暑假初二升初三数学衔接班预习教材(完整版)

第一讲 一元二次方程的解法（一）

【基础知识精讲】

1．一元二次方程的定义：

只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知

数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）

2．一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3．一元二次方程的解法：

⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。 (2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是： ① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；

② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；

⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解． 注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，

不能随便约去（x ＋4）.

②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．

【例题巧解点拨】

（一）一元二次方程的定义：

例1：1、方程①13122

=-

x

x ②05222=+-y xy x ③0172

=+x ④022=y 中一元二次方程是 .

A. ①和②；

B.②和③ ；

C. ③和④；

D. ①和③

2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3

C ．a ≠1且b ≠-1

D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠0

3、若（m+1）(2)1

m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． （二）一元二次方程的一般形式：

例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2

-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。 （三）一元二次方程的解法:

例3:判断下列括号里的数哪个是方程的解。 （1）)0,2,1(232

x x = (2))4,5,5(0252

-=-x

例4:若1-=x 是关于x 的一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的一个根， 求代数式）（c b a +-2008的值。

例5:解方程：

用直接开平方法解一元二次方程：

（1）0252

=-x （2） 900)12(16002

=-x

（3）32

=y （4）08)12(2

1

2=--x ）

用配方法解一元二次方程：

（1）（2012 荆州）0342

=+-x x （2）015122=-+x x

（3）161442

=++x x （4）1622

=+x x

例6:（开放题）关于x 的方程132

2

-=+x bx ax 一定是一元二次方程吗？若是，写出一个符合条件的a 值。

【随堂练习】

A 组

一、填空题: 1.

在

4(1)(2)5x x -+=,

221

x y +=,25100x -=,2280x x +=，

0=,

213x x

=+,22=a ，2

23213x x x +=-，22)12)(3(x x x =-+中，是一元二次方程有_________个 。

2.关于x 的方程是(m 2

–1)x 2

+(m –1)x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.

3.把方程9)2)(2()1(3+-+=-x x x x 化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是是_________.

4．关于的x 的一元二次方程方程(a-1)x 2+x+a 2-1=0的一个根是0, 则a 的值是___________.

5.2

2

3____(_____)x x x -+=-; 2

2

26____2(_____)x x x -+=-

6. 一元二次方程2

0ax bx c ++=若有两根

1和－1,那么

a b c ++=________,a b c -+= 。

二、按要求解下列方程:

1.2

2

3)52(=-a （直接开平方法） 2.0362

=+-x x (配方法)

B 组

一、填空题:

1.当_____m =时, 关于x 的方程2

(80m m x mx -+=是一元二次方程. 2.如果关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时方程为____________方程． 3.已知256y x x =-+,当x=_______时,y=0; 当y=_______时,x=0.

4.2

20b c ++=时,则2

0ax bx c ++=的解为____________________.

5. 方程2

230x x --=的解是_______________________