第五章 结构位移计算习题
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(静定结构位移计算虚力法)【圣才出品】
第5章静定结构位移计算的虚力法
5.1 复习笔记
本章重点介绍了虚力法的原理以及如何运用虚力法对不同结构在各种荷载作用下的指定位移进行求解。
遵循“化整为零、积零为整”的思想，对结构的局部位移公式进行了分项讨论，在虚力法的指导下叠加组成了结构的整体变形公式，随后将虚力法升华到了对广义单位荷载的设定以及对广义位移的求解；通过引入图乘法，结构的弯矩变形公式的求解变得更加快捷且精确；最后介绍了温度影响下结构的位移求解并归纳了线性变形体系的四个互等定理。
一、虚力法求刚体体系的位移（见表5-1-1）
表5-1-1 虚力法求刚体体系的位移
图5-1-1
二、虚力法求静定结构的位移（见表5-1-2）
表5-1-2 虚力法求静定结构的位移
表5-1-3 广义位移分类
三、两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力（见表5-1-4）
表5-1-4 两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力
四、荷载作用时静定结构的弹性位移计算（见表5-1-5）
表5-1-5 荷载作用时静定结构的弹性位移计算
五、图乘法（见表5-1-6）
表5-1-6 图乘法
图5-1-2 六、温度改变时静定结构位移计算（见表5-1-7）。
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(荷载位移,图乘法)
局部变形时静定结构的位移计算
⑴ 在要求的位移处，施加相应的单位荷载； ⑵ 利用力平衡条件，求出局部变形处对应的 内力M，FN，FQ； ⑶ 由虚力方程解出拟求位移： dΔ = ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
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Δ A 1
B M
θ
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结构体位移计算的单位荷载法
真实荷载 弯曲 剪切
A
x
虚设荷载
B
b 截面参数 1 bh3 I=— 12 A =bh，k = 1.2
ql 4 1 2 qx dx 1.5 0 x Ebh3 2
l
变形类型
M P 0.5qx2
M x
FQP qx
F Q 1
MM P 1 ⑴ 弯曲变形引起的位移 M ds EI EI
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荷载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
弯曲变形 拉伸变形 剪切变形
各类结构的位移公式
各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化； 例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直 位移 Δ ，并比较弯曲变形和剪切变 形对位移的影响。设梁的截面为矩 形，泊松比1/3。 解：应用单位荷载法 A 1 q A x B
单位荷载法
单位荷载法求刚体体系位移
虚力原理
⑴ 虚力方程，实质为几何方程；
⑵ 虚力与实际位移状态无关，故可设 单位广义力 P = 1；单位荷载法 ⑶ 关键是找出找出虚力状态的静力平
衡关系。
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第四、五、六章练习题答案
图3－18
14．利用影响线，求得结构在图3－20所示荷载作用下，C截面的剪力等于－20kN。（×）
15．结构的附属部分某截面某量值的影响线在基本部分的影响线竖标为零。（√）
第六章力法
1．超静定结构中有几个多余约束就有几个建立力法方程的变形条件。（√）
7．图3－14a所示梁的剪力图，竖标 是截面C左的剪力值，图3－14b是截面C的剪力影响线，竖标－ 也是表示在移动荷载作用下截面C左的剪力值。（×）
图3－14
8．图3－15b可以代表图3－15a所示梁EF段任意截面的剪力影响线。（√）
图3－15
9．任何静定结构的支座反力、内力影响线，军事有一段或是数段直线组成。（√）
2．力法方程中的主系数的符号在任何情况下都取正值。（√）
3．把超静定结构的基本未知力求出来后，画最后内力图时，实际上是在画静定结构的内力图。（√）
4．图5－14所示超静定结构当支座A发生位移时，构建CD不会产生内力。（√）
图5－14
