集对分析与不确定性

每个人都是“集对人”，
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我们的2只眼睛是一个集对、2个鼻孔 是一个集对、2只耳朵是一个集对、2只手 是一个集对、2条腿是一个集对，从这个意 义上说，集对是一个天然的概念，我们每 个人都是一个“集对人”.
每个人都在“集对分析”
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集对分析是一种自然的分析，我们每个 人都在“集对分析”.例如我们看到眼前， 又看到长远；眼前是确定的，长远具有不 确定性；我们需要物质，也需要精神；物 质是确定的，精神具有不确定性；如此等 等。
第2次数学危机的启示是
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当一个无穷小趋于零的时候，它的起始位置 与极限位置构成一个集对，无穷小在趋于零的过 程中，要经历与起始位置相同、相异、相反3个阶 → 段，其中有量变，也有质变，在什么位置发生质 变具有不确定性，需要具体分析。
起始
同 同 同 △x→0 同
异
反
→终极
第3次数学危机的启示是
• 描述同一个客观事物需要2个集合
数值例子
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设村上包括理发师在内共有100人，其 中不能为自己理发的有99人，确定属于理 发师的服务范围（A=99）；加上理发师1 人不能确定是否属于理发师的服务范围 （B=1），于是得联系数A+B i=99+1i，这 个联系数的集对意义显然是关于“所有不 为自己理发的人”这个对象集O的两个映射 集合A（确定集）与B（不确定集）的基数 之联系和。
UST－1：同一对象的确定性关系与不确 定性关系是一个不确定性系统
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同一个研究对象相对于给定参考集的确定性测 度a与不确定性测度b是一个不确定性系统,联系数 a+bi既是这个 系统的数学模型，本身也是一个系 统。在这个系统中，确定性测度与不确定性测度 相互联系、相互影响、相互制约（a+b＝1 ，i∈［－1，1］）而且在一定条件下相互转化。
向北京师范大学师生学习致敬
晚上好
集对分析与不确定性
Uncertainty and Set pair analysis
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赵克勤
浙江大学非传统安全与和平发展中心 集对分析研究所，310058 诸暨市联系数学研究所 311811
内容提要
• 1，三次数学危机引出的不确定性问题 • 2，联系数与集对分析的两个理论 • 3，一个新的起点
三元联系数
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三元联系数U=A+Bi+Cj是集对分析的 常用数学工具： • 其中A是同关系个数（相对确定的测 度），B是异关系个数（相对不确定的测 度）、C是反关系个数（相对确定的测度）， i表示不确定，在［－1，1］取值。
三元联系数可以由罗素悖论导出
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假定村子中原来只有理发师L1的基础上又来 了一位新理发师L2，这样就有L1，L2共2位理发 师，而村子中确定需要理发师们理发的总人数A不 变，则由于2位理发师在业务上相互竞争，势必把 A分成A1(A1>0)与A2(A2>0) 2个部份，设A1是由 L1理发的人数，A2是由L2理发的人数，站在理发 师L1的角度，这时有联系数A1＋Bi＋A2j, j在这里 代表A2与A1对立之意。一眼看出：联系数A1＋Bi ＋A2j就是站在L1角度的同异反三元联系数.
第二部份
•联系数 •与集对分析的 •两个理论
由罗素悖论导出“集对” ”（Set pair），
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在罗素悖论中，如果用一个确定的集合A描述 不能为自己理发的人，用另一个不确定的集合B描 述理发师自己，再用A＋B i描述理发师的全部服 务对象（ i 表示不确定），虽然没有解决理发师 由谁理发的问题，但避开了悖论，也客观地描述 了理发师的全体服务对象，从而给罗素悖论和第3 次数学危机一种全新的解读。这里的集A和集B是 描述理发师的全部服务对象O（object）所需的两 个集合，我们称之为“集对”（Set pair,SP）， 记为O＝（A，B）。
么？ • 8，三次数学危机给我们启示又有哪些？
如何客观地认识和处置 确定性与不确定性的关系
• 是三次数学危机引出的共性问题
第1次数学危机的启示是
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确定（的关系）与不确定（的关 系）是一个确定－不确定系统，单位 正方形就是这样的一个确定－不确定 系统。因为单位正方形的边长1是确定 的，但这个正方形的对角线长√2是一 个无限不循环小数：一个不能确定的 数，这一点让人不可思议。
集对的定义：
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集对就是描述同一个事物所需要的2个 集合。这2个集合可以都是确定集，也可以 都是不确定集，也可以1个是确定集，另1 个是不确定集。（由两个不确定集组成的 集对可解读说谎者悖论：“我在说的这句 话是谎话”。）
什么是集对分析？
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就是分析2个集合的确定性关 系与不确定性关系及其这两类关系 的联系与转化。
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罗素悖论
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但在1903年，英国数学家罗素 （bertrand russell ,1872-1970）构造了一 个集合S：S由一切不是自身的元素所组成 的集合。然后罗素问：S是否属于S？根据 排中律，一个元素或者属于某个集合，或 者不属于这个集合。因此，对于一个给定 的集合，问是否属于它自己是有意义的。 就如我们问：我们自己是否属于自己？。
UST-3：确定性与不确定性在一定条 件下相互转化
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不确定性系统中的确定性与不确定性可 以在一定条件下相互转化. 例如在二元联系 数a+bi中，通过对a的分解，分解出在多 次观测分析中相对稳定的a1、a2；和相对 不太稳定的an-1 、 an ，并计入b1i1， 而把 b1i1， b2i2，… bnin中的bnin标为cj (j=-1).
