(完整word版)高数辅导之专题十：高阶导数
第三节 高阶导数
例8. 设 y = x ( µ ∈ R ), 求 y 解:
µ
(n)
.
y′ = µ x µ −1 ,
y′′ = ( µ x µ −1 )′ = µ ( µ − 1) x µ − 2 ,
y′′′ = ( µ ( µ − 1) x µ − 2 )′ = µ ( µ − 1)( µ − 2) x µ − 3 , LL
′ ′ v 1 =− 2 v v
− 2x = y′′′ = 2 2 (1 + x )
2( 3 x 2 − 1) = , 2 3 (1 + x )
则 y′′(0) = − 2x (1 + x )
2 2
′
(−2 x )′(1 + x ) − (−2 x )[(1 + x ) ]′
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例11. 设
1
求
2 ′ y= ,即 ( +x )y =1 ′ 解: 1 2 1+x 用莱布尼兹公式求 n 阶导数
( +x ) 1
令 由 由 即 得 得
2
2x
2
y
(2m )
(0 =0 )
( + 得 y 2m 1)(0 =(− )m(2 )!y(0 ) 1 m ′ ) +) y(2m 1 (00, n=2 m )= (n ) y (0 = m ) (m=01 2L ,, , ) m =L (− ) 2 )!y 0 m m) ( 1= m − ) (21!,( n=2′(+1
3 2 3 1 − cos 4 x 5 3 = 1 − sin 2 x = 1 − ⋅ = + cos 4 x , 4 8 8 4 2
高数辅导之专题十：高阶导数
专题十基础知识关于高阶导数，有：（1）几个常见的高阶导数公式，2sin()(sin )(π⋅+=n x x n )2cos()(cos )(π⋅+=n x x n ，1)(!)1()1(+-=n n n x n x 1)1(!)1()(ln ++-=n n n xn x ，)1()!(!)()(n k x k n n x k n k n ≤≤-=-)(0)()(n k x k n >=（2）分段函数在分段点处的二阶导数（3）莱布尼兹公式：设函数，皆阶可导，则u v n )()1(1)()()1(1)()()(n n n n k k n k n n n n n uv v u C v u C v u C v u uv +'++++'+=----)()(0k k n nk k n vu C -=∑=（实际上就是二项式定理）（4）隐函数及由参数方程确定的函数的二阶导数（不在本专题中涉及）例题1. 设，求。
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,sin )(x x x xx f )0(f ''解：xf x f f x )0()(lim)0(0-='→ x x xx 1sin lim 0-=→ 20sin lim x x x x -=→xx x 21cos lim 0-=→xx x 221lim 20-=→=故⎪⎩⎪⎨⎧=≠-='0,00,sin cos )(2x x x xx x x f 于是xf x f f x )0()(lim)0(0'-'=''→ x x xx x x 0sin cos lim20--=→ 30sin cos lim x x x x x -=→ 203cos sin cos lim x x x x x x --=→ 203sin lim x x x x -=→31-=2. 已知，求。
x x f 2cos )(=)0()2(n f 解：由知)22cos(2)()(π⋅+=n x x fn n nn n n n f 4)1(220cos(2)0(2)2(⋅-=⋅+=π3. 已知，求。
高阶导数的公式.docx
高阶导数的公式高阶导数的公式是在微积分中用于求解函数的导数的一种工具，它可以帮助我们了解一个函数在某一点上的变化趋势。
设函数 f(x) 在点 x=a 处可导，那么函数 f(x) 在点 x=a 处的导数 f'(a) 表示函数在该点的变化率，它描述了函数曲线在该点的切线的斜率。
而高阶导数则是指对函数进行多次求导得到的导数。
举例来说，二阶导数表示对函数求导一次后再求导一次的结果，三阶导数表示对函数求导三次的结果，以此类推。
设函数 f(x) 所有阶数的导数存在，那么高阶导数的公式如下：一阶导数（一阶导数即为函数的导函数）：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h二阶导数（二阶导数即为函数的二阶导函数）：f''(x) = d/dx [f'(x)]三阶导数（三阶导数即为函数的三阶导函数）：f'''(x) = d/dx [f''(x)]更一般地，n 阶导数（n 阶导数即为函数的 n 阶导函数）：f^(n)(x) = d^n/dx^n [f(x)]其中，lim 表示极限，d/dx 表示对变量 x 求导，d^n/dx^n 表示对变量 x 进行 n 次求导。
高阶导数的公式可以通过迭代求导的方式得到，每次对前一阶导数再次求导。
这种方法可以帮助我们研究函数的更深层次的性质和特征。
需要注意的是，高阶导数的计算可能存在复杂性和困难性，特别是当函数包含复杂的表达式或多重变量时。
在实际应用中，我们可以使用符号计算软件或数值计算方法来求解高阶导数。
总结起来，高阶导数的公式是一种用于求解函数的导数的数学工具，通过对函数进行多次求导，可以得到相应阶数的导函数。
高阶导数可以帮助我们更深入地了解函数在某一点上的变化特征，以及函数的曲线在该点的切线的斜率。
