信息光学中的傅里叶变换

则有
m n f ( x, y) m n F m n (j2 f ) (j2 f ) F( fx , f y ) x y x y
m n F ( x, y ) m n F ( j 2x) ( j 2y) f ( x, y) m f x n f y
8、相关的傅里叶变换 （1）互相关定理
F
f ( x , y ) ★g( x , y ) F ( f x , f y ) G( f x , f y )
互谱能量密度
F ( f x , f y ) G( f x , f y )
（2）自相关定理
F


f ( x , y ) ★f ( x , y ) F ( f x , f y )
1
( f x , f y ) e

dxdy
2. 傅里叶变换的基本性质和有关定理
1、线性性质 设
F
f ( x , y ) F ( f x , f y )
F
g( x , y ) G( f x , f y )
a,b为常数，则
F
) bG( f x , f y ) af ( x , y ) bg( x , y ) aF( f x , f y
f
f
5、对称性质
* F (- f x , f y ) F f ( x, y )
*
F
f
*
( x, y) F ( f x , f y )
*

若f(x,y)为实函数，显然有
F ( f x , f y ) F (- f x , f y )
*
称
F ( f x , f y ) 具有厄米对称性


F
-1{F (
} fx , f y )
上式称为F（fx，fy）的二维傅里叶逆变换。 正变换和逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数 因子的符号和积分变量不同而已。 我们可以用傅里叶变换对偶式来表示两种变换之间的关系式。
f ( x, y )
F
( )
F -1（）
F( fx , f y )
二、傅里叶变换的存在条件
x y f ( x , y ) lim rect( )rect( ) a a a
1
a 2
x rect( ) a
0
a 2
x
先求矩形函数的傅里叶变换
请同学业们动手推导
F {rect(x)}
x j 2f x x rect ( )e dx a


a 2 a 2
a a j 2f x j 2f x 1 2 2 j 2f x x ( e e ) e dx j 2f x


证明： f ( x, y) F ( f x , f y ) exp j 2 ( f x x f y y) df x df y


m n f ( x, y ) m x n y
m n m n F ( f x , f y ) exp j 2 ( f x x f y y) df x df y x y
所以1的傅里叶变换是函数。 问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
F -1 ( f x )
( f x )e j 2f x x df x


物理图像


0 ( f ) e x df x




( f x ) df x
j 2 ( f x x f y y )
2
在应用中上述积分都可以表示某种能量。本定理表
明一个事件空域各分量能量的总和与频域各分量能
量的总和是相等的。
10、积分性质(一维情况)
F f ( x) F ( f x ) F

x
1 1 F ( f x ) F (0) ( f x ) f ( )d j 2f x 2

j
n

( ) ( ) ( j 2 x) m ( j 2 y ) n f ( x, y ) exp j 2 ( f x x f y y) dxdy 2 2
信息光学中的傅里叶变换
表征现代光学重大进展的另一件大事，是P.M.Duffieux
1946年把傅里叶变换的概念引入光学领域，由此发展成现代
光学的一个重要分支——傅里叶光学（信息光学）。它应用 线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的传播、衍射和成
像等问题。
它用改变频谱的方法处理相干处理系统中的光信息；用频
谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理 空域←→频域 傅里叶分析
离散周期信号 连续周期信号 离散非周期信号 连续非周期信号
1. 二维傅里叶变换
1、二维傅里叶变换的定义 含有两个变量x,y的函数 f (x,y)，其二维傅里叶变换定义为
F( fx , f y )

f ( x, y) exp j 2 ( f
x
x f y y) dxdy

F( fx , f y ) F { f ( x, y ) }
若f(x,y)为虚函数，显然有
F ( f x , f y ) F * (- f x , f y )
称
F ( f x , f y ) 具有反厄米对称性
6、卷积的傅里叶变换
F
f ( x , y ) F ( f x , f y ) F g( x , y ) G( f x , f y ) F f ( x , y ) g( x , y ) F ( f x , f y ) G( f x , f y )
这是因为，从应用的角度看，作为时间或空间函数而实际存
在的物理量，其傅里叶变换总是存在的。 但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用 理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函 数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例 如阶跃函数， 函数等就不满足存在条件。 因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图 形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。


F( fx, fy )
振幅谱 相位谱
2
( fx , f y )
F( fx, f y )
功率谱
类似地，函数f (x,y)也可以用其频谱函数表示，即：
f ( x, y) F ( f x , f y ) exp j 2 ( f x x f y y) df x df y =

