常用数值分析方法4有限差分法与有限单元法
计算机在材料科学复习题1-19题的答案
式中，为材料的密度kg m3 ; c为材料的比热容J kg K ;
t为时间s; x , y , z分别是材料沿x, y, z方向的热导率W m K ; Q Qx, y, z,t是物体内部的热源密度W kg。
7．当无内热源及稳态时热量平衡方程可简化为何方程？当在某个方向上温度变 化为零时热量平衡方程可简化为何方程？当在某两个方向上温度变化为零时 即一维情况下，稳态热量平衡方程中场变量 T 的通解是怎样的？
更普遍情况下的导热微分方程。
6．三维瞬态温度场的热量平衡方程是怎样的？它是根据什么导出的？方程中各 项的物理意义如何?
答：三维维瞬态温度场的热 平衡方程是：
c
T t
x
T x
y
T y
z
T z
Q
0
它是根据能量守恒定律，平行六面体中单位时间内 增加的热
量＝单位时间内净流入的热 量。
15. 掌握求近似值语句 N 的用法。
答：“N”是 Mathematic a 的函数，表示求近似值，可以指定有效位数。
如： N[Pi, 18] 为： 3.14159265358979324
16、掌握画图语句 Plot 的用法 答： Mathematica 具有强大而灵活的作图能力。 一般的二维图形（一元函数作图）： 如：Plot[ Sin[x], {x, -2Pi, 2Pi}]
j
1
2
1 l
2
T i,
j
1 2
1 2
T i,
j
1
1
22
Ti,j1 2源自1 2T i,j
1
1
22
1 l 2
Ti, j1 2Ti, j Ti, j1
将(1),(2)代入二维拉普拉斯方程中，得到：
第4章_有限差分法.弹性力学
y xy
0
0
2 1 [(5 7 ) ( 6 8 )] xy 0 4h 2
可见，用差分法解平面 问题，共有两大任务：
一、建立差分方程 将（1-6~8）代入双调和 方程
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
在结点３，x=x0-h, 在结点1, x=x0+h，代入(b) 得：
h2 2 f f f3 f 0 h 2 x 0 2 x 0
h2 2 f f f1 f 0 h 2 x 0 2 x 0
A A
B
(2 5)
从图易看出，式（2－3）右 边的积分式表示A与B之间的x方 向的面力之和；式（2－4）右边 的积分式表示A与B之间的y方向 的面力之和；式（2－5）右边的 积分式表示A与B之间的面力对 于B点的矩。
至此，我们解决了怎样 计算边界上各结点
, , x y
的值的问题。 至于边界外一行虚结点处 的值，则可用边界上
差分公式(１-１)及(１-３)是以相隔2h的两 结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数 值，可称为中点导数公式。 以相邻三结点处的函数值来表示一个端点 处的一阶导数值，可称为端点导数公式。 应当指出：中点导数公式与端点导数公式 相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的 函数变化，而后者却只反映了结点一边的函数 变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只 有在无法应用前者时才不得不应用后者。
将式(b),(c)代入，整理得：
B B B A ( x B x A ) ( y B y A ) ( y B y ) p x d s ( x x B ) p y d s (d ) y A A x A A A , , , 为已知， 由式(d)及式(c)可见，设
有限元法与有限差分法的主要区别
有限差分方法()是计算机数值模拟最早采用地方法，至今仍被广泛运用.该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续地求解域.有限差分法以级数展开等方法，把控制方程中地导数用网格节点上地函数值地差商代替进行离散，从而建立以网格节点上地值为未知数地代数方程组.该方法是一种直接将微分问题变为代数问题地近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟地数值方法.对于有限差分格式，从格式地精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分地空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子地影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等.目前常见地差分格式，主要是上述几种形式地组合，不同地组合构成不同地差分格式.差分方法主要适用于有结构网格，网格地步长一般根据实际地形地情况和柯朗稳定条件来决定.构造差分地方法有多种形式，目前主要采用地是泰勒级数展开方法.其基本地差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度.通过对时间和空间这几种不同差分格式地组合，可以组合成不同地差分计算格式.有限元方法地基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠地单元，在每个单元内，选择一些合适地节点作为求解函数地插值点，将微分方程中地变量改写成由各变量或其导数地节点值与所选用地插值函数组成地线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解.采用不同地权函数和插值函数形式，便构成不同地有限元方法.