2020届河北省武邑中学2017级高三下学期二模考试数学(理)试卷参考答案
河北省武邑县高三理综下学期二模考试试题(扫描版)
河北省武邑县2017届高三理综下学期二模考试试题（扫描版）
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河北省衡水市武邑中学2017高三数学二模试卷理科 含解析 精品
2017年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．． 1．设集合A={x |x ＞2}，若m=lne e （e 为自然对数底），则（ ） A ．∅∈AB ．m ∉AC ．m ∈AD ．A ⊆{x |x ＞m }2．已知i 是虚数单位，（1+2i ）z 1=﹣1+3i ，，z 1、z 2在复平面上对应的点分别为A 、B ，则|AB |=（ ）A ．31B ．33C ．D ．3．下列命题，真命题是（ ）A ．a ﹣b=0的充要条件是=1B ．∀x ∈R ，e x ＞x eC ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0D ．若p ∧q 为假，则p ∨q 为假4．过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |=10，则抛物线方程是（ ） A ．y 2=4xB ．y 2=2xC ．y 2=8xD ．y 2=6x5．已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸（图中大正方形边长为2a ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．B ．7a 3C ．D ．5a 36．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若=，则=（ ）A ．B ．C ．4D ．57．给出下列四个结论：（1）如图Rt △ABC 中，|AC |=2，∠B=90°，∠C=30°．D 是斜边AC 上的点，|CD |=|CB |．以B 为起点任作一条射线BE 交AC 于E 点，则E 点落在线段CD 上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x ﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．669．若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）10．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A．[1，3] B ．[] C ．[，] D ．[，3]11．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π12．已知a ，b ∈R ，且e x +1≥ax +b 对x ∈R 恒成立，则ab 的最大值是（ ）A ． e 3B ．e 3 C ．e 3 D ．e 3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线的左、右焦点为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若直线y=2x 与双曲线的一个交点的横坐标为c ，则双曲线的离心率为 ．14．已知一组正数x 1，x 2，x 3的方差s 2=（x 12+x 22+x 32﹣12），则数据x 1+1，x 2+1，x 3+1的平均数为 ．15．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）16．已知函数f （x ）对一切实数a 、b 满足f （a +b ）=f （a ）•f （b ），f （1）=2，（且f （x ）恒非零），数列{a n }的通项a n =（n ∈N +），则数列{a n }的前n 项和= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC 是斜三角形，内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ．若csinA=acosC ．（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）若c=，且sinC +sin （B ﹣A ）=5sin2A ，求△ABC 的面积．18．2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且B1A=B1C=B1B=AC=2．（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥底面ABC；（Ⅱ）求B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）若E，F分别是线段A1C1，C1C的中点，问在线段B1F上是否存在点P，使得EP∥平面ABB1A1．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O 为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．21．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．2017年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．．1．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}【考点】元素与集合关系的判断．【分析】先求出m的值，从而判断出m属于结合A．【解答】解：∵m=elne=e，∴m∈A，故选：C．2．已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z1，z2，求出z1、z2在复平面上对应的点的坐标A、B，则答案可求．【解答】解：∵（1+2i）z1=﹣1+3i，∴z1===1+i，∵，∴z2=1+（2i）5=1+32i，∴z1、z2在复平面上对应的点的坐标分别为A（1，1）、B（1，32），则|AB|=．故选：A．3．下列命题，真命题是（）A．a﹣b=0的充要条件是=1 B．∀x∈R，e x＞x eC．∃x0∈R，|x0|≤0 D．若p∧q为假，则p∨q为假【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．由=1⇒a﹣b=0，反之不成立（b=0时），即可判断出正误；B．取x=e时，e x=x e，即可判断出正误；C．取x0=0，则|x0|≤0成立，即可判断出正误；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个为假命题，因此p∨q不一定为假，即可判断出正误．【解答】解：A．由=1⇒a﹣b=0，反之不成立（b=0时），因此a﹣b=0是=1的必要不充分条件；B．取x=e时，e x=x e，因此不正确；C．取x0=0，则|x0|≤0成立，正确；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个为假命题，因此p∨q不一定为假，不正确．故选：C．4．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．【分析】利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +，把线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10代入可得P值，然后求解抛物线方程．【解答】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=（x1+x2）+p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|=10，∴10=6+p，可得p=4∴抛物线方程为y2=8x．故选：C．5．已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸（图中大正方形边长为2a），可得这个几何体的体积是（）A．B．7a3C．D．5a3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，求出每个角的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，每个角都是三条侧棱两两垂直且长度为a的棱锥，故组合体的体积V=（2a）3﹣8×（×a2×a）=，故选：A6．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．4 D．5【考点】等差数列的前n项和．【分析】首先利用等差数列的通项公式求出首相和公差的关系，进一步对等差数列的前n项和公式进行应用．【解答】解：等差数列{a n}中，设首相为a1，公差为d，由于：，则：，解得：，=，故选：D7．给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x ﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】两个变量的线性相关；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，|CD|=|CB|，∠C=30°，所以∠CBD=75°，所以E点落在线段CD上的概率是=，故不正确；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力，正确；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），图象关于x=1对称，因为P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21，正确；故正确结论的个数为3，故选：C．8．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．9．若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，先解出点A的坐标，再结合图象写出实数m的取值范围即可．【解答】解：由题意作出其平面区域，结合图象可得，，解得，A（﹣1，﹣3）；故m＞﹣1；故选A．10．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A．[1，3]B．[]C．[，]D．[，3]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答本题．【解答】解：因为•=0，且|﹣|+|﹣2|=，设单位向量=（1，0），=（0，1），=（x，y），则=（x﹣1，y），=（x，y﹣2），则，即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距离和为，即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段，|+2|=表示（﹣2，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（﹣2，0）到直线2x+y﹣2=0的距离所以|+2|min=，最大值为（﹣2，0）到（1，0）的距离是3，所以|+2|的取值范围是[，3]；故选：D．11．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【考点】球内接多面体．【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，∴△ABC的边长为2，∴圆锥的底面半径为，高为3，∴V=．故选：C．12．已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．e3B．e3C．e3D．e3【考点】函数恒成立问题．【分析】分a＜0、a=0、a＞0三种情况讨论，而a＜0、a=0两种情况容易验证是否恒成立，在当a＞0时，构造函数f（x）=ae x+1﹣a2x来研究不等式e x+1≥ax+b恒成立的问题，求导易得．【解答】解：若a＜0，由于一次函数y=ax+b单调递减，不能满足且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则a≥0．若a=0，则ab=0．若a＞0，由e x+1≥ax+b得b≤e x+1﹣ax，则ab≤ae x+1﹣a2x．设函数f（x）=ae x+1﹣a2x，∴f′（x）=ae x+1﹣a2=a（e x+1﹣a），令f′（x）=0得e x+1﹣a=0，解得x=lna﹣1，∵x＜lna﹣1时，x+1＜lna，则e x+1＜a，则e x+1﹣a＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）递减；同理，x＞lna﹣1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）递增；∴当x=lna﹣1时，函数取最小值，f（x）的最小值为f（lna﹣1）=2a2﹣a2lna．设g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），g′（a）=a（3﹣2lna）（a＞0），由g′（a）=0得a=，不难得到时，g′（a）＞0；时，g′（a）＜0；∴函数g（a）先增后减，∴g（a）的最大值为，即ab的最大值是，此时．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线的左、右焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线与双曲线的交点坐标，代入双曲线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，可得交点坐标为：（c，2c），代入双曲线方程可得：，可得e2﹣1=，e＞1，可得e2﹣1=2e，解得e=．故答案为：；14．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2=（x12+x22+x32﹣12），则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为3．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据方差的公式求得原数据的平均数后，求得新数据的平均数即可．【解答】解：由方差的计算公式可得：S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]= [x12+x22+…+x n2﹣2（x1+x2+…+x n）•+n2]= [x12+x22+…+x n2﹣2n2+n2]= [x12+x22+…+x n2]﹣2=（x12++x32﹣12）可得平均数=2．对于数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数是2+1=3，故答案为：3．15．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有40种．（以数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C51=5种情况，剩余4人，平均分成2组，有=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A22=2种情况，此时一共有5×3×2=30种方案；②、Grace参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace一起搜寻近处投掷点的食物，有C52=10种情况，而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况，则此时一共有10×1=10种方案；则一共有30+10=40种符合题意的分配方案；故答案为：40．16．已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列{a n}的通项a n=（n∈N+），则数列{a n}的前n项和=4n．【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，可得f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），利用等比数列的通项公式可得f（n），即可得出a n及其前n项和．【解答】解：∵函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，∴f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），∴数列{f（n）}是等比数列，首项为2，公比为2．∴f（n）=2n．∴数列{a n}的通项a n===4．∴数列{a n}的前n项和=4n．故答案为：4n．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，于是，即可得出；（II）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，sinA≠0，∴，得，∵C∈（0，π），∴．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a （1）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，（2）由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．18．2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据统计图求出对应的人数和频率即可得到结论．（Ⅱ）求出随机变量以及对应的概率，即可得到结论．（Ⅲ）根据条件直接写出结论．【解答】解：（Ⅰ）设事件A：“此人乘坐地铁的票价小于5 元”，由统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的人数分别为60，40，20人，所以票价小于5的有60+40=100人，故此人乘坐地铁的票价小于5 元的频率为=则乘坐地铁的票价小于5 元的概率P（A）=；（Ⅱ）X的可能值为6，7，8，9，10．