2019-2020北师大版高中数学必修一课件1.1优质课件
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(3)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外 的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．
用适当的方法表示下列集合： (1){15的正因数}； (2)三角形的全体构成的集合； (3)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N＋，y∈N＋}； (4)满足不等式3x＋1≤0的所有实数的集合． [解析] (1)15＝1×3×5.故集合可表示为{1,3,5,15}． (2){x|x是三角形}或{三角形}． (3){(1,3)，(2,2)，(3,1)}． (4){x|3x＋1≤0}.
[规范解答] 销量多大才是畅销，无明确的标准，不能客 观的评价，即对象不确定，因此命题①不正确；由元素的无序 性知，集合{1,3,5,7}与{7,3,5,1}表示同一个集合，因此命题② 正确；{x＋y＝0}表示以方程x＋y＝0为元素，是一个单元素集 合，而不是点集，第二、四象限角平分线上的点组成的集合为 {(x，y)|x＋y＝0}，所以③不正确．
2．已知集合A表示不等式3－3x>0的解集，则有( ) A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A [答案] C [解析] 3－3x>0可化为x<1,0<1，－1<1，所以0∈A，－ 1∈A.
3．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为( )
A．{(1,2)}
B．{(2,1)}
C．{1,2}
早在1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论 文，证明了函数f(x)的三角级数表示的唯一性定理，而且证明 了即使函数f(x)在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立.1872 年康托尔在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个 定理的推广》的论文，把唯一性的结果推广到允许例外值是某 种无穷集合的情形．为了描述这种集合，他首先定义了点集的 极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概 念．这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开始，并为点集 论奠定了理论基础．以后，康托尔又在《数学年鉴》和《数学 杂志》两刊上发表了许多文章．
[解析] 根据集合元素的确定性来判断是否能构成集 合．因为B、C、D中所给的对象都是确定的，从而可以构成集 合；而A中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一 位数学家怎样才算作著名，故不能构成集合.
元素与集合的关系
若2∉{x|x－a>0}，则实数a的取值范围是________． [思路分析] 由题意可知，2不具备集合中元素的共同特 征，因此建立不等式即可求出a的取值范围． [规范解答] 因为2∉{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－ a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2. 所以实数a的取值范围是{a|a≥2}． [答案] {a|a≥2}
2．元素与集合的关系
知识点 关系
概念
记法 读法
元素与 集合的 关系
属于
不属 于
如果_a_在__集__合__A_中___， 就说a属于A
_a_∈__A__
“a属于A”
如果a_不__在__集__合__A__中_，
“a不属于
就说a不属于A
__a_∉_A__
A”
3．常用数集及表示符号
定义 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ___N___ __N__＋__ __Z___ ___Q___ ___R___
D．{x2－3x＋2＝0}
[答案] C
[解析] 该集合为数集，所以A、B都不对，D是用列举法
表示，但元素为方程x2－3x＋2＝0.
4．用符号“∈”或“∉”填空． (1)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A； (2)若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3________B； (3)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C， 9．1________C. [答案] (1)∉ (2)∉ (3)∈ ∉
4．集合的表示方法 (1)列举法 把集合中的元素_一__一__列__举__出__来__写在_大__括__号___内的方法． (2)描述法 用确定的条件表示某些对象_____属__于__一__个__集_，合并写在 _大__括__号____内的方法．
5．集合的分类 空集：不含任何元素，记作 ∅
集合非空集合：按 的含 个有 数元 分素 为无有限限集集： ：含 含有 有有 无限 限个 个元 元素 素
高中数学课件
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成才之路·数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
集合 第一章
康托尔与集合论的建立 康托尔(1845～1918)，德国数学家，集合论的创始人，生 于俄国圣彼得堡．康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗 教．他早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级 数并由此取得19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合 论和超穷数理论的建立．康托尔是在寻找函数展开为三角级数 表示的唯一性判别准则的工作中，认识到无穷集合的重要性， 并开始从事无穷集合的一般理论研究．
[答案] m≠0 [解析] 由集合元素的互异性，得m＋1≠1，即m≠0.