当我们计算高阶导数时，我们可以采用递归的方法进行求解。
递归是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决整体问题的方法。
常用高阶导数公式
常用高阶导数公式1. 常数函数的高阶导数：任何常数函数的高阶导数都是0。
例如，f(x) = c（c为常数），则 f'(x) = f''(x) = f'''(x) = = 0。
2. 幂函数的高阶导数：对于幂函数 f(x) = x^n，其n阶导数为f^n(x) = n! / (n k)! x^(n k)，其中k为导数的阶数，n!表示n的阶乘。
3. 指数函数的高阶导数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中a为常数，其n阶导数为 f^n(x) = a^x ln(a)^n。
4. 对数函数的高阶导数：对于对数函数 f(x) = ln(x)，其n阶导数为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / x^n。
5. 三角函数的高阶导数：对于三角函数 f(x) = sin(x) 或 f(x) = cos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n/2) sin(x +nπ/2) 或f^n(x) = (1)^(n/2) cos(x + nπ/2)。
这些常用的高阶导数公式可以帮助我们在求解函数的高阶导数时更加简便和快速。
在实际应用中，这些公式经常被用于求解物理、工程、经济等领域中的问题。
掌握这些高阶导数公式对于深入理解和应用微积分知识至关重要。
常用高阶导数公式6. 反三角函数的高阶导数：对于反三角函数 f(x) = arcsin(x)或 f(x) = arccos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / (1 x^2)^(n/2)。
7. 指数函数的复合函数的高阶导数：对于指数函数的复合函数f(x) = a^(g(x))，其中a为常数，g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = a^(g(x)) (ln(a))^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
8. 对数函数的复合函数的高阶导数：对于对数函数的复合函数f(x) = ln(g(x))，其中g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / g(x)^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
高等数学-§2.3 高阶导数
n
其中公式(2)称为莱布尼茨(Leibniz)公式.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.7
y sin x cos x
4 4
2 2 2 2
, 求
y
n
.
解 将 y 变形得
y sin x cos x
1 cos 4 x 3 1 1 cos 4 x 4 4 4
2 2x 2 2 x x2 1 x 2x x2
y
y
2 1 x 2 x x 1 x
2
2x x2
2x x
2
2
2 x x 1 x 2x x
2
2 2x 2 2x x
2
高等数学 第2章 导数与微分
x
n
k
k n
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
如果函数 u u x 和 v v x 在点 x 处具有 n 阶导数, 那么
u x v x 和 u x v x 在点 x 处也都具有
n 阶导数（ , 是常数）, 且
n
n 1 ! 1 n 1 x
n 1
通常规定 0! 1 , 因此这个公式当 n 1 时也成立.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.6
解
求
yx
1
(
是任意常数)的 n 阶导数.
y 1 x 2
,
y x
y sin x cos( x ) sin( x 2 ) 2 2
高等数学 第2章 第五节 高阶导数
2
同样可求得
cos xn cos x n .
2
例6 求y ln1 x的n阶导数.
解
y ln1 x,
y 1 , 1 x
y
1
1
x 2
,
y
12
1 x3
,
y4
123
1 x4
,
, y n 1 n1 n 1! . 1 xn
6
例7 求f x x 1的n阶导数.
解:
f
x
1
x
1
4
例4 求n次多项式y a0 xn a1 xn1 an1 x an的n阶导数.
解：
y na0 x n1 n 1a1 x n2 2an2 x an1 ,
y nn 1a0 xn2 n 1n 2a1 xn3 3 2an3 x 2an2 ,
,
y n n!a0 .
uv uv 2uv uv uv 3uv'3uv uv,
,
uv n unv nun1v nn 1 un2v
2!
nn 1n 2n k 1 unk vk uvn .
k!
9
莱布尼兹公式可用数学归纳法给出证明(自己证）。
莱布尼兹公式可写成下面形式：
uv
n
n
k 0
Cnk
代入莱布尼兹公式,得
k 1,2,,20,
k 3,4,,20,
y20 x2e2x 20
220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
2!
220 e2x x2 20x 95 .
