2018年数学竞赛之窗
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
6．设 M A.60． 【答】B. 因为 M
1 1 1 1 1 ，则 的整数部分是 2018 2019 2020 2050 M
二、填空题： （本题满分 28 分，每小题 7 分） CE AB 于 E ，F 为 AD 的中点， 1． 如图， 在平行四边形 ABCD 中，BC 2 AB ， 若 AEF 48 ， 则 B _______． 【答】 84 . F A 设 BC 的中点为 G ，连结 FG 交 CE 于 H ，由题设条件知 FGCD 为菱形. 由 AB // FG // DC 及 F 为 AD 的中点，知 H 为 CE 的中点. 又 CE AB ，所以 CE FG ，所以 FH 垂直平分 CE ，故 E H DFC GFC EFG AEF 48 . B G 所以 B FGC 180 2 48 84 . 2．若实数 x, y 满足 x 3 y 3 【答】3.
2 2
即 (a b) 2[(a b) 4ab] (a b)[(a b) 3ab] 0 ， 又 a b 2 ，所以 2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0 ，解得 ab 1.所以 a b (a b) 2ab 6 ，
a2 ) .设 B( x1 ,0) ， C ( x2 ,0) ，二次函数的图象的对称轴与 x 轴的交点为 D ，则 2
BC | x1 x2 | ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 4a 2 4
2018亚洲国际数学奥林匹克公开赛小一及小二决
2018 亞洲國際數學奧林匹克公開賽小一及小二決賽 報名表
甲部（學生及家長聯絡資料）：
學生中文姓名： 學生收件地址： 家長香港手機號碼： | | | | | | |
就讀年級： （以郵寄准考證）
（本會將於 5 月以手機短訊確認比賽詳情）
乙部（比賽報名、報讀課程及訂購試題集）：（課室容額有限，報名將以先到先得處理）
12:40 pm – 3:40 pm 9:00 am – 12:00 nn 4:00 pm – 7:00 pm 12:40 pm – 3:40 pm 4:00 pm – 7:00 pm 12:40 pm – 3:40 pm 9:00 am – 12:00 nn
油麻地 油麻地 油麻地 油麻地 油麻地 油麻地 油麻地
2018（亞須洲同國時際遞數交學正奧接林受匹「克綜公援開計賽劃(A」IM之O證O明pe之n)副小本一）及正小接二受決「賽綜援計劃」的家庭 獲半比額賽資費助用
□ □
$400 $200
2（0筆18記AI為M繁O體決中賽文特，訓導計師劃以（粵課語程授為課一）節 3 小時）
課程編號： | | | □ $560
□ 劃線支票 銀行： | | | | | |
支票號碼： | | | | |
支票抬頭請填寫「HKMO」（如因抬頭錯誤以致延誤報名程序，本會恕不負責）， 並於支票背面寫上學生中文姓名及家長香港手提電話。
□ 我不同意收到有關比賽資料的一切信件（包括准考證、得獎證明、頒獎禮邀請函及比賽課程等）
家長簽署：
日期：
時限為 75 分鐘，不設時間獎勵。
如非特殊情況並事先取得本會許可，參賽者不能提早交卷或離場。
全卷共 25 道填充題，分為三部分，總分 120 分，包括： 甲部： 3 分題（10 題，共 30 分） 乙部： 5 分題（10 題，共 50 分） 丙部： 8 分題（ 5 題，共 40 分） 每道題只需填寫答案，不需填寫步驟。
2018年初中数学联赛试题及参考答案_一_
则使得（ｘ＠ｙ）＠ｚ＋（ｙ＠ｚ）＠ｘ＋（ｚ＠ｘ）＠ｙ＝０ 的 整
数 组 ）（ｘ，ｙ，ｚ）的 个 数 为 （ ）．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
答 （Ｄ）．
（ｘ＠ｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＠ｚ＝ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）＋ｚ
－ （ｘ＋ｙ－ｘｙ）ｚ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，
由 对 称 性 ，同 样 可 得
＋３ａｂ］＝０，
又ａ－ｂ＝２，所 以 ２－２［４＋４ａｂ］＋２［４＋３ａｂ］＝
０，解得ａｂ＝１．所 以ａ２＋ｂ２＝ （ａ－ｂ）２ ＋２ａｂ＝６，ａ３ －
ｂ３＝（ａ－ｂ）［（ａ－ｂ）２＋３ａｂ］＝１４，ａ５ －ｂ５ ＝ （ａ２ ＋ｂ２）
（ａ３－ｂ３）－ａ２ｂ２（ａ－ｂ）＝８２．
５．对任意的 整 数 ｘ，ｙ，定 义 ｘ＠ｙ＝ｘ＋ｙ－ｘｙ，
（ｙ＠ｚ）＠ｘ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ，（ｚ
＠ｘ）＠ｙ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ．
所以，由已知可得 ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ＋ｘｙｚ
＝０，即 （ｘ－１）（ｙ－１）（ｚ－１）＝ －１．
所以，ｘ，ｙ，ｚ 为整数时，只能有以下几种情况：
烄ｘ－１＝１， 烄ｘ－１＝１， 烅ｙ－１＝１， 或烅ｙ－１＝－１， 烆ｚ－１＝－１， 烆ｚ－１＝１，
２０１８ ５ ＞ ３３ ＝６１３３．
又 Ｍ ＝ （２０１１８＋２０１１９＋ … ＋２０１３０）＋ （２０１３１＋
１ ２０３２＋
…
＋２０１５０）＞２０１３０×１３＋２０１５０×２０＝８１３３２４３５０，
所以
１ Ｍ
＜８１３３２４３５０＝６１１１１３８４５５，故
１ Ｍ
的填空题 （本题满分２８分，每小题７分）
４．若实数ａ，ｂ 满 足ａ－ｂ＝２，（１－ａ）２ － （１＋ｂ）２
2018年全国初中数学联赛北京赛区获奖名单
2018年全国初中数学联赛北京赛区获奖名单一等奖（93名）姓名性别学校年级姓名性别学校年级王天齐男人大附中初三高国雄男北京二中分校初三张雨诗女清华附中初三李斯羽女清华附中初三曾冠宁男人大附中初三孙怿辰男北京二中分校初三刘陌溪男人大附中早八郭晟毓男十一学校初二鲍阳男北京二中分校初三李飞跃男十一学校初二张潇翰男北师大实验中学初一王惟雅女十一学校初三吴闻道男人大附中初三孙晓森女清华附中初二曹陈华睿男人大附中初三邹岳桐男人大附中初二谭立男人大附中初三赵轩男人大附中早七刘曜玮男人大附中早七李元桢男人大附中初三武正坤男人大附中早七李成竺男北京二中分校初三张世奇男人大附中早八罗方舟男人大附中早七周浩钧男人大附中早八王进一男清华附中初三王程男清华附中初三魏子淇男人大附中初三钟奕飞男十一学校初三仇成宇男清华附中初三高唯真男北京二中分校初三吴迪男北师大实验中学初二刘稼新男清华附中初二李效轩男北师大实验中学初三路原男清华附中初一周亚琪女清华附中初二姚亦李男人大附中初三侯翰飞男人大附中早八陈九如男人大附中早九贾天源男人大附中早八龙韬智男十一学校初二关乃粼男人大附中初一汪昕男人大附中早七王宇航男人大附中初三戴云初男北京二中分校初三马鸿远男北师大实验中学初三郭映阳男北师大实验中学初三李安之男北京二中分校初二张远洋男人大附中早七王誉景女北师大实验中学初二卢思翰男人大附中早六李沐冉女清华附中初三代奇岳男人大附中早七高萌彦男人大附中早九赵树祺男清华附中初三张皓中男人大附中早八李沐涵男人大附中早八李润时男清华附中初三周卞思宁男十一学校初三盖景初男人大附中初三李昊轩男人大附中早七高子昂男清华附中初一钱海天男人大附中早七钟嘉意男人大附中早八李沅臻男清华附中初三武远溪女北京二中分校初三肖子健男清华附中初一孙胤博男人大附中早七薄乃千男人大附中初二黄子萌男北师大实验中学初二王梓畅男人大附中早七许景粟男人大附中早七游天宇男人大附中早七田心洋男清华附中初二张绍博男清华附中初一陈誉霄男人大附中早八沈芸伍男清华附中初二闫昕男人大附中初一王雨轩男人大附中早八卜佳木男清华附中初三苏政渊男人大附中早九张海墨男人大附中早九葛皓天男人大附中早七王京逸男人大附中初三石昕潼男人大附中初一廖正阳男北京八中素五王孟晨男人大附中早九黄安辀男人大附中初一段睿思男清华附中初二蔡涵宇男人大附中早七董天诺男人大附中早八刘诺铭男人大附中初三严绍波男清华附中初三二等奖（140名）姓名性别学校年级姓名性别学校年级阎禹辰男北京二中分校初三魏闻达男北师大实验中学初三谈亮男人大附中初二高翔男人大附中初二陈竞帆男人大附中早八袁浩然男人大附中早八杨家宁男人大附中早九郭佳祺女十一学校初三王之略男人大附中早六史澍庚男清华附中初三李佳栩男人大附中早八赵可彤云女北京二中分校初三许昊翔男人大附中早六董亦麟女人大附中早八杨振男北大附中初三姚盛迪男清华附中初三马天佑男人大附中早七李永一男人大附中早七张致远男北京二中分校初二戴大伟男人大附中初三唐颂恩男人大附中初一邓宇晨男人大附中早七王心睿男人大附中早八李思学女北大附中初二李梦喆男北京一零一中初三胡梁栋男人大附中早九徐文昕男人大附中早七陶羽翘女人大附中早七林雨晨男人大附中早九纪明悦女清华附中初二王星瀚男人大附中早九马帅男清华附中初三邱子墨男清华附中初三吴梦涵女清华附中初二赵芳宸男人大附中早九顾笑恺男北师大实验中学初三陈容乾男人大附中早六郝宇衡男北京八中初二赵亦阳男十一学校初二杨博昌男北京十二中初三李悦旻男清华附中初三赵佳滢女北师大实验中学初三权尚浩然男北京一零一中初三陆霆松男人大附中初二崔焱扬男北京二中分校初二滕家齐男清华附中初三李亦之女人大附中早九褚天骏男人大附中早九李天骥男人大附中初三刘弘瑞女北大附中初三王安睿男清华附中初三陈智谦男人大附中早八姚冠名男清华附中初三罗奕翔男清华附中初三李昕孜女人大附中早九王翼飞男清华附中初三刘涵祚男人大附中早六任弈海男人大附中早七安庭毅男北师大实验中学初三武逸文男清华附中初三张释瑄男北京