5．对图5－15（a）所示超静定刚架，若进行内力分析时采用5－15b所示的基本结构，并画出了最后的内力图，当计算C点的竖向位移时可选用图5－15 C所示的基本结构。（√）
2．剪力的结构包络图表示梁在已知荷载作用下各截面剪力可能变化的极限范围。（√）
3．静定桁架的影响线在结点之间必是一条直线。（√）
4．下图3－10所示两根梁的MC影响线不相同。（×）
图3－10图3－11
5．同4题图所示两根梁的QC影响线不相同。（√）
6．图3－11所示单位荷载在AB区间移动，绘制界面C的某内力影响线时，也应限制在AB区间内。（√）
10．静定梁某截面弯矩的临界荷载位置一般就是最不利荷载位置。（×）
第五章 结构位移计算
8
1 虚功原理回顾
1. 功的定义: 功=力×力作用点沿其方向的位移
F A S B F
W F cos S 常力功
F
1 W F 2
变力功
9
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的 乘积表示为：功=广义力×广义位移
1)作功的力系为一个集中力
F
2)作功的力系为一个集中力偶
W F
虚拟状态
24
1
广义力与 广义位移对应
练习:
Fp=1
C Fp=1 B
求C点竖向位移
求B点水平位移
A
Fp=1 B
Fp=1
A
Fp=1
B Fp=1
求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
3 静定结构在荷载作用下的位移计算
1. 公式
当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移△KP，此时没有支座位移，故一般公式为
注意：１.适用于任何类型的结构，弹性、非弹性、线性、非线性；
２. 外力与虚位移相互独立，两者毫不相干，虚位移 由其它原因引起，外力在此虚位移上做虚功。
实际应用时两种情形：
a) 给定力状态，另设一位移状态，用虚功方程求力状态 的未知力，称为虚位移原理；
b)给定位移状态，另设一力状态，用虚功方程求位移状态的 18 未知位移，称为虚力原理。
第五章 虚功原理与结构位移
1
“位移”是连接静定结构与超静定 结构之间的桥梁和纽带
前面所学五种静定结构(梁,刚架,拱,桁架 ,组合结构) 的内力计算可归结为强度问题, 而结构力学的重要任务之一是解决刚度问 题——结构位移计算. 本章要讨论各种杆件结构的位移计算, 依据虚功原理.先推导出杆件结构位移计算 的一般公式,再讨论具体结构的位移.
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)
温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
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温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
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q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
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D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
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3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(中册)-第五章【圣才出品】
第5章静定结构位移计算的虚力法
5.1复习笔记
本章重点介绍了虚力法的原理以及如何运用虚力法对不同结构在各种荷载作用下的指定位移进行求解。
遵循“化整为零、积零为整”的思想，对结构的局部位移公式进行了分项讨论，在虚力法的指导下叠加组成了结构的整体变形公式，随后将虚力法升华到了对广义单位荷载的设定以及对广义位移的求解；通过引入图乘法，结构的弯矩变形公式的求解变得更加快捷且精确；最后介绍了温度影响下结构的位移求解并归纳了线性变形体系的四个互等定理。
一、虚力法求刚体体系的位移（见表5-1-1）
表5-1-1虚力法求刚体体系的位移
二、虚力法求静定结构的位移（见表5-1-2）
表5-1-2虚力法求静定结构的位移
表5-1-3广义位移分类
三、两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力（见表5-1-4）
表5-1-4两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力
四、荷载作用时静定结构的弹性位移计算（见表5-1-5）
