2015-2017近三年高考理科立体几何高考题汇编

2015-2017高考立体几何题汇编2017(三)16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°； 其中正确的是________。

（填写所有正确结论的编号）2017(三)19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值． 2017(二)4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π2017(二)10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．32B ．155C ．105D ．332017(二)19．（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o45，求二面角M AB D --的余弦值．2017(一)7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为2017(一)18．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o，求二面角A −PB −C 的余弦值. 2017(天津)（17）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2.（Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅰ）求二面角C -EM -N 的正弦值；（Ⅰ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21，求线段AH 的 2016(二)（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ,F 分别在AD ,CD 上，AE =CF =，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△的位置，.（I）证明：平面ABCD；（II）求二面角的正弦值.2016（北京）6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.2016（北京）17.（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；2015（二）（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为1613121P ABCD-PAD⊥ABCD PA PD⊥PA PD=AB AD⊥1AB=2AD=5AC CD==PD⊥PAB PB PCDDD1C1A1EFCB1（A ） （B ） （C ） （D ）2015（二）（19．（本小题满分12分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值。

2015（一）（18）如图，，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC 。

（1）证明：平面AEC ⊥平面AFC （2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值2015（北京）5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A．2 B．4 C．2+ D ．5 2015（北京）17.（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅰ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅰ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．2015（陕西）5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ． B ． C ． D ．11俯视图侧(左)视图21O FECBA3π4π24π+34π+2015（陕西）18．（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．（I ）证明：平面；（II ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 答案：2017(三)16. ②③2017(三)19.解：（1）由题设可得，,ABD CBD AD DC ∆≅∆=从而又ACD ∆是直角三角形，所以0=90ACD ∠ 取AC 的中点O ，连接DO,BO,则DO ⊥AC,DO=AO 又由于ABC BO AC ∆⊥是正三角形，故 所以DOB D AC B ∠--为二面角的平面角2222222220,Rt AOB BO AO AB AB BD BO DO BO AO AB BD ACD ABC∆+==+=+==∠⊥在中，又所以，故DOB=90所以平面平面（2）由题设及（1）知，OA,OB,OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA u u u r的方向为x 轴正方向，OAu u u r为单位长，建立如图所示的空间1CD AB D//C A B D 2π∠BA =C 1AB =B =D 2A =E D A O C A BE ∆ABE BE 1∆A BE 2CD ⊥1C A O 1A BE ⊥CD B E 1C A B 1CD A直角坐标系O xyz -，则-(1，0，0),(0(1，0，0),(0，0，1)A B C D由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB的中点，得E 10，2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故()()11，0，1，2，0，0，1，2AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r 设()=x,y,z n 是平面DAE的法向量，则00，即100，2x z AD x y z AE -+=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨-++==⎪⎪⎩⎩u u u r g u u u r g n n可取113=,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭n 设m是平面AEC 的法向量，则0，0，AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g m m同理可得(01,=-m则7cos ,==g n m n m n m 所以二面角D -AE -C的余弦值为2017(二)4【答案】B 【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π，故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ． 2017(二)10.【答案】C2017(二)19．2017(一)7试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B. 2017(一)19.【解析】试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .（2）在平面PAD 内作PFAD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA u u u r的方向为x 轴正方向，||AB uuu r 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得(2A ，(0,0,2P ，B ，(2C -.所以(PC =u u u r，0,0)CB =u u u r，0,PA =u u u r ，(0,1,0)AB =u u u r.设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即0,0,y ⎧+=⎪=可取(0,1,=-n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则 0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m即0,0.x y =⎪=⎩可取(1,0,1)=m .则cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为3-. 2017(天津)（17）【答案】 （1）证明见解析（2（3）85 或12（Ⅰ）证明：DE u u u r =（0，2，0），DB u u u r=（2，0，2-）.设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则00DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩.不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又MN u u u u r =（1，2，1-），可得0MN ⋅=u u u u r n .所以，线段AH 的长为或12.2016（二）19.（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解.试题解析：（I ）由已知得，，又由得，故.因此，从而.由,得.由得.所以，.于是，，故.又，而，所以.（II ）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.2016（北京）6.试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A. 2016（北京）17【答案】（1）见解析；（2；（3）存在，P ABC -111111326V=⋅⋅⋅⋅=14AM AP =（3）设是棱上一点，则存在使得.因此点. 因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时. 2015（二）6【答案】D【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．M PA ]1,0[∈λλ=),,1(),,1,0(λλλλ--=-M ⊄BM PCD ∥BM PCD 0=⋅n BM 0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ41=λPA M BM ∥PCD 41=AP AM2015（二）192015（一）18【答案】∴222EG FG EF +=，∴EG⊥FG，∵AC ∩FG=G ，∴EG ⊥平面AFC ，∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC⊥平面AEC. …6分（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r 为单位长度，建立空间直角坐标系G -xyz ，由（Ⅰ）可得A （0，0），，F （－1,02），C （0，0），∴AE u u u r =（1），CF uuu r =（-1，，2） (10)分故cos ,3||||AE CF AE CF AE CF •<>==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .所以直线AE 与CF所成的角的余弦值为3. 12分 2015（北京）5.三棱锥表面积表2S =+.2015（陕西）5试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D ． 2015（陕西）18．【答案】（I ）证明见解析；（II ）．试题解析：（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，BAD=，所以BE AC 即在图2中，BE ，BE OC 从而BE 平面 又CD BE ，所以CD 平面.(II)由已知，平面平面BCDE ，又由（1）知，BE ，BE OC所以为二面角的平面角，所以.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为, 所以得 ，. 设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，，得，取， 从而，即平面与平面夹角的余弦值为. 12()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+3∠2π⊥⊥1OA ⊥⊥1A OC P ⊥1AOC 1A BE ⊥⊥1OA ⊥1A OC ∠1--C A BE 1OC 2A π∠=11B=E=BC=ED=1A A BC EDP 1E(A B-BC(-u u ur 1A -u u u ur CD BE (==-u u u r u u u r 1BC A 1111(,,)n x y z =u r 1CD A 2222(,,)n x y z =u u r1BC A 1CD A θ11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r 111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩1(1,1,1)n =u r 22100n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r 22200x y z =⎧⎨-=⎩2(0,1,1)n =u ur 12cos |cos ,|3n n θ=〈〉==u r u u r 1BC A 1CDA 3。