有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机地发展慢慢用于流体力学地数值模拟.在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接地单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数地线形组合来逼近单元中地真解，整个计算域上总体地基函数可以看为由每个单元基函数组成地，则整个计算域内地解可以看作是由所有单元上地近似解构成.在河道数值模拟中，常见地有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来地里兹法和伽辽金法、最小二乘法等.根据所采用地权函数和插值函数地不同，有限元方法也分为多种计算格式.从权函数地选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格地形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数地精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等.不同地组合同样构成不同地有限元计算格式.对于权函数，伽辽金()法是将权函数取为逼近函数中地基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积地极小值则为对代求系数地平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取个配置点.令近似解在选定地个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为.插值函数一般由不同次幂地多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成地乘积表示，但最常用地多项式插值函数.有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日()多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它地导数值在插值点取已知值，称为哈密特()多项式插值.单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等.常采用地无因次坐标是一种局部坐标系，它地定义取决于单元地几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比.在二维有限元中，三角形单元应用地最早，近来四边形等参元地应用也越来越广.对于二维三角形和四边形电源单元，常采用地插值函数为有插值直角坐标系中地线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中地线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等. 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为()建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价地积分表达式，这是有限元法地出发点.()区域单元剖分，根据求解区域地形状及实际问题地物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠地单元.区域单元划分是采用有限元方法地前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间地关系之外，还要表示节点地位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界地节点序号和相应地边界值.()确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度地要求，选择满足一定插值条件地插值函数作为单元基函数.有限元方法中地基函数是在单元中选取地，由于各单元具有规则地几何形状，在选取基函数时可遵循一定地法则.()单元分析：将各个单元中地求解函数用单元基函数地线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点地参数值)地代数方程组，称为单元有限元方程.()总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程.()边界条件地处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件).对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足.对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足. ()解有限元方程：根据边界条件修正地总体有限元方程组，是含所有待定未知量地封闭方程组，采用适当地数值计算方法求解，可求得各节点地函数值.有限体积法（）又称为控制体积法.其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复地控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解地微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程.其中地未知数是网格点上地因变量地数值.