二中分校初三赵培源男清华附中初二张博阳男人大附中初三王子来男人大附中初三李丁一城男北师大实验中学初三陈国凯男北师大实验中学初三徐子健男十一学校初一向宇扬男人大附中初三赵秦怡女北师大实验中学初三邹晨男人大附中早八虞明达男清华附中初一马牧洲男清华附中初三苗硕男人大附中早八李天皓男人大附中早九王慕涵男人大附中早八吕博延男首师大附中初三斯文男人大附中早八高祎晨男人大附中初三万林普男北师大实验中学初三闫昕宇男清华附中初三郑承远男十一学校初三石羽女北京二中分校初三徐金女人大附中初二钟沐阳男人大附中初二张蕙心女人大附中早九范天舒男人大附中早八叶方舟男人大附中早七杨钧天男人大附中早七廖昱博男人大附中早七金雨晨男清华附中初三尚子衿男人大附中早七罗天择男人大附中初二杨泽畅男人大附中早八吴雨轩男人大附中早八宋驰男人大附中早九冯奕棠男人大附中初三邢博轩男人大附中早八魏川男北师大实验中学初三吴亚珩男人大附中初三陈羽翔男北师大实验中学初三王子兮女清华附中初二洪伊婷女北京一零一中初三李骏潇男北师大实验中学初三刘天睿男北师大实验中学初三李凯阳男人大附中初三胡蝶沐歌女人大附中早七卢远男人大附中初一黄嘉萌女北京一零一中初三马景伦男人大附中早九王照峰男人大附中早九肖天睿男清华附中初三宋知雨男人大附中分校初二王以翔男北师大实验中学初三国奕扬男清华附中初三王雍湉女北师大实验中学初三刘嘉祺男人大附中早七王中祺男北京二中分校初三黄鹤鸣男人大附中早七於嘉鹏男北大附中初三郑家怡女清华附中初三苏禹畅男清华附中初三吴宇桐男北京二中分校初三张英杰男十一学校初三刘程程女人大附中早八王凤仪女人大附中早八姜雅楠女清华附中初三弓佳彤女清华附中初三东紫昭女十一学校初二晁一沣男人大附中初二孟晙阳男北京二中分校初二李宗润男北师大实验中学初二郑良飞男人大附中初二简宇卿男人大附中初三陈平男北京二中分校初二张昊田男人大附中早九赵天珺男十一学校初二潘佳骐男人大附中早九李飞阳男北大附中初三孙嘉阳女清华附中初一马昊宇男十一学校初二三等奖（107名）姓名性别学校年级姓名性别学校年级陈佳妤女清华附中初一李东宇男首师大附中初三汪泰宇男人大附中初三李天圣男北大附中初一解相儒男北京十二中初三罗翔天男清华附中初二张锴睿男北京八中初三王宸熙男人大附中初三杨家齐男人大附中早八刘立今男人大附中初三傅大韦男人大附中初二吴青阳男人大附中早八李子豪男清华附中初一王程禹男北京一零一中初三关涛男人大附中早八高梓博男人大附中早八耿玥峰男人大附中初三戴其铭男人大附中初三梅自涵男十一学校初三张书豪男十一学校初二蒋沅健男中美力迈国际学校初三宋德霖男清华附中初三刘卜文男人大附中早九陈家祺男清华附中初三陈吉轲男人大附中早八张雪桢女北京二中分校初二汲绍达男清华附中初三李钟辰女北京一零一中初三王菁女清华附中初三唐汪宇达男清华附中初三周尚男北师大实验中学初三李行初男北京二中分校初二秦禹洲男北师大实验中学初三黄佳惠女人大附中初二郭俊游男人大附中早六李俊驰男北京四中初三魏歆哲男十一学校初三石峰宇男北京二中分校初三彭文钰女北京五中分校初三严鼎华男十一学校初三黄小棋男北京十二中初三温雪岭女人大附中早八王雨晗男十一学校初二胡沛骅男北师大实验中学初三刘馨阳男人大附中早七张章男北京一零一中初二王嘉硕男北京一零一中初三李秉伦男人大附中初三穆华林男人大附中初一张许瞰女清华附中初三王世屹男清华附中初二顾斌瑞男人大附中早八王溪斌男人大附中早八吕承融男北京二中分校初三汪锦程男北师大实验中学初三何欣悦女人大附中早八徐岫旸女北师大实验中学初三王未然女北京十二中初三王众一女人大附中初二张冰喆男人大附中早七杨书泰男十一学校初二黄子宽男北师大实验中学初三陈宇驰男清华附中初三杨嘉彦男人大附中早八王梓荃男十一学校初三郑思瑜男清华附属实验学校初三余欣锴男人大附中早八赵韵博女北京八中初三衣威旭男人大附中早七刘一晨男北京一零一中初二陈柯学男清华附中初三樊峻一男人大附中早七贾博暄男人大附中初二饶邦略男十一学校初三史奕然男人大附中初三晋康玮男十一学校初三王箫男清华附中初三杨淏天男十一学校初二张俊哲男北大附中初三张添淇男清华附中初三魏士尧男北京十二中初三赵天健男北师大实验中学初三肖翊宸男人大附中早七刘海丰男清华附中初三白宇繁男十一学校初三洪嘉阳男北京五中分校初三肖鉴洲男人大附中早八徐启鑫男清华附中初一刘文岳男十一学校初三邹听雨男十一学校初一宋加宸男人大附中初三李海峰男清华附中初一陈桢懿男北大附中初二浦皓天男十一学校初三高钰翔男人大附中早七张博信男人大附中早九赵大为男人大附中早九万宇泽男清华附中初三周以端女十一学校初二付浩辰男十一学校初二张韩乐男北京二中分校初三王剑超男北京十二中初三蒋佳宏男人大附中初三李冠葳男首师大附中初三赵晨迪男人大附中初三王序书男人大附中初三刘皓达男人大附中初一。
2018亚洲国际数学奥林匹克公开赛(AIMOOpen)晋级赛
參賽確認： 准考證將於比賽前一星期寄出，並有手機短信確認。如有查詢，請電郵至 info@。
比賽獎項： 獎項
香港賽區冠軍 金獎 銀獎 銅獎
計算方法 每個年級的第一名 約佔該年級參賽人數之 8% 約佔該年級參賽人數之 16% 約佔該年級參賽人數之 24%
將獲頒發 獎盃 及 獎狀
獎狀 獎狀 獎狀
成績公布： 比賽成績將於 2018 年 5 月 22 日由比賽網頁 公布。 獎項發布： 所有獎項一律通知參賽者所屬學校代為領取。
2018 亞洲國際數學奧林匹克公開賽香港參賽者的重要日期及注意事項
比賽階段 晉級賽
總決賽
比賽日期 2018 年 5 月 6 日
地址：香港九辦龍公彌時敦間道：香5星4港5期號數一安學至利奧日大林廈上匹午克4 樓十協時會電三H話o十n：g分K2至7o8n下7g午0M8一a5t9h時em電及at郵ica下：l O午inlfy二om@時phia至kdm六Aos.時csco三cia十比tio分賽n,（網H公站KM眾：O假htt期p:/除/w外ww）/
2018 年 8 月 4 日 泰國商會大學 (UTCC)
截止報名日期 2018 年 4 月 23 日
2018 年 6 月
准考證寄出 2018 年 4 月
2018 年 7 月
成績公布日期
2018 年 5 月 22 日
（頒獎典禮） 2018 年 8 月 6 日 大使市中天酒店
（網上公布） 2018 年 8 月 15 日
如非特殊情況並事先取得本會許可，參賽者不能提早交卷或離場。
全卷共 25 道填充題，分為三部分，總分 120 分，包括： 甲部： 3 分題（10 題，共 30 分） 乙部： 5 分題（10 題，共 50 分） 丙部： 8 分題（ 5 題，共 40 分） 每道題只需填寫答案，不需填寫步驟。
2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月13日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合{}1327x A x =≤≤，{}22log ()1B x x x =-<，则A B = （）A ．(12)，B ．(]13-，C ．[)02，D ．(1)(02)-∞- ，，【答案】A【解答】由1327x ≤≤，得03x ≤≤。
因此，[]03A =，。
由22log ()1x x -<，得2202x x x x ⎧->⎪⎨-<⎪⎩，解得，10x -<<或12x <<。
因此，(10)(12)B =- ，，。
所以，A B = (12)，。
2．若直线l 与两直线1l ：70x y --=，2l ：133110x y +-=分别交于A ，B 两点，且线段AB 中点为(12)P ，，则直线l 的斜率为（）A ．2-B ．3-C ．2D ．3【答案】B【解答】由点A 在直线1l ：70x y --=上，设(7)A t t -，。
由AB 中点为(12)P ，，知(211)B t t --，。
∵点B 在直线2l ：133110x y +-=上，∴13(2)3(11)110t t -+--=。
解得，3t =。
∴(34)A -，，2(4)313l PA k k --===--。
3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 分别为棱BC 、1BB 的中点，N 为正方形11B BCC 的中心。
l 为1A MN 平面与1D BE 平面的交线，则直线l 与正方体ABCD 底面所成角的大小为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解答】如图，由正方体的性质与条件，易得MN ABCD ⊥面，BE ABCD ⊥面。
∴1A MN ABCD ⊥面面，1D BE ABCD ⊥面面。
∴l ABCD ⊥面，l 与ABCD 面所成角的大小为90︒。
2018全国高中数学竞赛
2018年全国高中数学联合竞赛一试B卷参考答案(含加试)
三）叶
(9a+b+I) — ( 6矗+ b) 分 [1, 9], 均有 11cx)I<2, 则 ………………10 分 切 @ @
由句，＠得， 2a-6 = /(2)-/(1); 又由＠，＠得， 6a-2 = /(3)-/(2). 由上述两式消去 a, 可知 但 /(3)-4/(2)+3/(1)<2+4 . 2+3. 2=16, 矛盾！从而命题得证．
2018年全国高中数学联合竞赛一试(B卷） 参考答案及评分标准
为
是0+1+ 2+ 4+8+16=31. 2. 已知 圆锥的 顶点为P, 底面半径长为2'高为1.在圆锥 底面 上取 一 点Q , ° 使得 直线PQ与底面所成角不大千45 , 则满足条件的点Q所构成的区域 的面积 解：圆锥顶点 P在底面上的投影即为底面中心， 记之为o. 由条件知， OP = tan乙OQP三1'即OQ之1'故所求 的区域面积为7r·22 -Jr-12 =31r. OQ 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成 一 行，记为a,b,c,d,e ,f, 则abc+def是奇数的概 答案： 1 — 答案： 31r.