统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的频率分别为=，=，=，以频率当概率，则P（X=6）==，P（X=7）=，P（X=8）==，P（X=9）==，P（X=10）==，则X的分布列为：则EX=6×+7×=．（Ⅲ）s∈（20，22]．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且B1A=B1C=B1B=AC=2．（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥底面ABC；（Ⅱ）求B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）若E，F分别是线段A1C1，C1C的中点，问在线段B1F上是否存在点P，使得EP∥平面ABB1A1．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连结B1O，BO，则△B1OA≌△B1OB，从而B1O⊥OB，进而B1O⊥平面ABC，由此能证明平面B1AC⊥底面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，O为AC中点，得BO⊥AC，以OB、OC、OB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值．（Ⅲ）求出A1C1中点E（﹣1，0，），CC1中点F（﹣，1，），设=，求出P（﹣，λ，﹣），由=0，能求出当P是线段B1F中点时，EP∥平面ABB1A1．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连结B1O，BO，∵AB⊥BC，∴OB=OA=OC，∵AB1=B1C，∴B1O⊥AC，又∵B1B=AB1，∴△B1OA≌△B1OB，∴B1O⊥OB，∵AC∩OB=O，∴B1O⊥平面ABC，又∵B1O⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥底面ABC．（Ⅱ）解：由已知得AB=BC，O为AC中点，∴BO⊥AC，以OB、OC、OB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），B1（0，0，），C（0，1，0），A（0，﹣1，0），=（1，1，0），=（﹣1，0，），=（0，1，﹣），设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设B1C与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|==．∴B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：===（﹣1，1，），∴C1（﹣1，1，），同理得A（﹣1，﹣1，），∴A1C1中点E（﹣1，0，），CC1中点F（﹣，1，），设=，则=λ（﹣），∴P（﹣，λ，﹣），∴=（﹣，λ，﹣），∵==0，∴，∴当P是线段B1F中点时，EP∥平面ABB1A1．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O 为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=3，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（2）①设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；②运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．【解答】（1）解：由已知可得K（﹣，0），圆C：（x﹣2）2+y2=1的圆心C（2，0），半径r=1．设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|=，于是|CR|===，即有|CK|====3，即有2+=3，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x；（2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，=，即有（）2+y1y2=，解得y1y2=﹣18或2（舍去），即﹣4t=﹣18，解得t=．则有AB恒过定点Q（，0）；②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=•，同理|GD|=|y2﹣y1|=•，则四边形AGBD面积S=|AB|•|GD|=•••=4，令m2+=μ（μ≥2），则S=4是关于μ的增函数，则当μ=2时，S取得最小值，且为88．当且仅当m=±1时，四边形AGBD面积的最小值为88．21．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得切点和切线的斜率，解方程可得a=b=1；（Ⅱ）f（x）=，即有f（2x）＜⇔ [xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），求出导数，对k讨论，①设k≤0，②设k≥1，③设0＜k＜1，分析导数的符号，判断函数的单调性，即可得到k的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，由函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0，知1+（e﹣1）2 f（1）﹣e=0，即f（1）==，f′（1）===﹣．解得a=b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，所以f（2x）＜⇔＜⇔﹣＜0，⇔ [xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），则g′（x）=e x+xe x﹣（1﹣k）e2x=e x（1+x﹣（1﹣k）e x）．①设k≤0，当x≠0时，由y=1+x﹣（1﹣k）e x．求得导数y′=1﹣（1﹣k）e x，求得最大值，可得y＜0，即有1+x＜（1﹣k）e x，即有g′（x）＜0，g（x）在R单调递减．而g（0）=0，故当x∈（﹣∞，0）时，g（x）＞0，可得g（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0，可得g（x）＜0，从而x≠0时，f（2x）＜．②设k≥1，存在x0＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）单调递增．而g（0）=0，当x＞0时，g（x）＞0，可得g （x）＞0，与题设矛盾，③设0＜k＜1，存在x1＜0＜x2，当x1＜x＜x2时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，x2）单调递增，而g（0）=0，故当0＜x＜x2时，g（x）＞0，可得g（x）＞0，与题设矛盾．综上可得，k的取值范围是（﹣∞，0]．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（1）由切割线定理得AB2=AD•AE，从而AD•AE=AC2，进而△ADC∽△ACE，由此能证明FG∥AC．（2）由题意可得：G，E，D，F四点共圆，从而△CGF∽△CDE，由此能求出．【解答】（1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AC=AB，∴AD•AE=AC2．∴，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．∴△CGF∽△CDE，∴=．又∵CG=1，CD=4，∴=4．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=0，求得函数f（x）的解析式，根据解析式分别求得f（x）≥0的解集；（2）u（x）=|x+1|﹣|x|，做出y=u（x）和y=x的图象，方程f（x）=x恰有三个不同的实根，转化成y=u（x）与y=x的图象始终有3个交点，根据函数图象即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，，所以当x＜﹣1时，f（x）=﹣1＜0，不合题意；当﹣1≤x＜0时，f（x）=2x+1≥0，解得；当x≥0时，f（x）=1＞0，符合题意．综上可得，f（x）≥0的解集为．（2）设u（x）=|x+1|﹣|x|，y=u（x）的图象和y=x的图象如图所示．易知y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．所以实数a的取值范围为（﹣1，0）．2017年4月10日。
河北省衡水市2017高三数学二模试卷理科
年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．．1．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}2．已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C． D．3．下列命题，真命题是（）A．a﹣b=0的充要条件是=1 B．∀x∈R，e x＞x eC．∃x0∈R，|x0|≤0 D．若p∧q为假，则p∨q为假4．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x5．已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸（图中大正方形边长为2a），可得这个几何体的体积是（）A．B．7a3C．D．5a36．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．4 D．57．给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=﹣，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=，则P（ξ≤﹣2）=；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．669．若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）10．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A．[1，3]B．[]C．[，]D．[，3]11．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π12．已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．e3B．e3C．e3D．e3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线的左、右焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为．14．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2=（x12+x22+x32﹣12），则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为．15．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有种．（以数字作答）16．已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列{a n}的通项a n=（n∈N+），则数列{a n}的前n项和=．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．18．2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）乘公共汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元6公里至12公里（含）4元12公里至22公里（含）5元22公里至32公里（含）6元32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且B1A=B1C=B1B=AC=2．（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥底面ABC；（Ⅱ）求B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）若E，F分别是线段A 1C1，C1C的中点，问在线段B1F上是否存在点P，使得EP∥平面ABB1A1．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x ﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O 为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．21．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．2017年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．．1．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}【考点】元素与集合关系的判断．【分析】先求出m的值，从而判断出m属于结合A．【解答】解：∵m=elne=e，∴m∈A，故选：C．2．已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z1，z2，求出z1、z2在复平面上对应的点的坐标A、B，则答案可求．【解答】解：∵（1+2i）z1=﹣1+3i，∴z1===1+i，∵，∴z2=1+（2i）5=1+32i，∴z1、z2在复平面上对应的点的坐标分别为A（1，1）、B（1，32），则|AB|=．故选：A．3．下列命题，真命题是（）A．a﹣b=0的充要条件是=1 B．∀x∈R，e x＞x eC．∃x0∈R，|x0|≤0 D．若p∧q为假，则p∨q为假【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．由=1⇒a﹣b=0，反之不成立（b=0时），即可判断出正误；B．取x=e时，e x=x e，即可判断出正误；C．取x0=0，则|x0|≤0成立，即可判断出正误；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个为假命题，因此p∨q不一定为假，即可判断出正误．【解答】解：A．由=1⇒a﹣b=0，反之不成立（b=0时），因此a﹣b=0是=1的必要不充分条件；B．取x=e时，e x=x e，因此不正确；C．取x0=0，则|x0|≤0成立，正确；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个为假命题，因此p∨q不一定为假，不正确．故选：C．4．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．【分析】利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +，把线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10代入可得P值，然后求解抛物线方程．【解答】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=（x1+x2）+p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|=10，∴10=6+p，可得p=4∴抛物线方程为y2=8x．故选：C．5．已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸（图中大正方形边长为2a），可得这个几何体的体积是（）A．B．7a3C．D．5a3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，求出每个角的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，每个角都是三条侧棱两两垂直且长度为a的棱锥，故组合体的体积V=（2a）3﹣8×（×a2×a）=，故选：A6．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．4 D．5【考点】等差数列的前n项和．【分析】首先利用等差数列的通项公式求出首相和公差的关系，进一步对等差数列的前n项和公式进行应用．【解答】解：等差数列{a n}中，设首相为a1，公差为d，由于：，则：，解得：，=，故选：D7．给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=﹣，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=，则P（ξ≤﹣2）=；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】两个变量的线性相关；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，|CD|=|CB|，∠C=30°，所以∠CBD=75°，所以E点落在线段CD上的概率是=，故不正确；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=﹣，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加，正确；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力，正确；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），图象关于x=1对称，因为P（ξ≤4）=，则P（ξ≤﹣2）=，正确；故正确结论的个数为3，故选：C．