为了求出控制体积地积分，必须假定值在网格点之间地变化规律，即假设值地分段地分布地分布剖面.从积分区域地选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中地子区域法；从未知解地近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似地离散方法.简言之，子区域法属于有限体积发地基本方法.有限体积法地基本思路易于理解，并能得出直接地物理解释.离散方程地物理意义，就是因变量在有限大小地控制体积中地守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小地控制体积中地守恒原理一样. 限体积法得出地离散方程，要求因变量地积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足.这是有限体积法吸引人地优点.有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确地积分守恒.就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法地中间物.有限单元法必须假定值在网格点之间地变化规律（既插值函数），并将其作为近似解.有限差分法只考虑网格点上地数值而不考虑值在网格点之间如何变化.有限体积法只寻求地结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积地积分时，必须假定值在网格点之间地分布，这又与有限单元法相类似.在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积地积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要地话，可以对微分方程中不同地项采取不同地插值函数.。
有限差分及有限单元法的区别
1 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
有限差分法和有限元法
有限差分法和有限元法
有限差分法（Finite Difference Method）和有限元法（Finite Element Method）是两种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
有限差分法是通过将求解区域离散化为网格，然后在各个网格节点处用差分逼近偏微分方程中的导数项，将偏微分方程转化为代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到离散节点上的数值解。
有限差分法适用于一维、二维或三维的问题，可用来处理线性或非线性、稳定或非稳定的偏微分方程。
有限差分法的优点是简单易实现，容易理解和计算，但是对于复杂的几何形状和边界条件，离散网格的选择可能会对精度和计算结果产生较大的影响。
有限元法则是通过将求解区域划分为互不重叠的有限元，每个有限元内部采用局部函数近似原方程，然后将所有有限元的近似解拼接在一起，形成整个求解区域上的近似解。
有限元法通常在每个有限元上构造基函数，通过求解代数方程组确定基函数的系数，从而得到整个求解区域上的数值解。
有限元法适用于一维、二维或三维的问题，能够处理各种几何形状和边界条件，适用范围更广。
有限元法的优点是对复杂几何形状的适应性好，精度高，但是相对于有限差分法而言，复杂度较高，需要更多的计算量和计算时间。
总体来说，有限差分法更适用于简单的几何形状和边界条件，而有限元法更适用于复杂的几何形状和边界条件。
两种方法在
实际的工程和科学计算中都有广泛的应用，选择哪种方法取决于具体问题的性质和求解的要求。
常用数值分析方法
常用数值分析方法1.插值方法插值是通过已知数据点的近似值，获得未知位置上的函数值。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
插值方法通常用于数据的光滑处理、曲线拟合和函数逼近等问题。
2.数值微分与积分方法数值微分是通过有限差分等方法，对实际问题的函数进行求导。
数值积分则是通过数值方法求解复杂函数的积分。
常用的数值微分与积分方法包括欧拉法、龙格-库塔法和辛算法等。
3.非线性方程求解非线性方程求解是求解形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个非线性函数。
常用的非线性方程求解方法包括二分法、牛顿法和割线法等。
这些方法基于不同的数学原理来逼近方程的根。
4.线性方程组求解线性方程组求解是求解形如Ax=b的方程组，其中A是一个矩阵，b 是一个向量。
常用的线性方程组求解方法包括高斯消元法、LU分解和迭代法等。
这些方法可以高效地求解大规模的线性方程组。
5.最小二乘法最小二乘法是一种用于拟合实验或观测数据的方法。
它通过最小化观测数据与理论模型之间的残差平方和，得到最佳的参数估计。
最小二乘法广泛应用于曲线拟合、回归分析和信号处理等领域。
6.数值优化数值优化是在约束条件下求解最优化问题的方法。
常用的数值优化方法包括梯度下降法、共轭梯度法和拟牛顿法等。
这些方法可以在函数复杂或维度高的情况下，有效地寻找最优解。
7.偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法是用数值方法解决偏微分方程的方法。
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些方法广泛应用于物理学、工程学和金融学等领域，可以模拟和预测复杂现象。
总之，数值分析方法在科学和工程领域中起着重要的作用。
