三角函数(自主招生辅导)

三角函数

【公式】

同角公式：平方关系 2

2

2

2

2

2

s i n c o s 1,s e c

t a n

1,c s c c o t 1

αααααα+=-=-=；

商数关系

s i n c o s t a n ,c o t

c o s

s i n

αααααα=

=；

倒数关系 t a n

c o t 1,s i n c s c

1,c o s αααααα===.

诱导公式：奇变偶不变，符号看象限.

加法公式：和、差、倍、半、万能公式；积化和差、和差化积公式. 还应熟悉：（1）三倍角公式

3

2

sin 33sin 4sin ,cos 34cos 3sin αααααα

=-=-，

1sin (60)sin sin (60)sin 3,co s(60)co s co s(60)

4

1co s 3.

4αααααααα-+=-+=

（2）0

211sin ()sin ()co s()sin 2

2

2

2

co s()2sin

sin

2

2

n

k n d n n x d x x d d

x kd d d =+++

--+

⋅+=

=

∑

，

211co s()co s()sin ()sin 2

2

2

2

sin ()2sin

sin

2

2

n

k n d n n x d x x d d

x kd d d =+++

--+

⋅+=

=

∑.

（3）2222

sin sin cos cos sin()sin()

αββααβαβ-=-=+-，

2

2

22

c o s s i n c o s s i n c o s (

)c o s (

)

αββααβαβ-=

-

=+-. （4）tan tan tan tan tan tan tan ()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα

++-++=

---.

（5）若0

2

πθ<<

，则sin tan θ

θθ

<<.

（6）函数sin x y

x =

在(0,)π上为减函数； 函数tan x y

x

=

在(0,

)

2π上为增函数.

（7）A B C ∆中，①sin

sin sin 4co s

co s co s 222A B C A B C ++=；

②co s co s co s 14sin sin

sin

222

A B C A B C ++=+；

③tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；

④tan

tan

tan

tan

tan

tan

1222222

A B B C C A ++=；

⑤cot cot cot cot cot cot 1A B B C

C A ++=； ⑥sin 2sin 2sin 24sin sin sin A B C

A B C

++=.

A B C

∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，

外接圆、内切圆半径分别为,R r ，半周长为2

a b c

p ++=

.

（1）正弦定理：

2sin sin sin a b c R

A

B

C

==

=.

（2）余弦定理：2

22

2

2

2

2

2

2

2cos ,2cos ,2cos a b c bc A b c a ca B c a b ab C

=+-=+-=+-.

（3）射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+. （4）面积：2

1112sin sin sin (sin sin sin )2224A B C

a b c a b c S a h b h ch rp R A B C rR A B C R

∆==

=

=

===++

222

1(co t co t co t )

4

a A

b B

c C =++.

【例与练】 1.（12卓越）函数co s ()

2sin y

θθθ

=

∈+R 的值域是__________.

2．（12北约）求使得sin 4sin 2sin sin 3x x x x a

-=在[0,)π有唯一解的a .

3.（12北约）设,,A B C 为边长为1的正三角形三边上各一点，求22

2

A B B C

C A

++的最小值.