简谐振动

amax A
T
2
amax 1 20s A
0.314 s
2π

（2） Ek ,max （3）
1 1 2 2 2 mvmax m A 2.0 103 J 2 2
3
3
E Ek ,max 2.0 10 J
Ep 时， Ep 1.0 10 J
1 2 1 由 Ep kx m 2 x 2 2 2 2 Ep 4 2 2 0.5 10 m x 2 m
o
T
T
3T
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
例 质量为 0.10kg 的物体，以振幅 1.0 10 作简谐运动，其最大加速度为 4.0m s 2 ，求：
2
m
（1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； （3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？
解 （1）
k/m
2
1 2 2 E Ek Ep kA A（振幅的动力学意义） 2
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒
x, v
简谐运动能量图
o
能量
x t
T
0 t x Acost v t v A sin t
1 E kA2 2 1 2 2 Ep kA cos t 2
T 2π
A A
x
x t 图
T

取 0
o
t
t
v A sin(t )
A
v
v t 图
T
π A cos( t ) 2
a A 2 cos(t )
2
o
A
A 2
a
a t图
T
A cos(t π ) A 2
2
d2 x 2x 0 2 dt
x A cos(t )
一
振幅
A xmax
二 周期、频率
A A
x
x t 图
T
o
tt
x A cos(t ) A cos[ (t T ) ]
周期
1 频率 T 2π 2π 圆频率 2π T
l0
k
x0 F 0
m
A
o
x
A
F
m
o
x
x
F kx ma
k a x m 2 d x k x0 2 dt m
线性回复力
F kx
F m g sin m g
d x k x0 2 dtห้องสมุดไป่ตู้m 2 d g 0 2 dt l
2
k 令 m g 2 令 l
F kx m x
2
π 1 2 (0.01kg )( s ) (0.069m) 1.70 103 N 2
（2）由起始位置运动到 x 0.04 m 处所需要 的最短时间.
v
0.08 0.04
x/m
0.04 0.08
o
法一 设由起始位置运动到 x 0.04 m 处所 需要的最短时间为 t
o
x A cos(t )
x
在
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
讨论

相位差：表示两个相位之差 .
对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间 变化所需的时间. (t2 ) (t1 )
1.0s
时，物体所处的位置和所受的力；
v
0.08 0.04
x/m
0.04 0.08
o
解
A 0.08 m
2π π 1 s T 2
A 0.08 m
t 0, x 0.04m
π v0 0 3
0.08 0.04
2π π 1 s T 2
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动. 机械振动 物体围绕一固定位置往复运动.
其运动形式有直线、平面和空间振动.
例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体 中原子的振动等. 周期和非周期振动 简谐运动 最简单、最基本的振动. 合成 简谐运动 复杂振动 分解
谐振子
作简谐运动的物体.
弹簧振子的振动
o
t
四
常数 A 和 的确定
x A cos(t ) v A sin(t )
初始条件
t 0 x x0 v v0
x0 A cos
2 A x0
2
2 v0
v0 A sin
v0 t an x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
x A cos(t )
矢量 A的
端点在 轴上的投 影点的运
旋转
x
动为简谐
运动.

当
t 0时
A

以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x0 A cos
x0
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.

t t 时
A
以 o为 原点旋转矢
t
量 A的端点
arccos ( ) 2 3 s 2 s 0.667 s t π2 3
π 1 π 0.04 m (0.08m) cos[( s )t ] 2 3 1 π
解法二
t
时刻

π 3
t
o
起始时刻
π 3
0.04 0.08
x/m
2 t s 0.667 s 3
0.08 0.04
代入 x
0.04m (0.08m) cos
A cos(t ) π 3
A
π 3

x/m
0.04 0.08 π 1 π x (0.08m) cos[( s )t ] 2 3
o
m 0.01kg
0.08 0.04
v
o
0.04 0.08
x/m
π 1 π x (0.08m) cos[( s )t ] 2 3 x 0.069 m t 1.0s 代入上式得
（4） Ek
x 0.707 cm
T
2π
弹簧振子周期
注意
T 2π
m k
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
三
相位
t
x A cos(t )
dx v A sin(t ) dt
d x 2 a 2 A cos(t ) dt
2
x A cos(t )
x A cos(t1 ) x A cos(t2 )
t t 2 t1

x
A
A2

a
b
π 3
tb
o
A
v
t
A
0
A ta A
2

x
π 3 1 t T T 2π 6
例 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振 幅为 0.08 m ，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04 m 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求 （1） t
π t 3
π 1 s 2
以弹簧振子为例
x A cos(t ) F kx v A sin(t ) 1 1 2 Ek mv m 2 A2 sin 2 (t ) 2 2 1 2 1 2 2 Ep kx kA cos (t ) 2 2