通过数学和计算机的结合，数值分析使得复杂计算变得简单，从而有效解决各种实际问题。
地下水利用题（考题）
地下水利用题（考题）地下水利用题一、名词解释1、潜水含水层：降落漏斗在含水层内部扩展，即随着漏斗的扩展，其渗流过水断面也在不断地发生变化。
2、承压含水层：承压水井的水位下降不低于含水层层顶板，其降落漏斗不在含水层内部发展，即不会产生含水层被疏干，只能形成承压水头的下降区，就是说承压含水层随着漏斗的扩展，只发生水压的变化，其渗流过水断面则是不变的。
3、降落漏斗：是水井中水位下降较大，离井越远水位下降越小，形成漏斗状的下降区，称为降落漏斗。
4、土壤的盐渍化：——是指各种易溶性盐类在土壤表层逐渐积累的过程。
5、土壤的碱化——是指土壤胶体上交换性钠离子的饱和度逐渐增高的过程。
二、填空1、地下水按其埋藏条件可分为潜水含水层和承压含水层。
2、由于水井凿入含水层的深度不同，可分为完整井和非完整井。
3、水文地质参数是表征含水层水理特性的定量指标。
4、在地下水开发利用中，常用的水文地质参数有渗透系数K、导水系数T、给水度μ、贮水系数μ*、压力（水位）传导系数a、隔水系数B等。
5、水文地质参数的确定方法主要有野外抽水试验、开采资料和动态观测资料、室内试验。
6、以水均衡法为基础，地下水资源可分为补给量、排泄量、储存量。
7、储存量是储存在含水层内的重力水体积，该量可分为容积储存量和弹性储存量。
8、以分析补给资源为主，一般把地下水资源分为补给资源和开采资源。
9、H．A普洛特尼可夫将地下水储量分为：静储量、动储量、调节储量和开采储量四种。
10、地下水资源评价主要任务是水质评价和水量评价。
11、总矿化度的表示方法有电导率、g/L、ppm。
12、地下水资源水质评价参数主要有SAR（钠吸附比）、pHc、SAR*（准确的钠吸附比）、K （综合危害系数）、Ka（灌溉系数）、RSC（残余碳酸钠）、SSP（钠化率）。
13、国内外常用的地下水资源水质评价的主要方法有碱度、盐度、矿化度法，综合危害系数法，灌溉系数法，水土综合评价法，判别公式法。
有限差分,有限元,有限体积等离散方法的区别介绍
有限差分，有限元，有限体积等等离散方法的区别介绍一、区域离散化所谓区域离散化，实质上就是用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间。
实施过程是；把所计算的区域划分成许多互不重迭的子区域，确定每个子区域的节点位置及该节点所代表的控制容积。
节点：需要求解的未知物理量的几何位置；控制容积：应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。
一般把节点看成是控制容积的代表。
控制容积和子区域并不总是重合的。
在区域离散化过程开始时，由一系列与坐标轴相应的直线或曲线簇所划分出来的小区域称为子区域。
网格是离散的基础，网格节点是离散化物理量的存储位置。
大家都知道，常用的离散化方法有：有限差分法，有限元法，有限体积法。
1. 有限差分法是数值解法中最经典的方法。
它是将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。
这种方法发展比较早，比较成熟，较多用于求解双曲线和抛物线型问题。
用它求解边界条件复杂、尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。
2. 有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理（变分或加权余量法），将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。
对椭圆型问题有更好的适应性。
有限元法求解的速度较有限差分法和有限体积法慢，在商用CFD软件中应用并不广泛。
目前的商用CFD软件中，FIDAP采用的是有限元法。
3. 有限体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程。
其中的未知数十网格节点上的因变量。
子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。
就离散方法而言，有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间产物。
计算流体力学中有限差分法、有限体积法和有限元法的区别
有限元法，有限差分法和有限体积法的区别1. FDM1.1 概念有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
1.2 差分格式（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
1.3 构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2. FEM2.1 概述有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
2.2 原理有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
常用数值分析方法4有限差分法与有限单元法
（3）把所有单元的这种特性关系按一定的条件（变形协调条件、连 续条件或变分原理及能量原理）集合起来，引入边界条件，构成一组以 结点变量（位移、温度、电压等）为未知量的代数方程组， 解之就可得 到有限个节点处的待求变量 。
（2）几何划分法：以几何区域 形状为依据来划分，如对矩形区 域可采用矩形离散化网格，非矩 形区域可采用三角形、四角形或 其他形状的网格，以适应温度场 分布的要求。
