离散时间信号与系统
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第一章 时域离散信号和时域离散系统 Discrete-time Signal and System
1.1 采样 1.2 离散时间信号——序列 1.3 离散时间系统与差分方程 1.4 总结
2020/12/30
编辑ppt
1
1.1 采样
采样实例 — 音乐播放
真实音乐
传感器
A/D 数字音乐
2020/12/30
M (t) (t nT )
a e jmst m
n
m
级数的基频，即采样频率为：
s
2
T
2fs
s : 角频率
fs : 频率
根据傅氏级数的知识，可得系数am:
am
1 T
T 2
T
M
(
t
)e
2
jmst dt
1 T
T 2
T 2
n
(t
nT
)e
jmst dt
当|t|T/2时，仅有一个(t)，故：
• 语音：<4kHz
• 音乐：<20kHz
• 超声：20kHz~xxMHz
• FM收音机：MHz • 雷达：xGHz •…
通用仪器：直流~300MHz 微波仪器：>300MHz
– 放大/衰减
Amplifier
– 滤波
Filter
– 信号转换
Signal Conversion
– ……
• 将外部信号采入系统（CPU、MPU、DSP…）， 并加以处理，最后输出…
2020/12/30
编辑ppt
14
工程中A/D基本定义
• 信号的频率
– 代表信号变化快慢的物理量
– 不同的信号频率不同：
编辑ppt
9
（2）信号最高频谱 > s/2 ？
各次调制频谱就会相互交叠起 来，出现频谱的“混淆”现象
信号的无失真恢复
频谱的混淆 Overlap of spectrum
Foldover region
Definition 折叠频率 folding frequency：采样频率的一半 s/2。 奈奎斯特采样频率 Nyquist sampling rate：正确采样所必
编辑ppt
2
1.1 采样
采样实例 — 音乐播放
xa(t)
xa t
采样 & 保持
T
t
量化 & 编码
xˆ a t xa t M t
t
x(n)
x n
n
-1 0 1 2
…..
幅度量化
不考虑
2020/12/30
编辑ppt
3
(1) 理想采样
T
pt
M t
T
When 0
t
0 T 2T 3T 4T 5T
e jm st
T m
理想采样序列 xa (t ) 的傅立叶变换
Xˆ a ( j)
xa
(t
)e
jt dt
xa
(t
)
M
(t
)e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
jt
dt
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Xˆ
a
(
j)
xa
(t )e
jt dt
xa
(t)M
(t )e
jt dt
1
T m
xa
(
t
)e
j
(
m
s
)t
dt
2020/12/30
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8
频谱周期延拓的两种情况 （1）信号最高频谱 < s/2
频谱的周期延拓
s
由图可见： 2
如果xa(t)是实带限信号，且最高 频谱不超过s/2，即：
Xa(
j)
X
a
(
j
)，|
0，|
|
s
|
s 2
2
则 Xˆ a ( j)中，基带及各次谐波调制频谱彼此不重叠。
2020/12/30
1 T
Xa(
m
j
jm s )
推导结果的意义： 一个连续信号经过理想采样后，它的频谱每隔一个采
样频率s重复出现一次，也就是产生了频谱的周期延拓。
从脉冲调制的角度解释：
因M(t)具有大小相等的各阶谐波分量，当M(t)被xa(t) 调幅后， xa(t)的频谱就被调制到M(t)的各阶谐波上了，出 现了基带频谱的搬移。
2020/12/30
编辑ppt
12
实际工程中的应用
抗混叠 滤波器 过采样 采样较高采样率
S 6 8MAX
xa t
Analog input
采样后发生的变化?
频谱发生的变化? 信号内容发生的变化? 重构条件?
2020/12/30
编辑ppt
13
工程实践中的信号采集
• 传感器 Sensors
• 信号调理 Signal Conditioning
(1) t
0 T 2T 3T 4T 5T
采样脉冲序列
采样冲激序列
理想采样序列 理想冲激采样
M (t) (t nT )
n
xa (t) xa (t)M(t)
xa (t)
xa (t)
(t
nT )
xa (t) (t nT )
n
n
2020/12/30
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4
2 频谱的周期延拓
1
2
X
a
(
j)e
jt
d
理想采样信号 xˆ a (t ) 的傅立叶变换为 Xˆ a ( j) ：
Xˆ a ( j) F[ xˆ a (t )] F[ xa (t )M (t )]
分析 Xˆ a ( j) 和 X a ( j) 的内在联系
2020/12/30
编辑ppt
5
因为M(t)为周期函数，故可用傅氏级数表示：
实际工作中的应用 Application in engineering
S 2 MAX
采样前置低通滤波(抗混叠滤波)
Anti-aliasing filter
选择充分的采样频率
Oversampling – high sampling rate
ADVANTAGES
Simple anti-aliasing filters Low signal-to-noise ratio (SNR)
需的最低采样率，信号最高频率的2倍。 奈奎斯特间隔 Nyquist interval: 最大允许的采样间隔
2020/12/30
TS
c
1 编2辑fpcpt
1 fs
10
2020/12/30
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奈奎斯特采样定理 Nyquist sampling theorem
模拟信号的采样频率s必须大于或等于信号中最高频率 max的两倍，才能保证其频谱不产生混叠且不失真还原。
Spectrum repeated at multiples of the sampling frequency
采样后信号频谱的变化？
设输入信号 xa (t ) 的傅立叶变换为 Xa ( j) ，则：
Xa ( j) F[ xa (t)]
xa
(t
)e
jt
dt
xa (t)
F 1[ Xa (
j)]
1
am T
T
2
T 2
n
(t )e jmst dt
1 T
2020/12/30
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M (t) 1
e jm st
T m
6
上述推导的意义：
冲激序列M(t)具有梳状谱结构，即它的各次谐波都 具有相等的幅度：1/T
F[M (t)]
1 T
-1 0 1 2 3 4
/ s
M (t) 1
1.1 采样 1.2 离散时间信号——序列 1.3 离散时间系统与差分方程 1.4 总结
2020/12/30
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1.1 采样
采样实例 — 音乐播放
真实音乐
传感器
A/D 数字音乐
2020/12/30
M (t) (t nT )
a e jmst m
n
m
级数的基频，即采样频率为：
s
2
T
2fs
s : 角频率
fs : 频率
根据傅氏级数的知识，可得系数am:
am
1 T
T 2
T
M
(
t
)e
2
jmst dt
1 T
T 2
T 2
n
(t
nT
)e
jmst dt
当|t|T/2时，仅有一个(t)，故：
• 语音：<4kHz
• 音乐：<20kHz
