最新高考数学专题复习立体几何重点题型空间距离空间角(师)
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例2.如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.
命题目的：本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
（Ⅱ）连结AC、BD设 ，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.取OC的中点N，连接PN.
因为 ，所以 ，
从而AQ∥PN，∠BPN（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.
因为 ，
所以 .
从而异面直线AQ与PB所成的角是 .
(Ⅲ)连结OM，则
所以∠MQP＝45°.
过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.
解答过程：
方法一 （Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM.
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，
所以AD⊥PM，AD⊥QM.从而AD⊥平面PQM.
又 平面PQM，所以PQ⊥AD.
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥Βιβλιοθήκη Baidu面ABCD.
②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.
③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.
④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念.
⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.
⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式.
思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.
解答过程：
如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，
为 的中位线， ∥ ∥面 ,
到平面 的距离即为两异面直线间的距离.
又 线面之间的距离可转化为线 上一点C到平面
⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图.
空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题.
为正三角形， ．
正三棱柱 中，平面 平面 ，
平面 ．
连结 ，在正方形 中， 分别为
的中点， ， ．
在正方形 中， ， 平面 ．
（Ⅱ）设 与 交于点 ，在平面 中，作 于 ，连结 ，由（Ⅰ）得 平面 ．
， 为二面角 的平面角．
在 中，由等面积法可求得 ，
又 ， ．
所以二面角 的大小为 ．
（Ⅲ） 中， ， ．
典型例题
例1如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的
大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维
能力和运算能力．
解答过程：解法一：（Ⅰ）取 中点 ，连结 ．
的距离，设其为h，由题意知， ,D、E、F分别是
立体几何题型
【考点透视】
(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.
(B)版.
①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.
不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.
求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。
【例题解析】
考点1点到平面的距离
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.
， ．
平面 ．
（Ⅱ）设平面 的法向量为 ．
， ． ， ，
令 得 为平面 的一个法向量．
由（Ⅰ）知 平面 ，
为平面 的法向量．
， ．
二面角 的大小为 ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）， 为平面 法向量，
．
点 到平面 的距离 ．
小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面 的距离转化为容易求的点K到平面 的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.
在正三棱柱中， 到平面 的距离为 ．
设点 到平面 的距离为 ．
由 ，得 ，
．
点 到平面 的距离为 ．
解法二：（Ⅰ）取 中点 ，连结 ．
为正三角形， ．
在正三棱柱 中，平面 平面 ，
平面 ．
取 中点 ，以 为原点， ， ， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ， ．
， ，
（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD.故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），A（ ，0，0），Q（0，0，－2），B（0， ，0）.
所以
于是 .
(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－ ，0）， ，
，设 是平面QAD的一个法向量，由
得 .
取x=1，得 .
所以点P到平面QAD的距离 .
考点2异面直线的距离
此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.
典型例题
例3已知三棱锥 ，底面是边长为 的正三角形，棱 的长为2，且垂直于底面. 分别为 的中点，求CD与SE间的距离.
由（Ⅰ）知AD⊥平面PMQ，所以平面PMQ⊥平面QAD.过P作PH⊥QM于H，PH⊥平面QAD.从而PH的长是点P到平面QAD的距离.
又 .
即点P到平面QAD的距离是 .
方法二
（Ⅰ）连结AC、BD，设 .
由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.
命题目的：本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
（Ⅱ）连结AC、BD设 ，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.取OC的中点N，连接PN.
因为 ，所以 ，
从而AQ∥PN，∠BPN（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.
因为 ，
所以 .
从而异面直线AQ与PB所成的角是 .
(Ⅲ)连结OM，则
所以∠MQP＝45°.
过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.
解答过程：
方法一 （Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM.
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，
所以AD⊥PM，AD⊥QM.从而AD⊥平面PQM.
又 平面PQM，所以PQ⊥AD.
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥Βιβλιοθήκη Baidu面ABCD.
②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.
③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.
④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念.
⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.
⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式.
思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.
解答过程：
如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，
为 的中位线， ∥ ∥面 ,
到平面 的距离即为两异面直线间的距离.
又 线面之间的距离可转化为线 上一点C到平面
⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图.
空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题.
为正三角形， ．
正三棱柱 中，平面 平面 ，
平面 ．
连结 ，在正方形 中， 分别为
的中点， ， ．
在正方形 中， ， 平面 ．
（Ⅱ）设 与 交于点 ，在平面 中，作 于 ，连结 ，由（Ⅰ）得 平面 ．
， 为二面角 的平面角．
在 中，由等面积法可求得 ，
又 ， ．
所以二面角 的大小为 ．
（Ⅲ） 中， ， ．
典型例题
例1如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的
大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维
能力和运算能力．
解答过程：解法一：（Ⅰ）取 中点 ，连结 ．
的距离，设其为h，由题意知， ,D、E、F分别是
立体几何题型
【考点透视】
(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.
(B)版.
①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.
不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.
求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。
【例题解析】
考点1点到平面的距离
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.
， ．
平面 ．
（Ⅱ）设平面 的法向量为 ．
， ． ， ，
令 得 为平面 的一个法向量．
由（Ⅰ）知 平面 ，
为平面 的法向量．
， ．
二面角 的大小为 ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）， 为平面 法向量，
．
点 到平面 的距离 ．
小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面 的距离转化为容易求的点K到平面 的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.
在正三棱柱中， 到平面 的距离为 ．
设点 到平面 的距离为 ．
由 ，得 ，
．
点 到平面 的距离为 ．
解法二：（Ⅰ）取 中点 ，连结 ．
为正三角形， ．
在正三棱柱 中，平面 平面 ，
平面 ．
取 中点 ，以 为原点， ， ， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ， ．
， ，
（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD.故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），A（ ，0，0），Q（0，0，－2），B（0， ，0）.
所以
于是 .
(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－ ，0）， ，
，设 是平面QAD的一个法向量，由
得 .
取x=1，得 .
所以点P到平面QAD的距离 .
考点2异面直线的距离
此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.
典型例题
例3已知三棱锥 ，底面是边长为 的正三角形，棱 的长为2，且垂直于底面. 分别为 的中点，求CD与SE间的距离.
由（Ⅰ）知AD⊥平面PMQ，所以平面PMQ⊥平面QAD.过P作PH⊥QM于H，PH⊥平面QAD.从而PH的长是点P到平面QAD的距离.
又 .
即点P到平面QAD的距离是 .
方法二
（Ⅰ）连结AC、BD，设 .
由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.