专题05 导数的计算及其几何意义(解析版)

第5讲导数的计算及其几何意义

考点1：导数基本知识

导数的概念和几何意义

1. 函数的平均变化率：

已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx=x1−x0，Δy=y1−y0=

f(x1)−f(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)，则当Δx≠0时，商f(x0+Δx)−f(x0)

Δx =Δy

Δx

称作函数y=f(x)

在区间[x0，x0+Δx]（或[x0+Δx，x0]）的平均变化率．

2. 函数的瞬时变化率、函数的导数：

设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为Δx时，函数值相应的改变Δy=f(x0+Δx)−f(x0)．

如果当Δx趋近于0时，平均变化率Δy

Δx =f(x0+Δx)−f(x0)

Δx

趋近于一个常数l（也就是说平均变

化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．

“当Δx趋近于零时，f(x0+Δx)−f(x0)

Δx

趋近于常数l”可以用符号“→”记作：“当Δx→0时，

f(x0+Δx)−f(x0)

Δx →l”，或记作“lim

Δx→0

f(x0+Δx)−f(x0)

Δx

=l”，符号“→”读作“趋近于”．函数在x0的

瞬时变化率，通常称为f(x)在x=x0处的导数，并记作f′(x0)．这时又称f(x)在x=x0处是

可导的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx→0时，f(x0+Δx)−f(x0)

Δx

→f′(x0)”或

“lim

Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)

Δx

=f′(x0)”．

3. 可导与导函数：

如果f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数．记为f′(x)或y′（或y x′）．

4. 导数的几何意义：

设函数y=f(x)的图象如图所示：

AB为过点A(x0,f(x0))与B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线．由此割线的斜率是Δy

Δx

=

f(x0+Δx)−f(x0)

Δx

，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线过点A的切线，即

lim Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)

Δx

=切线AD的斜率．

由导数的几何意义可知，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．

5. 在点(x0，f(x0))处的切线方程与过点a，b的切线方程

(1)函数y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)；

(2)函数y=f(x)过点(a，b)的切线方程

此时(a，b)可能是切点，也可能不是切点；

因此设切点为(t，f(t))，求出在(t，f(t))处切线方程y−f(t)=f′(t)(x−t)

代入(a，b)，得b−f(t)=f′(t)(a−t)，解出t，再代入y−f(t)=f′(t)(x−t)即可．

典例精讲

【典例1】已知函数f（x）＝﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则f（x）的导函数f′（x）的图象大致为（）

A．B．

C．D．

【分析】根据函数f（x）为偶函数求得a的值，再求出f（x）的导函数f′（x），

利用导数判断f′（x）的单调性与极值，从而得出函数f′（x）的大致图象．

【解答】解：函数f（x）＝﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，

则a﹣1＝0，解得a＝1，

∴f（x）＝﹣x4+2x2，

∴f′（x）＝﹣4x3+4x；

设g（x）＝f′（x），

则g′（x）＝﹣12x2+4，

，

令g′（x）＝0，解得x＝±√3

3

时，g′（x）＞0，

∴当0＜x＜√3

3

时，g′（x）＜0；

当x＞√3

3

∴g （x ）在x =

√3

3

时取得极大值为 g （√3

3）＝﹣4×(√3

3)3+4×

√33

=

8√3

9

＜2， ∴导函数f ′（x ）的图象大致为选项A 所示． 故选：A ．

【点评】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的图象和性质的应用问题，是中档题．

【典例2】若过点P （﹣1，m ）可以作三条直线与曲线C ：y ＝xe x

相切，则m 的取值范围是（ ）

A ．（−3

e

2，+∞） B ．（−1

e ，0）

C ．（0，+∞）

D ．（−3

e 2，−1

e ）

【分析】求指数函数的导数，利用导数的几何意义列出方程．

【解答】解：设切点为（x 0，y 0），过点P 的切线方程为y =(x 0+1)e x 0(x−x 0)+x 0e x 0，代入点P 坐标化简为m =(−x 02−x 0−1)e x 0，即这个方程有三个不等根即可，令f(x)=(−x 20−x 0−1)e x 0，求导得到f ′（x ）＝（﹣x ﹣1）（x +2）e x

，函数在（﹣∞，﹣2）上单

调递减，在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞） 上单调递减，故得到f （﹣2）＜m ＜f （﹣1），即(−3e 2，−1

e ) 故选：D ．

【点评】本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键．

【典例3】过点P （0，﹣1）作曲线C ：y ＝lnx 的切线，切点为A 1，设A 1在y 轴上的投影是点B 1，过点B 1再作曲线C 的切线，切点为A 2，设A 2在y 轴上的投影是点B 2，…，依次下去，得到第n （n ∈N *）个切点An ，则点A n 的坐标为 （e

n ﹣1

，n ﹣1） ．

【分析】设A 1（x 1，lnx 1），可得切线方程代入点P 坐标，可解得x 1＝1，即A 1（1，0），B 1（0，0），在写切线方程代入点B 1（0，0），可得A 2（e ，1），B 2（0，1），… 由此可得推得规律，从而可得结论．