8．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．9．若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，先解出点A的坐标，再结合图象写出实数m 的取值范围即可．【解答】解：由题意作出其平面区域，结合图象可得，，解得，A（﹣1，﹣3）；故m＞﹣1；故选A．10．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A．[1，3]B．[]C．[，]D．[，3]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答本题．【解答】解：因为•=0，且|﹣|+|﹣2|=，设单位向量=（1，0），=（0，1），=（x，y），则=（x﹣1，y），=（x，y﹣2），则，即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距离和为，即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段，|+2|=表示（﹣2，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（﹣2，0）到直线2x+y﹣2=0的距离所以|+2|min=，最大值为（﹣2，0）到（1，0）的距离是3，所以|+2|的取值范围是[，3]；故选：D．11．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【考点】球内接多面体．【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O 1的半径为r=1，∴△ABC的边长为2，∴圆锥的底面半径为，高为3，∴V=．故选：C．12．已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．e3B．e3C．e3D．e3【考点】函数恒成立问题．【分析】分a＜0、a=0、a＞0三种情况讨论，而a＜0、a=0两种情况容易验证是否恒成立，在当a＞0时，构造函数f（x）=ae x+1﹣a2x来研究不等式e x+1≥ax+b 恒成立的问题，求导易得．【解答】解：若a＜0，由于一次函数y=ax+b单调递减，不能满足且e x+1≥ax+b 对x∈R恒成立，则a≥0．若a=0，则ab=0．若a＞0，由e x+1≥ax+b得b≤e x+1﹣ax，则ab≤ae x+1﹣a2x．设函数f（x）=ae x+1﹣a2x，∴f′（x）=ae x+1﹣a2=a（e x+1﹣a），令f′（x）=0得e x+1﹣a=0，解得x=lna﹣1，∵x＜lna﹣1时，x+1＜lna，则e x+1＜a，则e x+1﹣a＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f （x）递减；同理，x＞lna﹣1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）递增；∴当x=lna﹣1时，函数取最小值，f（x）的最小值为f（lna﹣1）=2a2﹣a2lna．设g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），g′（a）=a（3﹣2lna）（a＞0），由g′（a）=0得a=，不难得到时，g′（a）＞0；时，g′（a）＜0；∴函数g（a）先增后减，∴g（a）的最大值为，即ab的最大值是，此时．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线的左、右焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线与双曲线的交点坐标，代入双曲线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，可得交点坐标为：（c，2c），代入双曲线方程可得：，可得e2﹣1=，e＞1，可得e2﹣1=2e，解得e=．故答案为：；14．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2=（x12+x22+x32﹣12），则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为3．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据方差的公式求得原数据的平均数后，求得新数据的平均数即可．【解答】解：由方差的计算公式可得：S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]= [x12+x22+…+x n2﹣2（x1+x2+…+x n）•+n2]= [x12+x22+…+x n2﹣2n2+n2]= [x12+x22+…+x n2]﹣2=（x12++x32﹣12）可得平均数=2．对于数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数是2+1=3，故答案为：3．15．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有40种．（以数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C51=5种情况，剩余4人，平均分成2组，有=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A22=2种情况，此时一共有5×3×2=30种方案；②、Grace参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace一起搜寻近处投掷点的食物，有C52=10种情况，而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况，则此时一共有10×1=10种方案；则一共有30+10=40种符合题意的分配方案；故答案为：40．16．已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列{a n}的通项a n=（n∈N+），则数列{a n}的前n项和=4n．【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，可得f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），利用等比数列的通项公式可得f（n），即可得出a n及其前n项和．【解答】解：∵函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，∴f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），∴数列{f（n）}是等比数列，首项为2，公比为2．∴f（n）=2n．∴数列{a n}的通项a n===4．∴数列{a n}的前n项和=4n．故答案为：4n．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，于是，即可得出；（II）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，sinA≠0，∴，得，∵C∈（0，π），∴．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a （1）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，（2）由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．18．2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）乘公共汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元6公里至12公里（含）4元12公里至22公里（含）5元22公里至32公里（含）6元32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据统计图求出对应的人数和频率即可得到结论．（Ⅱ）求出随机变量以及对应的概率，即可得到结论．（Ⅲ）根据条件直接写出结论．【解答】解：（Ⅰ）设事件A：“此人乘坐地铁的票价小于5 元”，由统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的人数分别为60，40，20人，所以票价小于5的有60+40=100人，故此人乘坐地铁的票价小于5 元的频率为=则乘坐地铁的票价小于5 元的概率P（A）=；（Ⅱ）X的可能值为6，7，8，9，10．统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的频率分别为=，=，=，以频率当概率，则P（X=6）==，P（X=7）=，P（X=8）==，P（X=9）==，P（X=10）==，则X的分布列为：X 6 7 8 9 10P则EX=6×+7×=．（Ⅲ）s∈（20，22]．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且B1A=B1C=B1B=AC=2．（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥底面ABC；（Ⅱ）求B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）若E，F分别是线段A1C1，C1C的中点，问在线段B1F上是否存在点P，使得EP∥平面ABB1A1．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连结B1O，BO，则△B1OA≌△B1OB，从而B1O⊥OB，进而B1O⊥平面ABC，由此能证明平面B1AC⊥底面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，O为AC中点，得BO⊥AC，以OB、OC、OB 1分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值．（Ⅲ）求出A1C1中点E（﹣1，0，），CC1中点F（﹣，1，），设=，求出P（﹣，λ，﹣），由=0，能求出当P是线段B1F中点时，EP∥平面ABB1A1．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连结B1O，BO，∵AB⊥BC，∴OB=OA=OC，∵AB1=B1C，∴B1O⊥AC，又∵B1B=AB1，∴△B1OA≌△B1OB，∴B1O⊥OB，∵AC∩OB=O，∴B1O⊥平面ABC，又∵B1O⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥底面ABC．（Ⅱ）解：由已知得AB=BC，O为AC中点，∴BO⊥AC，以OB、OC、OB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），B1（0，0，），C（0，1，0），A（0，﹣1，0），=（1，1，0），=（﹣1，0，），=（0，1，﹣），设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设B1C与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|==．∴B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：===（﹣1，1，），∴C1（﹣1，1，），同理得A（﹣1，﹣1，），∴A1C1中点E（﹣1，0，），CC1中点F（﹣，1，），设=，则=λ（﹣），∴P（﹣，λ，﹣），∴=（﹣，λ，﹣），∵==0，∴，∴当P是线段B1F中点时，EP∥平面ABB1A1．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x ﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O 为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=3，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（2）①设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；②运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．【解答】（1）解：由已知可得K（﹣，0），圆C：（x﹣2）2+y2=1的圆心C（2，0），半径r=1．设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|=，于是|CR|===，即有|CK|====3，即有2+=3，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x；（2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，=，即有（）2+y1y2=，解得y1y2=﹣18或2（舍去），即﹣4t=﹣18，解得t=．则有AB恒过定点Q（，0）；②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=•，同理|GD|=|y2﹣y1|=•，则四边形AGBD面积S=|AB|•|GD|=•••=4，令m2+=μ（μ≥2），则S=4是关于μ的增函数，则当μ=2时，S取得最小值，且为88．当且仅当m=±1时，四边形AGBD面积的最小值为88．21．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得切点和切线的斜率，解方程可得a=b=1；（Ⅱ）f（x）=，即有f（2x）＜⇔ [xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），求出导数，对k讨论，①设k≤0，②设k≥1，③设0＜k＜1，分析导数的符号，判断函数的单调性，即可得到k的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，由函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0，知1+（e﹣1）2 f（1）﹣e=0，即f（1）==，f′（1）===﹣．解得a=b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，所以f（2x）＜⇔＜⇔﹣＜0，⇔ [xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），则g′（x）=e x+xe x﹣（1﹣k）e2x=e x（1+x﹣（1﹣k）e x）．①设k≤0，当x≠0时，由y=1+x﹣（1﹣k）e x．求得导数y′=1﹣（1﹣k）e x，求得最大值，可得y＜0，即有1+x＜（1﹣k）e x，即有g′（x）＜0，g（x）在R单调递减．而g（0）=0，故当x∈（﹣∞，0）时，g（x）＞0，可得g（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0，可得g（x）＜0，从而x≠0时，f（2x）＜．②设k≥1，存在x0＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）单调递增．而g（0）=0，当x＞0时，g（x）＞0，可得g （x）＞0，与题设矛盾，③设0＜k＜1，存在x1＜0＜x2，当x1＜x＜x2时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，x2）单调递增，而g（0）=0，故当0＜x＜x2时，g（x）＞0，可得g（x）＞0，与题设矛盾．综上可得，k的取值范围是（﹣∞，0]．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（1）由切割线定理得AB2=AD•AE，从而AD•AE=AC2，进而△ADC∽△ACE，由此能证明FG∥AC．（2）由题意可得：G，E，D，F四点共圆，从而△CGF∽△CDE，由此能求出．【解答】（1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AC=AB，∴AD•AE=AC2．∴，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．∴△CGF∽△CDE，∴=．又∵CG=1，CD=4，∴=4．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=0，求得函数f（x）的解析式，根据解析式分别求得f（x）≥0的解集；（2）u（x）=|x+1|﹣|x|，做出y=u（x）和y=x的图象，方程f（x）=x恰有三个不同的实根，转化成y=u（x）与y=x的图象始终有3个交点，根据函数图象即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，，所以当x＜﹣1时，f（x）=﹣1＜0，不合题意；当﹣1≤x＜0时，f（x）=2x+1≥0，解得；当x≥0时，f（x）=1＞0，符合题意．综上可得，f（x）≥0的解集为．（2）设u（x）=|x+1|﹣|x|，y=u（x）的图象和y=x的图象如图所示．易知y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．所以实数a的取值范围为（﹣1，0）．2017年4月10日。
【4月武邑中学二检理数】河北省武邑中学2019-2020学年高三年级下学期第二次质检理科数学试卷及答案解析
C．
D．
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡上相应位置。
2x y 2 0 13.若 x, y 满足约束条件 3x y 3 0 ，则 z x y 的最小值为______.
x 0
14.已知 n N*，满足
...
