2017-2018年河南省安阳市林州一中火箭班高二上学期期中数学试卷及解析(理科)

2017-2018学年河南省安阳市林州一中火箭班高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}，B=，则A∩B=（）A． B． C．D．2．（5分）已知实数m，n满足（m+ni）（4﹣2i）=3i+5，则m+n=（）A．B．C．D．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品的数量分别为：460，350，190．现在用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，下列说法正确的是（）A．甲抽取样品数为48B．乙抽取样品数为35C．丙抽取样品数为21D．三者中甲抽取的样品数最多，乙抽取的样品数最少4．（5分）“直线ax﹣2y﹣3=0的倾斜角大于”是“a＞2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知正项等比数列{a n}满足，且，则数列{a n}的前9项和为（）A．B．C．D．7．（5分）记[x]表示不超过x的最大整数，如[3]=3，[4.6]=4．执行如图所示的程序框图，输出i的值是（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到准线l的距离为2，过点F 且倾斜角为60°的直线与拋物线C交于M，N两点，若MM'⊥l，NN'⊥l，垂足分别为M'，N'，则△M'N'F的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线l：x+y﹣1=0截圆Ω：x2+y2=r2（r＞0）所得的弦长为，点M，N在圆Ω上，且直线l'：（1+2m）x+（m﹣1）y﹣3m=0过定点P，若PM ⊥PN，则|MN|的取值范围为（）A． B． C．D．11．（5分）已知函数在上单调递增，且，则实数m的取值范围为（）A． B．C．[1，+∞）D．12．（5分）已知关于x的不等式的解集中只有两个整数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中，含x2的项的系数为．14．（5分）已知函数，当时，函数f（x）的最小值与最大值之和为．15．（5分）已知实数x，y满足，则的最小值为．16．（5分）已知数列{a n}满足，若a n+1＞a n，则数列{a n}的首项的取值范围为．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知在△ABC中，△ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=0，C=．（1）求cosB的值；（2）若=16，求b的值．18．（12分）共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广．最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”．（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X，求X的分布列与数学期望．19．（12分）已知正四棱锥S﹣ABCD的各条棱长都相等，且点E，F分别是SB，SD的中点．（1）求证：AC⊥SB；（2）若M∈平面AEF，且M∈SC，求的值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．过椭圆C右焦点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且y1+y2≠0．（1）求椭圆C的方程；（2）若点Q1与点Q关于x轴对称，且直线Q1P与x轴交于点R，求△RPQ面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）设g（x）=f（x）+2e x﹣ax2，h（x）=x，若[g（x1）﹣h（x1）]•[g（x2）﹣h（x2）]＞0，对任意x1，x2∈（0，+∞）成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=4，现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，P为曲线C2上的动点，求△PAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+3|．（1）求不等式f（x）≤4的解集M；（2）若a，b∈M，证明：（a2+2a﹣3）（b2+2b﹣3）≥0．2017-2018学年河南省安阳市林州一中火箭班高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}，B=，则A∩B=（）A． B． C．D．【解答】解：∵集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}={x|}，B=={x|x}，∴A∩B={x|}=[，1]．故选：B．2．（5分）已知实数m，n满足（m+ni）（4﹣2i）=3i+5，则m+n=（）A．B．C．D．【解答】解：由（m+ni）（4﹣2i）=（4m+2n）+（4n﹣2m）i=3i+5，得，解得m=，n=．∴m+n=．故选：A．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品的数量分别为：460，350，190．现在用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，下列说法正确的是（）A．甲抽取样品数为48B．乙抽取样品数为35C．丙抽取样品数为21D．三者中甲抽取的样品数最多，乙抽取的样品数最少【解答】解：根据分层抽样原理知，抽样比例为=，所以甲产品抽取460×=46，乙产品抽取350×=35，丙产品抽取190×=19；三者中甲抽取的样品数最多，丙抽取的样品数最少．故选：B．4．（5分）“直线ax﹣2y﹣3=0的倾斜角大于”是“a＞2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线的斜截式方程为y=x﹣，则斜率k==tanθ，若θ＞，则k==tanθ＞1或k==tanθ＜0，即a＞2或a＜0，即“直线ax﹣2y﹣3=0的倾斜角大于”是“a＞2”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，大圆的直径为y=3sin x的周期，且T==12，面积为S=π•=36π，一个小圆的面积为S′=π•12=π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P===．