课堂典例讲练
集合的基本概念
考察下列每组对象能否构成一个集合： ①美丽的小鸟；②不超过20的非负整数；③立方接近零的 正数；④直角坐标系中，第一象限内的点． [思路分析] 要判断每组对象能否构成集合，关键是分析 各组对象所具有的条件是否明确．若明确，则能构成集合；否 则不能构成集合．
他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能 意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体．康托 尔指出：如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，这个 集合就是无穷的．康托尔还给出了开集、闭集和完全集等重要 概念，并定义了集合的并与交两种运算.
§1 集合的含义与表示 第一章
课前自主预习
①－12∈R；② 2∉Q；③0∈N＋；④|－3|∉N＋.
A．1
B．2
C．3 [答案] B
D．4
[解析] －12是实数， 2是无理数，∴①②正确．
N＋表示正整数．∴③和④不正确.
集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合 (1)一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合； (2)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合； (3)被5除余1的正整数组成的集合； (4)坐标平面内坐标轴上的点集． [思路分析] 当集合中元素较少且容易一一列举出来可用 列举法；用描述法表示集合，关键是理解题目中元素是什么， 满足什么条件．解答(1)可联立方程求解．解答(2)可先解方 程，再按要求改写．(3)、(4)可根据集合中元素性质改写．
[规范解答] ①中“美丽”的范畴太广，不具有明确性， 因此不能构成集合；②中的对象可以列举出来： 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数； ③中接近0的界限不明确；④中的对象有无限个，但条件明 确，即所有横、纵坐标均大于0的点都在该集合中．
元素的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
[答案] A
[解析] 因为 x2＝|x|，－3 x3＝－x，当 x>0 时，它们依次 为：x，－x，x，x，－x，有两个不同的元素；当 x<0 时，它们 依次为 x，－x，－x，－x，－x，也只有两个不同的元素；当 x ＝0 时，只有一个元素 0.所以选 A.
[解析] (1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴－1∉A. (2)∵B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}＝{－ 3,2}，∴3∉B. (3)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}， ∴8∈C,9.1∉C.
5．已知集合A＝{1，m＋1}，则实数m满足的条件是 ________．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题1：数学家说的集合是指什么？ 问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？
知能自主梳理
1．集合、元素 (1)集合定义 一般地，指定的_某__些__对__象__的全体称为集合． (2)集合的记法 集合通常用__大__写__字__母__A_，__B_，__C__，__D_…___标记． (3)元素 集合中的_每__个__对__象____叫作集合的元素．
集合中元素的性质
有关下列四个命题： ①“所有畅销的书”可构成集合； ②{1,3,5,7}与{7,3,5,1}表示同一集合； ③{x＋y＝0}表示在直角坐标平面内第二、四象限角平分 线上的点组成的集合． 其中正确的命题是________． [思路分析] 根据集合中元素的确定性、互异性、无序性 做出判断．
[规律总结] 以数或点为元素的集合分别叫作数集或点 集，这是我们研究的主要对象，因而研究集合必须搞清集合的 元素是什么．
本例做错的原因是不明白集合的代表元素(x，y)是一个点的 坐标，二元一次方程组的解只能用(x，y)或xy＝ ＝12 表示，而 1,2 是两个整数，所以不能表示点的坐标，也不能表示方程组的解．
预习效果展示
1．下列各组对象中不能构成集合的是( ) A．《成才之路》教育集团的全体员工 B．2014年全国经济百强县 C．2015年考入北京大学的全体学生 D．美国NBA的篮球明星 [答案] D
[解析] 根据集合元素的确定性来判断是否构成集合．因 为选项A、B、C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合； 而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位 美国NBA球员是否为篮球明星，所以不能构成集合．
[规律总结] (1)用列举法写集合应先弄清集合中的元素 是什么，是数还是点，还是其他元素．另外还要弄清元素的个 数．做到不重不漏，一一列举出来，写在大括号内．
(2)用描述法表示集合，常用模式是{x|p(x)}，其中x是集合 的代表元素，p(x)为集合中元素所具有的共同特征．要注意竖 线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
易错疑难辨析
集合x，y32xx＋＋23yy＝＝78 ＝________.