D．（3，+∞）
2.已知复数 z1＝3﹣bi，z2＝1﹣2i，若 是实数，则实数 b 的值为（ ）
A．6
B．﹣6
C．0
D．
3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资 源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响， 在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个 等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
的值为（ ）A. 4 B.
C.
D.
11.已知双曲线
的左、右焦点分别为
，圆
与双曲线在第一
象限内的交点为 M，若
．则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3
C．
D．
高三下学期第二次质检考试理科数学 第 2 页 共 5 页
12. 已知定义在 R 上的函数
，ห้องสมุดไป่ตู้函数
取值范围是（ ）
A．
B．
恰有 2 个零点，则实数 的
高三下学期第二次质检考试理科数学 第 1 页 共 5 页
已知该数列前 10 项是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式
为（ ）
n2 n A. 2
【数学】河北省2020届高三下学期二模考试数学理试题版含答案
【关键字】数学河北省武邑中学2017届高三下学期二模考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，，则（）A．B．C．D．2.已知是虚数单位，则（）A．1 B．C．2 D．23. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是（）A．B．C．D．4.已知等比数列的各项均为正数，且，则（）A．B． C.20 D．405.已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则（）A．B．12 C.6 D．6.给出下列四个命题：①若,则或；②，都有；③若是实数，则是的充分不必要条件；④“”的否定是“”.其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C.3 D．47. 已知等比数列的公比，，则的前4项和（）A．B． C. 15 D．308. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）A．50 B．75 C. 25.5 D．37.59. 已知函数，其中.若函数的最大值记为，则的最小值为（）A．B．1 C. D．10. 已知是双曲线的右焦点，分别为的左、右顶点.为坐标原点，为上一点，轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（）A．3 B．4 C. 5 D．611.如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于两点，直线分别与相交于两点，则的值是（）A．正数B．0 C. 负数D．皆有可能12.已知函数，若方程有4个实根，则的取值范围是（）A．B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数的部分图象如图所示，则．14.过定点的直线：与圆：相切于点，则．15.在梯形中，，，与相交于点，则．16.设公差不为0的等差数列的前项和为，若成等比数列，且，则的值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，分别是内角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.18. 当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图：（1）求出表中的的值，并补全频率分布直方图；（2）媒体记者为了做好调查工作，决定从所随机抽取的市民中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在的人数为，求的分布列及数学期望．19.己知矩形和菱形所在平面互相垂直，如图，其中，，点是线段的中点.（1）试问在线段上是否存在点，使得直线平面?若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由；（2）求二面角的正弦值.20.已知点分别为椭圆的左，右顶点，点，直线交于点， 且是等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程；（2）设过点P 的动直线l 与E 相交于,M N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.21.函数()ln 4p x x x =+-，()()x q x axe a R =∈.的最大值；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=. （1）分别写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；23.选修4-5:不等式选讲(1)解关于x 的不等式()5f x x -≥；试卷答案一、选择题1-5: CDABA 6-10: ADDDC 11、12：BD二、填空题13. 由图中条件求得2A T π==，则=2ω，再代入点,23π⎛⎫⎪⎝⎭可得=6πϕ-，故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 14. 415. ()2165AE CD AE CE AE CE BE ⋅=⋅-=-⋅=-=-16.9三、解答题17.解：（1）把()223a c b ac +=+整理得，222a c b ac +-=，由余弦定理有2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，∴cos 3B π=.(2)ABC ∆中，A B C π++=，即()B A C π=-+，故()sin sin B A C =+， 由已知()sin sin 2sin 2B C A A +-=可得()()sin sin 2sin 2A C C A A ++-=， ∴sin cos cos sin sin cos cos sin 4sin cos A C A C C A C A A A ++-=， 整理得cos sin 2sin cos A C A A =. 若cos 0A =，则2A π=，于是由2b =，可得2tan c B =，此时ABC ∆的面积为12S bc ==.若cos 0A ≠，则sin 2sin C A =， 由正弦定理可知，2c a =，代入222a c b ac +-=整理可得234a =，解得a =，进而c =，此时ABC ∆的面积为1sin 2S ac B ==∴综上所述，ABC ∆18. 解:(1)由题意知频率分布表可知:50.05100n =÷=，所以1000.3535a =⨯=， 300.3100b == 补全频率分布直方图，如图所示，(2)设抽出的20名受访者年龄在[)30,35和[)35,40分别有,m n 名，由分层抽样可得201003530m n==，解得7,6m n ==，所以年龄在[)30,40共有13名. 故ξ可能取值为0，1，2.()02672137026C C P C ξ===，()11672137113C C P C ξ===，()20672135226C C P C ξ=== ξ的分布列为：∴7751201226132613E ξ=⨯+⨯+⨯= 19.解：（1）作FE 的中点P ，连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点. 证明：连接PN ，∵N 是AD 的中点，P 是FE 的中点， ∴//PN AF ，又PN ⊂平面MNC ，AF ⊄平面MNC ， ∴直线//AF 平面MNC . ∵//,//PE AD AD BC ， ∴//PE BC ， ∴2BM BC ME PE==. （2）由（1）知PN AD ⊥，又面ADEF ⊥面ABCD ，面ADEF ⋂面ABCD AD =，PN ⊂面ADEF ， 所以PN ⊥面ABCD .故,PN AD PN NC ⊥⊥.以N 为空间原点，,,ND NC NP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系N xyz -， ∵23ADC AD DC π∠===，，∴ADC ∆为正三角形，NC = ∴())()()0,0,0,,0,1,0,0,1,1N CD E ，∴()()()()0,1,1,3,0,0,0,0,1,3,1,0NE NC DE DC ====-.设平面NEC 的一个法向量()1,,n x y z =，则由110,0n NE n NC ⋅=⋅=可得 0,0,y z +=⎧⎪=令1y =，则()10,1,1n =-. 设平面CDE 的一个法向量()2111,,n x y z =，则由220,0n DE n DC ⋅=⋅=可得1110,0,z y =⎧⎪-=令11x =，则()21,n=. 则1212123cos ,2n n n n n n ⋅===， 设二面角N CE D --的平面角为θ，则sinθ==， ∴二面角N CE D --. 20.（1）2214x y +=；（2）2,⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：（1）由题意知ABP ∆是等腰直角三角形，所以()()2,2,0,2,0a A B =-， 设(),Q x y ，由32PQ QB =，解得64,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程，解得21b =.∴椭圆方程为：2214x y +=；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设其方程为2y kx =-，()()1122,,,M x y N x y 由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得:()221416120k x kx +-+=.由直线l 与E 有两个不同的交点，则0∆>， 即()()2216412140k k --⨯⨯+>，解得:234k >， 由韦达定理可知:1212221612,1414k x x x x k k +==++， 由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外， 则0OM ON ⋅>，即12120x x y y +>，即()()()()212121212121222124x x y y x x kx kx k x x k x x +=+--=+-++ ()2221216101414kk k k k =+-2+4>++，解得:24k <，综上可知，2344k <<，解得:2k -<<2k <<直线l 斜率的取值范围2,⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 21.（1）证明：由题意知()ln 4x f x x x exe =+--，于是()()()()()1111111xx x x exe x f x e x e e x e x x x+-+'=+-+=-+=令()1x x exe μ=-，()()()100x x e x e x μ'=-+<>， ∴()x μ在()0,+∞上单调递减.又()11010,10e e e μμ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，所以存在010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00x μ=，综上()f x 存在唯一零点010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.解：当()()00,,0x x x μ∈>，于是()0f x '>，()f x 在()00,x 单调递增； 当()()0,,0x x x μ∈+∞<，于是()0f x '<，()f x 在()0,x +∞单调递减； 故()()0000max ln 4x o f x f x x x ex e ==+--， 又()00010x x ex e μ=-=，001x x e e =，0001ln 1ln x x x e ==--，故()()00max 01ln 1ln 4516x o f x x x e ex =+----⋅=--=-. （2）解：()()p x q x >等价于ln 4x x x axe +->.ln 4ln 4ln 4x xxx x x x x x axe a xe xe +-+-+->⇔<=，令()ln 4xx x h x xe +-=，则()()()21ln 5x x x x h x x e ++-'=， 令()ln 5x x x ϕ=+-，则()110x xϕ'=+>，即()x ϕ在()0,+∞上单调递增.又()()3ln320,4ln 40ϕϕ=-<=>， ∴存在()0,t t ∈，使得()0t ϕ=.∴当()()()()0,,0x t x h x h x ϕ'∈<0⇒>⇒在()0,t 上单调递增； 当()()()(),,0x t x h x h x ϕ'∈+∞>0⇒<⇒在(),t +∞上单调递减. ∵()()23ln 2210,202h h e e -=-<=<，()3ln31303h e -=>， 且当x >3时，()0h x >，又()()()2332ln 2ln311,2323h h h e e e --==>=，()42ln44h e=， 故要使不等式()()p x q x >解集中有且只有两个整数，a 的取值范围应为32ln312ln 232a e e--≤≤. 22.解：（1）将1C 参数方程化为普通方程为()2213x y -+=，即22220x y x +--=， ∴1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=. 将2C 极坐标方程化为直角坐标方程为221x y +=. （2）将=3πθ代入1:C 22cos 20ρρθ--=整理得220ρρ--=，解得12ρ=，即12OA ρ==.∵曲线2C 是圆心在原点，半径为1的圆， ∴射线=3πθ()0ρ≥与2C 相交，即21ρ=，即21OB ρ==.故12211AB ρρ=-=-=.23.解：（1）()32,033,0323,3x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-=≤≤⎨⎪->⎩得0325x x x <⎧⎨-≥+⎩ 或0335x x ≤≤⎧⎨≥+⎩ 或3235x x x >⎧⎨-≥+⎩，解得23x ≤- 或x ∈∅ 或8x ≥，所以不等式的解集为[)2,8,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3m n ≥≥.由于()()()()2422422m n mn m mn n m n +-+=-+-=--. 且3,3m n ≥≥，所以20,20m n ->-<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
河北省衡水市高三数学二模试卷(理科) Word版含解析