表5-1-5荷载作用时静定结构的弹性位移计算。
郑州大学远程 结构力学 练习及答案 本科 闭卷
第二章 平面体系的几何组成分析练习题：1、判断题多余约束是体系中不需要的约束。
（C ） 瞬变体系在很小的荷载作用下会产生很大的内力，所以不能作为结构使用。
（ D ） 两根链杆的约束作用相当于一个单铰。
（ C ） 每一个无铰封闭框都有三个多余约束。
（ D ） 连接四个刚片的复铰相当于四个约束。
（ C ）图示体系是由三个刚片用三个共线的铰ABC 相连，故为瞬变体系。
（ C ） 图示体系是由三个刚片用三个共线的铰ABC 相连，故为瞬变体系。
（ C ）@2、单项选择题/将三刚片组成无多余约束的几何不变体系，必要的约束数目是几个 （ D ） A 2B 3C4D 6 三刚片组成无多余约束的几何不变体系，其联结方式是（ B ）A 以任意的三个铰相联B 以不在一条线上三个铰相联C 以三对平行链杆相联D 以三个无穷远处的虚铰相联 瞬变体系在一般荷载作用下（ C ）A 产生很小的内力B 不产生内力C 产生很大的内力D 不存在静力解答@题图从一个无多余约束的几何不变体系上去除二元体后得到的新体系是 （ A ）A 无多余约束的几何不变体系B 有多余约束的几何不变体系 ，C 几何可变体系D 几何瞬变体系图示体系属于（ A ）A 静定结构B 超静定结构C 常变体系D 瞬变体系图示体系属于（C ）*A无多余约束的几何不变体系 B 有多余约束的几何不变体系C 有多余约束的几何可变体系D 瞬变体系 不能作为建筑结构使用的是（ D ）A 无多余约束的几何不变体系B 有多余约束的几何不变体系C 几何不变体系D 几何可变体系 一根链杆（ D ） A 可减少两个自由度 B 有一个自由度C 有两个自由度D 可减少一个自由度图示体系是（ D ）A瞬变体系B有一个自由度和一个多余约束的可变体系%C 无多余约束的几何不变体系`图示体系是（B ）A 瞬变体系B 有一个自由度和一个多余约束的可变体系C 无多余约束的几何不变体系D 有两个多余约束的几何不变体系下列那个体系中的1点不是二元体（ C ）\题图题图 题图题图…对图示体系进行几何组成分析。
龙驭球《结构力学》笔记和课后习题(含真题)详解(虚功原理与结构位移计算)
为：
MM P ds NNP l
例如图 5-1a 中的静定梁，支座 A 向上秱动一个已知距离 c1 ，现在拟求 B 点的竖向位秱 。
（a）
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（b）
图 5-1
位秱状态已给定，力系则可根据我们的意图来假设。在拟求位秱 的方向设置单位荷载，
根据平衡条件，可得支座 A 的反力 F R1 = b ，虚设平衡力系在实际刚体位秱上作虚功，虚 a
详细介绍“图乘法”的使用。
2．各类结构的位秱公式
（1）梁和刚架：因为弨矩起兰键作用，计算时可忽略轴力和剪力的影响，即简化为：
MM P EI
ds
(5-6)
（2）桁架：桁架一般只受轴力作用，可以忽略剪力和弨矩的影响，即简化为：
NNP ds NNP ds NNPl
EA
EA
EA
(5-7)
（3）桁架混合结构：有轴力杆和梁式杆兯同作用，计算可以忽略剪力的影响，即简化
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③构件在制作过程中的误差，使结构在装配后出现形变；
④材料的性质随时间变化也会引起形变。
其中，前三种因素是工程中经常会遇到的引起结构变形的主要因素。
（2）对结构求位秱计算的目的有二
①确定结构的刚度；
②用于超静定结构的内力计算。
对于公式（5-4）中的 可以是求某点某方向线位秱、戒者某截面的角位秱，也可以求
某两个截面的相对线位秱和相对角位秱，这些引申理解为广义位秱。在求广义位秱时，则需
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结构力学复习题(结构位移)
题目部分，(卷面共有42题,267.0分,各大题标有题量和总分)一、是非(5小题,共5.0分)(1分)[1]有些体系为几何可变体系，但却有多余约束存在。
()(1分)[2]图示桁架由于制造误差AB杆短了3cm，装配后AB杆将被拉长。
（）A B(1分)[3]图示桁架中的零杆根数是6根。
（）(1分)[4]图示对称桁架在对称荷载作用下，其零杆共有三根。
( )(1分)[5]图示桁架共有三根零杆。
( )二、选择(8小题,共8.0分)(1分)[1]图示体系的几何组成为A、几何不变，无多余联系；B、几何不变，有多余联系；C、瞬变；D、常变。
(1分)[2]图a、b两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为:A、δ=ϕ;B、δ与ϕ关系不定，取决于梁的刚度大小；C、δ>ϕ;D、δ<ϕ。