[错解] 由23xx＋ ＋32yy＝ ＝87 解得 x＝1，y＝2， ∴集合应等于{1,2}．
[辨析] 本例主要考查集合的描述法，集合中的元素为数 对(1,2)，不是数 1,2.
[正解] ∵方程组23xx＋ ＋32yy＝ ＝87 的解为 x＝1，y＝2， ∴集合为{(1,2)}．
情境引入导学
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意 义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合 是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔 民．
有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一 拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民： “这就是集合！”
[规律总结] (1)对于正整数集、自然数集、整数集、有理 数集、实数集，在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示， 这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数学的表 示方法，应当熟练掌握．
(2)判断一个元素是不是某个集合的元素，主要判断这个 元素是否具有这个集合的元素的共同特征．
所给下列关系正确的个数是( )
[规范解答] (1)由yy＝ ＝x2x－1 ，解得xy＝ ＝11 . 故一次函数 y＝x 与 y＝2x－1 图像的交点组成的集合为 {(1,1)}． (2)方程 x(x2－1)＝0 的实数根为 0,1，－1， 故其实数根组成的集合为{－1,0,1}． (3)根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x|x ＝5n＋1，n∈N}． (4)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标其中之一为 0，故 可表示为{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}．
综上可知②④能构成集合，①③不能构成集合．
[规律总结] 判断元素能否构成集合，关键看这些元素是 否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可 以构成集合，否则不能构成集合．
下列各组对象不能构成集合的是( ) A．著名的中国数学家 B．北京四中2014级新生 C．奇数的全体 D．2016年夏季奥运会所设的所有比赛项目 [答案] A
[答案] ②
[规律总结] (1)描述法表示集合时，首先要认清元素的性 质是什么？即元素有哪些共同属性．
(2)对于含有字母元素的处理，应讨论它确定集合的元 素，而不要被假象蒙蔽．特别是运用元素的确定性与互异性解 题时，应注意对字母进行讨论．
由实数 x、－x、|x|、 x2、－3 x3所组成的集合，最多含有
用适当的方法表示下列集合： (1){15的正因数}； (2)三角形的全体构成的集合； (3)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N＋，y∈N＋}； (4)满足不等式3x＋1≤0的所有实数的集合． [解析] (1)15＝1×3×5.故集合可表示为{1,3,5,15}． (2){x|x是三角形}或{三角形}． (3){(1,3)，(2,2)，(3,1)}． (4){x|3x＋1≤0}.
[规范解答] 销量多大才是畅销，无明确的标准，不能客 观的评价，即对象不确定，因此命题①不正确；由元素的无序 性知，集合{1,3,5,7}与{7,3,5,1}表示同一个集合，因此命题② 正确；{x＋y＝0}表示以方程x＋y＝0为元素，是一个单元素集 合，而不是点集，第二、四象限角平分线上的点组成的集合为 {(x，y)|x＋y＝0}，所以③不正确．
2．已知集合A表示不等式3－3x>0的解集，则有( ) A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A [答案] C [解析] 3－3x>0可化为x<1,0<1，－1<1，所以0∈A，－ 1∈A.
3．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为( )
A．{(1,2)}
B．{(2,1)}
C．{1,2}
早在1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论 文，证明了函数f(x)的三角级数表示的唯一性定理，而且证明 了即使函数f(x)在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立.1872 年康托尔在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个 定理的推广》的论文，把唯一性的结果推广到允许例外值是某 种无穷集合的情形．为了描述这种集合，他首先定义了点集的 极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概 念．这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开始，并为点集 论奠定了理论基础．以后，康托尔又在《数学年鉴》和《数学 杂志》两刊上发表了许多文章．
[解析] 根据集合元素的确定性来判断是否能构成集 合．因为B、C、D中所给的对象都是确定的，从而可以构成集 合；而A中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一 位数学家怎样才算作著名，故不能构成集合.
