2019年湖南省永州市中考数学试题(含解析)

永州市2019年初中学业水平考试
数学(试题卷)
温馨提示：
1． 本试卷包括试题卷和答题卡，考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2． 考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回．
3． 本试卷满分150分，考试时量120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明．
亲爱的同学，请你沉着冷静，细心审题，运用技巧，准确作答，祝你成功！ ー、选择题(本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上．每小题4分，
共40分) 1．（2019·永州） －2的绝对值为
A ．2
1
-
B ．
2
1 C ．－
2 D ．2
【答案】D
【解析】负数的绝对值是它的相反数，所以－2的绝对值为2，故选D ． 2．（2019·永州） 改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、
太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】把选项B 中图形沿正中间竖直的一条直线折叠后能完全重合，所以选项B 是轴对称图形，故选B ． 3．（2019·永州） 2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94
亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是 A ．1.4042×106 B ．14.042×105 C ．8.94×108 D ．0.894x109 【答案】C
【解析】因为1亿=1×108，所以8.94亿=8.94×108．故选C ．
4． （2019·永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块(经
抽象后)按如图所示的方式放在自己正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是
【答案】B
【解析】根据三视图的定义判断选B ． 5．（2019·永州） 下列运算正确的是
A ．a 2＋a 3＝a 5
B ． (a 3)2=a 5
C ．(a ·b )2=a 2·b 2
D ．b a b a +=+
【答案】C
【解析】选项A 不是同类项，不能合并；选项B 属于幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(a 3)2=a 6；选项C 属于
积的乘方，等于把积里每一个因式分别乘方，正确；选项D 不是同类二次根式，不能合并．故选C ． 6． （2019·永州）现有一组数据：1，4，3，2，4，x ．若该组数据的中位数是3，则x 的值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C
【解析】除x 外，把这组数据由小到大排列为：1，2， 3，4， 4，因为中位数是3，所以只能是
2
1
(3＋x )=3，因此x =3，故选C ．
7． （2019·永州）下列说法正确的是
A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等
B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形
C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°
D ．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度 【答案】D
【解析】选项A 中，可能是“SSA ”的情形，不能判定两个三角形全等；选项B 中，没有“对角 线互相平分”
这一条件，不能判定四边形为平行四边形，更不能判定为矩形；选项C 中，如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于90°；只有选项D 正确． 8．（2019·永州） 如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点，若AB =AD =5，BD =8，∠ABD
＝∠CDB ，则四边形ABCD 的面积为 A ．40 B ．24 C ．20 D ．15
【答案】B 【解析】∵∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，∵O 是BD 的中点，∴BO =DO ，又∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ≌△COD ，
∴AB =CD ，又AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵AB =AD ，∴四边形ABCD 是菱形．∴AC ⊥BD ．在
Rt △ABO 中，BO =21BD =4，AO =22BO AB -=2245-=3， ∵AC =2AO =6，∴四边形ABCD 的面积为2
1
AC ×BD =
2
1×6×8=24．故选B ． 9． （2019·永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建仓库，以方
便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知 甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4﹕5﹕4﹕2，各基地之间的距离之比a ﹕b ﹕c ﹕d ﹕e ＝2﹕3﹕4﹕3﹕3(因条件限制，只有图示的五条运输渠道)，当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
【答案】A
【解析】设a ＝2x ，则b ＝3x ，c ＝4x ，d ＝3x ，e ＝3x ，设甲、乙、丙、丁各基地的产量分别为4y ，5y ，4y ，2y ，
总运费为W ，则W 甲＝2x ×5y ＋3x ×4y ＋3x ×2y ＝28xy ， W 乙＝2x ×4y ＋3x ×4y ＋5x ×2y ＝30xy ，W 丙＝4x ×3y ＋3x ×5y ＋4x ×2y ＝35xy ，W 丁＝3x ×4y ＋5x ×5y ＋4x ×4y ＝53xy ，W 甲最小，故选A ．
10．（2019·永州）若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-<+-0
40
62m x m x 有解，则在其解集中，整数的个数不可能．．．
是 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】由原不等式组得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>-<42