(1分)[3]图示结构的弯矩图中，B点的弯矩是：A、使外侧受拉；B、使内侧受拉；C、为零；D、以上三种可能都存在。
m(1分)[4]图示结构B点杆端弯矩（设内侧受拉为正）为：A、MBA=Pa,M BC=－Pa；B、MBA=M BC=2Pa；C、MBA=M BC=Pa；D、M =M=0。
a aa(1分)[5]图示平面体系的几何组成性质是：A、几何不变,且无多余联系；B、几何不变,且有多余联系；C、几何可变；D、瞬变。
(1分)[6]图示桁架杆a的内力为：A、-55kN;B、15kN;C、-15kN;D、0。
3mm4m 3m(1图示简支斜梁，在荷载P作用下，若改变B支座链杆方向，则梁的内力将是：A、M、Q、N都改变；B、M、N不变，Q改变，C、M、Q不变，N改变；D、M不变，Q、N改变。
(1分)[8]图示刚架杆端弯矩M BC 为：A 、80kN m ⋅（下侧受拉）；B 、40kN m ⋅（下侧受拉）；C 、80kN m ⋅(上侧受拉）；D 、40kN m ⋅(上侧受拉）。
20kN/m4m三、填充(5小题,共6.0分)(2分)[1]图示体系的几何组成分析的结论是 。
结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-1
c1
△B
FP=1
△B=FP· c1=b/a · c1
注：
FR1= - b/a
1、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若 设FP=1，称为虚单位荷载法。 2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静 力平衡求解几何问题。 3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位 荷载，利用力系平衡求出与c1相应的反力,即利用平 衡方程求解几何问题。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
1、推导位移计算一般公式的基本思路
第一步：由刚体体系的虚位移原理（理论力学）得 出刚体体系的虚力原理。并由此讨论静定结构由于支座 移动而引起的位移计算问题。 第二步：讨论静定结构由于局部变形引起的位移。 由刚体体系的虚力原理导出其位移计算公式。 第三步：讨论静定结构由于整体变形引起的位移。应 用第二步导出的局部变形引起的位移计算公式，再应用叠 加原理就可以推导出整体变形引起的位移计算公式。
（4）体系（结构）的物理特性
• •
• • • •
线性变形体系（线弹性体）：
*应力、应变满足虎克定律； *变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用 位置不变，位移计算可用叠加 原理； *体系几何不变，约束为理想约束。
• •
•
非线性体系：
*物理非线性； *几何非线性（大变形）。
（5）变形体位移计算方法及应满足的条件 • 方法： • 用虚功原理推导出位移计算公式。 • 计算时应满足的条件： • 静力平衡； • 变形协调条件； • 物理条件。
1 F RK cK 0
（c）由虚功方程，解出所求位移：
(5-3) (6 - 3)
F RK cK
(5-4) (6 - 4)
第五章 位移计算习题解答
∆������������=
������ 4
(逆时针)，∆������������=
������ 2
(向下)
5-4：图示刚架的 A 支座向下发生了 a 的移动，C 支座向右发生了 b 的移动，求 由此引起铰 D 两侧截面的相对转角 D 和 E 点的竖向位移 EY 。
D
E
4m
Aa B
C
b 2m 2m 2m 2m
6 12
17 23
图 5-7-1
取如图所示的角为θ角，所以
sinθ
=
ℎ √4������2 +
ℎ2
，cosθ
=
2������ √4������2 +
ℎ2
，tanθ
=
ℎ 2������
(1)杆件在实际荷载作用下的轴力
������������1 = ������������3 = ������������6 = ������������13 = ������������20 = ������������23 = ������������24 = 0
1)
������ 6 =5−5 以 B 为坐标原点，建立坐标系
(1 < ������ < 5)
EB 段：
���̅���3
=
−
������ 5
(0 < ������ < 1)
所以
∆������������ =
1 ������������
1
∫ 15������
0
∙
������������������
+
1 5������������
图 5-4