元素与集合的关系
若2∉{x|x－a>0}，则实数a的取值范围是________． [思路分析] 由题意可知，2不具备集合中元素的共同特 征，因此建立不等式即可求出a的取值范围． [规范解答] 因为2∉{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－ a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2. 所以实数a的取值范围是{a|a≥2}． [答案] {a|a≥2}
2．元素与集合的关系
知识点 关系
概念
记法 读法
元素与 集合的 关系
属于
不属 于
如果_a_在__集__合__A_中___， 就说a属于A
_a_∈__A__
“a属于A”
如果a_不__在__集__合__A__中_，
“a不属于
就说a不属于A
__a_∉_A__
A”
3．常用数集及表示符号
定义 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ___N___ __N__＋__ __Z___ ___Q___ ___R___
D．{x2－3x＋2＝0}
[答案] C
[解析] 该集合为数集，所以A、B都不对，D是用列举法
表示，但元素为方程x2－3x＋2＝0.
4．用符号“∈”或“∉”填空． (1)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A； (2)若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3________B； (3)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C， 9．1________C. [答案] (1)∉ (2)∉ (3)∈ ∉
4．集合的表示方法 (1)列举法 把集合中的元素_一__一__列__举__出__来__写在_大__括__号___内的方法． (2)描述法 用确定的条件表示某些对象_____属__于__一__个__集_，合并写在 _大__括__号____内的方法．
5．集合的分类 空集：不含任何元素，记作 ∅
集合非空集合：按 的含 个有 数元 分素 为无有限限集集： ：含 含有 有有 无限 限个 个元 元素 素
高中数学课件
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成才之路·数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
集合 第一章
康托尔与集合论的建立 康托尔(1845～1918)，德国数学家，集合论的创始人，生 于俄国圣彼得堡．康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗 教．他早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级 数并由此取得19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合 论和超穷数理论的建立．康托尔是在寻找函数展开为三角级数 表示的唯一性判别准则的工作中，认识到无穷集合的重要性， 并开始从事无穷集合的一般理论研究．
[答案] m≠0 [解析] 由集合元素的互异性，得m＋1≠1，即m≠0.
课堂典例讲练
集合的基本概念
考察下列每组对象能否构成一个集合： ①美丽的小鸟；②不超过20的非负整数；③立方接近零的 正数；④直角坐标系中，第一象限内的点． [思路分析] 要判断每组对象能否构成集合，关键是分析 各组对象所具有的条件是否明确．若明确，则能构成集合；否 则不能构成集合．
他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能 意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体．康托 尔指出：如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，这个 集合就是无穷的．康托尔还给出了开集、闭集和完全集等重要 概念，并定义了集合的并与交两种运算.
§1 集合的含义与表示 第一章
课前自主预习
①－12∈R；② 2∉Q；③0∈N＋；④|－3|∉N＋.
A．1
B．2
C．3 [答案] B
D．4
[解析] －12是实数， 2是无理数，∴①②正确．
N＋表示正整数．∴③和④不正确.
集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合 (1)一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合； (2)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合； (3)被5除余1的正整数组成的集合； (4)坐标平面内坐标轴上的点集． [思路分析] 当集合中元素较少且容易一一列举出来可用 列举法；用描述法表示集合，关键是理解题目中元素是什么， 满足什么条件．解答(1)可联立方程求解．解答(2)可先解方 程，再按要求改写．(3)、(4)可根据集合中元素性质改写．
[规范解答] ①中“美丽”的范畴太广，不具有明确性， 因此不能构成集合；②中的对象可以列举出来： 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数； ③中接近0的界限不明确；④中的对象有无限个，但条件明 确，即所有横、纵坐标均大于0的点都在该集合中．
元素的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
[答案] A
[解析] 因为 x2＝|x|，－3 x3＝－x，当 x>0 时，它们依次 为：x，－x，x，x，－x，有两个不同的元素；当 x<0 时，它们 依次为 x，－x，－x，－x，－x，也只有两个不同的元素；当 x ＝0 时，只有一个元素 0.所以选 A.
[解析] (1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴－1∉A. (2)∵B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}＝{－ 3,2}，∴3∉B. (3)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}， ∴8∈C,9.1∉C.
