第6讲 函数的单调性学生

第

6讲 函数的单调性

[玩前必备]

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A .如果取区间M 中的

任意两个值x 1，x 2，

定义改变量 Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数改变量 Δx ＝x 2－x 1＞0，当Δy ＝

f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝

f (x )在区间M 上是减函数

增函数减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．

2．函数的最值

前 提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足

条 件

(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M (1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；

(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M

结 论M 为最大值M 为最小值

[玩转典例]

题型一 函数单调性的判断和证明

例1　判断并证明函数y ＝x ＋2

x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．

例2.设函数f (x )＝Error!g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．例3. 函数的单调递增区间为 .

[玩转跟踪]

1.已知函数f (x )＝2－x

x ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.

2.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )

a －

b >0，则必有(

)A.函数f (x )先增后减

223y x x =--

B.f (x )是R 上的增函数

C.函数f (x )先减后增

D.函数f (x )是R 上的减函数

3.画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间.

题型二 函数单调性的应用

角度一：利用函数的单调性求最值

例4 (1)函数f (x )＝Error!的最大值为________．

(2)已知函数f (x )＝ax ＋1a

(1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．角度二：利用函数的单调性求解不等式

例5　1.(1)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )

(2) 已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．

2.探究与创新

设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：

(1)f (xy )＝f (x )＋f (y )；

(2)f (2)＝1；

(3)在(0，＋∞)上是增函数.

如果f (2)＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围.

角度三：利用函数的单调性求参数

例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )

A.(－14

，＋∞) B.[－14，＋∞)C.[－14，0) D.[－14，0](2).已知f (x )＝Error!是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是________.

题型三 分类讨论二次函数单调性和最值

例7 求函数在闭区间上的单调性和最小值．

【玩转跟踪】

12)(2--=ax x x f ]2,0[

1．已知函数，求在上的最大值与最小值．

2．已知函数，当，时，求的最大值与最小值．题型四 抽象函数单调性和最值

例8 已知函数对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，

f (1)＝－23

.（1）求证：在R 上是减函数；

（2）求在[－3,3]上的最大值和最小值．

【玩转跟踪】

1.已知函数的定义域为，，且当时，且

．

（1）求的值；

（2）证明在定义域上的增函数；

（3）解不等式．[玩转练习]

2()22f x x ax =++()f x []5,5-32)(2

+-=x x x f t x [∈]1+t )(x f )(x f )(x f )(x f )(x f 0()∞+1>x 0)(>x f )()()(y f x f y x f +=⋅)1(f )(x f 02

1([<-x x f

1.下列说法中，正确的有( )

①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，

f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2＞0，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；

③函数y ＝－1x

在定义域上是增函数；④函数y ＝1x

的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

2.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )

A.y ＝|x |

B.y ＝3－x

C.y ＝1x

D.y ＝－x 2＋4

3.若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )

A.(－∞，40)

B.[40,64]

C.(－∞，40]∪[64，＋∞)

D.[64，＋∞)

4.若f (x )为R 上的增函数，kf (x )为R 上的减函数，则实数k 的取值范围是( )

A.k 为任意实数

B.k ＞0

C.k ＜0

D.k ≤0

5.函数y ＝x |x －1|的单调递增区间是________.

6. 函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.

7.求证：函数f (x )＝－1x

－1在区间(－∞，0)上是增函数.