解：由于此结构为静定结构，所以支座位移不会引起结构内力。由于 B 点无竖 向支座，所以在 A 点沉降作用下 ABDE 同时下降 a，E 点竖向位移与 C 点位移 b 无关，所以铰 D 两侧截面的相对转角∆������φ和 E 点的竖向位移∆EY的值为：
《结构力学习题集》(含答案)
第三章 静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;;B.D.M C.=1=1=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M kM p21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
aa9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。
qlll /211、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。
EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a10kN/m12、求图示结构E 点的竖向位移。
EI = 常数 。
ll l l /32 /3/3q13、图示结构，EI=常数 ，M =⋅90kN m , P = 30kN 。
求D 点的竖向位移。
P 3m3m3m14、求图示刚架B 端的竖向位移。
q15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。
q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝ 常数 。
l/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝ 常数 。
18、求图示刚架中D 点的竖向位移。
E I = 常数 。
qll/219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI ＝ 常数 。
l/23l/320、求图示结构A 、B 两点的相对水平位移，E I = 常数。
ll21、求图示结构B 点的竖向位移，EI = 常数。
结构力学第五章结构位移计算
M K ads
QK ads
N K ads RK Ca
( a , a , a , Ca )
(MK ,QK , N K ,RK )
经分析：
a ds t0ds ;
ads 0
;
ads
t h
ds
;
RCA 0
将以上各式代入求位移的一般公式，可得温度改变位移计算式：
y
d
MP(x)
dx
MK(X)
y yo
o
xA
Bx
xo
M K M P ds l EI
1 EI
B
A M K M Pdx
1 EI
B
A x tgM Pdx
1 tg
EI
b
a xM Pdx
1
tg
B
xd
EI
A
1 EI
tg
x0 P
1 EI
P
y0
（Mp图）
（Mk1图）
（Mk2图）
CV
M K M P ds 1 [( 6 6) ( 2 300) ( 2 6 45) ( 6 ) (6 6) (300)] 13860 0.0924m()
l EI
EI 2
3
3
2
EI
C
1 EI
[(300 6)(1) ( 2
位移状态，则前者的外力由于后者的位移所做的虚外功T等于前者的切割 面内力由于后者的变形所作的虚变形功V”。
用式子表达就是下面的虚功方程：
T=V
虚功方程也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功”。 其具体表达式为：
结构力学课后答案第五章习题答案
5-1 试回答：用单位荷载法计算结构位移时有何前提条件？单位荷载法是否可用于超静定结构的位移计算？aaaaa NCD NCE NBE NAD NBC NAC DE F F 0, F F F F F A B P P P PR R F F F =========-由对称性分析知道N NP 12()F F 1()2 6.832222()P P P cx P F a l F a F a EA EA EA EA EA ⨯⨯-⨯-⨯∆==⨯+⨯+=↓∑5-4 已知桁架各杆截面相同，横截面面积A ＝30cm 2，E ＝20.6×106N/cm 2，F P ＝98.1kN 。
试求C 点竖向位移yC Δ。
25544P P P P F F F ===NAD NAE NEC NEF 由节点法知：对A 节点 F F 对E 节点 F F115(122516(()4)4 11.46 ()N NP yc P P P F F l F F EA EA cm =∆==⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=↓∑NAD NAE 由节点法知：对A 节点 F F5-5 已知桁架各杆的EA 相同，求AB 、BC 两杆之间的相对转角B Δθ。