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同， 只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 一 个档次 ，第10、 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为 一 个档次 ，不得增加其他中间档次． 11小题5分为 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． {2, 0,1,8}, B= {2a I a E A}, 则AUB的所有元素之和是 1. 设集合A= ．
2018年全国高中数学联合竞赛
Ｉ
：
每 个 正 整 数均在 数 列 Ｕ
中出 现
．
ａ ｂ ａ 〇
与＋各
＝？
１
２
＝
２０
２
，
６
＝
５
．
参 考 答 案
第
—
故Ｍ ｙＰ
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一
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＝
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．
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．
５
．
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［
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求
Ｍｅ 的 取 值 范 围
ａｉ
，
．
则 这 样 的点
．
所构成
行 记为
，
１０ ．
（
２０
分
—
）
已 知 实数 列
ａ２
… ，
满 足对
的 区 域 的 面 积为
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６
ｃ
．
任 意 正整 数 随机 排成
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共 ５６ 分 分 已 知 定义 在
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2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准【直接打印】精品
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知21a ，32b，62c ，那么,,a b c 的大小关系是（）A.ab cB.ac b C.bacD.b ca【答】C. 因为121a，132b，所以110ab，故ba .又(62)(21)6ca(21)，而22(6)(21)3220，所以621，故ca .因此ba c .2．方程222334x xy y的整数解(,)x y 的组数为（）A ．3.B ．4.C ．5.D ．6.【答】B. 方程即22()234xy y，显然x y 必须是偶数，所以可设2x y t ，则原方程变为22217ty，它的整数解为2,3,t y从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)，(1,3)，(7,3)，(1,3)，共4组.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为（）A ．63B ．53C ．263D ．253【答】D.过点C 作CP//BG ，交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1，所以CP 是△BEG 的中位线，所以P 为EG 的中点.又因为AD ＝CE ＝1，AD//CE ，所以△ADF ≌△ECF ，所以CF ＝DF ，又CP//FG ，所以FG 是△DCP 的中位线，所以G 为DP 的中点.因此DG ＝GP ＝PE ＝13DE ＝23.连接BD ，易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°，所以∠BDE ＝90°. 又BD ＝2，所以BG ＝22225BDDG293.4．已知实数,a b 满足221a b ，则44a ab b 的最小值为（）PGFEBCADA ．18. B ．0. C ．1. D ．98.【答】B.442222222219()2122()48aabbab a bab a b ab ab .因为222||1ab a b ，所以1122ab ，从而311444ab，故2190()416ab，因此219902()488ab，即44908aabb.因此44a abb 的最小值为0，当22,22a b或22,22ab时取得.5．若方程22320x pxp 的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()xxxx ，则实数p的所有可能的值之和为（）A ．0.B ．34. C ．1.D ．54.【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p ，1232x x p ，所以2222121212()2464x x x x x x p p，332212121212()[()3]2(496)xxx x x x x x p pp.又由232311224()x x x x 得223312124()x x x x ，所以2246442(496)p p p pp ，所以(43)(1)0p pp ，所以12330,,14p p p .代入检验可知：1230,4p p 均满足题意，31p 不满足题意. 因此，实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p .6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a cb d .这样的四位数共有（）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个.【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111abct b c a，则t_________．【答】1.由1a t b 得1bt a，代入1bt c得11t tac ，整理得2(1)()0ct ac ta c ①又由1c t a 可得1ac at ，代入①式得22()0ctatac ，即2()(1)0c a t，又c a ，所以210t，所以1t.验证可知：11,1a b caa时1t；11,1a bcaa时1t .因此，1t .2．使得521m是完全平方数的整数m 的个数为．【答】1．设2521mn （其中n 为正整数），则2521(1)(1)mnn n ，显然n 为奇数，设21n k （其中k 是正整数），则524(1)mk k ，即252(1)m k k .显然1k，此时k 和1k 互质，所以252,11,m k k 或25,12,m k k 或22,15,m k k 解得5,4k m .因此，满足要求的整数m 只有1个.3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BC AP＝．【答】3.设D 为BC 的中点，在△ABC 外作∠CAE ＝20°，则∠BAE ＝60°. 作CE ⊥AE ，PF ⊥AE ，则易证△ACE ≌△ACD ，所以CE ＝CD ＝12BC.又PF ＝PA sin ∠BAE ＝PA sin 60°＝32AP ，PF ＝CE ，所以32AP ＝12BC ，因此BC AP＝3.4．已知实数,,a b c 满足1abc，4a b c ，22243131319a b c aa bb cc ，则222abc ＝．【答】332.因为22313(3)(1)(1)(1)aa aa abc a bc a a bcbc a b c ，所以FEDBCAP2131(1)(1)a aa b c .同理可得2131(1)(1)b b b a c ，2131(1)(1)c cc a b .结合22243131319ab c aa bb cc 可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ，所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c .结合1abc，4a b c，可得14ab bc ac. 因此，222233()2()2a bca bc ab bc ac .实际上，满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422.第二试（A)一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ），则30a b c .显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c 及30a b c 得303a b c c ，所以10c . 由a b c 及30a b c 得302a b c c ，所以15c . 又因为c 为整数，所以1114c .……………………5分根据勾股定理可得222abc ，把30ca b 代入，化简得30()4500ab a b ，所以22(30)(30)450235a b ，……………………10分因为,a b 均为整数且a b ，所以只可能是22305,3023,ab解得5,12.a b ……………………15分所以，直角三角形的斜边长13c ，三角形的外接圆的面积为1694.……………………20分二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2ADBD CD .DPOABC2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共4页）证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PAPD PO ，2ADPD OD . ……………………5分又由切割线定理可得2PAPB PC ，∴PB PC PD PO ，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ，……………………20分∴PD BD CD OD，∴2AD PD OD BD CD .……………………25分三．（本题满分25分）已知抛物线216yxbx c 的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x ）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解易求得点P 23(3,)2b bc ，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c的两根，所以21396x b bc ，22396x bbc ，又AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE ＝296b c .……………………5分因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AEPE DE ，即2223(96)()||2bc b c m ，又易知0m，所以可得6m. ……………………10分又由DA ＝DC 得22DA DC ，即22222(96)(30)()bc mb mc ，把6m代入后可解得6c （另一解0c 舍去）.……………………15分又因为AM//BC ，所以OA OM OBOC，即223||3962|6|396b b c bbc.……………………20分把6c 代入解得52b （另一解52b舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y xx . ……………………25分2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共5页）精品文档强烈推荐2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有。
2018年第34届中国数学奥林匹克获奖名单