2017年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．．1．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}2．已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C． D．3．下列命题，真命题是（）A．a﹣b=0的充要条件是=1 B．∀x∈R，e x＞x eC．∃x0∈R，|x0|≤0 D．若p∧q为假，则p∨q为假4．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x5．已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸（图中大正方形边长为2a），可得这个几何体的体积是（）A．B．7a3C．D．5a36．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．4 D．57．给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x ﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，ς2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．669．若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）10．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A．[1，3]B．[]C．[，]D．[，3]11．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π12．已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．e3B．e3C．e3D．e3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线的左、右焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为．14．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2=（x12+x22+x32﹣12），则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为．15．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有种．（以数字作答）16．已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列{a n}的通项a n=（n∈N+），则数列{a n}的前n项和=．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．18．2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且B1A=B1C=B1B=AC=2．（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥底面ABC；（Ⅱ）求B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）若E，F分别是线段A1C1，C1C的中点，问在线段B1F上是否存在点P，使得EP∥平面ABB1A1．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O 为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．21．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．2017年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．．1．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}【考点】元素与集合关系的判断．【分析】先求出m的值，从而判断出m属于结合A．【解答】解：∵m=elne=e，∴m∈A，故选：C．2．已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z1，z2，求出z1、z2在复平面上对应的点的坐标A、B，则答案可求．【解答】解：∵（1+2i）z1=﹣1+3i，∴z1===1+i，∵，∴z2=1+（2i）5=1+32i，∴z1、z2在复平面上对应的点的坐标分别为A（1，1）、B（1，32），则|AB|=．故选：A．3．下列命题，真命题是（）A．a﹣b=0的充要条件是=1 B．∀x∈R，e x＞x eC．∃x0∈R，|x0|≤0 D．若p∧q为假，则p∨q为假【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．由=1⇒a﹣b=0，反之不成立（b=0时），即可判断出正误；B．取x=e时，e x=x e，即可判断出正误；C．取x0=0，则|x0|≤0成立，即可判断出正误；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个为假命题，因此p∨q不一定为假，即可判断出正误．【解答】解：A．由=1⇒a﹣b=0，反之不成立（b=0时），因此a﹣b=0是=1的必要不充分条件；B．取x=e时，e x=x e，因此不正确；C．取x0=0，则|x0|≤0成立，正确；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个为假命题，因此p∨q不一定为假，不正确．故选：C．4．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．【分析】利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +，把线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10代入可得P值，然后求解抛物线方程．【解答】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=（x1+x2）+p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|=10，∴10=6+p，可得p=4∴抛物线方程为y2=8x．故选：C．5．已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸（图中大正方形边长为2a），可得这个几何体的体积是（）A．B．7a3C．D．5a3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，求出每个角的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，每个角都是三条侧棱两两垂直且长度为a的棱锥，故组合体的体积V=（2a）3﹣8×（×a2×a）=，故选：A6．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．4 D．5【考点】等差数列的前n项和．【分析】首先利用等差数列的通项公式求出首相和公差的关系，进一步对等差数列的前n项和公式进行应用．【解答】解：等差数列{a n}中，设首相为a1，公差为d，由于：，则：，解得：，=，故选：D7．给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x ﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，ς2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】两个变量的线性相关；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，|CD|=|CB|，∠C=30°，所以∠CBD=75°，所以E点落在线段CD上的概率是=，故不正确；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x ﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力，正确；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，ς2），图象关于x=1对称，因为P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21，正确；故正确结论的个数为3，故选：C．8．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．9．若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，先解出点A的坐标，再结合图象写出实数m 的取值范围即可．【解答】解：由题意作出其平面区域，结合图象可得，，解得，A（﹣1，﹣3）；故m＞﹣1；故选A．10．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A．[1，3]B．[]C．[，]D．[，3]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答本题．【解答】解：因为•=0，且|﹣|+|﹣2|=，设单位向量=（1，0），=（0，1），=（x，y），则=（x﹣1，y），=（x，y﹣2），则，即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距离和为，即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段，|+2|=表示（﹣2，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（﹣2，0）到直线2x+y﹣2=0的距离所以|+2|min=，最大值为（﹣2，0）到（1，0）的距离是3，所以|+2|的取值范围是[，3]；故选：D．11．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【考点】球内接多面体．【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，∴△ABC的边长为2，∴圆锥的底面半径为，高为3，∴V=．故选：C．12．已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．e3B．e3C．e3D．e3【考点】函数恒成立问题．【分析】分a＜0、a=0、a＞0三种情况讨论，而a＜0、a=0两种情况容易验证是否恒成立，在当a＞0时，构造函数f（x）=ae x+1﹣a2x来研究不等式e x+1≥ax+b 恒成立的问题，求导易得．【解答】解：若a＜0，由于一次函数y=ax+b单调递减，不能满足且e x+1≥ax+b 对x∈R恒成立，则a≥0．若a=0，则ab=0．若a＞0，由e x+1≥ax+b得b≤e x+1﹣ax，则ab≤ae x+1﹣a2x．设函数f（x）=ae x+1﹣a2x，∴f′（x）=ae x+1﹣a2=a（e x+1﹣a），令f′（x）=0得e x+1﹣a=0，解得x=lna﹣1，∵x＜lna﹣1时，x+1＜lna，则e x+1＜a，则e x+1﹣a＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f （x）递减；同理，x＞lna﹣1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）递增；∴当x=lna﹣1时，函数取最小值，f（x）的最小值为f（lna﹣1）=2a2﹣a2lna．设g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），g′（a）=a（3﹣2lna）（a＞0），由g′（a）=0得a=，不难得到时，g′（a）＞0；时，g′（a）＜0；∴函数g（a）先增后减，∴g（a）的最大值为，即ab的最大值是，此时．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线的左、右焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线与双曲线的交点坐标，代入双曲线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，可得交点坐标为：（c，2c），代入双曲线方程可得：，可得e2﹣1=，e＞1，可得e2﹣1=2e，解得e=．故答案为：；14．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2=（x12+x22+x32﹣12），则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为3．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据方差的公式求得原数据的平均数后，求得新数据的平均数即可．【解答】解：由方差的计算公式可得：S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]= [x12+x22+…+x n2﹣2（x1+x2+…+x n）•+n2]= [x12+x22+…+x n2﹣2n2+n2]= [x12+x22+…+x n2]﹣2=（x12++x32﹣12）可得平均数=2．对于数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数是2+1=3，故答案为：3．15．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有40种．（以数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C51=5种情况，剩余4人，平均分成2组，有=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A22=2种情况，此时一共有5×3×2=30种方案；②、Grace参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace一起搜寻近处投掷点的食物，有C52=10种情况，而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况，则此时一共有10×1=10种方案；则一共有30+10=40种符合题意的分配方案；故答案为：40．16．已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列{a n}的通项a n=（n∈N+），则数列{a n}的前n项和=4n．【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，可得f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），利用等比数列的通项公式可得f（n），即可得出a n及其前n项和．【解答】解：∵函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，∴f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），∴数列{f（n）}是等比数列，首项为2，公比为2．