微分方程数值解法(余德浩,汤华中编著)PPT模板
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第4章常微分方程数值解法PPT课件
f(xn,yn)
y y0 n 1 y(y x n 0 )h f(xn,yn) n0,1,2,
根据 y0 可以一步步计算出函数 y y(x) 在 x1, x2, x3 x4, …上的近似值 y1, y2, y3, y4 , …
常微分方程数值解是一组离散的函数值数据，它的 精确表达式很难求解得到，但可以进行插值计算后 用插值函数逼近 y(x)
四 常微分方程数值解法
1
整体概述
概述一
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概述二
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概述三
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2
常微分方程数值解法
引言（常微分方程数值解法概述） 显式欧拉法、隐式欧拉法、二步欧拉法 局部截断误差与精度 改进的欧拉方法 龙格-库塔方法 收敛性与稳定性简述 一阶常微分方程组与高阶常微分方程
即积分区间为：[xn1, xn1]，则：
xn1 xn1
ydxy(xn1)y(xn1)
xn1 xn1
f[x,y(x)]dx
(xn1xn1)f[xn,y(xn)] 中矩形公式
2hf[xn,y(xn)]
以 y(x) 在 xn 1, xn 上的近似值代替精确值可得：
yy0n1 y(yxn01)2hf(xn,yn)
3
引言
一阶常微分方程初值问题：
y f (x, y)
y
(
x0
)
y0
定理：若 f (x, y) 在某闭区域 R ：
微分方程 初始条件
| x x 0 | a ,| y y 0 | b ( a 0 , b 0 )
上连续，且在 R 域内满足李普希兹 (Lipschitz) 条件， 即存在正数 L，使得对于 R 域内的任意பைடு நூலகம்值 y1, y2，下 列不等式成立：
常微分方程数值解法5262115页PPT文档
x 1 ( t ) 表示时刻 t 食饵的密度，x 2 ( t ) 表示捕食者的密度；
r 表示食饵独立生存时的增长率；
d 表示捕食者独立生存时的死亡率；
a 表示捕食者的存在对食饵增长的影响系数，反映捕
食者对食饵的捕获能力；
b 表示食饵的存在对捕食者增长的促进系数，反映食
饵对捕食者的喂养能力
150 100
令 y 1 y ,y 2 y ',y 3 y '', ,y n y ( n 1 )
可以将以上高阶微分方程化为如下一阶常微分方程组
y1 ' y2 y2 ' y3 yn ' an(x)y1
a1(x)yn f (x)
例：P120,1(a),Bessel方程
常微分方程的数值解
一般地，凡表示未知函数，未知函数的导 数与自变量之间的关系的方程叫做微分方 程．未知函数是一元函数的，叫常微分方 程;未知函数是多元函数的，叫做偏微分方 程．
如
y ' x y'x2y2 y''y'xy
Matlab实现 [t,x]=ode45(f,ts,x0,options,p1,p2,......)
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高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a ( n 1 ) ( x ) y ' a n ( x ) y f( x )
r 表示食饵独立生存时的增长率；
d 表示捕食者独立生存时的死亡率；
a 表示捕食者的存在对食饵增长的影响系数，反映捕
食者对食饵的捕获能力；
b 表示食饵的存在对捕食者增长的促进系数，反映食
饵对捕食者的喂养能力
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令 y 1 y ,y 2 y ',y 3 y '', ,y n y ( n 1 )
可以将以上高阶微分方程化为如下一阶常微分方程组
y1 ' y2 y2 ' y3 yn ' an(x)y1
a1(x)yn f (x)
例：P120,1(a),Bessel方程
常微分方程的数值解
一般地，凡表示未知函数，未知函数的导 数与自变量之间的关系的方程叫做微分方 程．未知函数是一元函数的，叫常微分方 程;未知函数是多元函数的，叫做偏微分方 程．
如
y ' x y'x2y2 y''y'xy
Matlab实现 [t,x]=ode45(f,ts,x0,options,p1,p2,......)