图4.2 扇形网格和三角形网格
差分方程的建立过程（之二）
——将微分方程转化为差分方程
微分方程转化为差分方程实际上就是以差分代替微 分、以差商代替微商的过程，是以有限小量去代替无限 微量的近似化过程。
4.1.2 有限差分法的主要步骤
1、构成差分格式
x 2 x 1 x
首先选择网格布局、差分形式和步长；其次，以有限差分
代替无限微分，即以x2 替微商（导数）d y
，x以1 差分x 方代程替代dx替．微以分差方商yx程22 及xy11边界yx条件代。
dx
2、求解差分方程
差分方程通常是一组数量较多的线性代数方程（即：线性方 程组）。其求解方法有下列两种：（1）精确法，又称直接法， 即消元法；（2）近似法，又称间接法，即迭代法。
图4.5 受轴向载荷的变截面杆
1 前处理过程
(1) 求解域离散化
先将求解的问题分解为结点和单元。为简单起见，将杆划分成五个结 点和四个单元（如图4.6所示）。
给定的变截而杆简化为四个独立的部分，每部分的截面面积恒定（为 组成该单元的两个结点处的面积的平均值）。
有限差分法或有限元法等数值方法
有限差分法或有限元法等数值方法我试试给你讲讲数值方法里面的有限差分法和有限元法啊。
说实话有限差分法和有限元法这事，我一开始也是瞎摸索，走了不少弯路呢。
就拿有限差分法来说吧。
我第一次接触的时候，就被那些冗长的公式给弄懵了。
但我知道这个方法是要把一个连续的区域离散化，这就像是把一块完整的蛋糕切成好多小方块那样。
我最开始犯的错啊，就是对差分格式理解不到位。
我以为就是简单地用临近点的值相减就算差分了，可完全不是这么回事。
比如说，在处理一些边界条件的时候，我直接用了内部点的差分格式去套，结果算出来的数值乱得一塌糊涂。
后来我才搞明白，边界条件有它自己专门的处理方式，就像房子的墙角和墙面的构造肯定不一样嘛。
正确处理边界条件是有限差分法很重要的一步。
我们要根据实际问题确定边界点上的离散方程，要考虑是第一类、第二类还是第三类边界条件。
我还试过不同的网格划分方式。
最初我随意划分网格，想着反正就是把区域分割开，结果发现不均匀的网格会导致计算结果偏差很大。
就好像用不同粗细的线条去描绘一幅画，画出来肯定不像。
后来我就慢慢摸索出根据函数的变化情况来划分网格的办法。
在函数变化剧烈的地方，我就把网格画得密一些；在变化平缓的地方，网格就可以稀疏些，这样计算的精度就能提高不少。
再说说有限元法。
我一接触这个，感觉它比有限差分法还要复杂。
有限元法是把求解区域分割成许多小单元，这些单元就像拼凑起来的拼图块。
我开始的时候不太理解形函数这个概念。
在推导单元方程的时候根本不知道是咋回事儿。
后来看了好多例子，发现形函数就像是每个小单元里描述未知量分布的一个小规则。
我做过这样一个尝试，在计算一个简单的二维热传导问题时，我在构建刚度矩阵的时候总是出错。
我一遍一遍地检查单元节点编号，就像检查每个拼图块的位置正确与否一样，最后才发现原来是我对单元插值函数的理解有偏差，这个插值函数其实就和形函数相关联，我搞混了这两者，所以计算结果完全不对。
关于这两种数值方法，我感觉它们虽然有各自的特点，但是有一些相通的地方。
03 材料科学研究中常用的数值分析方法
解决这类问题通常有两种途径：（1）对方 程和边界条件进行简化，从而得到问题在简 化条件下的解答；（2）采用数值解法。 第一种方法只在少数情况下有效，因为过多 的简化会引起较大的误差，甚至得到错误的 结论。 目前，常用的数值解法大致可以分为两类： 有限差分法和有限元法。
数值模拟通常由前处理、数值计算、后处理三 部分组成 前处理 实体造型、物性赋值、定义单元类型、网格 划分 数值计算 施加载荷、设定时间步、确定计算控制条件、 求解计算 后处理 显示和分析计算结果、分析计算误差
1.差分方程的建立
合理选择网格布局及步长 将离散后各相邻离散点之间的距离，或者离散 化单元的长度称为步长。
y
(i,j+1)
dy
(i-1,j) (i,j)
(i+1,j)
(i,j-1)
dx x
将微分方程转化为差分方程
向前差分
T T (i 1, j ) T (i, j ) x x
2
1 1 T (i, j ) T (i, j ) T (i, j 1) 2T (i, j ) T (i, j 1) T 2 2 2 y y y y 2
2
差分格式的物理意义
y
dT dx T(x+dx)-T(x) dx
2u 2u 2 0,0 x 0.5,0 y 0.5 2 x y u (0, y ) u ( x,0) 0 u ( x,0.5) 200x u (0.5, y ) 200y
3.3 有限单元法
有限元法（FEMA）也称为有限单元法或有限元素 法，基本思想是将求解区域离散为一组有限个且按 一定方式相互连接在一起的单元的组合体。它是随 着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计 算方法。 把物理结构分割成不同大小、不同类型的区域，这 些区域称为单元。 根据不同分析科学，推导出每一个单元的作用力方 程，组集成整个结构的系统方程，最后求解该系统 方程，就是有限元法。
第4章 有限差分法
第 4 章
有 限 差 分 法
4.3.2 定解条件的离散化——各类差分计算格式
对于场域边界上给定的三类边界条件（见 1.7 节）， 由于第二类边界条 件可以看作为第三类边界条件的特殊情况，因此，这里只需讨论第一、第三 类边界条件的差分离散化处理。 （1） 第一类边界条件的差分离散化 若如图 4-2 点 M 所示， 划分网格时相应的网格节点恰好落在边界 L 上，则 只要直接把位函数 u| M∈ L = f(rM)的值赋给该对应的边界节点 M 即可。 若划分网格时引入的节点不落在边界 L 上， 则如图 4-3所示， 对于邻近边界的典型节点 o， 由于 h1≠ h2≠ h， 这样， o点及其周围相邻的 1、 2、 3 和 4 点构成一个不对称的星形。此时， 可仿照 4.2 节， 采用泰勒公式进行差分离散化 处理，即能相当精确地导出关于 o 点的差分计 算格式。