• 超声：20kHz~xxMHz
• FM收音机：MHz • 雷达：xGHz •…
通用仪器：直流~300MHz 微波仪器：>300MHz
– 放大/衰减
Amplifier
– 滤波
Filter
– 信号转换
Signal Conversion
– ……
• 将外部信号采入系统（CPU、MPU、DSP…）， 并加以处理，最后输出…
2020/12/30
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工程中A/D基本定义
• 信号的频率
– 代表信号变化快慢的物理量
– 不同的信号频率不同：
编辑ppt
9
（2）信号最高频谱 > s/2 ？
各次调制频谱就会相互交叠起 来，出现频谱的“混淆”现象
信号的无失真恢复
频谱的混淆 Overlap of spectrum
Foldover region
Definition 折叠频率 folding frequency：采样频率的一半 s/2。 奈奎斯特采样频率 Nyquist sampling rate：正确采样所必
编辑ppt
2
1.1 采样
采样实例 — 音乐播放
xa(t)
xa t
采样 & 保持
T
t
量化 & 编码
xˆ a t xa t M t
t
x(n)
x n
n
-1 0 1 2
…..
幅度量化
不考虑
2020/12/30
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(1) 理想采样
T
pt
M t
T
When 0
t
0 T 2T 3T 4T 5T
e jm st
T m
理想采样序列 xa (t ) 的傅立叶变换
Xˆ a ( j)
xa
(t
)e
jt dt
xa
(t
)
M
(t
)e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
jt
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Xˆ
a
(
j)
xa
(t )e
jt dt
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(t)M
(t )e
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T m
xa
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t
)e
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(
m
s
)t
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频谱周期延拓的两种情况 （1）信号最高频谱 < s/2
频谱的周期延拓
s
由图可见： 2
如果xa(t)是实带限信号，且最高 频谱不超过s/2，即：
Xa(
j)
X
a
(
j
)，|
0，|
|
s
|
s 2
2
则 Xˆ a ( j)中，基带及各次谐波调制频谱彼此不重叠。
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1 T
Xa(
m
j
jm s )
推导结果的意义： 一个连续信号经过理想采样后，它的频谱每隔一个采
样频率s重复出现一次，也就是产生了频谱的周期延拓。
从脉冲调制的角度解释：
因M(t)具有大小相等的各阶谐波分量，当M(t)被xa(t) 调幅后， xa(t)的频谱就被调制到M(t)的各阶谐波上了，出 现了基带频谱的搬移。
2020/12/30
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实际工程中的应用
抗混叠 滤波器 过采样 采样较高采样率
S 6 8MAX
xa t
Analog input
采样后发生的变化?
频谱发生的变化? 信号内容发生的变化? 重构条件?
2020/12/30
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工程实践中的信号采集
• 传感器 Sensors
• 信号调理 Signal Conditioning
(1) t
0 T 2T 3T 4T 5T
采样脉冲序列
采样冲激序列
理想采样序列 理想冲激采样
M (t) (t nT )
n
xa (t) xa (t)M(t)
xa (t)
xa (t)
(t
nT )
xa (t) (t nT )
n
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2 频谱的周期延拓
1
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X
a
(
j)e
jt
d
理想采样信号 xˆ a (t ) 的傅立叶变换为 Xˆ a ( j) ：
Xˆ a ( j) F[ xˆ a (t )] F[ xa (t )M (t )]
分析 Xˆ a ( j) 和 X a ( j) 的内在联系
2020/12/30
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因为M(t)为周期函数，故可用傅氏级数表示：
实际工作中的应用 Application in engineering
S 2 MAX
采样前置低通滤波(抗混叠滤波)
Anti-aliasing filter
选择充分的采样频率
Oversampling – high sampling rate
ADVANTAGES
Simple anti-aliasing filters Low signal-to-noise ratio (SNR)
需的最低采样率，信号最高频率的2倍。 奈奎斯特间隔 Nyquist interval: 最大允许的采样间隔
2020/12/30
TS
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1 编2辑fpcpt
1 fs
10
2020/12/30
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11
奈奎斯特采样定理 Nyquist sampling theorem
模拟信号的采样频率s必须大于或等于信号中最高频率 max的两倍，才能保证其频谱不产生混叠且不失真还原。
Spectrum repeated at multiples of the sampling frequency
采样后信号频谱的变化？
设输入信号 xa (t ) 的傅立叶变换为 Xa ( j) ，则：
Xa ( j) F[ xa (t)]
xa
(t
)e
jt
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xa (t)
F 1[ Xa (
j)]
1
am T
T
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T 2
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(t )e jmst dt
1 T
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M (t) 1
e jm st
T m
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上述推导的意义：
冲激序列M(t)具有梳状谱结构，即它的各次谐波都 具有相等的幅度：1/T
F[M (t)]
1 T
-1 0 1 2 3 4
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