第34届中国数学奥林匹克获奖名单一等奖（124人）编号姓名性别年级省市学校M18001 潘至璇男高二浙江省浙江省乐清市知临中学M18002 袁祉祯男高二湖北省武钢三中M18003 骆晗男高三浙江省镇海中学M18004 钱一程男高二江苏省江苏省锡山高级中学M18005 邓明扬男高一北京市中国人民大学附属中学M18006 金及凯男高二上海市华东师范大学第二附属中学M18007 黄轶之男高三四川省成都七中M18008 戴宇轩男高三浙江省杭州学军中学M18009 胡航男高三四川省四川省绵阳中学M18010 周鼎昌男高三北京市人大附中M18011 胡百川男高三江西省江西师范大学附属中学M18012 吴浩然男高二江苏省江苏省扬州中学M18013 陈博洋男高三四川省成都七中嘉祥外国语学校M18014 杜航男高三四川省成都七中M18015 赵文浩男高二上海市上海市上海中学M18016 姚缘男高二上海市上海市上海中学M18017 卓景彬男高二浙江省浙江省乐清市知临中学M18018 胡苏麟男高二广东省华南师范大学附属中学M18019 陈子云男高二湖南省长沙市雅礼中学M18020 梁敬勋男高二浙江省杭州学军中学M18021 何凯辰男高二湖南省长沙市雅礼中学M18022 罗云千男高三湖北省湖北省黄冈中学M18023 谢柏庭男高三浙江省浙江省乐清市知临中学M18024 俞然枫男高二江苏省江苏南京师范大学附属中学M18025 杨铮男高二上海市上海市上海中学M18026 许福临男高二福建省福建厦门大学附属中学M18027 葛宇驰男高三安徽省安徽省含山中学M18028 谷肇兴男高二黑龙江省哈尔滨市第三中学M18029 熊诺亚男高二重庆市重庆市巴蜀中学M18030 黄嘉俊男高一上海市上海市上海中学M18031 杜俊辰男高三陕西省西北工业大学附属中学M18032 韩新淼男高二浙江省浙江省乐清市知临中学M18033 朱天明男高二湖北省武汉二中M18034 常弋阳男高三河南省郑州一中M18035 贾镐铮男高二河北省石家庄市二中M18036 傅浩桐男高二山西省山西大学附属中学M18037 夏一航男高二江苏省扬州中学M18038 饶睿男高一广东省华南师范大学附属中学M18039 刘元凯男高三浙江省宁波中学M18040 宛彦明男高三广东省深圳中学M18041 马晓阳男高三安徽省安徽省合肥市第一中学M18042 李逸凡男高一上海市上海市上海中学M18043 王祯安男高一山东省山东实验中学M18044 徐苇杭男高三四川省成都七中M18045 陈正男男高三广东省深圳中学M18046 尹顺男高二湖南省湖南师大附中M18047 陈凡男高三福建省福建省厦门双十中学M18048 姜昕澎男高三辽宁省东北育才学校M18049 朱容宇男高三安徽省安徽省马鞍山第二中学M18050 傅增男高二上海市复旦大学附属中学M18051 涂雅欣女高三湖北省武汉外国语学校M18052 胡宇轩男高三北京市北京市第八中学M18053 李洲子男高三上海市上海市上海中学M18054 葛程男高三上海市上海市上海中学M18055 陈锐男高二湖北省武汉市第二中学M18056 温凯越男高二广东省深圳中学M18057 刘明扬男高二广东省华南师范大学附属中学M18058 罗煜翔男高一浙江省浙江省镇海中学M18059 王义寅男高一广东省广州市执信中学M18060 冯时男高三湖北省武汉市第二中学M18061 宋子萌男高三北京市清华附中M18062 方星竹男高一天津市天津市南开中学M18063 解尧平男高三天津市天津市实验中学M18064 李朴恒男高三上海市上海市上海中学M18065 曲殊同男高三黑龙江省大庆第一中学M18066 王旌男高三安徽省东至县第二中学M18067 黄金阳男高三湖南省长沙市雅礼中学M18068 陈乐恒男高三浙江省浙江省温州中学M18069 杜天祺男高二广东省深圳中学M18070 陈泰杰男高三河南省郑州外国语学校M18071 宋典毅男高二黑龙江省哈尔滨市第三中学校M18072 陈泉霖男高一北京市中国人民大学附属中学M18073 张昊宸男高三湖南省长沙市雅礼中学M18074 唐艺铭男高三四川省成都七中嘉祥外国语学校M18075 贺思凯男高二北京市中国人民大学附属中学M18076 林湛然男高三广东省华南师范大学附属中学M18077 陈豪男高三湖北省武汉市武钢三中M18078 邓皓文男高三重庆市重庆市巴蜀中学校M18079 江山男高三江西省江西科技学院附属中学M18080 宇占浩男高三河北省邯郸市第一中学M18081 张亦杨男高三陕西省西安市铁一中学M18082 厉晨宁男高三浙江省浙江金华第一中学M18083 陈博文男高三江苏省徐州市第一中学M18084 杨诚远男高二北京市中国人民大学附属中学M18085 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庾辰炜男高三湖南省长沙麓山国际实验学校M18126 孙中天男高一四川省成都七中嘉祥外国语学校M18127 李骁然男高二湖北省襄阳五中M18128 陈泓睿男高三重庆市重庆市巴蜀中学M18129 李咏璋男高三四川省成都树德中学（宁夏校区）M18130 董佳林男高三黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学M18131 李欣雨男高三重庆市重庆南开中学校M18132 王宇航男高三重庆市重庆市育才中学M18133 刘子宁男高二上海市华东师范大学第二附属中学M18134 周书涵男高二上海市上海市上海中学M18135 颜天明男高三安徽省合肥一六八中学M18136 鹿恩溥男高三辽宁省东北育才学校M18137 杨雨鑫男高三河南省河南省实验中学M18138 胡浩宇男高三广东省华南师范大学附属中学M18139 闫子垚男高二北京市中国人民大学附属中学M18140 卞诗瑞男高三重庆市重庆市第一中学校M18141 何志凡男高三浙江省浙江省杭州第二中学M18142 王然男高三江苏省南京外国语学校M18143 徐启恒男高一上海市上海市上海中学M18144 史庭潇男高三浙江省杭州学军中学M18145 郭璎庆女高三湖南省湖南省长沙雅礼中学M18146 申峻旭男高三山西省山西大学附属中学M18147 段钦瀚男高三湖南省雅礼中学M18148 郎柏鸣男高三吉林省东北师大附中M18149 吴家茂男高三河南省郑州外国语学校M18150 臧佳境男高三河南省郑州市第一中学M18151 朱笑辰男高三四川省成都树德中学（宁夏校区）M18152 庄雅琪女高三浙江省杭州学军中学M18153 石恺宁男高二湖南省湖南师大附中M18154 郭鸿儒男高三山西省山西大学附属中学校M18155 郝传欣女高三广东省深圳中学M18156 葛明坤男高三江苏省江苏省淮阴中学M18157 刘帅男高三天津市天津市第一中学M18158 丁家成男高三江苏省江苏省通州高级中学M18159 崔一淇男高三安徽省安徽省合肥168中学M18160 周好女高三湖北省武钢三中M18161 王楚惟男高三北京市人大附中M18162 闫正邦男高三黑龙江省哈尔滨市第三中学M18163 郭箫男高三黑龙江省齐市实验中学M18164 牛文龙男高三湖北省湖北省襄阳四中M18165 高囯荃男高三北京市北京五中M18166 周海刚男高三湖南省长沙市雅礼中学M18167 刘子为男高三江西省江西省景德镇一中M18168 李昊臻男高三陕西省西安高新第一中学M18169 刘思睿男高三黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学M18170 李东晨男高三山西省山西大学附属中学M18171 张传哲男高三安徽省安徽合肥一中M18172 岳新鹏男高三河南省郑州市第一中学M18173 邵泽磊女高三河北省邯郸市第一中学M18174 柳杨男高三浙江省浙江省杭州第二中学M18175 殷世琦男高三河北省石家庄市第二中学M18176 陈思成男高一吉林省东北师范大学附属中学M18177 朱子清男高三辽宁省东北育才学校M18178 高文磊男高三北京市北京市十一学校M18179 袁也男高三天津市天津市耀华中学M18180 杨宇铭男高二上海市上海市上海中学M18181 包文龙男高三吉林省东北师大附中M18182 詹德邻男高三湖北省华中师范大学第一附属中学M18183 路子平男高三天津市天津市第一中学M18184 黄之易男高三重庆市重庆南开中学校M18185 周瑞松男高三福建省福建省福州第一中学M18186 吴寒羽男高三北京市北京师范大学附属实验中学M18187 刘枭男男高二黑龙江省哈尔滨市第三中学校M18188 赵维见男高一吉林省吉林省长春市吉大附中实验学校M18189 范易扬男高二上海市上海市上海中学M18190 左骏驰男高一上海市华东师范大学第二附属中学M18191 梁耀鸣男高三广东省华南师范大学附属中学M18192 薛嘉伟男高三陕西省西安交通大学附属中学M18193 梁睿琦男高三河北省河北省石家庄市二中M18194 郝子航男高三河北省邯郸市第一中学M18195 李兆祥男高三天津市静海第一中学M18196 姜昆男高三四川省成都树德中学(宁夏校区) M18197 周欣颖女高三重庆市重庆市第八中学校M18198 吴昊宸男高三江苏省江苏省天一中学M18199 龚宇昊男高三江西省上饶县中学M18200 耿若晗男高三河南省郑州一中M18201 周亮男高二重庆市重庆市第八中学校M18202 叶龙翔男高三安徽省安徽省安庆市第一中学M18203 王鹤澄男高三辽宁省东北育才超常教育实验部M18204 雷纯熙男高二重庆市重庆市巴蜀中学M18205 郑立瑜男高三浙江省浙江省乐清市知临中学M18206 晏国凯男高三湖南省湖南师大附中M18207 苗中博男高三北京市北京师范大学附属实验中学M18208 周冉升男高三福建省福州一中M18209 吴闻道男高一北京市人大附中M18210 孙博浩男高一安徽省马鞍山二中M18211 胡子晗女高三浙江省浙江省乐清市知临中学M18212 梁世泽男高三广西自治区柳州高级中学M18213 王泽阳男高三黑龙江省绥化市第一中学M18214 周元辉男高三湖北省湖北省黄冈中学M18215 张益嘉男高三湖北省华中师大一附中M18216 刘浩宇男高三浙江省浙江省杭州第二中学M18217 周立男高三湖南省雅礼中学M18218 刘明昊男高二吉林省东北师大附中M18219 敖睿成男高三四川省成都七中M18220 吴思颖女高三辽宁省东北育才学校M18221 鲁妍女高三北京市人大附中M18222 罗松岩男高三河北省石家庄市第二中学M18223 郭鹏男高三四川省成都外国语学校M18224 徐正博男高三辽宁省东北育才学校M18225 郭家成男高三天津市天津市耀华中学M18226 李浩然男高一四川省成都七中（林荫校区）M18227 蔡沛豪男高三河南省郑州外国语学校M18228 李盛石男高三北京市北京市一零一中学M18229 张蔚峻男高二广东省华南师范大学附属中学M18230 梁思恒男高二天津市天津市新华中学M18231 王瑞辰男高二上海市上海市上海中学M18232 彭逸飞男高三湖南省长郡中学M18233 王渭臻男高三湖南省长沙市一中M18234 王钧涵男高三甘肃省西北师大附中M18235 李悦铭男高三贵州省遵义市南白中学M18236 鲁桐君男高三重庆市重庆市第十一中学校M18237 蒲俊凯男高三海南省海南中学M18238 鄢继鑫男高二福建省福建省福州第一中学M18239 郭语涵男高一河南省郑州一中M18240 户皓男高三四川省四川省绵阳中学M18241 徐晏辰男高三上海市复旦大学附属中学M18242 上官修远男高三山东省临沂第一中学M18243 吴佳昱男高三陕西省西北工业大学附中M18244 闫国玮男高三天津市耀华中学M18245 程天倚男高三江西省江西省景德镇二中M18246 易睿哲女高三北京市北师大附属实验中学M18247 严彬玮女高二江苏省南京师范大学附属中学M18248 姜政彤男高三贵州省贵阳市第一中学M18249 刘向益男高二吉林省东北师大附中M18250 陈晓楠男高三山西省山西省实验中学M18251 潘逸声男高一海南省海南中学M18252 杜士泽男高三河北省石家庄市二中M18253 钟梁骏男高二四川省成都七中M18254 谢子辰男高二辽宁省东北育才学校M18255 李子维男高三安徽省宣城中学M18256 张堡森男高三河北省衡水第一中学M18257 肖振宇男高三广东省深圳中学M18258 李军男高三山东省山东省泰安第一中学M18259 张馨月女高二湖南省湖南师大附中M18260 王业成男高二内蒙古自治区通辽第五中学M18261 熊茳楠男高二重庆市重庆一中M18262 樊喆羽男高三江西省江西科技学院附属中学M18263 张泽灏男高三内蒙古自治区海拉尔第二中学M18264 曾楷尧男高三福建省福建省龙岩第一中学M18265 丁佳翌男高一湖北省华中师范大学附属第一中学M18266 夏楚惟男高三湖南省长沙市第一中学M18267 叶宇涵男高一广东省深圳中学M18268 刘方霁男高三宁夏自治区银川二中M18269 郑文迅男高三浙江省浙江省江山中学M18270 胡小龙男高三北京市中国人民大学附属中学M18271 陶涛男高三广西自治区南宁三中M18272 艾一夫男高一吉林省吉林省长春市吉大附中实验学校M18273 张逸尘男高二天津市天津市第一中学M18274 