5．已知集合A＝{1，m＋1}，则实数m满足的条件是 ________．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题1：数学家说的集合是指什么？ 问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？
知能自主梳理
1．集合、元素 (1)集合定义 一般地，指定的_某__些__对__象__的全体称为集合． (2)集合的记法 集合通常用__大__写__字__母__A_，__B_，__C__，__D_…___标记． (3)元素 集合中的_每__个__对__象____叫作集合的元素．
集合中元素的性质
有关下列四个命题： ①“所有畅销的书”可构成集合； ②{1,3,5,7}与{7,3,5,1}表示同一集合； ③{x＋y＝0}表示在直角坐标平面内第二、四象限角平分 线上的点组成的集合． 其中正确的命题是________． [思路分析] 根据集合中元素的确定性、互异性、无序性 做出判断．
[规律总结] 以数或点为元素的集合分别叫作数集或点 集，这是我们研究的主要对象，因而研究集合必须搞清集合的 元素是什么．
本例做错的原因是不明白集合的代表元素(x，y)是一个点的 坐标，二元一次方程组的解只能用(x，y)或xy＝ ＝12 表示，而 1,2 是两个整数，所以不能表示点的坐标，也不能表示方程组的解．
预习效果展示
1．下列各组对象中不能构成集合的是( ) A．《成才之路》教育集团的全体员工 B．2014年全国经济百强县 C．2015年考入北京大学的全体学生 D．美国NBA的篮球明星 [答案] D
[解析] 根据集合元素的确定性来判断是否构成集合．因 为选项A、B、C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合； 而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位 美国NBA球员是否为篮球明星，所以不能构成集合．
[规律总结] (1)用列举法写集合应先弄清集合中的元素 是什么，是数还是点，还是其他元素．另外还要弄清元素的个 数．做到不重不漏，一一列举出来，写在大括号内．
(2)用描述法表示集合，常用模式是{x|p(x)}，其中x是集合 的代表元素，p(x)为集合中元素所具有的共同特征．要注意竖 线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
易错疑难辨析
集合x，y32xx＋＋23yy＝＝78 ＝________.
[错解] 由23xx＋ ＋32yy＝ ＝87 解得 x＝1，y＝2， ∴集合应等于{1,2}．
[辨析] 本例主要考查集合的描述法，集合中的元素为数 对(1,2)，不是数 1,2.
[正解] ∵方程组23xx＋ ＋32yy＝ ＝87 的解为 x＝1，y＝2， ∴集合为{(1,2)}．
情境引入导学
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意 义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合 是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔 民．
有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一 拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民： “这就是集合！”
[规律总结] (1)对于正整数集、自然数集、整数集、有理 数集、实数集，在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示， 这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数学的表 示方法，应当熟练掌握．
(2)判断一个元素是不是某个集合的元素，主要判断这个 元素是否具有这个集合的元素的共同特征．
所给下列关系正确的个数是( )
[规范解答] (1)由yy＝ ＝x2x－1 ，解得xy＝ ＝11 . 故一次函数 y＝x 与 y＝2x－1 图像的交点组成的集合为 {(1,1)}． (2)方程 x(x2－1)＝0 的实数根为 0,1，－1， 故其实数根组成的集合为{－1,0,1}． (3)根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x|x ＝5n＋1，n∈N}． (4)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标其中之一为 0，故 可表示为{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}．
综上可知②④能构成集合，①③不能构成集合．
[规律总结] 判断元素能否构成集合，关键看这些元素是 否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可 以构成集合，否则不能构成集合．
下列各组对象不能构成集合的是( ) A．著名的中国数学家 B．北京四中2014级新生 C．奇数的全体 D．2016年夏季奥运会所设的所有比赛项目 [答案] A
[答案] ②
[规律总结] (1)描述法表示集合时，首先要认清元素的性 质是什么？即元素有哪些共同属性．
(2)对于含有字母元素的处理，应讨论它确定集合的元 素，而不要被假象蒙蔽．特别是运用元素的确定性与互异性解 题时，应注意对字母进行讨论．
由实数 x、－x、|x|、 x2、－3 x3所组成的集合，最多含有