6m
x m x 这时原不等式组的解为264m x m -<<，故有264m m -<，解得m ＜4．当
m =0时，原不等式组的解为
21241<<x ，整数解有2个；当m =－1，原不等式组的解为2
1
341<<-x ，整数解有4个；当m =3时，原不等式组的解为2
3
43<<x ，整数解有1个；故选C ．
二、填空题(本大题共8个小题，请将答案填在答题卡上的答案栏内．每小题4分，共32分)
11．（2019·永州）分解因式：x 2＋2x ＋1＝ ． 【答案】(x ＋1)2
【解析】x 2＋2x ＋1是完全平方式，所以 x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2． 12．（2019·永州）方程
x
x 1
12=-的解为 ． 【答案】x =－1
【解析】去分母得，2x =x －1，解得x =－1，经检验，x =－1是原方程的解，所以原方程的解是x =－1． 13．（2019·永州）使代数式
1-x 有意义的x 取值范围是 ．
【答案】x ≥1
【解析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以x －1≥0，解得x ≥1． 14．
根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是 ．【答案】乙 【解析】甲x =
51×(90＋88＋92＋94＋91)=91，甲x =51×(90＋91＋93＋94＋92)=92，2甲S =5
1×[(90－91)2＋(88－91)2＋(92－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2] =4，2
乙S =5
1×[(90－92)2＋(91－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(92－92)2]
=2，所以乙的成绩较好且比较稳定． 15．（2019·永州）已知∠AOB =60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D
为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足
为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若DE ＝2，则DF ＝ ．
【答案】4
【解析】∵∠AOB =60°，OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠COB =30°，∵DE ⊥OA ，∴∠DFO =90°－60°=30°，
∴∠DFO =∠COB =30°，∴DF =DO ，在Rt △EDO 中， DO =2DE =4，∴DF =4． 16．（2019·永州）如图，已知点F 是△ABC 的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF 并延长，交AB
于点D ，过点F 作FG ∥BC ，交AC 于点G ．设三角形EFG ，四边形FBCG 的面积分别为S 1，S 2，则S 1﹕S 2＝ ．
【答案】1﹕8
【解析】∵F 是△ABC 的重心，∴EF ﹕BF =1﹕2，∴EF ﹕BE =1﹕3，∵FG ∥BC ，∴△EFG ∽△EBC ，∴S △EFG ﹕
S △EBC ＝EF 2﹕BE 2=1﹕9，∴S 1﹕S 2＝1﹕8． 17．（2019·永州）如图，直线y ＝4－x 与双曲线y ＝
x
3
交于A ，B 两点，过B 作直线BC ⊥y 轴，垂足为C ，则以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是 ．
【答案】(2，1) ，(－1，1) 【解析】联立y ＝4－x 与y ＝
x
3，求得A (1，3)，B (3，1)，则OA 的中点坐标为(21，23
)，OA =2231+=10，
所以圆的半径为
2
10
．设所求的交点坐标为(m ，1)，则有222)210(
)231()21(=-+-m ，解得m =2或－1，因此设所求的交点坐标为(2，1) ，(－1，1)．
18．（2019·永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：
从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的乘方(a ＋b )n 的展开式(按b 的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s ＋x )15的展开式按x 的升幂排列得：(s ＋x )15＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 15x 15．
依上述规律，解决下列问题： (1)若s =1，则a 2＝ ．
(2)若s =2，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15＝ ．
【答案】(1)105 (2)315 【解析】(1)当s =1时，
(1＋x )1=1＋x
(1＋x )2=1＋2x ＋x 2 a 2＝1
(1＋x )3=1＋3x ＋3x 2＋x 3 a 2＝3＝1＋2
(1＋x )4=1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x 4 a 2＝6＝1＋2＋3
(1＋x )5=1＋5x ＋10x 2＋10x 3＋5x 4＋x 5 a 2＝10＝1＋2＋3＋4
(1＋x )6=1＋6x ＋15x 2＋20x 3＋15x 4＋6x 5＋x 6 a 2＝15＝1＋2＋3＋4＋5 当n =15时，a 2＝1＋2＋3＋4＋ (14)
2
1×(1＋14)×14＝105． (2)若s =2，令x =1，则(2＋1)15= a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15＝315． 三、解答题(本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程，共78分) 19．（2019·永州）(本小题8分)计算：(－1)2019＋12×sin60°－(－3)． 解：原式＝－1＋2
3
32⨯＋3＝－1＋3＋3＝5．
20．（2019·永州）(本小题8分)先化简，再求值：1
1122--+-⋅-a a
a a a a a ，其中a ＝2．
解：原式＝
11)1)(1()1(--++-⋅-a a a a a a a a ＝11--a a ＝111--
--a a a a ＝1
1
--a ． 当a ＝2时，原式＝1
21
--
＝－1． 21．（2019·永州）(本小题8分)为了测量某山(如图所示)的高度，甲在山顶A 测得C 处的俯角为45°，D 处的俯
角为30°，乙在山下测得C ，D 之间的距离为400米．已知B ，C ，D 在同一水平面的同一直线上，求山高
AB ．(可能用到的数据：2≈1．414，3≈1．732)