刘泽熙男高一陕西省西安高新一中M18275 王煜然男高二山东省青岛二中M18276 赵子娴女高三浙江省浙江省乐清市知临中学M18277 李心宇男高一江苏省南京师范大学附属中学M18278 谢长啸男高二辽宁省大连育明高中M18279 姚硕资男高一上海市华东师范大学第二附属中学M18280 陆苏扬男高二江苏省南京外国语学校三等奖（87人）编号姓名性别年级省市学校M18281 吴行雨男高二山东省青岛二中M18282 易晨男高三湖北省湖北省华师一附中M18283 李郝添男高三四川省成都树德中学（宁夏校区）M18284 杨朝栋男高三辽宁省辽宁省实验中学M18285 葛佳鑫女高二北京市人大附中M18286 英乃文女高三河北省石家庄二中M18287 游灏溢男高三江西省江西师范大学附属中学M18288 钟蕙颖女高二湖南省长郡中学M18289 滕博男高三吉林省东北师范大学附属中学M18290 徐铭锐男高二福建省福建师大附中M18291 王孜睿女高三河南省郑州外国语学校M18292 周佳茗男高三江苏省江苏省天一中学M18293 冯心雨女高三陕西省西安交通大学附属中学M18294 李子豪男高三河北省石家庄市第二中学M18295 刘湛男高二江苏省南京外国语学校M18296 李德江男高三山西省山西大学附属中学M18297 张海涵男高三吉林省东北师大附中M18298 张博洋男高一上海市上海市上海中学M18299 蒋若曦男高三陕西省西安铁一中学M18300 陈苇远女高二广东省深圳中学M18301 李明骏男高三重庆市重庆市巴蜀中学校M18302 郭海杰男高三山东省莒县第一中学M18303 龚森炜男高三湖北省湖北省荆州中学M18304 曾柯淏男高三北京市北京市十一学校M18305 姚骏奕男高二贵州省贵阳市第一中学M18306 李新鹏男高三湖南省湖南省长沙市长郡中学M18307 郭尧昱女高一北京市中国人民大学附属中学M18308 林可馨女高三福建省福建省莆田第一中学M18309 荆越骞男高三北京市北京师范大学附属实验中学M18310 宁梓豪男高三山东省山东省烟台第一中学M18311 左博伟男高三湖南省长沙市雅礼中学M18312 余不悔男高二江西省江西师范大学附属中学M18313 孟星舟男高三辽宁省大连育明高中M18314 许一多男高三广东省深圳市高级中学M18315 陈建达男高三海南省海口中学M18316 张原铭男高三江西省赣州市第三中学M18317 张益山男高三宁夏自治区宁夏银川一中M18318 薄仁轩男高三甘肃省西北师大附中M18319 杨梓平男高三辽宁省大连市第二十四中学M18320 龙炳辰男高三河北省衡水第一中学M18321 张展硕男高三吉林省东北师大附中M18322 张益玮男高三山东省山东省烟台第二中学M18323 高天伟男高三北京市北京市第四中学M18324 汪季轩男高三湖北省湖北省随州市第一高级中学M18325 马康哲男高二广西自治区广西师范大学附属外国语学校M18326 韩林基男高三辽宁省大连第24中学M18327 李柄辉男高三陕西省西北工业大学附属中学M18328 郭昊男高三内蒙古自治区赤峰平煤高中M18329 周威男高三湖南省长沙市一中M18330 王运泽男高三吉林省吉林市第一中学M18331 王秉鑫男高一吉林省吉林省长春市吉大附中实验学校M18332 黄易男高三内蒙古自治区通辽第五中学M18333 高乐耘男高三云南省云南师大附中M18334 张翔宇男高一吉林省吉林省长春市吉大附中实验学校M18335 邓杰男高二湖北省武汉市第二中学M18336 刘禹希男高三陕西省西北工业大学附属中学M18337 唐星宇女高三新疆自治区乌鲁木齐市第一中学M18338 侯程钧男高三天津市天津市耀华中学M18339 林冠儒男高二福建省福建省泉州第五中学M18340 宋含章男高三甘肃省甘肃省兰州第一中学M18341 杨碧茹女高三云南省云南师大附中M18342 马越男高三新疆自治区新疆石河子市第一中学M18343 黄彬男高三广西自治区南宁市第二中学M18344 赵怡玮男高三宁夏自治区银川一中M18345 孔浩铭男高三河南省郑州外国语学校M18346 程硕男高三江西省江西省九江第一中学M18347 白宇鹏男高二山西省山西省实验中学M18348 王曦来女高三云南省云南师大附中M18349 高宇豪男高二重庆市重庆南开中学M18350 李梓硕男高三西藏自治区拉萨江苏实验中学M18351 邓皓男高三江西省江西师范大学附属中学M18352 苏立同男高三宁夏自治区宁夏银川一中M18353 李心婧女高三西藏自治区西藏自治区林芝一中M18354 保昱冰男高三云南省云南省曲靖市第一中学M18355 姚泊先男高三宁夏自治区银川一中M18356 王宇珩男高三青海省青海湟川中学M18357 陈炜男高二广东省华南师范大学附属中学M18358 归昱欣女高三青海省青海湟川中学M18359 陈思明男高三新疆自治区乌鲁木齐第一中学M18360 侯雅玥女高三青海省青海湟川中学M18361 胡宁远男高二贵州省贵州省贵阳市第一中学M18362 王海焜男高二海南省海口中学M18363 李韬男高三青海省青海湟川中学M18364 罗浩洋男高三甘肃省甘肃省兰州第一中学M18365 孙汉琪男高三新疆自治区克拉玛依市第一中学M18366 郑明轩男高三甘肃省西北师大附中M18367 陈娴女高三西藏自治区西藏自治区林芝一中。
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
说明： 1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角 坐 标 系 xOy 中 ， A 、 B 与 C 、 D 分 别 是 椭 圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是 上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ
2018年全国高中数学联赛青海赛区二等奖名单(157名)
M218810139 M218810140 M218810141 M218810142 M218810143 M218810144 M218810145 M218810146 M218810147 M218810148 M218810149 M218810150 M218810151 M218810152 M218810153 M218810154 M218810155 M218810156 M218810157
刘语菡 王彦越 胡一 杜佳欢 刘可欣 都文斌 周永扬 刘延龙 刘家一 李江博 刘慧 李一正 祁诗茵 毛嘉祥 李悦彤 舒昕悦 任雨轩 马晓鹏 祁文轩 殷瑞琪 王紫玉 邢清河 胡佳怡 冶紫窈 冯彦乐 刘俊辉 魏汶虎 李洁
青海湟川中学 青海湟川中学 青海湟川中学 青海湟川中学 西宁五中 格尔木市第二中学 青海湟川中学 西宁二中 格尔木市第二中学 格尔木市第二中学 格尔木市第七中学 青海湟川中学 青海湟川中学 青海湟川中学 青海湟川中学 青海湟川中学 西宁二中 大通二中 青海湟川中学 青海湟川中学 青海湟川中学 青海湟川中学 西宁二中 西宁十四中 青海湟川中学 青海湟川中学 青海湟川中学 青海湟川中学
M218810083 M218810084 M218810085 M218810086 M218810087 M218810088 M218810089 M218810090 M218810091 M218810092 M218810093 M218810094 M218810095 M218810096 M218810097 M218810098 M218810099 M218810100 M218810101 M218810102 M218810103 M218810104 M218810105 M218810106 M218810107 M218810108 M218810109 M218810110
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
2018 年全国初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1．设二次函数 2a2y x ax 的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B,C .当△ABC 为等边三角22形时，其边长为（）A. 6 ．B.2 2 ．C.2 3 ．D.3 2 ．【答】C.2a由题设知A (a ,) .设B(x1,0) ，C(x2 ,0) ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则22aBC | x 1 x |(x x ) 4x x 4a 42a .2 2 22 1 2 1 2223 3a又AD BC | | 2a，则 2 ，解得a 2 6 或a 2 0 （舍去）.2 2 2所以，△ABC 的边长BC 2a 2 2 3 .2．如图，在矩形ABCD 中，BAD的平分线交BD 于点E ，AB 1，CAE 15，则BE （）A.33． B.22． C. 2 1． D. 3 1． A D 【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得BAF FAD AFB HEF 45，B F AB1，EBH ACB 30.EB CH F设BE x，则xHF HE，23xBH .2因为BF BH HF ，所以13 xx，解得x 3 1.所以BE 31.2 23．设p,q 均为大于 3 的素数，则使p 2 5pq 4q 为完全平方数的素数对(p,q) 的个数为（）2A.1．B.2．C.3．D.4．【答】B.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 1 页（共 10 页）设p2 5pq 4q2 m2 （m 为自然数），则(p 2q)2 pq m2 ，即(m p 2q)(m p 2q) pq .由于p,q 为素数，且m p 2q p,m p 2q q ，所以m p 2q 1，m p 2qpq ，从而pq 2p 4q 1 0，即(p 4)(q 2) 9，所以(p,q) (5,11)或(7, 5) .所以，满足条件的素数对(p,q) 的个数为 2.2 24．若实数a,b 满足a b 2，(1 ) (1 ) 4a b，则a5 b5 （）b aA.46．B.64．C.82．D.128．【答】C.( 2 21 a) (1 b)由条件 4得a b 2a2 2b2 4ab a3 b3 0，b a即(a b) 2[(a b)2 4ab] (a b)[(a b)2 3ab] 0，又a b 2，所以2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0，解得ab 1.所以a2 b2 (a b)2 2ab6 ，a b a b a b ab ，a5 b5 (a2 b2 )(a3 b3) a2b2 (a b) 82 .3 3 ( )[( )2 3 ] 145．对任意的整数x, y ，定义x@ y x y xy ，则使得(x@ y)@z (y @z)@x (z@x)@ y的整数组(x, y, z) 的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.(x@ y)@z (x y xy)@z (x y xy) z (x y xy)z x y z xy yz zx xyz ，由对称性，同样可得(y@z)@x x y z xy yz zx xyz ，(z@x)@ y x y z xy yz zx xyz .所以，由已知可得x y z xy yz zx xyz 0 ，即(x 1)(y 1)(z 1) 1.所以，x, y, z 为整数时，只能有以下几种情况：x 11, y 1 1,z 1 1,x 11,或y 11,z 11,x1 1,或y 11,z 11,x或yz1111,1,1,所以，(x, y, z ) (2,2,0)或(2,0,2) 或(0,2,2) 或(0,0,0)，故共有 4 个符合要求的整数组.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 2 页（共 10 页）1 1 116．设M ，则2018 2019 2020 2050 1M的整数部分是（）A.60．B.61．C.62．D.63．【答】B.1 201815 因为M 33 ，所以61.2018 M 33 331 1 1 1 1 1又M ( ) ( )2018 2019 2030 2031 2032 20501 1 134513 20 ，2030 2050 832301 183230 1185所以61 ，故的整数部分为 61.M 1345 1345 M二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．