11、导数定理
F
f ( x , y ) F ( f x , f y )
若其导数存在
2 f ( x, y ) ( j 2f x )( j 2f y ) F ( f x , f y ) F xy
2 F ( x, y) F ( j 2x)( j 2y) f ( x, y) f x f y
4、平移特性
函数空域的位移，带 来频域中的线性相移， 另一方面函数在空域 中的相移，会导致频 域位移。
F
F exp j 2 ( f x0 x f y 0 y) f ( x, y) F ( f x f x0 , f y f y 0 )
f ( x x0 , y y0 ) exp j 2 ( f x x0 f y y0 )F ( f x , f y )



m n F ( f x , f y ) m n exp j 2 ( f x x f y y) df x df y x y



F ( f x , f y )( j 2f x ) m ( j 2f y ) n exp j 2 ( f x x f y y) df x df y




m n f ( x, y) m n F m n (j2 f ) (j2 f ) F( fx , f y ) x y x y
F -1 F ( f x , f y )( j 2f x )m ( j 2f y )n


F( fx , f y )
2

2
F ( fx, f y )
称为信号f(x,y)的能谱密度
9、帕斯瓦尔（能量）定理



f ( x, y)g (x,y)dx dy F ( f



f ( x, y ) dx dy
2



F ( f x , f y ) dfx df y
, f ) G ( f x , f y )dfx df y x y
sin f x a sin f x a a a sin c( f x a) f x af x
F {rect(y)} a sin c( f y a)
f (x,y)=1
F
2 a {f ( x , y ) } lim sin c(afx ) sin c(afy ) ( f x , f y ) a
j
m


f ( x, y) exp j 2 ( f

x
x f y y) dxdy

m n ( ) ( ) f ( x, y ) exp j 2 ( f x x f y y ) dxdy m n 2 2 f x f y
即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变 换的相应组合。
2、二重傅里叶变换性质
F
F f ( x , y )
f ( x , y )
对二元函数作二次傅里叶变换，得到原函数的反折 3、缩放性质
F
f ( x, y) F ( f x , f y )
fx f y 1 F f (ax, by) F( , ) ab a b
（1）、函数f(x,y)必须对整个XY平面绝对可积，即


f ( x , y ) dxdy

（2）、函数f(x,y)必须在XY平面上的每一个有限区域内局部 连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。 （3）、函数f(x,y)必须没有无穷大间断点。
上述三个存在条件是从数学的角度提出的，我们不证明它。
f ( x, y )
F( fx , f y )
f
f ( x x0 , y y0 )
f
exp j 2 ( f x x0 f y y0 )F ( f x , f y )
f
exp j 2 ( f x0 x f y 0 y) f ( x, y)
f
F( fx , f y )


Βιβλιοθήκη Baidu
F ( f x f x0 , f y f y 0 )
7、乘积的傅里叶变换
F
f ( x , y ) F ( f x , f y ) F g( x , y ) G( f x , f y ) F f ( x , y )g( x , y ) F ( f x , f y ) G( f x , f y )
说明：空域两个函数的卷积，在频域等于其变换的乘积。这一定理有重 要的意义，当一个复杂函数可以表示成简单函数的乘积或卷积时，利用 卷积定理可由简单函数的傅里叶变换来确定复杂函数的傅里叶变换。而 且定理为获得两个函数的卷积提供了另一途径，即将两函数的变换式相 乘，再对乘积作逆变换。
三、广义傅里叶变换
对于不严格满足存在条件的函数，首先把它定义为某一个 序列的极限，该序列中的每一成分都具有通常的傅里叶变换， 然后求出该序列各成分的傅里叶变换，从而得到一个相应的变 换序列。如果后一序列极限存在，就称它为所考虑函数的广义 傅里叶变换。所以广义傅里叶变换就是极限意义下的傅里叶变换。 例题：求函数f(x,y)=1的傅里叶变换 解：上述函数显然不符合傅里叶变换存在的条件，现在我们 把它定义为矩形函数序列的极限。
在此定义中， 变换 F ( f x , f y )本身也是两个自变量 f x和f y 的函数。 F(fx , fy )称为f(x, y)的傅里叶谱或空间 频谱,fx , fy分别称
为X和Y方向的空间频 率.
F( fx , f y ) 用模和幅角表示如下
F ( f x , f y ) F ( f x , f y ) exp j ( f x , f y )