4.2 伯德图法设计

例4.2 2阶系统的超前校正网络
考虑2阶反馈控制系统，其开环传递函数为 K G (s)H(s) = s(s + 2)
给定的设计要求：系统的相角裕度不小于 45o，系统斜坡响应的稳态误差为5%。根据需 要引入合适的超前校正网络。 解： 由稳态误差要求可知
A A Kv = = = 20 ess 0.05A
用超前校正网络设计 设超前校正网络的传递函数为 K (s + z) G c (s) = 其中|z|<|p| (s + p) 设计要求是(1)系统对斜坡输入响应的稳态误差 小于10%,Kv=10;(2)系统对阶跃输入的超调量小 于10%;(3)按2％准则调节时间Ts不超过3s 根据给定的设计要求，有关公式如下
当飞机以4倍音速在100000英尺高空飞行时， 姿态控制系统的参数分别取为：
1 = 1.0, K1 = 1.0 ιa
ζωa = 1.0, ωa = 4
K 1ω 2 a (ι a s + 1) s 2 + sςωa s + ωa a
1 s
dθ dt
试设计一个校正网络Gc(s),使系统阶跃响应的 超调量小于5%,调节时间小于5s(按5％准则)
−1 −1
γ = 180° + φ(ωc ) = 47.3°
满足设计要求
利用MATLAB来进行系统设计 例4.3 转子绕线机控制系统 每个小型直流电机都有3个独立的转子线 圈，上面需要缠绕几百圈的铜线。绕线机 用直流电机来缠绕铜线，它应该能快速准 确地绕线，并使线圈连贯坚固。采用自动 绕线机后，操作人员只需要从事插入空转 子、按下启动按钮和取下绕线转子等简单 操作。控制系统设计的目标是使绕线速度 和缠绕位置都具有很高的稳态精度。
（4）高频段衰减得越快，即高频特性负分贝值 低，说明系统抗高频噪声干扰的能力越强
4.2.2 Bode图法
L( ω )
− 1 αT
1 −1 αT T
ω
20 lg α
Φ( ω )
+20
Φm
ωm
ω
自动控制原理 频域法设计无源超前网络的步骤
L( ω)
− 1 1 −1 αT αT T
ω
20lgα 1)根据稳态误差要求， +20 确定开环增益K Φ( ω) 2)利用已确定的开环增益， Φm ω ωm 计算待校正系统的相角裕度 ′ 3)根据截止频率 ωc′ 的要求，计算超前网络参数 关键：选择最大超前角频率等于要求的系 ′ 统截止频率，即 ωm = ωc′ ′ − L′(ωc′ ) = Lc (ωm ) = 10 lg a a 由 T= 1 确定 T ω a
开环对数频率特性的一般要求
伯德图
γ = 30° ~ 60°
h > 6dB
L(dB)低频段
中频段
高频段
（1）中频段以-20dB/dec的斜率 穿越零分贝线，而且这一斜率占 有足够的频带宽度，则系统的稳 0 定性好 （2）截止频率wc越高，则系 统的快速性越好
-20dB/dec
ωc
ω
s −1
（3）低频段的斜率陡，增益高，表示系统的稳态精度好（即静差率小，调 速范围宽）
课后作业 考虑x-15飞机的姿态控制问题 姿态控制系统的简化模型如图
1 s
K 1ω 2 a (ι a s + 1) s 2 + sςωa s + ωa a
dθ dt
当飞机以4倍音速在100000英尺高空飞行时， 姿态控制系统的参数分别取为：
1 = 1.0, K1 = 1.0 ιa
ζωa = 1.0, ωa = 4
经过校正的系统开环传递函数
20[(s / 4.8) + 1] aG c (s)G (s)H(s) = s(0.5s + 1)[(s / 14.4) + 1]
校验
ωc −1 ωc φ(ωc ) = −90 − tan 0.5ωc − tan + tan 14.4 4.8 = −90 − 76.5 − 30 − 60.2 = −136.3°
m
4)验算已校正系统的相角裕度
′ γ ′′ = ϕ m + γ (ωc′ )
4.2.2 Bode图法 用Bode图设计超前校正网络的步骤
1)根据稳态误差要求，确定开环增益K 2)利用已确定的开环增益，计算待校正系统的相角裕度
3)在允许的调节范围内，确定所需要的最大 超前相角 φ m a −1 4)计算a，利用式 tan φ m = a +1 5)计算10loga，在原系统幅频曲线上，确定频 ″ 率 ωc ′ ωm ，公式 − L′(ωc′ ) = Lc (ωm ) = 10 lg a 6)计算极点频率 p = ωm a 零点频率 z = p / a 7)校验新系统是否满足性能指标
4. 2 伯德图法
频域性能指标
4.2.1对控制系统的一般要求 开环对数频率特性的一般要求 L(dB)低频段 怎么才是 /为什么它是 理想的伯德图 ？
0 中频段 高频段
-20dB/dec
ωc
ω
s −1
（1）中频段以-20dB/dec的斜率穿越零分贝 线，而且这一斜率占有足够的频带宽度，则系 统的稳定性好 相角裕度 γ = 30° ~ 60° 幅值裕度 h > 6dB