杆的内力计算如图所示施加单位力在静定结构上。
其受力如图11(12N NP BF F l EA EAθ∆==-∑5-6 试用积分法计算图示结构的位移：（a ）yB Δ；（b ）yC Δ；（c ）B θ；（d ）xB Δ。
(a)211232113421yc 1004142B ()1()26()111 ()()()26111 =()30120p llp q q q x x q l q qM x q x x lM x x q q M x M x dx q x x dx EI EI l q l q l EI -=+-=+=-∴∆=⨯=++⎰⎰以点为原点，向左为正方向建立坐标。
显然，A Bq 2q 1lEI22q l 254q l PM l74l M2224113153251315127()()324244342243416yc ql q l l ql l ql l l l l l ql EI EI ∆=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=↓(c)22201()(sin )12(1cos )2()1111[(sin )12(1cos)]2(8-3)-1.42=()EI EIB M R R M R R Rd EIπϕϕϕϕθϕϕϕπ=⨯-⨯-==⨯⨯-⨯-=⎰逆时针l3l 4ABCql EI=常数OAB1kN/m2kNR =2m4mϕθqds qRd θ=20()sin()(1cos )M qRd R qR ϕϕθϕθϕ=⨯-=-⎰2240()sin 111()()(1cos )sin ()2xBM R M M ds qR R Rd qR EI EI EIπϕϕϕϕϕϕϕ=∆==-=←⎰⎰5-7 试用图乘法计算图示梁和刚架的位移：（a ）yC Δ；（b ）yD Δ；（c ）xC Δ；（d ）xE Δ；（e ）D θ；（f ）yE Δ。
结构力学第五章位移计算
解得：
bc/a
这就是著名的单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。
解：去掉A端约束并代以反力 X，构相应的虚位移状态.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是
实由际受外力力状虚态功的总平衡和方为程零，即： MX BX 0FP C 0
(将2)虚位X 移/ 与C实际a /力b状代态入无得关:,故可设X bFxP / a 1
(通3)常求解取时关键一步是1找出虚位移状态的位移关系。
2.广义力 (Generalized force) 广义位移(Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=Σ[FP× ]
FP---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力
2)作虚功的力系为一个集中力偶
FP
W FP
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
K
1
K KC
K
c2
FR1
FR 3
c1
c3
FR 2
由刚体虚功原理:
We Fi i 1 kc FR1C1 FR2C2 FR3C3 0
第五章 静定结构位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§5-1结构位移计算概述
线位移
A
位移
第五章 结构的位移计算
例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因 例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对转角d，试求A点在i－i方向的 产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向 位移 m。 的位移 Q。
i
B d
A
m
i
B
d
A
Q
a
B
a
d
A
i
m
i
B A
Q
a
M
B
a
1 1
A
A
FQ
a
a
M 1 sin a
h/d D d/2 1 C A 1/h
)
0.5 B
d/2
d/2
1
h/d
2）求Δ DH
1 a 1 DH ( a) () 2 2
3）求 ΔC
1 a 1 C ( a) ( h h
1/h B d/2 0
0
d/2
§5.2 结构位移计算一般公式 1.局部变形时静定结构的位移计算
相对位移：指两点 或两截面相互之间 位置的改变量。
FP1 C
CH
FP3 A A
DH
D FP2
B
AB
B
CD两点的相对水平位移
CD CH DH
AB两截面的相对角位移 AB A B
二、使结构产生位移的因素 荷载 温度改变 支座移动 为什么要计算 制造误差 等 位移?