如图，在平行四边形ABCD 中，BC 2AB ，CE AB于E ，F 为AD 的中点，若AEF48，则 B _______．【答】84.AF 设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形.D由AB // FG // DC及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点.又CE AB，所以CE FG ，所以FH 垂直平分CE ，故DFC GFC EFG AEF 48.所以B FGC 180 248 84 .E HB CG2．若实数x, y 满足1 15x 3 y 3 (x y ) ，则x y的最大值为．4 2【答】3.1 1 1515由x 3 y 3 (x y ) 可得x y x 2 xy y 2 x y ，即( )( ) ( )4 4 222 2 1 15(x y)(x xy y ) . ①4 2令x y k ，注意到 2 2 1 ( )2 3 2 1 0x xy y x y ，故x y k 0 .y4 2 4 4又因为x2 xy y2 1 (x y)2 3xy 1 ，故由①式可得 3 3 1 15k xyk k ，所以4 4 4 2 115k k34 2xy .3k1 15k k34 2于是，x, y 可看作关于t 的一元二次方程t2 kt 0 的两根，所以3k1 15k k34 22 ，( k) 4 03k化简得k3 k 30 0 ，即(k 3)(k2 3k 10) 0，所以0 k 3.故x y 的最大值为3.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 3 页（共 10 页）3．没有重复数字且不为 5 的倍数的五位数的个数为．【答】21504.显然首位数字不能为 0，末位不能为 0 和 5.当首位数字不为 5 时，则首位只能选 0,5 之外的 8 个数.相应地个位数只能选除 0,5 及万位数之外的 7个数，千位上只能选万位和个位之外的 8 个数，百位上只能选剩下的 7 个数，十位上只能选剩下的 6 个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为8787 6 18816个.当首位数字为 5 时，则个位有 8 个数可选，依次千位有 8 个数可选，百位有 7 个数可选, 十位有 6 个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为887 6 2688个.所以，满足条件的五位数的个数为18816 2688 21504（个）.4．已知实数a,b,c满足a b c 0 ，a 2 b 2 c 2 1，则a5 5 5b cabc．5【答】.21 2 2 2 21由已知条件可得ab bc ca a b c a b c ，a 3 b 3 c 3 3abc ，所以[( ) ( )]2 2a 5bc (a 2 b 2 c2 )(a 3 b 3 c3) [a2 (b 3 c3 ) b2 (a 3 c3) c2 (a 3 b3)]5 53abc (a2b2c a2c2b b2c2a) 3abc [a b (a b) a c (a c) b c (b c)]2 2 2 2 2 21 53abc abc(ab bc ca ) 3abc abc abc .2 2所以5ab5abc5c52.第一试(B)一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1．满足(x 2 x 1)x 2 1的整数x 的个数为（）A.1． B.2． C.3． D.4．【答】C.当x 2 0且x 2 x 1 0时，x 2.当x2 x 1 1时，x 2或x 1.当x2 x 11且x 2为偶数时，x 0.所以，满足条件的整数x 有 3 个.2．已知x1, x2 ,x3 (x1 x2 x3 )为关于x 的方程x3 3x2 (a 2)x a 0 的三个实数根，则4x x x x （）2 2 21 12 3A.5．B.6．C.7．D.8．2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 4 页（共 10 页）【答】A. 方程即 (x1)(x 22x a ) 0 ，它的一个实数根为 1，另外两个实数根之和为 2，其中必有一根小于 1，另一根大于 1，于是 x 2 1, x 1 x 3 2 ，故4x x x x (xx )(xx )4x12(xx ) 4x12 2 2 1123313113112(x x )15 .313．已知点 E ， F 分别在正方形 ABCD 的边CD ， AD 上，CD 4CE ，EFB FBC ，则tan ABF（）A. 12 ．B. 35．C. 2 2．D. 3 2．【答】B. 不妨设CD 4，则CE 1,DE 3.设 DF x ，则 AF 4 x ， EFx 29 .作 BHEF 于点 H .因为 EFBFBC AFB ， BAF 90 BHF ， BF 公共，所以△ BAF ≌△ BHF ，所以 BH BA 4.由 S 四边形ABCDSABFSBEF SDEFSBCE 得ADF1 11 14 2 xx 2x， 222 2 4 (4 ) 4 934 18解得 所以x . 512 AF 3 AF4 x， tanABF.5 AB 5BH EC4．方程 3 9 x3 x 的实数根的个数为（ ）A.0．B.1．C.2．D.3．【答】B. 令 y 9 x ，则 y 0，且 x y 2 9 ，原方程变为 3 y 3 y 2 9 ，解得 y 1或 y 6，从而可得 x 8或 x 27 .检验可知： x 8是增根，舍去； x27 是原方程的实数根.所以，原方程只有 1 个实数根.5．设 a ,b ,c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的 2017 倍都等于 2018，则这样的三元 数组 (a ,b ,c )的个数为（）A.4．B.5．C.6．D.7．【答】B.由已知得， a 2017bc 2018，b 2017ac 2018 ，c 2017ab 2018，两两作差，可得(a b)(1 2017c) 0，(b c)(1 2017a) 0，(c a)(1 2017b) 0.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 5 页（共 10 页）1由(a b )(1 2017c ) 0，可得 a b 或c .20172018（1）当a b c 时，有2017a 2 a 2018 0，解得a 1或a .20171 1a ， c 2018 .2017 2017（2）当a b c 时，解得b1 1 1 11 （3）当a b时，c ，此时有：a ,b 2018 ，或a 2018 ,b .2017 2017 2017 2017 2017故这样的三元数组(a,b,c)共有 5 个.6．已知实数a,b 满足a 3 3a 2 5a 1，b 3 3b 2 5b 5，则a b （）A.2．B.3．C.4．D.5．【答】A.有已知条件可得(a 1)3 2(a 1) 2，(b 1)3 2(b 1) 2 ，两式相加得(a 1) 2(a 1) (b 1) 2(b 1) 0 ，3 3因式分解得(a b2)[(a 1)2 (a 1)(b 1) (b1)2 2] 0 .因为1 3(a 2 a b b 2 a b 2 b 2 ，2 41) ( 1)( 1) ( 1) 2 [( 1) ( 1)] ( 1) 2 0所以 a b 2 0，因此 a b 2.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．已知p,q,r 为素数，且pqr 整除pq qr rp 1，则p q r _______．【答】10.设kpq qr rp 1 1 1 1 1，由题意知k 是正整数，又p,q,r2 ，所以pqr p q r pqr3k ，从2而k 1，即有pq qr rp 1pqr ，于是可知p,q,r 互不相等.当2 p q r 时，pqr pq qr rp 1 3qr ，所以q 3，故q 2 .于是2qr qr 2q 2r，故(q 2)(r 2) 3，所以q 2 1,r 2 3，即q 3,r 5 ，所以，(p,q,r) (2,3,5) . 1再由p,q,r 的对称性知，所有可能的数组( p,q,r)共有6组，即(2,3,5)，(2,5,3) ，(3,2,5) ，(3,5,2) ，(5,2,3) ，(5,3,2) .于是p q r 10 .2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 6 页（共 10 页）2．已知两个正整数的和比它们的积小 1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为．【答】8.设这两个数为m2 ,n (m 2 n) ，则m 2 n m2n 1000，即(m 2 1)(n 1) 1001.又1001100111437 9111 7713 ，所以(m 2 1,n 1) ＝(1001, 1) 或(143, 7) 或(91,11) 或(77,13) ，验证可知只有(m 2 1,n 1) (143,7) 满足条件，此时m 2 144,n 8.3 ．已知D 是△ABC 内一点，E 是AC 的中点，AB 6 ，BC 10 ，BAD BCD ，EDC ABD ，则DE ．F【答】4.1延长CD 至F ，使DF DC ，则DE// AF 且DE AF ，A2AFD EDC ABD ，故A, F, B, D 四点共圆，于是所以DEB CBFD BAD BCD，所以BF BC 10 ，且BD FC ，FAB FDB 90.故1又AB 6，故AF 102 62 8，所以AF 4DE .24．已知二次函数y x 2 2(m 2n 1)x (m 2 4n 2 50) 的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对(m,n)的个数为．【答】16.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以 [2(m 2n 1)]2 4(m 2 4n 2 50) 0 ，整理得514mn 2m 4n 49 ，即(m n .因为m,n 为正整数，所以(m 1)(2n 1) 25.1)(2 1)225又m 1 2，所以2n ，故n 5.1225 22当n 1时， 1 m ，符合条件的正整数对(m,n)有 8 个；m ，故3 3当n 2 时，m 1 5，故m 4，符合条件的正整数对(m,n)有 4 个；25 18当n 3时， 1m ，故m ，符合条件的正整数对(m,n)有 2 个；7 725 17当n 4 时， 1 m ，符合条件的正整数对(m,n)有 1 个；m ，故9 925 14当n 5时，m 1 ，故m ，符合条件的正整数对(m,n)有 1 个.11 11综合可知：符合条件的正整数对(m,n)有 8＋4＋2＋1＋1＝16 个.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 7 页（共 10 页）第二试（A）一、（本题满分20分）设a,b,c,d 为四个不同的实数，若a,b 为方程x 2 10cx 11d 0的根，c,d为方程x 2 10ax 11b 0的根，求a b c d 的值.解由韦达定理得a b 10c ，c d 10a，两式相加得a b c d 10(a c) .……………………5 分因为a 是方程x 2 10cx 11d 0 的根，所以a 2 10ac 11d 0 ，又d 10a c ，所以a 110 11 10 0 . ①……………………10 分2 a c ac类似可得c 2 110c 11a 10ac 0 . ②……………………15 分①－②得(a c)(a c 121) 0.因为a c，所以a c 121，所以a b c d 10(a c ) 1210. ……………………20 分二、（本题满分25 分）如图，在扇形OAB 中，AOB 90，OA 12 ，点C 在OA上，AC 4，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD的交点为F .（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；A（2）求CE 2DE 的最小值.解(1)分别过O, E 作CD 的垂线，垂足为M , N .CE由OD 6,OC 8，得CD 10.所以FMN1S S OCD S ECD CD (OM EN)OD B21 1CD OE 10 12 60，……………………5 分2 2当OE DC 时，S 取得最大值 60.