高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 第二课时 函数的最大(小)值

x
2
综上 f(x)max=1,f(x)min=0.
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题型二 单调性法求最值
【例2】 已知函数f(x)= 2x 1 .
x 1
(1)判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;
解:(1)f(x) 在(-1,+∞)上为增函数,证明如下: 任取-1<x1<x2 ,
则
f(x1)-f(x 2)=
①对于任意的x∈I,都有f(x) ≤ M;
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M
.
那么,称M是函数y=f(x)的最大值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最 高 点的 纵 坐标.
探究:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?
答案:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值, 否则不是.
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即时训练1-1:作出函数y=|x-2|(x+1)的图象,说明函数的单调性,并判断是否存在 最大值和最小值.
解:当 x≥2,即 x-2≥0 时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x- 1 )2- 9 ; 24
当 x<2,即 x-2<0 时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x- 1 )2+ 9 . 24
2x1 1 x1 1
2x2 1 = x2 1
x1
x1 x2
1 x2
1
,
因为-1<x1<x2⇒ x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,
所以 f(x1)-f(x2)<0⇒ f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
13
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.
7
7
7
4.(最值的应用)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则
实数a的值是
.
答案:±2
5.(最值)函数f(x)在[-2,+∞)上的图象如图所示,则函数的最小值为
;
最大值为
.
答案:不存在 3
8
课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 图象法求最值
【例 1】
已知函数
f(x)=
2 x
3
想一想 1:从导入图中能否得出2013年10月～2014年9月房价的最大值? (在2014年5月,房价达到最大值,约为27 000元) 想一想 2:从导入图中能否得出2013年10月～2014年9月房价的最小值? (在2013年12月,房价达到最小值,约为25 400元)
4
知识探究
1.最大值
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
第二课时 函数的最大(小)值
1
课标要求:1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会求一些简单函数 的最大值或最小值.3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题 中的应用.
2
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】 导入 如图所示是某市房管局公布的2013年10月～2014年9月该市房价 走势图:
又因为 x1,x2∈[3,5],所以(x1-2)(x2-2)>0,所以 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2);
x1
x2 x1
2 x2
2
>0,
所以 f(x)在[3,5]上是减函数.
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(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值.
解:(2)因为 f(x)在[3,5]上是减函数, 所以 f(x)在[3,5]上的最大值为 f(3)=1, f(x)在[3,5]上的最小值为 f(5)= 1 .
所以
y=
x
x
1 2
2
1 2 2
9 4
,x 9, 4
x
2, 2.
画出该分段函数的图 象,如图.
由图象可知,函数 y=|x-2|(x+1)在(-∞, 1 ],[2,+∞)上是增函数;在[ 1 ,2]上是减函数.
2
2
观察函数图象,可知 函数不存在最大值,也不存在最小值.
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【备用例 1】
已知
,
x
, 0
,
x2 2x 1, x 0, .
(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间;
(2)根据函数的图象求出函数的最小值.
解:(1)函数的图象如图所示. 由图象可知f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和[0,+∞),无递减区间. (2)由函数图象可知, 函数的最小值为f(0)=-1.
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方法技巧 利用图象求函数最值的方法:①画出函数y=f(x)的图象; ②观察图象,找出图象的最高点和最低点; ③写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最 小值.
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即时训练 2-1:已知函数 f(x)= 1 . x2
(1)判断f(x)在[3,5]上的单调性,并证明;
解:(1)f(x) 在[3,5]上为减函数, 证明:任取 x1,x2∈[3,5],且 x1<x2,
所以
f(x1)-f( x2)=
1 x1
2
-
1 x2
2
=
x1
x2 x1
2 x2
2
,
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0,
(A)0
(B)-4
(C)-1 (D)以上都不对
2.(最大值)函数f(x)=3-x2的最大值为( A ) (A)3 (B)2
(C)0 (D)4
3.(最值)函数 f(x)= 1 在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是( B )
x 1
(A) 1 ,1 (B)1, 1 (C) 1 ,1 (D)1, 1
5
5
5
2.最小值
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x) ≥ M;
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M
.
那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最 低 点的 纵 坐标.
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自我检测
1.(最小值)函数y=-x2+2x-1在[0,3]上的最小值为( B )
解:(2)由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增, 所以 f(x)的最小值为 f(2)= 2 2 1 = 5 ,
21 3 最大值 f(4)= 2 4 1 = 9 .
41 5
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方法技巧 (1)由函数单调性结合函数图象找出最高(低)点的纵坐标即为函 数的最大(小)值. (2)分段函数的最大(小)值是函数整体上的最大(小)值.
函数
f(x)=
x2
,
1 2
x
1
,1
x
2,
1,
求
f(x)的最大值、最小
值.Βιβλιοθήκη x解:如图所示,当- 1 ≤x≤1 时, 2
由 f(x)=x2 得 f(x)最大值为 f(1)=1,最小值为 f(0)=0;
当 1<x≤2 时,由 f(x)= 1 得 f(2)≤f(x)<f(1),即 1 ≤f(x)<1.