集合的表示(附答案)

集合的表示

[学习目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.

知识点集合的表示方法

1.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

2.描述法：(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

(2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

思考(1)由方程(x－1)(x＋2)＝0的实数根组成的集合，怎样表示较好

(2)集合{x|4

(3)列举法可以表示无限集吗

答(1)列举法表示为{－2,1}，描述法表示为

{x|(x－1)(x＋2)＝0}，列举法较好.

(2)不能，因为这个集合中的元素不能够一一列举出来.

(3)列举法可以表示有限集，也可以表示无限集.若集合中元素个数较多或无限多，但呈现出一定的规律性，在不致发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他的元素用省略号表示.例如正偶数集合可以表示为{2,4,6,8，…}.

题型一用列举法表示集合

例1用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合；

(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.

解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A ，那么A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

(2)设方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为B ，那么B ＝{0,1}.

(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C ，那么C ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.

跟踪训练1 用列举法表示下列集合：

(1)绝对值小于5的偶数；

(2)24与36的公约数；

(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集. 解 (1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集.

(2){1,2,3,4,6,12}，是有限集.

(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝1. ∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1}＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝1}＝{(1,1)}，是有限集. 题型二 用描述法表示集合

例2 用描述法表示下列集合：

(1)正偶数集；

(2)被3除余2的正整数的集合；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.

解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}.

(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }.

(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}.

跟踪训练2 用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合.

解 本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言.用描述法表示(即用符

号语言表示)为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，且xy ≥0}.

题型三 列举法与描述法的综合运用

例3 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .

解 (1)当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0.

∴x ＝2，此时A ＝{2}.

(2)当k ≠0时，由集合A 中只有一个元素，

∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根.

则Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.

从而x 1＝x 2＝4，∴集合A ＝{4}.

综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；

当k ＝1时，A ＝{4}.

跟踪训练3 把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k 取值范围的集合. 解 由题意可知方程kx 2－8x ＋16＝0有两个不等实根.

∴⎩⎪⎨⎪⎧

k ≠0，Δ＝64－64k ＞0，解得k ＜1，且k ≠0. ∴k 取值范围的集合为{k |k ＜1，且k ≠0}.

弄错数集与点集致误

例4 方程组⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解的集合是____________. 错解 方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝2， 所以方程组的解可用列举法表示为{1,2}.

正解 方程组的解是⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，它是一组数对(1,2)，所以方程组的解可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝2}. 易错警示 错误原因

纠错心得 集合{1,2}中是两个元素，表示的是两个数，而

方程组的解应为数对(1,2)，表示的是直角坐标

平面上的点.

表示集合时，要弄清元素具有的形式(即代表元素是什么)是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.

跟踪训练4 用列举法表示下列集合.

(1)A ＝{y |y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }；

(2)B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }.

解 (1)因为y ＝－x 2＋6≤6，且x ∈N ，y ∈N ，

所以x ＝0,1,2时，y ＝6,5,2，符合题意，

所以A ＝{2,5,6}.

(2)(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，

则应有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪

⎧ x ＝2，

y ＝2，

所以B ＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}.

1.用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( )

A.{1,1}

B.{1}

C.{x ＝1}

D.{x 2－2x ＋1＝0}

2.下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的是(

)

A.{x |x 是小于18的正奇数}

B.{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5}

C.{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t <5}

D.{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s <6}

3.给出下列说法：