截断于 2hf′(x0)项， 略去了 h3项以及更高幂次的项。很明显，三种差商表达 式中以式（4-4）所示的中心差商的截断误差最小，其误差大致和 h 的二次方 成正比。 二阶导数同样可近似为差商的差商，即
这相当于把泰勒公式
截断于 h2f″(x)项， 略去了 h4项以及更高幂次的项，其误差亦大致和 h 的 二次方成正比。
理方法是依据式（4-3）， 这样， 第三类边界条件在此情况下的差分计算 格式为
第 4 章
有 限 差 分 法
当边界 L 在边界节点 o 处的外法向 n 与网格线不重合时，如图 4-5 所 示， 显然有
于是， 关于 o 点的差分计算格式是
第 4 章
有 限 差 分 法
第二种情况是在边界处引入的相应节点不落在边界 L 上， 这时如图 4-6 所示，可在邻近边界的节点 o 上仍按上述方法列出差分计算格式，只是需引 入与节点 o 相关的边界节点 o′，取点 o′处的外法向 n 作为点 o 处的“外法向 n”， 且近似地认为边界条件中给定的函数f1(ro)和 f2(ro)均在点 o′上取值。这 样，将式（4-14）中的 f1(ro)和 f2(ro)改记为 f1(ro′)和f2(ro′)，即得此种情况下关 于 o 点的差分计算格式。
有限差分法与有限元法对比及FLAC3D应用
FLAC3D不像有限元软 件，它在建模过程中 就划分了网格，不需 要再重新划分网格。 一般在需要分析的区 域网格建的密一点， 这样会提高计算的精 度。 在建模过程中，在生成相邻的两个网格时，两个网格的单元数必须要相 同，要不然就会造成网格的不连续性
定义边界条件，材料特性 针对三维模型，固定x=0和x=100处x向位移，y=0和y=60处y向位移，模型底 面固定x，y，z三个方向位移。 土体的本构关系定义为mohr-coulomb模型，针对此模型需要定义的参 数分别为体积模量K,剪切模量G，摩擦角，粘聚力c，抗拉强度，剪胀角。
命令栏
分析问题过程
建立网格
初始条件 前处理 边界条件
初始应力平衡
外荷载 求解 后处理
实例分析
三维加筋土路堤处治不均匀 沉降模型 在不同地基路段的结合处， 地基刚度差异较大，经常产 生差异沉降。地基的这种差 异沉降将加剧路面结构的破 坏
土层的参数： 模型 软弱土层 硬粘土层 路堤土
ρ（kg/m^3） C（kpa） ϕ （o） E(kpa)
在FLAC3D中，有一个网格形状库，提供了12种最基本的原始网格形状。有矩形网 格(Brick)、退化矩形网格 (Degenerate Brick)、形网格(Wedge) (Pyramid)、四面体形 网格(Tetrahedron)、圆柱体形网格(Cylinder)、、金字塔形网格矩形体外环绕放射状 网格(Radial Brick)、平行六面体外环绕放射状网格(Radial Tunnel)、圆柱体外环绕放 射状网格(Radial Cylinder)、柱形壳体网格(Cylindrical Shell)、交叉圆柱体网格 (Cylinder Intersection)、交叉平行六面体网格(Tunnel Intersection)。通过这12种基本 的模型就可以组合成复杂的岩土工程的模型。 FLAC3D的生成网格用generate zone命令 FLAC3D的模型定义采用model命令，材料参数用property命令 FLAC3D的边界条件，初始条件采用fix，free，initial命令 FLAC3D的计算求解采用step，solve，set mech命令 FLAC3D的施加外荷载采用apply命令
常用数值分析方法
常用数值分析方法常用数值分析方法指的是应用数值计算方法研究和解决实际问题的一类方法。
它涉及到计算机科学、数学、算法及相关工程应用等多个领域的交叉应用，被广泛应用于科学研究、工程设计、经济分析、物理模拟、天气预测等领域。
以下是常用的数值分析方法的介绍。
1.插值法：插值法是通过已知数值点的函数值来推导任意点的函数值。
其中最常用的方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。
插值法在数值计算、图像处理、信号处理等领域有广泛应用。
2.数值微分与积分：数值微分和积分方法是通过一系列近似计算来求解微分和积分问题，常用的方法有数值微分公式、数值积分公式和龙格-库塔方法等。
这些方法在工程数学、物理学、金融学等领域得到了广泛应用。
3.非线性方程求解：非线性方程求解方法用于求解形如f(x)=0的非线性方程，在科学计算和工程设计中具有重要作用。
常用的方法有二分法、牛顿法、割线法、迭代法等。
4.数值优化：数值优化方法是求解最优化问题的一种方法，常用的算法有梯度下降法、共轭梯度法、拟牛顿法、模拟退火算法、遗传算法等。
这些方法被广泛应用于机器学习、数据挖掘、工程设计等领域。
5.差分方程与差分法：差分方程是运用差分近似的数值方法来求解常微分方程的一种方法。
常用的差分法有向前差分法、向后差分法、中心差分法等。
差分法在数值模拟、物理仿真等领域有广泛应用。
6.线性代数方程组的数值解法：数值解线性代数方程组是数值分析中的经典问题之一、常用的算法有高斯消元法、LU分解法、迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法、稀疏矩阵迭代法）等。
7.数值逼近与最小二乘拟合：数值逼近和最小二乘拟合方法是通过一系列近似计算来拟合和逼近已知的数据集。