故选：B．6．（5分）已知正项等比数列{a n}满足，且，则数列{a n}的前9项和为（）A．B．C．D．【解答】解：正项等比数列{a n}满足，可得=1，所以a3=1，，可得q=，所以a1=4，数列{a n}的前9项和为：=8﹣=．故选：C．7．（5分）记[x]表示不超过x的最大整数，如[3]=3，[4.6]=4．执行如图所示的程序框图，输出i的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：a=2018，i=1，a=2018，满足条件a＞10，执行循环体，可得：i=2，a=1009满足条件a＞10，执行循环体，可得：i=3，a=336满足条件a＞10，执行循环体，可得：i=4，a=84满足条件a＞10，执行循环体，可得：i=5，a=16满足条件a＞10，执行循环体，可得：i=6，a=2不满足条件a＞10，退出循环，输出i的值为6．故选：C．8．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到准线l的距离为2，过点F 且倾斜角为60°的直线与拋物线C交于M，N两点，若MM'⊥l，NN'⊥l，垂足分别为M'，N'，则△M'N'F的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到其准线l的距离为2，可得p=2．∴y2=4x．过焦点且倾斜角为60°的直线y=x﹣与抛物线交于M，N两点，，解得M（3，2），N（，﹣）．若MM′⊥l，NN′⊥l，垂足分别为M′（﹣1，2），N′（﹣1，﹣），则△M′N′F的面积为：×（2+）×2=．故选：D．9．（5分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体为一个棱长为4的正方体挖去一个底面半径r=2，高为4的半圆锥得到的几何体，∴该几何体的表面积为：S+4×4×6﹣﹣+=88+（2﹣2）π．故选：A．10．（5分）已知直线l：x+y﹣1=0截圆Ω：x2+y2=r2（r＞0）所得的弦长为，点M，N在圆Ω上，且直线l'：（1+2m）x+（m﹣1）y﹣3m=0过定点P，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为（）A． B． C．D．【解答】解：由题意，2=，解得：r=2，∵直线l'：（1+2m）x+（m﹣1）y﹣3m=0过定点P，故P（1，1），设MN的中点是Q（x，y），则OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2，即4=x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2，化简可得+=，故Q的轨迹是以（，）为圆心，为半径的圆，∴|PQ|的范围是[，]，故|MN|的范围是[﹣，+]，故选：D．11．（5分）已知函数在上单调递增，且，则实数m的取值范围为（）A． B．C．[1，+∞）D．【解答】解：函数=﹣cos2x•（﹣cosθ）﹣sin2xsinθ=cos（2x+θ），∵函数f（x）在上单调递增，∴函数的最大值为f（﹣）=cos （θ﹣）≤1，若恒成立，则函数的最大值为f（﹣）=cos（θ﹣）≤m 恒成立，而cos（θ﹣）≤1，∴只要1≤m，故选：C．12．（5分）已知关于x的不等式的解集中只有两个整数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由，得a＜．令f（x）=，则f′（x）=．令g（x）=lnx+x﹣5，则g′（x）=．即g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（3）=ln3﹣2＜0，g（4）=ln4﹣1＞0．∴存在唯一x0∈（3，4），使得g（x0）=0．∴当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，x0）上单调递增，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（x0，+∞）上单调递减，∵f（1）=＜0，f（2）=＜0，f（3）=＞0，且当x＞3时，f（x）＞0．又|f（1）|=，|f（2）|=＞|f（3）|=，|f（4）|=，∴要使，即a＜的解集中只有两个整数，则实数a的取值范围为，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中，含x2的项的系数为．=（3x2）8﹣r=（﹣1）r•38﹣r•2r•．【解答】解：通项公式：T r+1令16﹣=2，解得：r=6．∴含x2的项的系数=32×2﹣6×=．故答案为：．14．（5分）已知函数，当时，函数f（x）的最小值与最大值之和为．【解答】解：函数=sin2x=sin （2x﹣）∵当时，则2x﹣∈[，]当2x﹣=时，函数f（x）取得最小值为=﹣1当2x﹣=时，函数f（x）取得最大值为1﹣=数f（x）的最小值与最大值之和为=故答案为：．15．（5分）已知实数x，y满足，则的最小值为．【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由图可知，在目标函数的上方并满足约束条件的区域使得目标函数为负数，故目标函数的绝对值是其相反数，由线性规划可知，目标函数最小值在A（1，4）处取得，（2x﹣3y+4）min=﹣6，故z max=|2x﹣3y+4|=6；由图可知，在目标函数的下方并满足约束条件的区域使得目标函数为正数，故目标函数的绝对值是其本身，由线性规划可知，目标函数最大值在B（2，1）处取得，（2x﹣3y+4）max=5，故z max=|2x﹣3y+4|=6．则的最小值为：=．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}满足，若a n+1＞a n，则数列{a n}的首项的取值范围为（﹣7，+∞）．【解答】解：数列{a n}满足，﹣3a n=8n+6，可得a n+1=3a n+8n+6，即为a n+1a n+1＞a n，可得数列{a n}递增，可得3a n+8n+6＞a n，可得a n+4n+3＞0恒成立，即有0＜a1+4+3，解得a1＞﹣7．则数列{a n}的首项的取值范围为（﹣7，+∞），故答案为：（﹣7，+∞）．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知在△ABC中，△ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=0，C=．（1）求cosB的值；（2）若=16，求b的值．