所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在 该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性 质与所求位移相应的单位荷载即可。 下面给出几种情况的广义单位荷载： q 1
1)
1
求Δφ
单位荷载
2)
ΔAV
建筑力学第五章_静定结构位移计算
1）图乘法的应用条件
1、杆件为直杆； 2、各杆段的EI分别等于常数；
形心
ω
A
B
3、M、MP图中至少有一个是直线图形。
y
2）图乘法的计算公式
A
B
Δ
=
Σ
ωi yi EI
为任一弯矩图（直线或曲线均可）的面积
y为面积为的弯矩图图形的形心对应的直线弯矩图的纵坐 标，即y必须在直线图上量取。
公式正负号规定：若与y 在杆件的同一侧时，乘积取正值，
1
二、位移计算的一般公式
虚功和虚功原理
功、广义力、广义位移 物理上定义：W = F·S F—集中力；S—线位移 现在将此式的定义扩大： W = P 式中： W—广义功； P—广义力； — 与P相应的广义位移 功的正负号规定：当力P与相应位移Δ方向一致时，功为正； 两者方向相反时，功为负。
虚功
1、 定义：凡力在其它因素引起的位移上所做的功，称为 虚功。
①增加中间支座
5ql 4 fa 384EI
而
１
fb 38 fa
28
②两端支座内移
如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁， 一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另 一方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的 挠度（图c），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的 挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。
MAB A
qL2/8
A
B
MBA
＋
B A
B
qL2/8
A
B
15
C
例1：试用图乘法计算如图所 MP图 A ω1
B
示简支梁跨中截面C的竖向位
移ΔC和B端的角位移φB。EI为
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一、判断题
1.1 结构发生了变形，必然会引起位移，反过来，结构有位移必然有变形发生。
1.2 无法用图示单位荷载，来求图示结构中K点的全位移。
1.3 图示斜梁与水平梁弯矩图相同，刚度相同，所以两者的位移也相同。
1.4 图示两个图形相乘的结果是
1.5 判断下列图乘结果正确与否。
①②③④⑤⑥
1.6 已知图（a）结构的弯矩图，得到图（b）所示同一结构由于支座A的转动引起的C点的挠度等于
1.7 某桁架支座B被迫下沉5mm，并测得下弦结点相应的挠度如题1.7（a）图所示，此时桁架上无其它荷载。
题1.7（b）图所示荷载作用下引起的支座B的反力为30kN。
1.8 图示虚拟力状态可求出AB两点的相对水平位移的cosβ倍。
1.9 鱼腹梁、等强度梁不能用图乘法求位移。
1.10拱和曲梁不能用图乘法求位移。
二、单项选择题
2.1 图示同一结构的两种状态，根据位移互等定理下列式子正确的是
A Δ1=Δ3
B θ2=θ4
C Δ3=θ2
D Δ1=θ4
2.2 图示同一结构的两种状态，根据位移互等定理下列式子正确的是
A α=γ+θ
B α=θ
C γ=α+β
D θ+γ=α+β
2.3 图示虚拟力状态可求出什么
A A，B两截面的相对位移
B A，B两截面的相对转角
C A，B两截面相对转动的m倍
D A，B两点连线的转动
2.4 建立虚功方程时，位移状态与力状态的关系是
A 彼此独立无关
B 位移状态是由力状态产生的
C 互为因果关系
D 力状态是由位移状态引起的
2.5 图示虚拟力状态可求出什么
A A点线位移
B A点B点相对位移角
C AB杆的转角
D B点线位移
2.6 图示虚拟力状态可求出什么
A A点的线位移
B AB杆的转角
C AB、AC的相对转动
D AC杆的转角
2.7 图示斜梁在均布荷载作用下左支座截面角位移等于
2.8 图示同一结构的两种受力状态，由位移互等定理知：Δ4=
2.9 图示同一结构的两种受力状态，在图(b)结构中B点的水平位移Δ=
2.10 图示结构由于支座移动引起的A点的竖向位移是
A 0.03×2a(↓)
B 0.03×2a(↑)
C 0.03×2a+0.01×2(↑)
D 0.03×2a－0.01×2(↓)
2.11 图示三铰拱的拉杆温度升高tºC,由此引起的C点竖向位移是
A 5aαt/8(↓)
B 4aαt/5(↓)
C 4aαt (↓)
D 3aαt (↑)
2.12 图示结构仅在ABC部分温度升高，下列论述错误的是
A 整个结构不产生内力
B C点水平位移为零
C AB两点的相对位移为零
D C铰左右两截面的相对转角为零
2.13 已知梁（a）B截面的转角为，则梁（b）B截面的转角为
2.14 图示各桁架，C点能发生竖向位移的是
A (b)
B (b) (c)
C (a) (b)
D (a) (c)。