功率谱估计方法的比较

功率谱估计方法的比较
摘要：
本文归纳了信号处理中关键的一种分析方法, 即谱估计方法。

概述了频谱估计中的周期图法、修正的协方差法和伯格递推法的原理，并且对此三种方法通过仿真做出了对比。

关键词：功率谱估计；AR 模型；参数 引言：
谱估计是指用已观测到的一定数量的样本数据估计一个平稳随机信号的谱。

由于谱中包含了信号的很多频率信息，所以分析谱、对谱进行估计是信号处理的重要内容。

谱估计技术发展 渊源很长，它的应用领域十分广泛，遍及雷达、声纳、通信、地质勘探、天文、生物医学工程等众多领域，其内容、方法都在不断更新，是一个具有强大生命力的研究领域。

谱估计的理论和方法是伴随着随机信号统计量及其谱的发展而发展起来的，最早的谱估计方法是建 立在基于二阶统计量, 即自相关函数的功率谱估计的方法上。

功率谱估计的方法经历了经典谱估计法和现代谱估计法两个研究历程，在过去及现在相当长一段时间里，功率谱估计一直占据着谱估计理论里的核心位置。

经典谱估计也成为线性谱估计，包括BT 法、周期图法。

现代谱估计法也称为非线性普估计，包括自相关法、修正的协方差法、伯格（Burg ）递推法、特征分解法等等。

原理：
经典谱估计方法计算简单，其主要特点是谱估计与任何模型参数无关，是一类非参数化的方法。

它的主要问题是：由于假定信号的自相关函数在数据的观测区间以外等于零，因此估计出来的功率谱很难与信号的真实功率谱相匹配。

在一般情况下，经典法的渐进性能无法给出实际功率谱的一个满意的近似，因而是一种低分辨率的谱估计方法。

现代谱估计方法使用参数化的模型，他们统称为参数化功率谱估计，由于这类方法能够给出比经典法高得多的频率分辨率，故又称为高分辨率方法。

下面分别介绍周期图法、修正的协方差法和伯格递推法。

修正的协方差法和伯格递推法采用的模型均为AR 模型。

（1）周期图法
周期图法是先估计自相关函数, 然后进行傅里叶变换得到功率谱。

假设随机信号x(n)只观测到一段样本数据，n=0, 1, 2, …, N -1。

根据这一段样本数据估计自相关函数，如公式（1）
对（1）式进行傅里叶变换得到（2）式。

⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+=∑-=∞
→2
j j e )(121lim )e (N N
n n N xx n x N E P ωω
∑--=+=
1||0
*)
()(1
)(ˆm N n xx m n x n x N
m r
如果忽略上式中求统计平均的运算，假设观测数据为:x(n) 0≤n≤N -1，便得到周期图法的定义式（3）:
（2）修正的协方差法
修正协方差法使用前向和后向预测误差平均值最小的方法，估计AR 模型的参数，从而得到信号的功率谱。

信号的前向和后向预测分别公式（4），（5）：
式中
a pk 是AR 模型的参数。

前向和后向预测误差功率ρpe、ρpb 分别用（6），（7）式表示
最小预测误差平均功率是模型输入白噪声的方差，即ρp=σ2w，前、后向预测误差平均功率为式（8）
为了使预测误差平均功率最小，求ρp 对apk(k=1, 2, 3, …, p)的微分,或者用复梯度法求，得到式（9）
2
1
j -j e )(1)e (ˆ∑-==N n n
xx
n x N
P ωω∑∑==+-=--=p
k pk p
k pk k n x a n x
k n x a n x
1
1)()(ˆ)()(ˆ210121
1
)()(1)()(1∑∑
∑∑
--==-==++-=-+-=p N n p
k pk pb
N p n p k pk pe
k n x a n x p N k n x a n x p N ρρ)
(5.0pb pe p ρρρ+=p
l l n x k n x a n x l n x k n x a n x p N a p
k pk p
N n N p n p
k pk pl p
,,3,2,10
)]()()()()()([1110
11 ==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++
-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+-=∂∂∑∑
∑∑=--=-==ρ
化简并写成矩阵形式为式（10）：
协方差函数
白噪声的方差估计值为 式（11）：
观测数据x(n)(n=0, 1, 2, …, N -1)，利用上面公式可以求出模型的参数：{
a pi (i=1, 2, 3, …,
p); σ2
w }。

