平面几何问题的复数解法.许兴华

平面几何问题的复数解法.许兴华

复数是高中数学的重要内容之一,在中学数学中,有许多数学问题,如果我们能够根据题目的具体特征,将其转化为复数问题,那么这类数学问题往往可以得到复巧解妙证.

用复数方法解解平面几何的基本思路是,首先运用复数表示复平面上的点,然后利用复数的模和幅角的有关性质,复数运算的几何意义以及复数相等的条件,化几何问题为复数问题来处理.

1.用于证三角形为正三角形

典型1.求证:若三角形重心与其外心重合,则该三角形必

为正三角形.

证明思路分析 以三角形的相重合的外心(重心),为原点O 建立起复平面上的直角坐标系.设321,,Z Z Z 表示三角形的三个顶点,其对应的复

数是.,,321z z z 因O 为外心,故,||||||321r z z z ===又O 为重心，故,033

21=++z z

z 即,0321=++z z z 于是由,321z z z -=+得2

2123||||z z z +=)()(2121z z z z ++= ,||||21212221z z z z z z +++=即,22121r z z z z -=+

22123|||| z z z -=∴)()(2121z z z z --=),(||||21212221z z z z z z +-+=.3|z -z | 21r =∴ 同理可得：.3|z -z | |z -z | 1323r ==∴

故321,,z z z 在复平面上是正三角形.

2.用于证明几何中的角度相等

典型2.已知正方形OBCD 中（如图），E 是CD 的中点，F 是CE 的中点，求证：FOB DOC ∠=∠2

1. 证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设

,1||=OD 则,1=OD ,,4

31,211i OB i OF i OE =+=+= DOE ∠=α是

OD 与OE 的夹角，有

),43arg(i)21arg(12 ),211arg(2i i +=+=+=αα又

)],43(2516arg[431arg i i i FOB +=+=∠=β

,2βα=∴即FOB DOC ∠=∠21.

3.用于证明几何中的不等式

典型3.在凸四边形ABCD 中，求证：BD AC BC AD CD

AB ⋅≥⋅+⋅.

证明思路分析 建立如图所示的复平面上的

直角坐标系，设C,D,A 对应的复数分别是

.,,321z z z 则|,

||||,||||,||||,|||213312z z CD z AB z z CA z DB -==-==|,|||32z z AD -=

||||||||||||||||132213z z z z z z BC AD CD AB ⋅-+-⋅=⋅+⋅

||||31213231z z z z z z z z -+-=.|||||)(|312BD AC z z z ⋅=-=

4.用于求解几何中的轨迹问题

典型4.如图，A 是定圆C 外的一点，P 是定圆C 上的一动点，以AP 为一边作正三角形APQ ，求点Q 的轨迹.

证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设

,||a AC =圆的半径为r,),,(,1R y x yi x z AQ z AP ∈+===则

).60sin 60(cos ,||11︒±︒==-i z z r a z 于是，

,|)60sin 60(cos |r a i z =-︒±︒即

,|)2

321)((|r a i yi x =-±+整理得： (*))23()2(222 r y a x =±+-

因此，点Q 的轨迹是圆：当点Q 在AP 上方时，(*)式取“－”号； 当点Q 在AP 下方时，(*)式取“＋”号.

典型5.设A 是定圆C 外的一点，P 是定圆C 上的一动点，以AP 为一边作正方形APMN ，求点M 的轨迹.

此题的证明思路分析完全类似于“典型4”，有兴趣的读者可试一试。