常用的方法有多项式拟合、最小二乘法、曲线拟合、样条插值等。
这些方法在数据分析、信号处理、模糊识别等方面有广泛应用。
8.数值统计：数值统计方法是通过数值计算和统计学方法来处理和分析实际数据。
常用的方法有假设检验、参数估计、方差分析、回归分析等。
有限单元法基本原理和数值方法
有限单元法基本原理和数值方法有限单元法基本原理和数值方法是一种常用的数值分析方法，用于求解各类物理问题的数值解。
它将连续的物理问题离散化为有限个大小不等的子区域，称为有限单元。
每个有限单元都有一组自由度，可以通过定义适当的变量来描述该单元内的物理属性。
基本原理是将整个物理问题分解为多个有限单元，通过在每个单元上建立受力平衡方程和适当的边界条件来求解问题。
这些方程可以是线性或非线性的，取决于物理问题的性质。
通过组装相邻单元的方程，可以得到整个问题的整体方程组，然后通过求解线性代数方程组来确定每个单元的未知变量。
数值方法是用于解决离散化方程组的方法。
常见的数值方法有有限差分法、有限体积法和有限元法等。
其中，有限单元法是一种重要的数值方法，它通过在单元内近似解的形式和权函数的组合来建立近似解的表达式。
通过对近似解进行适当的选择，使得在整个问题域内满足弱形式或变分形式的基本方程，从而将求解问题转化为求解一个离散化的代数方程组。
在数值求解过程中，需要对物理问题进行网格划分，并在每个单元上选择适当的插值函数和权函数。
根据选取的插值函数和权函数的类型，可以得到不同的有限单元法。
常见的有限单元法有线性有限元、二次有限元和高阶有限元等。
为了提高数值解的精度和收敛性，还可以采用自适应网格划分和后验误差估计等技术。
有限单元法基本原理和数值方法是求解物理问题的一种重要工具，它在结构力学、流体力学、电磁场分析等领域得到了广泛应用。
通过选择适当的插值函数、权函数和网格划分方法，可以得到高精度和高效率的数值解。
但需要注意的是，在实际应用中，还需要考虑数值误差和计算代价等因素，以及问题的特殊性和实际约束条件，来选择合适的数值方法和参数设置。
数值分析知识点大全总结
数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。
下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。
1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。
常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。
其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。
2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。
3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。
4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。
常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。
而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。
5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。
6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。
常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。
7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。
其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。
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分布的要求。
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图4.2 扇形网格和三角形网格 X.Z.Lin
W
Y
差分方程的建立过程（之二）
——将微分方程转化为差分方程
微分方程转化为差分方程实际上就是以差分代替微 分、以差商代替微商的过程，是以有限小量去代替无限 微量的近似化过程。
方法：写出微分方程中各微分与微商所对应 的差分与差商形式，代入原微分方程即可。
另外，对一些较复杂的问题，在选择网格与步长前，往往要对所论区 域的物理场作出粗略估计，然后以较粗的网格、较大的步长计算出参考性 物理场，根据这一参考性物理场再选择合理的离散化网格。
（2）几何划分法：以几何区域
形状为依据来划分，如对矩形区
域可采用矩形离散化网格，非矩
形区域可采用三角形、四角形或
其他形状的网格，以适应温度场
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W
合理选择网格布局及步长（续）
Y
离散化网格的布局，要根据所要求解的问题的性质及求解 要求确定。一般说来，有两种方法：
（1）物理划分法：这种方法是根据问题的物理特性划分，如建筑 物墙壁内外层面砖、普通砖和内灰泥层组成；若拟求各层界面壁 温，则离散化时应按不同材料组分划分区域。
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按阶数分
差分
——某物理量的有限增量