此时，12 68 36EF OE OF . ……………………10 分10 5G （2）延长OB 至点G ，使BG OB 12 ，连结GC,GE .因为O DOEO EOG12 ，DOEEOG，D EEG12，故EG2DE .所以△ODE∽△OEG，所以……………………20 分所以CE 2DE CE EG CG 242 82 8 10 ，当C, E,G 三点共线时等号成立. 故CE 2DE 的最小值为8 10 . ……………………25 分2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 8 页（共 10 页）三、（本题满分25 分）求所有的正整数m,n ，使得m3n 3m2n2(m n)2是非负整数.解记Sm n m n3 3 2 2，则(m n)2S(m n)[(m n ) 3mn ] m n 3mn mn(m n )( ) .2 (m n) 22m n m n因为m,n 为正整数，故可令mnm n qp，p,q 为正整数，且( p,q ) 1.于是S3q q2 3pq q2 (m n ) (m n ).p 2 2p p因为S 为非负整数，所以p | q2 ，又( p,q ) 1，故p 1，即(m n) | mn . ①……………………10 分所以2nmnnmnmn是整数，所以(m n) | n2 ，故n 2 m n ，即n 2 mn .又由S 0，知m 3 n 3 m2n 2 0 . ②所以n 3 m2n 2 m 3 m2 (n 2 m ) m2n，所以n m.由对称性，同理可得m n，故m n. ……………………20 分把m n代入①，得2 | m ，则m 2.把m n代入②，得2m 3 m 4 0，即m 2 .故m 2.所以，满足条件的正整数m,n 为m 2，n 2 . ……………………25 分第二试（B）1 1 1 9一、（本题满分20 分）若实数a,b,c 满足(a b c )( ) ，求a b 5c b c 5a c a 5b 51 1 1(a b c )( )的值.a b c解 记 a b c x ， ab bc ca y ， abc z ，则( a bc )( a 1 b 5cb1 c 5ac1 ) a 5b x( x 1 6ax 1 6bx 1) 6c3 x 2 x [3x 6( a12( a b c )x b c )x36(ab2 36(ab bc bc ca )xca )] 216abcx (9x 36y ) 2 5x 3 36xy 216z， ……………………10 分2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 9 页（共 10 页）结合已知条件可得x( 9x 36y) 925 3 36 2165x xy z27，整理得xy z .所以21 1 1 xy 27(a b c )( ) . ……………………20 分a b c z 2二、（本题满分25 分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AB AC ，DE DC.（1）证明：AD // BC ；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果ACE 30，求DP PE.解（1）由题意知ACB DCE 45，BC 2AC ，EC 2DC ，AD 所以DCA ECB ，AC DC，所以△ADC ∽△BEC ，故DACBC ECEBC 45，所以DAC ACB ，所以AD // BC . EP……………………10 分B C（2）设AE x ，因为ACE 30，可得AC 3x ，CE 2x ，DE DC 2x .1因为EAP CDP 90，EPA CPD ，所以△APE ∽△DPC ，故可得S APE S DPC.2 ……………………15 分3又S EPC APE ACE 2 ，S EPC S DPC S CDE x2 ，于是可得S S x2S DPC ，S EPC ( 3 1)x2 . ……………………20 分(2 3)x2所以DPPESSDPCEPC2 33 1. ……………………25 分3 1 2三、（本题满分25 分）设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，x 1的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .解设x abcd ，由题设知m 与n 的最大公约数(m,n)为大于 2 的素数.若d 9 ，则n m 1，所以(m,n) 1，矛盾，故d 9. ……………………5 分若c 9 ，则n m 19 m 8 ，故(m,n) (m, 8) ，它不可能是大于 2 的素数，矛盾，故c 9 .……………………10 分若b 9 ，显然a 9 ，所以n m 19 9 9 m 26，故(m,n) (m, 26) 13，但此时可得n ，m n 26 39 36，矛盾. ……………………15 分13若b 9，则n m 19 9 m 17，故(m,n) (m,17) 17，只可能n 17,m 34.……………………20 分于是可得x 8899或9799. ……………………25 分2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 10 页（共 10 页）。
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设集合 1,2,3,,99,2,2A B x x A C x x A ，则B C 的元素个数为 ．答案：24．解：由条件知， 13992,4,6,,198,1,,2,,2,4,6,,48222B C，故B C 的元素个数为24．2. 设点P 到平面的距离为，点Q 在平面 上，使得直线PQ 与 所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ．答案：8 ．解：设点P 在平面 上的射影为O ．由条件知，tan OP OQP OQ ，即[1,3]OQ ，故所求的区域面积为22318 ．3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 ．答案：910．解：先考虑abc def +为奇数的情况，此时,abc def 一奇一偶，若abc 为奇数，则,,a b c 为1,3,5的排列，进而,,d e f 为2,4,6的排列，这样有3!3!36×=种情况，由对称性可知，使abc def +为奇数的情况数为36272×=种．从而abc def +为偶数的概率为72729116!72010−=−=．4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别是1F 、2F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P ．已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为 ．答案解：由对称性，不妨设(,)P P P x y 在第一象限，则由条件知112,122P P x PT PS y PV PU ，即(2,1)P ．进而由1,2P x PU PS 得(2,2),(4,1)U S ，代入椭圆C 的方程知2222111144161a b a b，解得2220,5a b ．从而121212PF F P P S F F y y ．5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ，则不等式组12,1()2x f x的解集为 ． 答案：[2,82] ．解：由()f x 为偶函数及在[0,1]上严格递减知，()f x 在[1,0] 上严格递增，再结合()f x 以2为周期可知，[1,2]是()f x 的严格递增区间．注意到(2)()1,(82)(2)(2)2f f f f f ，所以1()2(2)()(82)f x f f x f ，而12822 ，故原不等式组成立当且仅当[2,82]x ．6. 设复数z 满足1z ，使得关于x 的方程2220zx zx 有实根，则这样的复数z 的和为 ．答案：32．解：设22i (,,1)R z a b a b a b ．将原方程改为2(i)2(i)20a b x a b x ，分离实部与虚部后等价于2220ax ax ，① 220bx bx ．②若0b ，则21a ，但当1a 时，①无实数解，从而1a ，此时存在实数1x 1z 满足条件．若0b ，则由②知{0,2}x，但显然0x 不满足①，故只能是2x ，代入①解得14a ，进而bz ．综上，满足条件的所有复数z 之和为312．7. 设O 为ABC 的外心，若2AO AB AC，则sin BAC 的值为 ．答案 解：不失一般性，设ABC 的外接圆半径2R ．由条件知，2AC AO AB BO，①故112AC BO ．取AC 的中点M ，则OM AC ，结合①知OM BO ，且B 与A 位于直线OM 的同侧．于是1cos cos(90)sin 4MC BOC MOC MOC OC． 在BOC 中，由余弦定理得BC ，进而在ABC中，由正弦定理得sin 2BC BAC R． 8. 设整数数列1210,,,a a a 满足1012853,2a a a a a ，且1{1,2},1,2,,9i i i a a a i ，则这样的数列的个数为 ．答案：80．解：设1{1,2}(1,2,,9)i i i b a a i ，则有11011292a a a b b b ，① 2345285567b b b a a a a b b b ．②用t 表示234,,b b b 中值为2的项数．由②知，t 也是567,,b b b 中值为2的项数，其中{0,1,2,3}t ．因此237,,,b b b 的取法数为021222323333(C )(C )(C )(C )20 ．取定237,,,b b b 后，任意指定89,b b 的值，有224 种方式．最后由①知，应取1{1,2}b 使得129b b b 为偶数，这样的1b 的取法是唯一的，并且确定了整数1a 的值，进而数列129,,,b b b 唯一对应一个满足条件的数列1210,,,a a a ．综上可知，满足条件的数列的个数为20480 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）已知定义在R 上的函数()f x 为3log 1,09,()49.x x f x x设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ，求abc 的取值范围．解：不妨假设a b c ．由于()f x 在(0,3]上严格递减，在[3,9]上严格递增，在[9,) 上严格递减，且(3)0,(9)1f f ，故结合图像可知(0,3)a ，(3,9)b ，(9,)c ，并且()()()(0,1)f a f b f c ． …………………4分由()()f a f b 得331log log 1a b ，即33log log 2a b ，因此239ab ．于是9abc c ． …………………8分又0()41f c ， …………………12分 故(9,16)c ．进而9(81,144)abc c ．所以，abc 的取值范围是(81,144)． …………………16分注：对任意的(81,144)r ，取09rc =，则0(9,16)c ∈，从而0()(0,1)f c ∈．过点00(,())c f c 作平行于x 轴的直线l ，则l 与()f x 的图像另有两个交点(,())a f a ，(,())b f b （其中(0,3),(3,9)a b ），满足()()()f a f b f c ，并且9ab ，从而abc r =．10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a 满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和．证明：(1) 对任意正整数n ，有n a(2) 对任意正整数n ，有11n n a a ．证明：(1) 约定00S ．由条件知，对任意正整数n ，有221111(2)()()n n n n n n n n n a S a S S S S S S ，从而220n S n S n ，即n S （当0n 时亦成立）． …………………5分显然，1n n n a S S ． …………………10分(2) 仅需考虑1,n n a a 同号的情况．