式中的协方差函数c xx (j, k)，有两个变量，因此也适合于非平稳随机信号。

（3）伯格递推法
设信号x(n)观测数据区间为：0≤n≤N -1，前向、后向预测误差功率分别用ρp,e 和ρp,b 表示，预测误差平均功率用ρp 表示，公式分别为 （12），（13），（14）
前向、后向预测误差递推公式如式（15）：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)0,()0,2()0,1(),()2,()1,(),2()2,2()1,2(),1()2,1()1,1(21p c c c a a a p p c p c p c p c c c p c c c xx xx xx pp p p xx xx xx xx xx xx xx xx xx ∑
-=---=
1*
)()(1),(N p
n xx k n x j n x p N k j c ∑
∑∑
∑∑
=--==-==+=+++-+-==p
k xx pk xx p N n p
k pk N p n p k pk p w k c a c n x k n x a n x n x k n x a n x p N 1
101
**
1
*1min ,2),0()0,0()]()()(()()()(([)(21ρσ∑-=-=12,|)(|1N p
n f
p e
p n e p N ρ)
(2
1
,,b p e p p ρρρ+=∑-=-=12,|)(|1N p
n b p
b
p n e p N ρ)
()1()()1()()(1*111n e k n e n e n e k n e n e f p p b p b p b p p f p f p ----+-=-+=
将式（15）带入（12），（13），（14）公式中，得到式（16）
求预测误差平均功率ρp 最小时的反射系数k p ，令式（17）为零
得式（18）就是利用伯格递推法求第p 个反射系数的公式
实验：
对高斯噪声中的信号x(t)=cos(2π*60*t)+ cos(2π*63*t)进行功率谱估计，采样频率为fs=1000Hz,分别用周期图法、改进的协方差法和伯格递推法估计序列的功率谱，且AR 模型的阶数取30与 50两种情况，分别对应图1，图2，图3，图4，图5。

实验结果：
∑
-=----+-+-+-=1
2
1*1211]|)()1(||)1()([|)(21N p
n f p p f p b p p f p p n e k n e n e k n e p N ρ0
=∂∂p p
k ρ)|)1(||)((|)
1()(212
1211
*
11∑
∑
-=---=---+--=N p
n b p f p N p n b p f p p n e n e n e n e k
实验结论：
周期图法功率谱估计的分辨率低于修正的协方差法和伯格递推法，修正的协方差法估计功率谱分辨率与伯格递推法估计功率谱分辨率相当，但是修正的协方差法需要先由信号的观测数据估计自相关函数，这是它的缺点，而伯格递推法则由信号的观测数据直接计算AR 模型参数。

而且增加AR模型的阶数可以提高分辨率。

结束语：
随着人们对随机信号的特性研究和谱的概念的建立，新的谱估计方法不断产生和更新，以逐步形成一个完整的理论体系。

谱估计方法来源于信号特性，最后又服务于信号的研究，尤其是在分析信号的频域特性、时频特性方面起了不可估量的作用。

由上面的概述可知，信号的谱估计方法大致可分为两大类：一是非参数法；二是模型参数法。

而非参数法谱估计性能不及模型参数法，因为它总存在估计方差大，分辨率低等缺点。

所以，最近几十年里，人们总是热衷于模型参数的估计方法研究。

不管是哪种谱估计方法，基本上都是源于功率谱估计的理论和思想。

参考文献：
[1]皇甫堪,陈建文,楼生强.现代数字信号处理[M].北京:电子工业出版社，2003.175- 225.
[2]姚天任,孙洪.现代数字信号处理[M].武汉:华中科技大学出版社，1999.121- 204.
[3]丁玉美,阔永红,高新波.数字信号处理[M].西安电子科技大学出版社，2002.134-158。