∴f（n）=2n．∴数列{a n}的通项a n===4．∴数列{a n}的前n项和=4n．故答案为：4n．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，于是，即可得出；（II）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，sinA≠0，∴，得，∵C∈（0，π），∴．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a （1）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，（2）由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．18．2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据统计图求出对应的人数和频率即可得到结论．（Ⅱ）求出随机变量以及对应的概率，即可得到结论．（Ⅲ）根据条件直接写出结论．【解答】解：（Ⅰ）设事件A：“此人乘坐地铁的票价小于5 元”，由统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的人数分别为60，40，20人，所以票价小于5的有60+40=100人，故此人乘坐地铁的票价小于5 元的频率为=则乘坐地铁的票价小于5 元的概率P（A）=；（Ⅱ）X的可能值为6，7，8，9，10．统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的频率分别为=，=，=，以频率当概率，则P（X=6）==，P（X=7）=，P（X=8）==，P（X=9）==，P（X=10）==，则X的分布列为：则EX=6×+7×=．（Ⅲ）s∈（20，22]．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且B1A=B1C=B1B=AC=2．（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥底面ABC；（Ⅱ）求B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）若E，F分别是线段A1C1，C1C的中点，问在线段B1F上是否存在点P，使得EP∥平面ABB1A1．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连结B1O，BO，则△B1OA≌△B1OB，从而B1O⊥OB，进而B1O⊥平面ABC，由此能证明平面B1AC⊥底面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，O为AC中点，得BO⊥AC，以OB、OC、OB1分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值．（Ⅲ）求出A1C1中点E（﹣1，0，），CC1中点F（﹣，1，），设=，求出P（﹣，λ，﹣），由=0，能求出当P是线段B1F中点时，EP∥平面ABB1A1．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连结B1O，BO，∵AB⊥BC，∴OB=OA=OC，∵AB1=B1C，∴B1O⊥AC，又∵B1B=AB1，∴△B1OA≌△B1OB，∴B1O⊥OB，∵AC∩OB=O，∴B1O⊥平面ABC，又∵B1O⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥底面ABC．（Ⅱ）解：由已知得AB=BC，O为AC中点，∴BO⊥AC，以OB、OC、OB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），B1（0，0，），C（0，1，0），A（0，﹣1，0），=（1，1，0），=（﹣1，0，），=（0，1，﹣），设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设B1C与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|==．∴B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：===（﹣1，1，），∴C1（﹣1，1，），同理得A（﹣1，﹣1，），∴A1C1中点E（﹣1，0，），CC1中点F（﹣，1，），设=，则=λ（﹣），∴P（﹣，λ，﹣），∴=（﹣，λ，﹣），∵==0，∴，∴当P是线段B1F中点时，EP∥平面ABB1A1．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O 为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=3，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（2）①设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；②运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．【解答】（1）解：由已知可得K（﹣，0），圆C：（x﹣2）2+y2=1的圆心C（2，0），半径r=1．设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|=，于是|CR|===，即有|CK|====3，即有2+=3，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x；（2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，=，即有（）2+y1y2=，解得y1y2=﹣18或2（舍去），即﹣4t=﹣18，解得t=．则有AB恒过定点Q（，0）；②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=•，同理|GD|=|y2﹣y1|=•，则四边形AGBD面积S=|AB|•|GD|=•••=4，令m2+=μ（μ≥2），则S=4是关于μ的增函数，则当μ=2时，S取得最小值，且为88．当且仅当m=±1时，四边形AGBD面积的最小值为88．21．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得切点和切线的斜率，解方程可得a=b=1；（Ⅱ）f（x）=，即有f（2x）＜⇔ [xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），求出导数，对k讨论，①设k≤0，②设k≥1，③设0＜k＜1，分析导数的符号，判断函数的单调性，即可得到k的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，由函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0，知1+（e﹣1）2 f（1）﹣e=0，即f（1）==，f′（1）===﹣．解得a=b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，所以f（2x）＜⇔＜⇔﹣＜0，⇔ [xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），则g′（x）=e x+xe x﹣（1﹣k）e2x=e x（1+x﹣（1﹣k）e x）．①设k≤0，当x≠0时，由y=1+x﹣（1﹣k）e x．求得导数y′=1﹣（1﹣k）e x，求得最大值，可得y＜0，即有1+x＜（1﹣k）e x，即有g′（x）＜0，g（x）在R单调递减．而g（0）=0，故当x∈（﹣∞，0）时，g（x）＞0，可得g（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0，可得g（x）＜0，从而x≠0时，f（2x）＜．②设k≥1，存在x0＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）单调递增．而g（0）=0，当x＞0时，g（x）＞0，可得g （x）＞0，与题设矛盾，③设0＜k＜1，存在x1＜0＜x2，当x1＜x＜x2时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，x2）单调递增，而g（0）=0，故当0＜x＜x2时，g（x）＞0，可得g（x）＞0，与题设矛盾．综上可得，k的取值范围是（﹣∞，0]．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（1）由切割线定理得AB2=AD•AE，从而AD•AE=AC2，进而△ADC∽△ACE，由此能证明FG∥AC．（2）由题意可得：G，E，D，F四点共圆，从而△CGF∽△CDE，由此能求出．【解答】（1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AC=AB，∴AD•AE=AC2．∴，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．∴△CGF∽△CDE，∴=．又∵CG=1，CD=4，∴=4．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=0，求得函数f（x）的解析式，根据解析式分别求得f（x）≥0的解集；（2）u（x）=|x+1|﹣|x|，做出y=u（x）和y=x的图象，方程f（x）=x恰有三个不同的实根，转化成y=u（x）与y=x的图象始终有3个交点，根据函数图象即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，，所以当x＜﹣1时，f（x）=﹣1＜0，不合题意；当﹣1≤x＜0时，f（x）=2x+1≥0，解得；当x≥0时，f（x）=1＞0，符合题意．综上可得，f（x）≥0的解集为．（2）设u（x）=|x+1|﹣|x|，y=u（x）的图象和y=x的图象如图所示．易知y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．所以实数a的取值范围为（﹣1，0）．2017年4月10日。
2020届河北省武邑中学2017级高三下学期线上期中考试数学(理)试卷及解析
2020届武邑中学2017级高三下学期线上期中考试数学（理）试卷★祝考试顺利★注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II 卷（非选择题）两部分,满分150分,考试时间120分钟。
2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题。
3．选择题答案涂在答题卡上,非选择题答案写在答题卡上相应位置,在试卷和草稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一.选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。
1．已知集合(){},|20A x y x y =+=,(){},|10B x y x my =++=．若A B =∅I ,则实数m =A ．2-B ．12-C ．12D ．22．设复数z 满足1i z z -=-（i 为虚数单位）,z 在复平面内对应的点为（x ,y ）,则A. y x =-B. y x =C. ()()22111x y -+-=D. ()()22111x y +++=3．已知两个单位向量12,e e ,若()1212-⊥e e e ,则12,e e 的夹角为A ．2π3B ．π3C ．π4D ．π6 4．某学校拟从甲、乙等5位同学中随机选派3人去参加国防教育活动,则甲、乙均被选中的概率为A. 35B. 12C. 25D. 310一点,则两点P ,Q 之间距离的最小值为 A ．5212- B ．131- C ．4 D ．522 6．若()331231log e,2e ,a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>7．若tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π,则cos2α= A ．1- B ．79 C ．0或79 D ．1-或798. 若函数()sin 2f x x =的图象向右平移116π个单位得到的图象对应的函数为()g x ,则下列说法正确的是A. ()g x 的图象关于12x π=-对称B. ()g x 在[]0π，上有2个零点C. ()g x 在区间5 36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减D. ()g x 在 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为30⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 9. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘3再加1,如果它是偶数.则对它除以2,如此循环,最终都能够得到1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入n 的值为10.则输出i 的值为A.5B.6C.7D.810．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点,I 为12PF F ∆的内心,且1122IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-,若椭圆的离心率为e ,则λ=。
河北省武邑中学2020届高三年级下学期第二次质检考试 数学(理)(含答案)
18．（本题满分 12 分）
如图，已知三棱柱 ABC A1B1C1 中， △ABC与△B1BC 是全等的等边三角形，
（1）求证： BC AB1 ；
（2）若
cos B1BA
1 4
，求二面角 C
B1 B
A
的余弦值．
高三下学期第二次质检考试理科数学 第 3 页 共 5 页
19.（本题满分 12 分）
高三下学期第二次质检考试理科数学 第 5 页 共 5 页
河北武邑中学 2019—2020 学年高三年级下学期第二次质检
考试数学试题（理科）答案
1.已知集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{y|y＝2x+3}，则 A∪B＝（ ）
A．[3，4）
B．（﹣1，+∞） C．（3，4）
D．（3，+∞）
解：∵集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{y|y＝2x+3}＝{y|y＞3}，
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
x y
3 cos
（ 为参数），以坐标原点 O 为
3 3 sin
极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 cos .
（1）求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 C3 的极坐标方程为 （ 0 ， R ），点 A 是曲线 C3 与 C1 的交点，点 B 是
A.
B.
C.
D.
