【中考数学必备专题】中考模型解题系列之弦图模型(含答案)

【中考数学必备专题】中考模型解题系列之弦图

模型

一、解答题(共2道，每道50分)

1.（湖北襄阳）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A、B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF.

（1）求证：∠ADP=∠EPB；

（2）求∠CBE的度数；

（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．

答案：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．

∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∵∠DPE=90°，

∴∠APD+∠EPB=90°，

∴∠ADP=∠EPB；

（2）解：过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，则∠EQP=∠A=90°，

又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，

∴△PAD≌△EQP，

∴EQ=AP，AD=AB=PQ，

∴AP=EQ=BQ，

∴∠CBE=∠EBQ=45°；

（3）解：当时，△PFD∽△BFP，理由如下：

设AD=AB=a，则AP=PB=，

∴BF=BP•=．

∴PD=，PF=，

∴

又∠DPF=∠PBF=90°，

∴△PFD∽△BFP．

解题思路：利用弦图基本模型可以解决前两问，（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；（2）构造模型得△PAD≌△EQP，可以证得△BQE是等腰直角三角形，可以证得∠EBQ=45°，即可证得∠CBE=45°；（3）这两个三角形是直角三角形，

若相似，则对应边的比相等，即可求得的值

试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质

2.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P是底边BC上一点（不和B、C重合），连接AP，过P作PE交DC于E，使得∠APE=∠B．

（1）求证：△ABP∽△PCE；

（2）求AB的长；

（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE:EC=5:3？为什么？

答案：证明：（1）∵等腰梯形ABCD，∠APE=∠B

∴∠B=∠C=∠APE=60°，

∴∠BAP+∠BPA=120°

∠CPE+∠BPA=120°

∴∠BAP=∠CPE

又∵∠B=∠C

∴△ABP∽△PCE

（2）延长BA，CD交于点F，

∴△FBC是等边三角形

∴FB=FC=BC=7cm，

又∵AD∥BC，

∴△FAD是等边三角形

∴FA=FD=AD=3cm

∴AB=FB-FA=7cm-3cm=4cm

(3)设BP=x,则PC=7-x,

∵CD=4，DE:EC=5:3，

∴EC=4×==1.5，

∵△ABP∽△PCE

∴,

即，

解之得，x=1或6，

即BP=1cm或6cm时，DE:EC=5:3.

解题思路：（1）由弦图模型的变形，得△ABP∽△PCE；（2）延长BA,CD构造等边三角形，可得AB的长；（3）利用△ABP∽△PCE，对应边成比例，可求的BP的长.

试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质