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高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a ( n 1 ) ( x ) y ' a n ( x ) y f( x )
常微分方程数值解-PPT精品文档
称为局部截断误 差。显然，这个 y ( x ) y ( x ) h 误差在逐步计算 n 1 n y ' ( x ) y ' ' ( ) n n 过程中会传播， h 2 积累。因此还要 y ( x ) y ( x ) h n 1 n f ( x , y ( x )) y ' ' ( ) 估计这种积累 n n n h 2
对于一个常微分方程：
9.1 Euler方法
dy y ' f( x ,y ), x [ a , b ] dx 通常会有无穷个解。如：
dy cos( x ) y sin( x ) a , a R dx 因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出， 如下面的初值问题： dy f (x , y) , x [a ,b ] dx )y 0 y(a 为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y 满足Lipschitz条件：
求 y ( x ) 在 x i 上的近似值
y i 。 { y i } 称为分割 I
上的格点函数
我们的目的，就是求这个格点函数
② 由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足： A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容 ③ 解差分方程，求出格点函数
数值方法，主要研究步骤②，即如何建立差分方程，并研究 差分方程的性质。
x0
x1
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故 称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。 一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。
数值分析ppt第9章_常微分方程初值问题数值解法
( 2.2)
解 取步长h=0.1，欧拉公式的具体形式为 2 xn yn1 yn h( yn ) yn 其中xn=nh=0.1n (n=0,1,,10), 已知y0 =1, 由此式可得 2 x0 y1 y0 h( y0 ) 1 0.1 1.1 y0
2 x1 0.2 y2 y1 h( y1 ) 1.1 0.1(1.1 ) 1.191818 y1 1.1
上页 下页
由于f(x, y)对y满足Lipschitz条件(1.3). 由(2.6)减(2.5)得
( k 1) (k ) yn y h f ( x , y 1 n1 n1 n1 ) f ( xn1 , yn 1 )
hL y
(k ) n1
yn1 .
由此可知，只要hL<1，迭代法(2.6)就收敛到解.关于
定性等其他因素，人们有时需要选用隐式方法，但
使用显式算法远比隐式方便. 隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实 质是逐步显式化.
上页 下页
设用欧拉公式
y
(0) n1
yn hf ( xn , yn )
给出迭代初值 y
(0) n 1 ，用它代入(2.5)式的右端，使之转
化为显式，直接计算得
项. 显然Tn+1=O(h2). 一般情形的定义如下
定义2 设y (x)是初值问题的准确解，若存在最 大整数p使显式单步法(2.10)的局部截断误差满足
2
Tn1 y( x h) y( x ) h ( x, y, h) O(h ). (2.12)
p 1
则称方法(2.10)具有p阶精度.
上页 下页
若将(2.10)展开式写成
Tn1 ( xn , y( xn ))h O(h ). p 1 ( x , y ( x )) h 则 称为局部截断误差主项. n n
第9章微分方程初值问题的数值解法-1
(x k x k 1 )
y ( x k 1 ) y ( x k ) h y ( ) y ( x k ) h f ( , y ( ) )
记 K*f(,y()) 称为[xk , xk+1]上的平均斜率. 故
y(xk1)y(xk)hK*
当
y(i) k
y(i)(xk)
时,
有
y(xk1)yk1O (hp1). 此时①为
p 阶Taylor方法. p=1时即为Euler公式.
例2: 取步长 h = 0.1, 用一阶、二阶和四阶Taylor方法求解下列初 值问题
y y2
,
y(0) 1
0x1. 2
解: (1) 一阶Taylor法
yk1yk 0.1yk2
Taylor公式推导:
y(xk1)y(xk)hy(xk)h 2 2y(k), xkkxk1
yk1ykhf(xk,yk) k0,1,L,n1
Euler公式几何意义:
y
P2 P1 P0
Pk
也称折线法
x
2. 梯形法
若采用梯形公式计算(★)中的积分项,则有
y(xk1)y(xk)h 2[f(xk,y(xk))f(xk1,y(xk1))]
y ( x k 1 ) y ( x k ) h y ( x k ) h 2 2 !y ( x k ) L h p p !y (p )( x k ) O ( h p 1 )
令
yk 1ykhyk h 22 !yk Lh p p !yk (p)
①
称之为Taylor级数法. 其中 y k (i)y(i)(x k),i 0 ,1 ,2 ,L,p
y(2y3)6y2y6y4
y(4) 24y3y24y5
数值分析研究生常微分方程的数值解法二PPT课件
2 阶常微分方程边值问题
y = f ( x, y, y) x (a, b)
y(a)
=
a
,
y(b) = b
➢ 打靶法
每计算一个(s)
都必须解一个ODE.