4.设 tan 1 ， cos(π ) 4 ( (0, π)) ，则 tan(2 ) 的值为（ ）
2
5
A． 7 24
B． 5 24
河北省武邑县高三数学下学期第二次质检考试试题文(扫描版)
河北省武邑县2017届高三数学下学期第二次质检考试试题文(扫描版)
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。
河北省武邑县高三理综下学期第二次质检考试试题(扫描版)
河北省武邑县2017届高三理综下学期第二次质检考试试题（扫描版)
尊敬的读者：
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(优辅资源)河北省衡水市高三数学二模试卷(理科) Word版含解析
2017年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．．1．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}2．已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C． D．3．下列命题，真命题是（）A．a﹣b=0的充要条件是=1 B．∀x∈R，e x＞x eC．∃x0∈R，|x0|≤0 D．若p∧q为假，则p∨q为假4．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x5．已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸（图中大正方形边长为2a），可得这个几何体的体积是（）A．B．7a3C．D．5a36．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．4 D．57．给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x ﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．669．若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）10．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A．[1，3]B．[]C．[，]D．[，3]11．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π12．已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．e3B．e3C．e3D．e3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线的左、右焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为．14．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2=（x12+x22+x32﹣12），则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为．15．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有种．（以数字作答）16．已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列{a n}的通项a n=（n∈N+），则数列{a n}的前n项和=．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．18．2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且B1A=B1C=B1B=AC=2．（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥底面ABC；（Ⅱ）求B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）若E，F分别是线段A1C1，C1C的中点，问在线段B1F上是否存在点P，使得EP∥平面ABB1A1．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O 为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．21．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．2017年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．．1．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}【考点】元素与集合关系的判断．【分析】先求出m的值，从而判断出m属于结合A．【解答】解：∵m=elne=e，∴m∈A，故选：C．2．已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z1，z2，求出z1、z2在复平面上对应的点的坐标A、B，则答案可求．【解答】解：∵（1+2i）z1=﹣1+3i，∴z1===1+i，∵，∴z2=1+（2i）5=1+32i，∴z1、z2在复平面上对应的点的坐标分别为A（1，1）、B（1，32），则|AB|=．故选：A．3．下列命题，真命题是（）A．a﹣b=0的充要条件是=1 B．∀x∈R，e x＞x eC．∃x0∈R，|x0|≤0 D．若p∧q为假，则p∨q为假【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．由=1⇒a﹣b=0，反之不成立（b=0时），即可判断出正误；B．取x=e时，e x=x e，即可判断出正误；C．取x0=0，则|x0|≤0成立，即可判断出正误；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个为假命题，因此p∨q不一定为假，即可判断出正误．【解答】解：A．由=1⇒a﹣b=0，反之不成立（b=0时），因此a﹣b=0是=1的必要不充分条件；B．取x=e时，e x=x e，因此不正确；C．取x0=0，则|x0|≤0成立，正确；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个为假命题，因此p∨q不一定为假，不正确．故选：C．4．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．【分析】利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +，把线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10代入可得P值，然后求解抛物线方程．【解答】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=（x1+x2）+p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|=10，∴10=6+p，可得p=4∴抛物线方程为y2=8x．故选：C．5．已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸（图中大正方形边长为2a），可得这个几何体的体积是（）A．B．7a3C．D．5a3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，求出每个角的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，每个角都是三条侧棱两两垂直且长度为a的棱锥，故组合体的体积V=（2a）3﹣8×（×a2×a）=，故选：A6．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．4 D．5【考点】等差数列的前n项和．【分析】首先利用等差数列的通项公式求出首相和公差的关系，进一步对等差数列的前n项和公式进行应用．【解答】解：等差数列{a n}中，设首相为a1，公差为d，由于：，则：，解得：，=，故选：D7．给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x ﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】两个变量的线性相关；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，|CD|=|CB|，∠C=30°，所以∠CBD=75°，所以E点落在线段CD上的概率是=，故不正确；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x ﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力，正确；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），图象关于x=1对称，因为P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21，正确；故正确结论的个数为3，故选：C．8．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．9．若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，先解出点A的坐标，再结合图象写出实数m 的取值范围即可．【解答】解：由题意作出其平面区域，结合图象可得，，解得，A（﹣1，﹣3）；故m＞﹣1；故选A．10．已知向量是单位向量，，若•=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是（）A．[1，3]B．[]C．[，]D．[，3]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答本题．【解答】解：因为•=0，且|﹣|+|﹣2|=，设单位向量=（1，0），=（0，1），=（x，y），则=（x﹣1，y），=（x，y﹣2），则，即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距离和为，即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段，|+2|=表示（﹣2，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（﹣2，0）到直线2x+y﹣2=0的距离所以|+2|min=，最大值为（﹣2，0）到（1，0）的距离是3，所以|+2|的取值范围是[，3]；故选：D．11．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【考点】球内接多面体．【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，∴△ABC的边长为2，∴圆锥的底面半径为，高为3，∴V=．故选：C．12．已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．e3B．e3C．e3D．e3【考点】函数恒成立问题．【分析】分a＜0、a=0、a＞0三种情况讨论，而a＜0、a=0两种情况容易验证是否恒成立，在当a＞0时，构造函数f（x）=ae x+1﹣a2x来研究不等式e x+1≥ax+b 恒成立的问题，求导易得．【解答】解：若a＜0，由于一次函数y=ax+b单调递减，不能满足且e x+1≥ax+b 对x∈R恒成立，则a≥0．若a=0，则ab=0．若a＞0，由e x+1≥ax+b得b≤e x+1﹣ax，则ab≤ae x+1﹣a2x．设函数f（x）=ae x+1﹣a2x，∴f′（x）=ae x+1﹣a2=a（e x+1﹣a），令f′（x）=0得e x+1﹣a=0，解得x=lna﹣1，∵x＜lna﹣1时，x+1＜lna，则e x+1＜a，则e x+1﹣a＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f （x）递减；同理，x＞lna﹣1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）递增；∴当x=lna﹣1时，函数取最小值，f（x）的最小值为f（lna﹣1）=2a2﹣a2lna．设g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），g′（a）=a（3﹣2lna）（a＞0），由g′（a）=0得a=，不难得到时，g′（a）＞0；时，g′（a）＜0；∴函数g（a）先增后减，∴g（a）的最大值为，即ab的最大值是，此时．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线的左、右焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线与双曲线的交点坐标，代入双曲线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，可得交点坐标为：（c，2c），代入双曲线方程可得：，可得e2﹣1=，e＞1，可得e2﹣1=2e，解得e=．故答案为：；14．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2=（x12+x22+x32﹣12），则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为3．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据方差的公式求得原数据的平均数后，求得新数据的平均数即可．【解答】解：由方差的计算公式可得：S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]= [x12+x22+…+x n2﹣2（x1+x2+…+x n）•+n2]= [x12+x22+…+x n2﹣2n2+n2]= [x12+x22+…+x n2]﹣2=（x12++x32﹣12）可得平均数=2．对于数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数是2+1=3，故答案为：3．15．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有40种．（以数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C51=5种情况，剩余4人，平均分成2组，有=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A22=2种情况，此时一共有5×3×2=30种方案；②、Grace参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace一起搜寻近处投掷点的食物，有C52=10种情况，而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况，则此时一共有10×1=10种方案；则一共有30+10=40种符合题意的分配方案；故答案为：40．16．已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列{a n}的通项a n=（n∈N+），则数列{a n}的前n项和=4n．【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，可得f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），利用等比数列的通项公式可得f（n），即可得出a n及其前n项和．【解答】解：∵函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，∴f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），∴数列{f（n）}是等比数列，首项为2，公比为2．∴f（n）=2n．∴数列{a n}的通项a n===4．∴数列{a n}的前n项和=4n．故答案为：4n．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，于是，即可得出；（II）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，sinA≠0，∴，得，∵C∈（0，π），∴．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a （1）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，（2）由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．