11
补充例题： y xe x ,
求y (n)
解： y ( xe x ) xe x x e x ( x 1)e x
高数A1第十讲高阶导数隐函数及参数方程求导
x a(t sin t ) 例9．计算由摆线的参数方程 y a(1 cos t )
所确定的函数yy(x)的二阶导数
解:
dy y(t ) [a(1 cost)] a sin t sin t t cot [ a ( t sin t ) ] a ( 1 cos t ) dx x(t ) 1 cost 2
所求切线的斜率为 切点的坐标为
x0 a cos
dy dx
t 4
b a
y0 b sin b 2 4 2
2 a 4 2
切线方程为 y b 2 b (x a 2 )
2 a 2
即 bxay
2 ab 0
例8. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
a x y n)
e
x
例5. 设
求
解:
) y cos x sin( x 2
) y cos( x ) sin( x 2 2 2
sin( x 2 ) 2
) y cos( x 2 ) sin( x 3 2 2
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
莱布尼兹(Leibniz) 公式
例8.
2x
高阶导数
15
x = f ′(t ) 6.设 例6.设 y = t f ′(t ) − f (t ) 且 f ′′(t ) ≠ 0, 则 dy dy dy dt d t =[ t f ′(t ) − f (t )]′ = dx = ⋅ [ f ′(t )]′ dx dt dx dt f ′(t ) + t f ′′(t ) − f ′(t ) = =t f ′′(t ) dy′ d2 y dy′ dt d t = ( t )′ = 1 ⋅ = dx = 2 dt dx dx [ f ′(t )]′ f ′′(t ) dt
x ( n)
=e
x
(e )
− x ( n)
= (−1) e−x
n
3
例2.设 2.设
y′′ =cos( x +
求
解: y′ = cos x= sin(x+ ) 2 π
2
π
) = sin(x +2⋅ 2
π
2
) )
y′′′ = cos( x + 2⋅
π
)= sin(x +3⋅
π
2
nπ 一般地 , ( sinx) = sin(x + ) 2 nπ ( n) 类似可证: 类似可证: ( cos x) = cos(x + ) 2 n = 2k 0 (n) π sin nπ = π π ( sinx) x + = )= sin xcos x+kcos =sin(π +π + π ) cos( + a) xsin x a cos x =sin( x = 0 2 (2 −1) 2 n = 2k +2 2 2 2 1
( n)
高 阶 导 数
1.2 高阶导数的计算
例 1 设 y (1 x2 ) arctan x ，求 y ．
解
y
2xarctan x
(1
x2
)
1
1 x2
2xarctan x 1，
y
2
arctan
x
x
1 1 x2
2 arctan
x
2x 1 x2
．
1.2 高阶导数的计算
例 2 设 y sin lnx ，求 y ．
dx3 dx4
dxn
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．为方便起见，函数 f (x) 本身称为零
阶导数，而 f (x) 称为一阶导数．
1.2 高阶导数的计算
由高阶导数的定义知， f (n) (x) 的计算并不需要新的求导法则，但须注意： （1）当 n 不太大时，可采取“逐次求导法”计算； （2）当 n 较大，或者 n 是任意自然数时，需采用从低阶找规律（其间出现的 数字运算暂不合并），并由数学归纳法证实，最后给出一般表达式，或借助于已 知结果推导．
(cos
x)(n)
cos
x
n
2
．
1.2 高阶导数的计算
例 5 求幂函数 y x 的 n 阶导数．
解 y x1 ， y ( 1)x2 ， y ( 1)( 2)x3 ， ， y(n) ( 1)( 2) ( n 1)xn ．
当 n 时，
(xn )(n) n!．
1.2 高阶导数的计算
1.2 高阶导数的计算
用数学归纳法可证明
(uv)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v n(n 1) (n k 1) u v (nk) (k) uv(n) ．
高数——高阶导数
一般地说，函数y = f (x)的导数y ' = f '(x)仍然是x的函数，它再
对x求导，即导数的导数，称为y或f (x)对x的二阶导数，记作y″
或f
″(x)，或 d 2 y dx2
或d2 f dx2
，所以y″
=
( y ') '或 d 2 y dx2
=
d dx
⎛ ⎜⎝
dy dx
(4) y ' = (ln tan x) ' = 1 sec2 x = 1 = 2
tan x
sin x cos x sin 2x
y"
=
2
−(sin sin2
2x)' 2x
=
−4
cos 2x sin2 2x
例 2 设y = xμ，求y(n).
解 y ' = μ xμ−1, y " = μ(μ − 1)xμ−2,", 用数学归纳法可以证明 y(n) = μ(μ − 1)(μ − 2)"(μ − n + 1)xμ−n
− 2x − x2 − (1− x) 1− x
y"=
2x − x2
2x − x2
= −(2x − x2 ) − (1− x)2 (2x − x2) 2x − x2
=
−(2x
−
x
2
)
−
3 2
=
− y3
所以y3 y " = −1, 即 y3 y "+1 = 0
例 4 设y = sin x,求y(n)
解 y ' = cos x = sin(x + π )
一、高阶导数及其运算法则(精)
d 3 y d (d 2 y) d ( f (x)dx2 ) f (x)dx3.