先猜测一个初始斜率
y
y (a) = s，通过解初值
(s0 )
问题
y = f ( x, y, y)
y(a) = a
y(a) = s
y(b) = (s)
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定义 若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计 算中都逐步衰减，则称该算法是绝对稳定的.
常数，可以 是复数
一般分析时为简单起见，只考虑试验方程
y = y
当步长取为 h 时，将某算法应用于上式，并假设只在初值 产生误差 0 = y0 - y0 ，则若此误差以后逐步衰减，就称该
对任意固定的 x = xi = i h ，有
yi = y0(1 + h)xi / h = y0[(1 + h)1/ h ]xi
y0exi = y( xi )
✓
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例3 *
证明：解初值问题 yy+(03)
y= =1
0的
梯
形
法
收
敛.
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二、 稳定性
例4
考察初值问题
y( x) = -30 y( x)
=
f ( xi , yi ,
yi+1 - yi-1 ) 2h
y0 = a , yN = b
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i = 1, ..., N - 1
谢谢您的观看！
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Img
0
1
微分方程解法ppt课件
阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
4
d 2s
dt2 4
(5)
及条件
S
t0
0, v t0
ds dt
t 0
10
(6)
对（5）式两端积分一次，得
v
ds dt
4t
c1
(7)
在积分一次，得S 2t 2 c1t c2
(8)
将条件v t0 10代入（7）式中，将条件S t0 0代入（8）式，
原方程，经整理得 C(x) ex
y C(x) 代入 x
解得
C(x) ex C
于是原方程的通解为 y 1 (ex C) x
方法二 直接利用非齐次方程的通解公式（5），得
23
y
e
1 x
dx
(
e
x
e
1 x
dx
dx
C
)
x
eln x ( e x eln xdx C) x
1 x
( exdx
b N
N Ceabt bN
于是
N
Cbeabt 1 Ceabt
1
b 1 eabt
C
这就是种群的生长规律 。
15
8.3 一阶线性微分方程
形如
y P(x)y Q(x)
(1)
的方程叫做一阶线性微分方程（linear differential equation of first
Order),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数
curve).如 y x2 c 是方程（1）的积分曲线族,而 y x2 1只是其中过（1，2）点的一条积分曲线。
10
8.2 可分离变量的一阶微分方程
微分方程数值解法 ppt课件
6
0.6 0.757147 0.735294
7
0.7 0.688354 0.671141
8
0.8 0.622018 0.609756
9
0.9 0.560113 0.552486
10 1.0 0.503642 0.500000
11 1.1 0.452911 0.452489
12 1.2 0.407783 0.409836 ppt课件
ppt课件
14
1741年 - 1766（34岁-59岁）任德国科学院物理数学所所 长，任职25年。在行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人 口学、微分方程、曲面微分几何等研究领域均有开创性的工作。 1766年应沙皇礼聘重回彼得堡，在1771年（64岁）左眼失 明。 Euler是数学史上最多产的数学家，平均以每年800页的速 度写出创造性论文。他去世后，人们用35年整理出他的研究成 果74卷。
22
一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。
隐式欧拉法的局部截断误差： NhomakorabeaRi
y(xi1)
yi1
h2 2
y(xi ) O(h3)
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
ppt课件
23
梯形公式 /*trapezoid formula */
— 显、隐式两种算法的平均
yi 1
yi
h 2 [ f (xi ,
计算量大
多一个初值, 可能影响精度
ppt课件
26
改进欧拉法 /* modified Euler’s method */
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出
yn1 yn hf xn, yn
第十三讲：微分方程数值解2共11页文档
At (N+1) equally Input: endpoints
sap, abc;eidnt应neugem为rbNe(;rcsiin+in1it-itahlpevi+ia1nl)tue,er但vy0al因. [ac, bi+]1.
