某高校《高等几何》期末考试试卷(含答案)

某高校《高等几何》期末考试试卷

（120分钟）

一、填空题（2分⨯12=24分）

1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ；

2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0）

3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2

4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x

5、方程0652

22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0）

6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=

x x x ，则原点的对应点 -3

1

7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212322

21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x

8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→；

b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b

10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1

11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应

12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1

二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：

130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。

解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。

由两线束的方程有：1233

,'x x x x λλ=

=。 将它们代入射影对应式并化简得，

2

122313320x x x x x x x +-+=

此即为所求二阶曲线的方程。

三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分）

证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D '

B A '' AC=E '，则),,,(B A B A

C '''∧),,,(B A B A C ''所以，

),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B

即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B

这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。

四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0，13x +2x -32x =0,

17x -2x =0，15x -3x =0, 求证四直线共点，并求（1l 2l ,3l 4l ）的值。（10

分）

解：因为

01721

3

1

12---=0且1

050172

1

3

---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x

轴（2x =0）的交点顺次为

A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(-

21,0),B(32,0),C(0,0),D(5

1

,0)， 所以 （1l 2l ,3l 4l ）=（AB ，CD ）=

)

2

151)(320()

32

51)(210(+--+=21 五、求两对对应元素，其参数为12

1

→，0→2，所确定的对合方程。（10分）

解 设所求为

a λλ'+b(λ+λ')+d=0 ①

将对应参数代入得：

21a+（1+2

1

）b+d=0 ② （0+2）b+d=0 ③ 从①②③中消去a,b,d 得

1

2

012321

1

λλλλ'+'=0 即λλ'+λ+λ'-2=0为所求

六、求直线32163x x x +-=0关于212

2

212x x x x -++231x x -632x x =0之极点。（12分）

解：设0p （030201,,x x x ）为所求，则

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----031311111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡03020

1x x x =⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢

⎢⎢⎣⎡-613 解线性方程组

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=--=-+-=+-6133020103020

10

30201x x x x x x x x

得即,1,1,30

30201-=-==x x x （3，-1，-1）为所求极点的坐标

七、叙述帕萨卡定理的内容并证明其定理。（12分）

定理：内接于二阶曲线的简单六点形，三对对应边的交点在同一直线上。 证明：设简单六点形654321A A A A A A ，其三对对边的交点分别为L ，M ，N ， L= 21A A 54A A ，M=32A A 65A A ，N=43A A 16A A 以1A ,3A 为中心，分别连接其他四点，则由定理得到()65421A A A A A ∧()65423A A A A A

设P A A A A =5421 ， Q A A A A =4365

则()65421A A A A A ∧()P A A L 54,,，()65423A A A A A ∧()65,,A A Q M

所以，()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M 由于两个点列底的交点5A →5A ，故有 ()P A A L 54,,∧()65,,A A Q M

所以LM ，Q A 4，5PA 三点共点，但Q A 4 5PA =N, 即L ，M ，N 三点共线。

八、用两种方法求双曲线042322

2

=-+-+y x xy y x 的渐近线方程。（12分）

解：方法一

设渐近线的方程为

0)3

23

2

22

1

12

3

13

2

12

1

11

(=+++++x a x a x a k x a x a x a