x +（a ﹣3）＝3x 2+2（a ﹣1）x +（a ﹣3）， 化简得a ＝1， 故答案为：1．【点评】考查了偶函数的概念，以及将偶函数与函数的求导结合在一起． 8．若函数f （x ）满足f ′(x)−f(x)e x=2x ，f （0）＝1，则当x ＞0时，f ′(x)f(x)的取值范围是 （1，2] ．【分析】构造函数，结合条件求出函数f （x ）的解析式，结合分式函数的性质利用基本不等式法进行求解即可． 【解答】解：设h （x ）=f(x)e x，则h ′（x ）=f ′(x)−f(x)e x=2x ，即h（x）＝x2+c，即f（0）＝1，∴h（0）=f(0)e0=1＝0+c，则c＝1，则h（x）=f(x)e x=x2+1，则f（x）＝e x（x2+1），则f′（x）＝e x（x2+1）+e x（2x）＝e x（x2+2x+1），则f′(x)f(x)=e x(x2+2x+1)e x(x2+1)=x2+2x+1x2+1=1+2xx2+1=1+2x+1x当x＞0时，x+1x ≥2√x⋅1x=2，则0＜1x+1x ≤12，则0＜2x+1x≤1，则1＜1+2x+1x≤2，即f′(x)f(x)的取值范围是（1，2]，故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查函数值域的求解，根据条件利用构造法求出函数的解析式，结合分式函数的性质是解决本题的关键．。