尚未
Output: approximation算y a出t th，e (只N+1好) v用alu(ecsio-f xp.i )取代之。
1
h
y i+ 1 = y i+ h 0 [f i+ t(f i- f i- 1 )d ] = y ti+ 2 ( 3 f i- f i- 1 )
R i =h0 1d2f(d x,2 x y(x))2 1 !th (t+1)hd=t152h3y(i )
§5 Multistep Method
注：一般有 R i =B khk+2y(k+2)(i)，其中Bk 与yi+1 计算公式
中 fi , …, fi-k 各项的系数均可查表得到 。
k
fi
fi-1
fi-2
fi-3
…
Bk
0
1
1
2
1
3 2
-1 2
5 12
2
23 12
- 16 12
5 12
3 8
3
55
- 59
37
-9
251
24
24
24
24
720
1
yi+1=yi +h0Nk(xi +th)dt /* 显式计算公式 *N/ ewton
局部截断误差为：
1
《微分方程数值解法》PPT课件
方程的解 U~n 。为了弄清差分格式（2.58）的稳定性条件， 给出稳定的定义：
对于任意给定的 0 ，存在与h, k 无关且依赖于 的
正数 ，使当
U~0 U 0 V 0
时，对于任何的 n0 nk T ，差分格式得到的解U~ n ,U n
满足不等式
U~n U n V n
连同初值条件：U
0 m
mk
, m
1,2,M
1
边值条件：U
n 0
U
n M
0, n
0,1,2,, N
逐层解出结点处的U 值。
现在对
h
ห้องสมุดไป่ตู้
，取二种 20
k
，使
r
k h2
5 和5 11 9
。图2.9
和图2.10中的曲线表示不同的时刻微分方程的精确解，图
中“ ”表示差分方程的解
（2.54）
下面我们先研究上式右边第二项，即差分方程的理论
解与计算机上解得的近似解之间的差别是随着n 的增大而
无限增大还是有所控制。如果这种差别是无限增加，则称
差分格式不稳定，显然不稳定的格式是不能使用的，因为
误差的无限增加淹没了真解。上例中的r 5 时就是差分
9
方程不稳定的情况。从差分方程，比如格式（2.29）可知，
如果差分方程为显式，则对所有的n ，An I ；如 An I
果 An
0
，
U U
n1 CnU
0
n
An1en , Cn
An1Bn
（2.58）
，则隐式格式可以写成显式形式。
微分方程数值解法共50页文档
微分方程数值解法
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
第五节微分方程的数值解
如果一种数值方法的局部截断误差为O(h p1 ) ，则称这种方法的精度为 p 阶。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
欧拉格式的精度是
p
阶。事实上，有
Rn y ( xn 1 ) yn 1 h2 y" ( n ) O(h 2 ), ( xn n xn 1 ), (n 0,1,2,) 2
隐式欧拉格式 两步欧拉格式
yn1 yn hf ( xn1 , yn1 )
yn1 yn1 2hf ( xn , yn )
2x y y , y y (0) 1, (0 x 1).
一阶精度 二阶精度
作业：采用欧拉方法求解初值问题（步长为h＝0.1 ）
y( xn 1 ) y ( xn ) hf ( xn , y( xn ))
yn 1 yn hf ( xn , yn ), n 0,1, 2,
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
欧拉公式(Euler)
例1 求解以下初值问题
2x y y , y y (0) 1,
2、通过计算分析欧拉格式的精度较低。
1、欧拉公式（欧拉格式）
yn1 yn hf ( xn , yn ), (n 0,1,2,, ) (3)
2、差分方程
由（3）构成的方程称为差分方程，由此 yn
y( xn ) 的前提下估计 y( xn1 ) yn1 的误差称为局部截断误差。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