•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
就如我们需要2只眼睛看东西、2 个鼻孔嗅气味、2只耳朵听声音、2只 手干活、2条腿走路，而这是大自然的 设计，也是罗素悖论给我们的启示。
如果有人问：集对分析从哪里来？
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可以回答：集对分析从3次数学危机中 来，是2000多年来人类探索不确定性的一 个新思路。因为第1次数学危机意外地发现 了确定中有不确定，2000多年后的第3次数 学危机又无意中在“羊群”中围进了 “狼” ，充分表明不确定性与确定性是天 生的一对，历经2000多年风和雨，形影相 随不分离.
数学从危机中走来
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先后经历了3次危机
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横跨2000多年时空
第一部份
•三次数学危机与 •不确定性
2
第1次数学危机
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公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉 斯认为“一切数均可表成整数或整数之 比”。但他的一个学生考虑了如下问题： 边长为1的正方形其对角线长度是多少？结 果发现这一长度既不能用整数也不能用分 数表示，而只能用√2表示，诞生了第一个 无理数,也导致了人们认识上的危机，史称 “第1次数学危机”。
哥德尔不完全性定理与集对分析
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哥德尔不完全性定理是集对分 析不确定性系统理论的一个重要思 想来源，也是在联系数中设置i的 理论根据之一。
第3次数学危机告诉我们
• 事物的确定性与不确定性对立统一
请回答：问题
5，罗素悖论给我们哪些启示？
6，理发师悖论中的不确定性如何处置？
请回答：问题
• 7，三次数学危机引出的共性问题是什
两难境地
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对罗素问题的回答会陷入两难境地：如 果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反 之，如果S不属于S，同样根据定义，S属于 S，无论如何都自相矛盾。
罗素举了一个例子：理发师悖论
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村上一个理发师贴出服务公告，宣称他 为所有不为自己理发的人理发（设这些人 组成集合A），那么，理发师自己的头该由 谁理发？ • 如果他不为自己理发，那么，理发师属 于A；但这样一来，理发师就不能给自己理 发了，也就不能属于A，那么，理发师自己 的头究竞该由谁理发？
“羊群中也可能围进了狼”
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罗素悖论的发现，说明了作为数学基础 的集合论存在着矛盾，这个矛盾是如此的 显而易见，在构造一个集合时就存在于这 个集合中，震动了当时的数学界，正如著 名的法国数学家庞加莱（Henri Poincare,1854-1912）所坦言，“我们围住 了一群羊，然而在羊群中也可能围进了 狼” ，史称“第3次数学危机 ”。
100多年来
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数学家们围绕集合论中的罗素悖论， 开展了广泛的，长时期的激烈争论， 纷纷提出自己的解决方案，希望能够 通过对康托尔集合论的改造来排除悖 论，形成了逻辑主义、直觉主义、形 式主义三大数学流派，促进了现代数 学的发展。
哥德尔不完全性定理
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美国数学家哥德尔(Kurt Gödel， 1906—1978)于1931年给出证明：任何一个 无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的 陈述，则必定存在一个不可判定命题，用 这组公理不能在有限步内判定其真假。也 就是说，在同一个包含初等算术的形式系 统中，“无矛盾”和“完备”是不能同时 满足的。
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UST－2：不确定性系统具有层次性.
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不确定性系统中的确定性与不确定性具有层 次性. 在a+bi中，首先把a看作处在宏观层，bi 处在微观层；当把a、b都看作处在宏观层时，i处 在微观层；当对bi作分解时， bi处在宏观层，b1i1， b2i2，… bnin处在微观层；由于i∈［－1，1］，所 以也可以把i看作处在宏观层，i2， i3…处在微观层； 不仅如此，而且a也可以由不同层次的a1等 a2，… an组成。
从联系数U=A+Bi+Cj可以导出U=A+Bi(同异型
集对分析的理论之一： 不确定性系统理论（UST）
• 联系数用数学的语言给出了一个基于
集对分析的重要理论：不确定性系统 理论（Uncertainty system theory based on set pair analysis）。要点 （main points）有：
第1次数学危机告诉我们： 确定中有不确定
“有理”中有“无理”. 1
1 √2 1