解：由题意知：∠ACB ＝45°，∠ADB ＝30°，设AB ＝x ，则BC ＝x ， 在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝
BD AB ， ∴tan 30°＝400+x x ， ∴33＝400
+x x
，解得x =2003＋200≈546.4．
答：山高AB 为546.4米．
22．（2019·永州）(本小题10分)在一段长为1 000米的笔直道路AB 上，甲、乙两名运动员均从A 点出发进行
往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A 点的距离y (米)与其出发的时间x (分钟)的函数图象如图所示，乙的速度是150米/分钟，且当乙到达B 点后立即按原速返回． (1)当x 为何值时，两人第一次相遇？
(2)当两人第二次相遇时，求甲的总路程．
解：(1)250x =150(x ＋0.5)，解得x =0.75． (2)甲返回时的速度为1000÷(10－5)=200米/分钟， 200(x －5)＋150(x ＋0.5)=1000，解得x =5.5．
所以甲的总路程为1000＋200(x －5)= 1000＋200(5.5－5)=1100(米)．
23．（2019·永州）(本小题10分)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且BC 为⊙O 的直径，在劣弧AC
⌒上取一点D ，使CD
⌒＝AB ⌒，将△ADC 沿AD 对折，得到△ADE ，连接CE ． (1)求证：CE 是⊙O 的切线；
(2)若CE ＝3CD ，劣弧CD
⌒的弧长为π，求⊙O 的半径．
解：(1)延长AD 交CE 于点F ，由对折知，CD =ED ，AC =AE ，∴AD 是CE 的垂直平分线，∴AF ⊥CE ，∵CD
⌒＝AB ⌒，∴∠CAE =∠ACB ，∴AF ∥BC ，∴BC ⊥CE ，∵BC 为⊙O 的直径，∴CE 是⊙O 的切线； (2) 连接OD ，∵AD 是CE 的垂直平分线，∴CE =2CF ，又CE ＝3CD ，∴2CF ＝3CD ，∴
2
3
=CD CF ，在Rt △CDF 中，cos ∠FCD =
CD CF
=2
3，∴∠FCD =30°，∴∠BCD =90°－30°=60°，则△OCD 是等边三角形，∴∠COD =60°，∴
ππ=⋅180
60OC
，解和OC =3．所以 ⊙O 的半径为3．
24．（2019·永州）(本小题10分)如图，已知抛物线经过两点A (－3，0)，B (0，3)，且其对称轴为直线x ＝－1．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点(不包括点A ，点B )，求△P AB 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．
解：(1)设抛物线的解析式为y =ax 2＋bx ＋c ，根据题意得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-=-==+-1
2,
3,039a
b
c c b a 解得⎪⎩⎪
⎨⎧=-=-=.3.2,1c b a 所以抛物线的解析式为y =－x 2－2x ＋3． (2)易知直线AB 的表达式为y =x ＋3，设P (m ，－m 2－2m ＋3)，过P 作PC ∥y 轴交AB 于点C ，则C (m ，m ＋3)，PC =(－m 2－2m ＋3)－(m ＋3)= －m 2－3m ，
S △P AB =
21×(－m 2－3m )×3=－23×(m 2＋3m )= －23(m ＋23) 2＋8
27． 所以当m =－23时，S △P AB 有最大值827．此时点P 的坐标为(－23，4
15
)．
25．（2019·永州）(本小题12分)某种机器使用若干年后即淘汰．该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使
用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．
(1)请补全该条形统计图；
(2)某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．
①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；
②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元，请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数．．．．．．．．
进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？
解：(1)100－20－50－20=10，补全条形统计图如图：
(2)①这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率为50÷100=0.5；
②买8个时：1600×0.2(换8个)＋2100×0.5(换9个)＋2600×0.1(换10个)＋3100×0.2(换11个)=2250(元)；
买9个时：1800×0.2(换8个)＋1800×0.5(换9个)＋2300×0.1(换10个)＋2800×0.2(换11个)=2050(元)；
买10个时：2000×0.2(换8个)＋2000×0.5(换9个)＋2000×0.1(换10个)＋2500×0.2(换11个)=2100(元)；
买11个时：2200×0.2(换8个)＋2200×0.5(换9个)＋2200×0.1(换10个)＋2200×0.2(换11个)=2200(元)．所以买9个时公司花费最少．
26．（2019·永州）(本小题12分)(1)如图26－1，在平行四边形ABCD中，∠A=30°，AB=6，AD=8，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．(保留分割线的痕迹)
解：矩形的长为8，宽为3．
(2)若将一边长为1的正方形按如图26－2－1所示剪开，恰好能拼成如图26－2－2所示的矩形，则m的值
是多少？
解：由两个图形的面积相等，有m (m ＋1)=1，解得m =
251+-或m =2
5
1--(舍去)． 所以m 的值是2
5
1+-．
(3)四边形ABCD 是一个长为7，宽为5的矩形(面积为35)，若把它按如图26－3－1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图26－3－2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形(面积为36)．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．
解：如图，tan ∠AFG =
FG AG =234-=21，tan ∠FCH =HC FH =7
3
， 因为21≠73，所以∠AFG ≠∠FCH ，因此点A ，F ，C 三点不在同一直线上，即原图形不能拼成新图形．。