（用C++语言编写程序求解并准确解比较。）
0 0
求Cauchy问题(初值问题)
y f ( x, y ) y ( x0 ) y0
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4.4差分方法的收敛性和误差估 计
1
4.4.1离散边值问题的可解性
2
4.4.2差分格式的收敛性和误差 估计
第4章椭圆型方 程的差分方法
4.6椭圆型差分方程的迭代解 法
1.3rung
03
e－ kutta方
法
第1章常微分方 程初、边值问题 数值解法
第1章常微分方程初、边值问题 数值解法
1.7刚性方程组的解法 1.8解常微分方程边值问题的试射法 1.9解两点边值问题的有限差分方法 1.10hamilton系统的辛几何算法 习题1 1.8解常微分方程边值问题的试射法 1.9解两点边值问题的有限差分方法 1.10Hamilton系统的辛几何算法 习题1
1.5线性多步法的稳定性和收敛性
01
1.5.1线性差 分方程
02
1.5.2线性多 步法的局部截
断误差
03
1.5.3线性多 步法的稳定性
和收敛性
04
1.5.4绝对稳 定性
第1章常微分方程初、 边值问题数值解法
1.8解常微分方程边值问题的试射 法
a
1.8.1二阶线性常微 分方程的试射法
1.8.2二阶非线性常 微分方程的试射法
2.2一维抛物型方程的差分方 法
1
2.2.1常系数热传导方程
2
2.2.2变系数热传导方程
第2章抛物型 方程的差分 方法
2.3差分格式的稳定性和收敛 性
01 2.3.1ε 图方法
02 2.3.2稳定性分析的
矩阵方法
03 2.3.3gerschgori 04 2.3.4稳定性分析的
n定理及其应用
fourier方法
05 2.3.5kreiss 矩阵定 06 2.3.6能量方法
理
第2章抛物型方程的差分方法
2.3差分格式的稳定性和收敛性
2.3.7差分方程的收敛性
第2章抛物型方 程的差分方法
2.4二维抛物型方程的差分方 法
01 2 . 4 . 1 显式差分 格式
03 2 . 4 . 3 差分格式 的稳
定性分析
02 2 . 4 . 2 隐式差分 格式
3.2一维一阶线性双曲型方程的差 分方法
1
3.2.1双曲型方程的初值问题
2
3.2.2双曲型方程的初边值问题
第3章双曲型方程的差分方法
3.3一维一阶线性双曲型方程组的差分方法
3.3.1lax－ friedrichs格式
3.3.2lax－ wendro格式
3.3.3courant－ isaacson－rees格式
3.6拟线性双曲型守恒律的差分方 法
3.6.1守 恒律与弱
解
3.6.2熵 条件和可
容许解
3.6.4高 分辨tvd
格式
3.6.3守 恒型差分
方法
06
第4章椭圆型方程的差分方 法
第4章椭圆型方程的差分方法
4.1Poisson方程边值问题
1
的差分方法
4.2极坐标下Poisson方程
的差分方法
2
4.3Poisson方程的有限体
b
第1章常微分方程初、 边值问题数值解法
1.9解两点边值问题的有限差分方 法
1.9.1有限差 分近似的基 本概念
1.9.3积分 插值法
1.9.2用差商 代替导数的 方法
1.9.4解三对 角方程组的 追赶法
第1章常微分方程初、边值问题数值解法
1.10hamilton系统的辛几何算法
1.10.1辛几何 与辛代数的基本
04 2 . 4 . 4 交替方向 隐式
差分格式
05 2 . 4 . 5 辅助应变 量的
边界条件
05
第3章双曲型方程的差分方 法
第3章双曲型方程的差分方法
3.1一维双曲型方程的特
1
征线方法
3.2一维一阶线性双曲型
方程的差分方法
2
3.3一维一阶线性双曲型
3
方程组的差分方法
3.4高维一阶线性双曲型
方程的差分方法
4
3.5二阶线性双曲型方程
5
的差分方法
3.6拟线性双曲型守恒律
的差分方法
6
第3章双曲
型方程的差
分方法
习题3
第3章双曲型方 程的差分方法
3.1一维双曲型方程的特征线方 法
3.1.2一阶拟 线性双曲型 方程
3.1.1一阶线 性双曲型方 程
3.1.3二阶拟 线性双曲型 方程
第3章双曲型方 程的差分方法
概念
1.10.2线性 hamilton系统 的辛差分格式
1.10.3辛 runge－kutta
方法
04