18．2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记x 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据统计图求出对应的人数和频率即可得到结论．（Ⅱ）求出随机变量以及对应的概率，即可得到结论．（Ⅲ）根据条件直接写出结论．【解答】解：（Ⅰ）设事件A：“此人乘坐地铁的票价小于5 元”，由统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的人数分别为60，40，20人，所以票价小于5的有60+40=100人，故此人乘坐地铁的票价小于5 元的频率为=则乘坐地铁的票价小于5 元的概率P（A）=；（Ⅱ）X的可能值为6，7，8，9，10．统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的频率分别为=，=，=，以频率当概率，则P（X=6）==，P（X=7）=，P（X=8）==，P（X=9）==，P（X=10）==，则X的分布列为：则EX=6×+7×=．（Ⅲ）s∈（20，22]．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且B1A=B1C=B1B=AC=2．（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥底面ABC；（Ⅱ）求B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）若E，F分别是线段A1C1，C1C的中点，问在线段B1F上是否存在点P，使得EP∥平面ABB1A1．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连结B1O，BO，则△B1OA≌△B1OB，从而B1O⊥OB，进而B1O⊥平面ABC，由此能证明平面B1AC⊥底面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，O为AC中点，得BO⊥AC，以OB、OC、OB1分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值．（Ⅲ）求出A1C1中点E（﹣1，0，），CC1中点F（﹣，1，），设=，求出P（﹣，λ，﹣），由=0，能求出当P是线段B1F中点时，EP∥平面ABB1A1．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连结B1O，BO，∵AB⊥BC，∴OB=OA=OC，∵AB1=B1C，∴B1O⊥AC，又∵B1B=AB1，∴△B1OA≌△B1OB，∴B1O⊥OB，∵AC∩OB=O，∴B1O⊥平面ABC，又∵B1O⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥底面ABC．（Ⅱ）解：由已知得AB=BC，O为AC中点，∴BO⊥AC，以OB、OC、OB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），B1（0，0，），C（0，1，0），A（0，﹣1，0），=（1，1，0），=（﹣1，0，），=（0，1，﹣），设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设B1C与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|==．∴B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：===（﹣1，1，），∴C1（﹣1，1，），同理得A（﹣1，﹣1，），∴A1C1中点E（﹣1，0，），CC1中点F（﹣，1，），设=，则=λ（﹣），∴P（﹣，λ，﹣），∴=（﹣，λ，﹣），∵==0，∴，∴当P是线段B1F中点时，EP∥平面ABB1A1．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O 为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=3，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（2）①设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；②运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．【解答】（1）解：由已知可得K（﹣，0），圆C：（x﹣2）2+y2=1的圆心C（2，0），半径r=1．设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|=，于是|CR|===，即有|CK|====3，即有2+=3，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x；（2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，=，即有（）2+y1y2=，解得y1y2=﹣18或2（舍去），即﹣4t=﹣18，解得t=．则有AB恒过定点Q（，0）；②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=•，同理|GD|=|y2﹣y1|=•，则四边形AGBD面积S=|AB|•|GD|=•••=4，令m2+=μ（μ≥2），则S=4是关于μ的增函数，则当μ=2时，S取得最小值，且为88．当且仅当m=±1时，四边形AGBD面积的最小值为88．21．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得切点和切线的斜率，解方程可得a=b=1；（Ⅱ）f（x）=，即有f（2x）＜⇔ [xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），求出导数，对k讨论，①设k≤0，②设k≥1，③设0＜k＜1，分析导数的符号，判断函数的单调性，即可得到k的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，由函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0，知1+（e﹣1）2 f（1）﹣e=0，即f（1）==，f′（1）===﹣．解得a=b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，所以f（2x）＜⇔＜⇔﹣＜0，⇔ [xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），则g′（x）=e x+xe x﹣（1﹣k）e2x=e x（1+x﹣（1﹣k）e x）．①设k≤0，当x≠0时，由y=1+x﹣（1﹣k）e x．求得导数y′=1﹣（1﹣k）e x，求得最大值，可得y＜0，即有1+x＜（1﹣k）e x，即有g′（x）＜0，g（x）在R单调递减．而g（0）=0，故当x∈（﹣∞，0）时，g（x）＞0，可得g（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0，可得g（x）＜0，从而x≠0时，f（2x）＜．②设k≥1，存在x0＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）单调递增．而g（0）=0，当x＞0时，g（x）＞0，可得g （x）＞0，与题设矛盾，③设0＜k＜1，存在x1＜0＜x2，当x1＜x＜x2时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，x2）单调递增，而g（0）=0，故当0＜x＜x2时，g（x）＞0，可得g（x）＞0，与题设矛盾．综上可得，k的取值范围是（﹣∞，0]．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（1）由切割线定理得AB2=AD•AE，从而AD•AE=AC2，进而△ADC∽△ACE，由此能证明FG∥AC．（2）由题意可得：G，E，D，F四点共圆，从而△CGF∽△CDE，由此能求出．【解答】（1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AC=AB，∴AD•AE=AC2．∴，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．∴△CGF∽△CDE，∴=．又∵CG=1，CD=4，∴=4．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=0，求得函数f（x）的解析式，根据解析式分别求得f（x）≥0的解集；（2）u（x）=|x+1|﹣|x|，做出y=u（x）和y=x的图象，方程f（x）=x恰有三个不同的实根，转化成y=u（x）与y=x的图象始终有3个交点，根据函数图象即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，，所以当x＜﹣1时，f（x）=﹣1＜0，不合题意；当﹣1≤x＜0时，f（x）=2x+1≥0，解得；当x≥0时，f（x）=1＞0，符合题意．综上可得，f（x）≥0的解集为．（2）设u（x）=|x+1|﹣|x|，y=u（x）的图象和y=x的图象如图所示．易知y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．所以实数a的取值范围为（﹣1，0）．2017年4月10日。
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f（x）＝（4x+4﹣x）
|x|是偶函数，f（1）＝0，x∈（0，1）时，f（x）＞0，不满足题意．
则函数 f（x）的解析式可能是 f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x|．选：C． 8.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”。中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、
角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一 五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，
D．f（x）＝（4x+4﹣x）
|x|
解：函数 f（x）的图象如图所示，函数是偶函数，x＝1 时，函数值为 0．
高三下学期第二次质检考试理科数学 第 2 页 共 12 页
f（x）＝（4x+4﹣x）|x|是偶函数，但是 f（1）≠0，
f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x|是奇函数，不满足题意． f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x|是偶函数，f（1）＝0 满足题意；
2020届河北省武邑中学2017级高三下学期二模考试数学（理）试卷
10.如图， 为 的外心，
A. 4 B.
C.
D.
为钝角， 是边 的中点，则
的值为（ ）
11.已知双曲线
的左、右焦点分别为
，圆
与双曲线在第一
象限内的交点为 M，若
．则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．
D．
解：根据题意可画出以上图像，过 点作 垂线并交 于点 ，
因为
， 在双曲线上，
所以根据双曲线性质可知，
，即
，
，
因为圆
的半径为 ， 是圆
的半径，所以
，
因为
，
，
，
，
所以
，三角形 是直角三角形，
因为
，所以
，
，即 点纵坐标为 ，
将 点纵坐标带入圆的方程中可得
，解得
，
，
ห้องสมุดไป่ตู้
将 点坐标带入双曲线中可得
，
高三下学期第二次质检考试理科数学 第 4 页 共 12 页
化简得
，
，
可排成的不同音序有（ ）
A.20 种
B.24 种
C.32 种
D.48 种
解：先排角、商、徽，可分三种情况：
9.已知函数
值点
，若
与 轴交于点
，距离 轴最近的最大
，且
，恒有
，则实数 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题意得， ，
，
，
，由五点作图法知
，解得 ，
，令
，.
解得
，.
，
，选:C.
高三下学期第二次质检考试理科数学 第 3 页 共 12 页
5
C．
24
7
D．
24
高三下学期第二次质检考试理科数学 第 1 页 共 12 页
解： tan
1 2
， tan 2
2 tan 1 tan2
4 3
， cos(π )
4 5
cos
， (
(0, π) ，
cos 4 ， sin 3 ， tan 3 ，
5
5
4
tan(2
)
tan 2 tan 1 tan 2 tan
x2 x y
5
的展开式中
x5 y2 的系数为 C52C32
30
．答案为：30．
15.四边形
中，
,当边 最短时，四边形
河北武邑中学 2019—2020 学年高三年级下学期第二次质检
考试数学试题（理科）答案
1.已知集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{y|y＝2x+3}，则 A∪B＝（ ）
A．[3，4）
B．（﹣1，+∞） C．（3，4）
D．（3，+∞）
解：∵集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{y|y＝2x+3}＝{y|y＞3}，
A．
B．
C．
D．
解：结合题意，绘制图像，如图所示
平面 DEF 的面积为
，故该几何体的体积
，选 B.
7.已知函数 f（x）的图象如图所示，则函数 f（x）的解析式可能是（ ） A．f（x）＝（4x+4﹣x）|x| B．f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x|
C．f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x|
A.
B.
C.
D.
解： 根据四个列联表中的等高条形图可知， 图中 D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，
它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选 D．
4．设 tan 1 ， cos(π ) 4 ( (0, π)) ，则 tan(2 ) 的值为（ ）
2
5
A． 7 24
B． 5 24
x 0
为_____. 答案为：-2．
解：先作可行域，则直线 z x y 过点 A(0, 2) 时取最小值 2 ，
恰有 2 个零点．选 B
14. 已知 n N* ，满足
...
则 x2 x y n 的展开式中 x5 y2 的系
数为______.
解：由题意
...
即
，所以 n 5 ．
∴
，
12. 已知定义在 上的函数 取值范围是（ ） A．
，若函数 B．
C．
D．
解：由题意函数
恰有 2 个零点，即是方程
与
有两不同交点，作出函数图象如下图，
，选 D. 恰有 2 个零点， 则实数 的
有两不等实根，即是两函数
易得当
时，有两交点，即函数
2x y 2 0 13.若 x, y 满足约束条件 3x y 3 0 ，则 z x y 的最小值
为（ ）A. n2 n B. n2 1 C. n 12 D. n2
2
2
2
2
解：由题意 a1 0 ，排除 D， a3 4 ，排除 A，C．同时 B 也满足 a5 12 ， a7 24 ， a9 40 ，
选：B．
6．如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为 4 的正方形，其
侧视图中的曲线为 圆周，则该几何体的体积为（ ）
43 34 1 4 3
7 24
选D
34
5.大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传
统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.
已知该数列前 10 项是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式
∴A∪B＝{x|x＞﹣1}＝（﹣1，+∞）．故选：B．
2．已知复数 z1＝3﹣bi，z2＝1﹣2i，若 是实数，则实数 b 的值为（ ）
A．6
B．﹣6
C．0
D．
解：∵ ＝
＝
＝
是实数，
则 6﹣b＝0，∴实数 b 的值为 6， 故选：A． 3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资 源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响， 在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个 等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）