一阶差分 f 二阶差分 2 f
……
n 阶差分 n f
分 类
按 组 成 分
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向前差分 一阶差分 f f ,i fi1 fi
二阶差分 2 f f ,i (f f ,i ) f f ,i1 f f ,i
图4.1 求解区域离散化
离散化后各相邻离散点之间的距离，或离散化单 元的长度称为步长，步长的大小可以是常量，也可以 是变量。网格的粗细与是否均匀，要根据求解区域物 理场的实际分布和对结果所要求的精确度而定。
一般说来，对均质、形状简单且规则、物理量变 化不剧烈的物体．或求解精度要求不高时，可采用等 步长、大步长，即采用均匀网格；而对形状复杂、组 分不同、物理量变化剧烈的物体，或求解精度要求较 高时，则采用小步长、变步长。
f
i
1
2
(fc,i
f
i
)
1 2
fi1 2
fi
fc,i1 fc,i1
fi fi1 2
fi1 2
fi1
2
2
7/38
(
fi11
f
i
1
1
)
(
f
i
1
1
f
i
1
1
)
fi1
2 fi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
fi1
22
22
22
22
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W
Y
差商
——函数的差分与自变量差分之比
用差分代替微分方程中的微分，用差商代替微分方程中的 微商，即可将微分方程转化为差分方程。
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W
4.1.2 有限差分法的主要步骤
Y
1、构成差分格式
x2
x 1
x
首先选择网格布局、差分形式和步长；其次，以有限差分
代替无限微分，即以x2 替微商（导数）dy
，x以1 差分x 方代程替代dx替．微以分差方商yx程22 及xy11边界yx条件代。
dx
2、求解差分方程
差分方程通常是一组数量较多的线性代数方程（即：线性方 程组）。其求解方法有下列两种：（1）精确法，又称直接法， 即消元法；（2）近似法，又称间接法，即迭代法。
3、对所得到的数值解进行精度与收敛性分析和检验。
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4.1.3 差分方程的建立
建立差分方程是有限差分法的关键环节。导出差分 方程的途径可有两种：
（1）从微分方程出发，以泰勒级数截断，从有限差分 的数学含义去建立有限差分和差分方程。 （2）从由网格所划分的单元体的能量平衡分析出发、 由积分方 程去建立差分方程，该方法又称单元体平衡法。
( fi2 fi1) ( fi1 fi ) fi2 2 fi1 fi
向后差分 一阶差分 fb,i fi fi1
二阶差分 2 fb,i (fb,i ) fb,i fb,i1
( fi fi1) ( fi1 fi2 ) fi 2 fi1 fi2
中心差分
一阶差分fc,i 二阶差分2 fc,i
两种方法各具特色，但无论采取何种差分方程的推 导方法，在建立差分方程前，均需对所论区域进行离散 化。
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差分方程的建立过程（之一）
Y
——合理选择网格布局及步长
在实施有限差分法中．首先在如图4.1所示的求解区域内，将自 变量x，y 分别沿x，y轴方向的连续变化，离散为x0，x1 ，x2，…， xn及y0，y1 ，y2，…，yn个不连续点．形成离散化网格；网格交点称 为结点(或节点)，依次将结点编号，与区域自变量离散化相对应， 区域内函数也将同时被离散化 。
从“有限元”的名字出现到今天，经历了几十年的发展，其基本理论已
经日趋完善，复杂非线性问题的各种算法得到很大的发展，并且在工程领域
（如：结构力学、热传导、电磁场、流体力学等连续域问题）得到广范的应
用。
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差分方程通常是一个线性方程组，利用以前介绍的直接法
（消元法）或间接法（迭代法）即可解之，从而得到原微分方
程的解。
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4.2 有限单元法
Y
4.1.1 概述
有限单元法（又称为有限元素法，简称有限元法），是20世纪50年代初 才出现的 一种新的数值分析方法，最早应用于航空航天领域，主要用于力学 与结构分析中， 20 世纪 70 年以来被应用到传热学计算中。与有限差分法相 比较，有限元法的准确性和稳定性都比较好，且由于其单元的灵活性，使它 更适应于数值求解非线性热传导问题以及具有不规则几何形状与边界，特别 是要求同时得到热应力场的各种复杂导热问题；有限元法在传热学中的应用 正处于开拓与发展阶段，迄今为止，其应用已波及热传导、 对流传热及换热 器设计与计算。
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4.1 有限差分法
4.1.1 概述
有限差分方法是数值计算中应用非常广泛的一种 方法，是求解微分方程的主要方法之一。其实质就是 以有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分 方程、以数值计算代替数学推导的过程，从而将连续 函数离散化。以有限的、离散的数值代替连续的函数 分布。
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