不失一般性，可设1,n n a a 均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则11n n n S S S ，故必有1n n S S ，此时1n n a a从而11n n a a ． …………………20分11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线24y x 的过点(1,0)F 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）．若PF 平分APB ，求PF 的所有可能值．解：设222123123,,,,,444y y y A y B y P y，由条件知123,,y y y 两两不等且非零． 设直线AB 的方程为1x ty ，与抛物线方程联立可得2440y ty ，故124y y ． ① 注意到AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为220x y dx ey ，与24y x 联立得，4210164y d y ey ．该四次方程有123,,,0y y y y 这四个不同的实根，故由韦达定理得12300y y y ，从而312()y y y ．②…………………5分因PF 平分APB ，由角平分线定理知，12PA FA yPB FB y ，结合①、②，有2222312222231212112122222222222321222132()()16(2)44()16(2)()44y y y y y y y y y PA yy PB y y y y y y y y y2222422122122224212112(8)16(416)64192(8)16(416)64192y y y y y y y y y y ， ………………10分 即62226222112122126419264192y y y y y y y y ，故 224224121122()(192)0y y y y y y ．当2212y y 时，21y y ，故30y ，此时P 与O 重合，与条件不符． 当422411221920y y y y 时，注意到①，有22221212()192()208y y y y ． …………………15分因22121282y y y y ，故满足①以及2212y y 的实数12,y y 存在，对应可得满足条件的点,A B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF ．…………………20分2018年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）设n 是正整数，1212,,,,,,,,,n n a a a b b b A B 均为正实数，满足,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤= ，且1212n n b b b Ba a a A≤ ． 证明：1212(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1n n b b b B a a a A ++++≤++++ ．证明：由条件知，1,1,2,,i i i b k i n a =≥= ．记BK A=，则1212n n b b b B a a a A ≤ 化为12n k k k K ≤ ．要证明11111ni i i ik a KA a A =++≤++∏． ① 对1,2,,i n = ，由于1i k ≥及0i a A <≤知，11111111i i i i i i i i i k a k k k A k k a a A A +−−+=−≤−=++++． 结合12n K k k k ≥ 知，为证明①，仅需证明当0,1(1,2,,)i A k i n >≥= 时，有1211111ni n i k A k k k A A A =++≤++∏． ②…………………20分对n 进行归纳．当1n =时，结论显然成立． 当2n =时，由120,,1A k k >≥可知1212122111(1)(1)0111(1)k A k A k k A A k k A A A A +++−−⋅−=−≤++++， ③ 因此2n =时结论成立． …………………30分设n m =时结论成立，则当1n m =+时，利用归纳假设知，11121111111111111m m i i m m m i i k A k A k A k k k A k A A A A A A +++==+++++ =⋅≤⋅ +++++∏∏ 12111m k k k A A ++≤+ ，最后一步是在③中用121,m m k k k k + （注意1211,1m m k k k k +≥≥ ）分别代替12,k k ． 从而1n m =+时结论成立．由数学归纳法可知，②对所有正整数n 成立，故命题得证．…………………40分二、（本题满分40分）如图，ABC 为锐角三角形，AB AC ，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC 的外接圆 BAC和 BC 的中点，F 为ABC 的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足NB AB ． 证明：若BN EM ，则DF FG ．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由条件知，DE 为ABC 外接圆的直径，DE BC 于M ，AE AD ． 记I 为ABC 的内心，则I 在AE 上，IF AB ． 由NB AB 可知(180)90NBE ABE ABN ADE90ADE MEI ．① …………………10分又根据内心的性质，有EBI EBC CBI EAC ABI EAB ABI EIB ， 从而BE EI ．结合BN EM 及①知，NBE MEI ≌ ． …………………20分于是90180EMI BNE BFE EFI ，故,,,E F I M 四点共圆．进而可知9090AFM IFM IEM AGM ，从而,,,A F G M 四点共圆． …………………30分 再由90DAG DMG 知，,,,A G M D 四点共圆，所以,,,,A F G M D 五点共圆．从而90DFG DAG ，即DF FG ． …………………40分三、（本题满分50分）设,,n k m 是正整数，满足2k ≥，且21k n m n k−≤<． 设A 是{1,2,,}m 的n 元子集．证明：区间0,1n k−中的每个整数均可表示为a a ′−，其中,a a A ′∈．证明：用反证法．假设存在整数0,1n x k∈ −不可表示为a a ′−，,a a A ′∈．作带余除法m xq r =+，其中0r x ≤<．将1,2,,m 按模x 的同余类划分成x 个公差为x 的等差数列，其中r 个等差数列有1q +项，x r −个等差数列有q 项．由于A 中没有两数之差为x ，故A 不能包含以x 为公差的等差数列的相邻两项．从而1,2,12()22,2|,2q x q q q n A r x r q x r q + ⋅ + =≤+−= ⋅+ ① 这里α 表示不小于α的最小整数． …………………20分由条件，我们有()2121k kn m xq r k k >+−−． ②又0,1n x k ∈ −，故(1)n k x >−． ③情形一：q 是奇数．则由①知，12q n x +≤⋅． ④ 结合②，④可知，1()22121q k kx n xq r xq k k +⋅≥>+≥−−，从而21q k <−．再由q是奇数可知，23q k ≤−，于是1(1)2q n x k x +≤⋅≤−，与③矛盾．情形二：q 是偶数．则由①知，2qn x r ≤⋅+． ⑤结合②，⑤可知，()221q kx r n xq r k ⋅+≥>+−，从而1(1)2(21)2121xq k k x r k k k −−<<−−−，故2(1)q k <−．再由q 是偶数可知，24q k ≤−，于是(2)(1)2qn x r k x r k x ≤⋅+≤−+<−，与③矛盾．综上可知，反证法假设不成立，结论获证． …………………50分四、（本题满分50分） 数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数， 对整数1n ≥， 1n a +是与1ni i a =∑互素，且不等于1,,n a a 的最小正整数．证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现．证明：显然11a =或21a =．下面考虑整数1m >，设m 有k 个不同素因子，我们对k 归纳证明m 在{}n a 中出现．记1n n S a a =++，1n ≥．1k =时，m 是素数方幂，设m p α=，其中0α>，p 是素数．假设m 不在{}n a 中出现．由于{}n a 各项互不相同，因此存在正整数N ，当n N ≥时，都有n a p α>．若对某个n N ≥，n p S ，那么p α与n S 互素，又1,,n a a 中无一项是p α，故由数列定义知1n a p α+≤，但是1n a p α+>，矛盾！因此对每个n N ≥，都有|n p S ．但由1|n p S +及|n p S 知1|n p a +，从而1n a +与n S 不互素，这与1n a +的定义矛盾． …………………10分假设2k ≥，且结论对1k −成立．设m 的标准分解为1212k km p p p ααα=．假设m 不在{}n a 中出现，于是存在正整数N ′，当n N ′≥时，都有n a m >．取充分大的正整数11,,k ββ−，使得11111max k k n n N M p p a ββ−−′≤≤=> ．我们证明，对n N ′≥，有1n a M +≠． …………………20分对任意n N ′≥，若n S 与12k p p p 互素，则m 与n S 互素，又m 在1,,n a a 中均未出现，而1n a m +>，这与数列的定义矛盾．因此我们推出：对任意n N ′≥，n S 与12k p p p 不互素．()∗情形1．若存在(11)i i k ≤≤−，使得|i n p S ，因1(,)1n n a S +=，故1i n p a +，从而1n a M +≠（因|i p M ）． …………………30分 情形2．若对每个(11)i i k ≤≤−，均有i n p S ，则由()∗知必有|k n p S ．于是1k n p a + ，进而1k n n p S a ++，即1k n p S +．故由()∗知，存在00(11)i i k ≤≤−，使得01|i n p S +，再由11n n n S S a ++=+及前面的假设(11)i n p S i k ≤≤−，可知01i n p a +，故1n a M +≠． …………………40分因此对1n N ′≥+，均有n a M ≠，而1max n i N M a ′≤≤>，故M 不在{}n a 中出现，这与归纳假设矛盾．因此，若m 有k 个不同素因子，则m 一定在{}n a 中出现．由数学归纳法知，所有正整数均在{}n a 中出现． …………………50分。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$，$b=3-2$，$c=6-2$，那么$a,b,c$的大小关系是（）A。
$a<b<c$B。
$a<c<b$XXX<a<c$D。
$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$b=1$，$c=4$。
因为 $\frac{1}{3}<1$，所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$，所以 $b<a<c$。
2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为（）A。
3B。
4C。
5D。
6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$，显然$x+y$必须是偶数，所以可设$x+y=2t$，则原方程变为$2t^2+y^2=17$。
因为$2t^2\leq 16$，所以$t=\pm 2$，从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$，共4组。
3.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，$CE=1$，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A。
$\frac{65}{26}$B。
$\frac{3}{3}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$，交DE于点P。