【解答】解：（1）因为，得，得sinA=3cosA，即sin2A=9cos2A=9（1﹣sin2A），所以，又，所以sinA＞0，故，又∵，故，即，所以cosA＞0，故，故．（2），所以bccosA=16，得①，又，所以sinB=sin（A+C）=，在△ABC中，由正弦定理，得，即，得②，联立①②，解得b=8．18．（12分）共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广．最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”．（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X，求X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件A，则．（2）显然X的取值为0，1，2，3，，，，，故随机变量X的分布列为X的数学期望．19．（12分）已知正四棱锥S﹣ABCD的各条棱长都相等，且点E，F分别是SB，SD的中点．（1）求证：AC⊥SB；（2）若M∈平面AEF，且M∈SC，求的值．【解答】解：（1）证明：设AC∩BD=O，则O为底面正方形ABCD中心，连接SO，因为S﹣ABCD为正四梭锥．所以SO⊥平面ABCD，所以SO⊥AC．又BD⊥AC，且SO∩BD=O，所以AC⊥平面SBD；因为SB⊂平面SBD，故AC⊥SB．（2）作出点M如图所示，连接AM．因为OA，OB，OS两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．设OA=2，所以A（2，0，0），D（0，﹣2，0），C（﹣2，0，0），B（1，1，0），S（0，0，2），E（0，1，1），F（0，﹣1，1）．设，其中λ∈[0，1]，则，所以，设平面AEMF的法向量为，又，所以，即，所以y=0，令x=1，z=2，所以，因为AM⊂平面AEF，所以，即﹣2﹣2λ+2（2﹣2λ）=0．解得，所以．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．过椭圆C右焦点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且y1+y2≠0．（1）求椭圆C的方程；（2）若点Q1与点Q关于x轴对称，且直线Q1P与x轴交于点R，求△RPQ面积的最大值．【解答】解：（I ）依题意，，解得，故椭圆C的方程为；（2）依题意，直线l：x=my+3（m≠0），且注意到（3，0）为椭圆C的右焦点；直线l与椭圆C方程联立化简并整理得（m2+4）y2+6my﹣3=0，∴，由题设知直线Q1P的方程为，令y=0得=，∴点R（4，0）；故===（当且仅当即时等号成立）∴△RPQ的面积存在最大值，最大值为1．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）设g（x）=f（x）+2e x﹣ax2，h（x）=x，若[g（x1）﹣h（x1）]•[g（x2）﹣h（x2）]＞0，对任意x1，x2∈（0，+∞）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）依题意，f'（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x，令f'（x）＞0，解得x＞1，故函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）；（2）当g（x1）﹣h（x1）＞0时，对任意的x2∈（0，+∞）都有g（x2）﹣h（x2）＞0；当g（x1）﹣h（x1）＜0时，对任意的x2∈（0，+∞），都有g（x2）﹣h（x2）＞0；故g（x）﹣h（x）＞0对x∈（0，+∞）成立，或g（x）﹣h（x）＜0对x∈（0，+∞）恒成立．而g（x）﹣h（x）=x（e x﹣ax﹣1），设函数p（x）=e x﹣ax﹣1，x∈（0，+∞）．则p（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，或p（x）＜0对x∈（0，+∞）恒成立，p'（x）=e x﹣a，①当a≤1时，∵x∈（0，+∞），∴e x＞1，∴p'（x）＞0恒成立，所以p（x）在（0，+∞）上递增，p（0）=0，故p（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，符合题意．②当a＞1时，令p'（x）=0得x=lna，令p'（x）＜0得0＜x＜lna，故p（x）在（0，lna）上递减，所以p（lna）＜p（0）=0而p（a）=e a﹣a2﹣a，设函数φ（a）=e a﹣a2﹣a，a∈[1，+∞），则φ'（a）=e a﹣2a﹣1，∵[φ'（a）]′=e a﹣2＞0恒成立，∴φ'（a）在（1，+∞）上递增，φ'（a）＞φ'（1）=e﹣2＞0恒成立，∴φ（a）在（1，+∞）上递增，φ（a）＞φ（1）=e﹣2＞0恒成立．即p（a）＞0，而p（lna）＜0不合题意．综上①②，故实数a的取值范围为（﹣∞，1]．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=4，现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，P为曲线C2上的动点，求△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为p（cosθ+sinθ）=4，转化为直角坐标方程：x+y=4，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．转化得：曲线C2的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=9．（2）联立直线C1与圆C2的方程，可求两曲线交点坐标分别为，则，由于：P（2+3cosθ，1+3sinθ）到C1的距离：，当时，，△PAB面积最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+3|．（1）求不等式f（x）≤4的解集M；（2）若a，b∈M，证明：（a2+2a﹣3）（b2+2b﹣3）≥0．【解答】解：（1）f（x）=，由f（x）≤4，可得2x+2≤4并且x≥1，无解；﹣4≤4，并且﹣3≤x≤1，﹣2x﹣2≤4并且x＜﹣3，无解综上，﹣3≤x≤1，∴M={x|﹣3≤x≤1}．（2）证明：∵a，b∈M，∴﹣3≤a≤1，﹣3≤b≤1，∴﹣2≤a+1≤2，﹣2≤b+1≤2，∴（a+1）2≤4，（b+1）2≤4，∴a2+2a﹣3=（a+1）2﹣4≤0，b2+2b﹣3=（b+1）2﹣4≤0，∴（a2+2a﹣3）（b2+2b﹣3）≥0．。