第2章抛物型方程的差分方 法
第2章抛物型方程 的差分方法
2.1有限差分格式的基础 2.2一维抛物型方程的差分方法 2.3差分格式的稳定性和收敛性 2.4二维抛物型方程的差分方法 习题2
第2章抛物型方 程的差分方法
3
积方法
4.4差分方法的收敛性和
误差估计
4
4.5一般二阶线性椭圆型
5
方程差分方法
4.6椭圆型差分方程的迭
代解法
6
第4章椭圆型方程的差分方法
4.7多重网格方法 习题4
第4章椭圆型方 程的差分方法
4.1poisson方程边值问题的差分 方法
4.1.1五点 差分格式
1
4.1.2边界 条件的离散
2
第4章椭圆型方 程的差分方法
第3章双曲型方 程的差分方法
3.4高维一阶线性双曲型方程的差 分方法
3.4.1lax －
wendro 格式
3.4.2显式 maccorm
ack格式
3.4.3str ang分裂
格式
第3章双曲型方 程的差分方法
3.5二阶线性双曲型方程的差分方 法
3.5.1一维 波动方程
1
3.5.2二维 波动方程
2
第3章双曲型方 程的差分方法
微分方程数值解法(余德 浩,汤华中编著)
演讲人
2 0 2 x - 11 - 11
01 第二版前言
第二版前言
02 第一版前言
第一版前言
03
第1章常微分方程初、边值 问题数值解法
1.1引言
1.6预估－
01
1.2euler
校 正 算 法 06
方法
02
1.5线性
05
多步法的
稳定性和
收敛性
04
1.4线性多 步方法
第1章常微分方程初、边值问题数值解法
1.2euler方法11.2.1euler方法及其几何意义
2
1.2.2euler方法的误差分析
3
1.2.3euler方法的稳定性
4
1.2.4改进的euler方法
第1章常微分方程初、边值问题数值解法
1.3runge－kutta方法
a
1.3.1显式 runge－ kutta方法
b
1.3.2隐式 runge－ kutta方法
c
1.3.3半隐 式runge－ kutta方法
d
1.3.4单步 法的稳定 性和收敛
性
第1章常微分方程初、边值问题数值解法
1.4线性多步方法
1.4.1adams 外插法
1.4.2adams
2
内插法
1.4.3一般线 性多步公式
第1章常微分方程初、 边值问题数值解法
1
4.4.1离散边值问题的可解性
2
4.4.2差分格式的收敛性和误差 估计
第4章椭圆型方 程的差分方法
4.6椭圆型差分方程的迭代解 法
1.3rung
03
e－ kutta方
法
第1章常微分方 程初、边值问题 数值解法
第1章常微分方程初、边值问题 数值解法
1.7刚性方程组的解法 1.8解常微分方程边值问题的试射法 1.9解两点边值问题的有限差分方法 1.10hamilton系统的辛几何算法 习题1 1.8解常微分方程边值问题的试射法 1.9解两点边值问题的有限差分方法 1.10Hamilton系统的辛几何算法 习题1
1.5线性多步法的稳定性和收敛性
01
1.5.1线性差 分方程
02
1.5.2线性多 步法的局部截
断误差
03
1.5.3线性多 步法的稳定性
和收敛性
04
1.5.4绝对稳 定性
第1章常微分方程初、 边值问题数值解法
1.8解常微分方程边值问题的试射 法
a
1.8.1二阶线性常微 分方程的试射法
1.8.2二阶非线性常 微分方程的试射法
2.2一维抛物型方程的差分方 法
1
2.2.1常系数热传导方程
2
2.2.2变系数热传导方程
第2章抛物型 方程的差分 方法
2.3差分格式的稳定性和收敛 性
01 2.3.1ε 图方法
02 2.3.2稳定性分析的
矩阵方法
03 2.3.3gerschgori 04 2.3.4稳定性分析的
n定理及其应用
fourier方法
05 2.3.5kreiss 矩阵定 06 2.3.6能量方法
理
第2章抛物型方程的差分方法
2.3差分格式的稳定性和收敛性
2.3.7差分方程的收敛性
第2章抛物型方 程的差分方法
2.4二维抛物型方程的差分方 法
01 2 . 4 . 1 显式差分 格式
03 2 . 4 . 3 差分格式 的稳
定性分析
02 2 . 4 . 2 隐式差分 格式
3.2一维一阶线性双曲型方程的差 分方法
1
3.2.1双曲型方程的初值问题
2
3.2.2双曲型方程的初边值问题