由
a −1 = sin 30° = 0.5 a +1
源自文库
解得a=3
由于10loga=4.8dB,在原系统幅频曲线上，可看 到于-4.8dB对应的频率为ωm = 8.4rad / s 在超前网络的零点和极点处，可得
p = ωm a = 14.4
z = p / a = 4 .8
超前校正网络的传递函数 1(1 + s / 4.8) G c (s) = 3(1 + s / 14.4)
按Bode图法设计校正网络后 绘制校正后系统的Bode图 K=1800; numg=[1];deng=[1 15 50 0]; numgc=K*[1 3.5];dengc=[1 25]; [num,den]=series(numgc,dengc,numg,deng); w=logspace(-1,2,200); [mag,phase,w]=bode(num,den,w); [Gm,Pm,Weg,Wep]=margin(mag,phase,w); bode(num,den,w) title(['Gaom,argom=',num2str(Gm),'Phase margin=',num2str(Pm)]);
例4.3 转子绕线机控制系统 绕线机控制系统如图。
R(s) Gc(s)
1 s(s + 5)(s + 10)
C(s)
设计校正网络，是系统对斜坡输入有很高的 稳态精度 首先考虑简单的增益放大器Gc(s)=K 50 系统的稳态误差为： ess = K
MATLAB文本程序
K=[50 100 200 500]; numg=[1];deng=[1 15 50 0]; t=0:0.1:5; for i=1:4 [nums,dens]=series(K(i),1,numg,deng); [num,den]=cloop(nums,dens); [y,x]=step(num,den,t); Ys(:,i)=y; end plot(t,Ys(:,1),'-',t,Ys(:,2),'-',t,Ys(:,3),'-',t,Ys(:,4),'-'); xlabel('Time(sec)');ylabel('y(t)')
开环对数频率特性的一般要求
伯德图
L(dB)低频段
中频段
高频段
γ = 30° ~ 60°
h > 6dB
-20dB/dec
（1）中频段以-20dB/dec的斜率 穿越零分贝线，而且这一斜率占 0 有足够的频带宽度，则系统的稳 定性好
ωc
ω
s −1
（2）截止频率wc越高，则系统的快速性越好 （3）低频段的斜率陡，增益高，表示系统的稳 态精度好（即稳态误差小）
− ςπ / 1− ς 2
4 Ts = =3 ςωn
exp
= 0.1
得 ς = 0.59, ωn = 2.26
ς ≈ 60° 由系统参数得 φ pm = 0.01 明确频域指标后，可以按Bode图法设计校正网络 绘制K=500时原系统的Bode图
K=500;numg=[1];deng=[1 15 50 0]; [num,den]=series(K,1,numg,deng); w=logspace(-1,2,200); [mag,phase,w]=bode(num,den,w); [Gm,Pm,Weg,Wep]=margin(mag,phase,w); %原系统相角 Phi=(60-Pm)*pi/180; %所需附加的相角 alpha=(1+sin(Phi))/(1-sin(Phi)); %计算a M=-10*log10(alpha)*ones(length(2),1);%用于绘-10lga线 [mag,phase,w]=bode(num,den,w); semilogx(w,20*log10(mag), w,M),grid; xlabel('frequency[rad/sec]'),ylabel('mag[dB]');
校正后系统的实际阶跃响应
K=1800; numg=[1];deng=[1 15 50 0]; numgc=K*[1 3.5];dengc=[1 25]; [nums,dens]=series(numgc,dengc,numg,deng); [num,den]=cloop(nums,dens); t=[0:0.01:2]; step(num,den,t); ylabel('y(t)');
K=2Kv=40
原系统的开环频率特性函数为
Kv 20 = G ( jω)H( jω) = jω(0.5 jω + 1) jω(0.5 jω + 1)
由原系统Bode图，得原系统截止频率
ωc = 6.2rad / s
相角 φ(ω ) = −90° − tan −1 (0.5ω ) = −162° c c 相角裕度 γ = 180° + φ(ωc ) = 18° 未达到给定的设计要求 所需的超前相角至少为45o-18o＝27o 考虑一定余量(10%)，设 φ = 30°