第3章双曲型方程的差分方法
3.3一维一阶线性双曲型方程组的差分方法
3.3.1lax－ friedrichs格式
3.3.2lax－ wendro格式
3.3.3courant－ isaacson－rees格式
3.6拟线性双曲型守恒律的差分方 法
3.6.1守 恒律与弱
解
3.6.2熵 条件和可
容许解
3.6.4高 分辨tvd
格式
3.6.3守 恒型差分
方法
06
第4章椭圆型方程的差分方 法
第4章椭圆型方程的差分方法
4.1Poisson方程边值问题
1
的差分方法
4.2极坐标下Poisson方程
的差分方法
2
4.3Poisson方程的有限体
b
第1章常微分方程初、 边值问题数值解法
1.9解两点边值问题的有限差分方 法
1.9.1有限差 分近似的基 本概念
1.9.3积分 插值法
1.9.2用差商 代替导数的 方法
1.9.4解三对 角方程组的 追赶法
第1章常微分方程初、边值问题数值解法
1.10hamilton系统的辛几何算法
1.10.1辛几何 与辛代数的基本
04 2 . 4 . 4 交替方向 隐式
差分格式
05 2 . 4 . 5 辅助应变 量的
边界条件
05
第3章双曲型方程的差分方 法
第3章双曲型方程的差分方法
3.1一维双曲型方程的特
1
征线方法
3.2一维一阶线性双曲型
方程的差分方法
2
3.3一维一阶线性双曲型
3
方程组的差分方法
3.4高维一阶线性双曲型
方程的差分方法
4
3.5二阶线性双曲型方程
5
的差分方法
3.6拟线性双曲型守恒律
的差分方法
6
第3章双曲
型方程的差
分方法
习题3
第3章双曲型方 程的差分方法
3.1一维双曲型方程的特征线方 法
3.1.2一阶拟 线性双曲型 方程
3.1.1一阶线 性双曲型方 程
3.1.3二阶拟 线性双曲型 方程
第3章双曲型方 程的差分方法
概念
1.10.2线性 hamilton系统 的辛差分格式
1.10.3辛 runge－kutta
方法
04
第2章抛物型方程的差分方 法
第2章抛物型方程 的差分方法
2.1有限差分格式的基础 2.2一维抛物型方程的差分方法 2.3差分格式的稳定性和收敛性 2.4二维抛物型方程的差分方法 习题2
第2章抛物型方 程的差分方法
3
积方法
4.4差分方法的收敛性和
误差估计
4
4.5一般二阶线性椭圆型
5
方程差分方法
4.6椭圆型差分方程的迭
代解法
6
第4章椭圆型方程的差分方法
4.7多重网格方法 习题4
第4章椭圆型方 程的差分方法
4.1poisson方程边值问题的差分 方法
4.1.1五点 差分格式
1
4.1.2边界 条件的离散
2
第4章椭圆型方 程的差分方法
第3章双曲型方 程的差分方法
3.4高维一阶线性双曲型方程的差 分方法
3.4.1lax －
wendro 格式
3.4.2显式 maccorm
ack格式
3.4.3str ang分裂
格式
第3章双曲型方 程的差分方法
3.5二阶线性双曲型方程的差分方 法
3.5.1一维 波动方程
1
3.5.2二维 波动方程
2
第3章双曲型方 程的差分方法
微分方程数值解法(余德 浩,汤华中编著)
演讲人
2 0 2 x - 11 - 11
01 第二版前言
第二版前言
02 第一版前言
第一版前言
03
第1章常微分方程初、边值 问题数值解法
1.1引言
1.6预估－
01
1.2euler
校 正 算 法 06
方法
02
1.5线性
05
多步法的
稳定性和
收敛性
04
1.4线性多 步方法
第1章常微分方程初、边值问题数值解法
1.2euler方法11.2.1euler方法及其几何意义
2
1.2.2euler方法的误差分析
3
1.2.3euler方法的稳定性
4
1.2.4改进的euler方法
第1章常微分方程初、边值问题数值解法
1.3runge－kutta方法
a
1.3.1显式 runge－ kutta方法
b
1.3.2隐式 runge－ kutta方法
c
1.3.3半隐 式runge－ kutta方法
d
1.3.4单步 法的稳定 性和收敛
性
第1章常微分方程初、边值问题数值解法
1.4线性多步方法
1.4.1adams 外插法
1.4.2adams
2
内插法
1.4.3一般线 性多步公式
第1章常微分方程初、 边值问题数值解法