一般地，d n y d (d n1 y) d ( f (n1) (x)dxn1) f (n) (x)dxn ,
一、高阶导数及其运算法则
物体运动规律 s s(t)，其 速度 v s(t) lim s . t0 t
一阶导数
在t时间内 a v v(t t) v(t) s(t t) s(t) ,
t
t
t
于是
a(t) lim v v(t) (s(t)) s(t). t0 t
2x cos(x
49
2
)
C520
2 cos(x
48
2
)
x2 cos x 100x sin x 2450 cos x.
•
例6. y a x ln x，求 y(n). (a 0，a 1).
解： (a x )(n) a x (ln a)n , (ln x)(n) (1)n1(n 1)!,
(xn )(k) n(n 1)(n k 1)xnk , (k n).
n
( xn e x )(n) Cnk (e x )(nk ) ( xn )(k ) k 0
n
Cnk n(n 1)(n k 1)xnkex. k 0
n
d n y (xn ex )(n) dxn Cnk n(n 1)(n k 1)xnkexdxn. k 0
例1. n次多项式P(x) a0 xn a1xn1 an.
高等数学-高阶导数
一、高階導數的定義
問題:變速直線運動的加速度.
设 s f (t), 则瞬时速度为v(t) f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [ f (t)].
定義 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
3.間接法:利用已知的高階導數公式, 通過四則
運算, 變數代換等方法, 求出n階導數. 常用高階導數公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0)
(e x )(n) e x
(2) (sin kx)(n) k n sin(kx n ) 2
(3) (cos kx)(n) k n cos(kx n ) 2
(4) ( x )(n) ( 1)( n 1)xn
(5)
(ln
x)(n)
(1)n1
(n 1)! xn
( 1 )(n) x
(1)n
n! x n1
例9 设 y 1 , 求y(5) . x2 1
解 y 1 1( 1 1 ) x2 1 2 x 1 x 1
y(5) 1 [ 5! 5! ] 2 ( x 1)6 ( x 1)6
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n) ( x), y(n) , d n y 或 d n f ( x) .
dx n
dx n
二階和二階以上的導數統稱為高階導數.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高階導數求法舉例
1.直接法:由高階導數的定義逐步求高階導數.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
n
C u v k (nk ) ( k ) n
微积分10-高阶导数
,cos )(sin x x ='例,sin )(cos x x -='. sin 连续求两次导数的结果是x , sin 记为的二阶导数称为函数x x x x x sin )(cos ))((sin )(sin -='=''='' )( )( ,仍然的导函数如果函数一般说来x f x f '的二的导数为原来函数则称可导 )( )( ,x f x f '.))(()( ,''=''x f x f 记为阶导数一. 高阶导数的概念一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连续. 如果函数f ( x) 在区间 I 上有直到n 阶的导数f (n)(x) , 且f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于n 阶的导数均连续 ), 则称f (x) 在区间 I 上n 阶连续可导, 记为如果f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续, 则称函数f (x) 是无穷次连续可导的, 记为1)(-='='n nxn x y 21)1()()(---='=''=''n n xn n xn y y 3)2()1()(---='''='''n xn n n y y …………………………kn k k xk n n n n yy--+---='=)1()2()1()()1()( ., 的高阶导数求幂函数+∈=Z n x y n )1(n k ≤≤解例1注意, 当 k = n 时!123)2()1()()(n n n n x n n =⋅⋅--= 综上所述：.0)( , 1 ,)(=+≥k n x n k 时当从而kn k n xk n n n x -+--=)1()1()()( )1(n k ≤≤0)()(=k n x )1(+≥n k)()())((k n k b ax y+=,1 时当n k ≤≤kkn ab ax k n n n ⋅++--=-))(1()1(, 1 时当+≥n k 0)(=k y解例2.)( 的高阶导数求nb ax y +=多项式的高阶导数.nn n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( 231202)2)(1()1(''---++--+-=n n n a x n n a x n n a y ………………!0)(n a yn ⋅=解12110)1('---++-+=n n n a xn a nxa y 例3)2()1(===++ n n yy对多项式而言,每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的n 阶导数为一常数 ;大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .求 y = e x 的各阶导数.解xey =' y = e x 的任何阶导数仍为 e xxn x ee =)()()(N n ∈xxee y y ='=''='')()(xn ey=)(例4求 y = a x 的各阶导数.解aa y xln '=运用数学归纳法可得)( )(ln )()(+∈=Z n a a a n x n x 2)(ln )ln ()(''a a a a y y x x ='=''=kx k a a y)(ln )(=例511)1()()!1()1(---+---=k k k xk k y)1(1)1(!]1)1[()1(+--+-+-=k k xk )( )!1()1()(ln 1)(N n x n x y nn n n ∈--==--类似地, 有)( )()!1()1())(ln(1)(N n b ax a n b ax nn n n ∈+--=+--则故由数学归纳法得.1的高阶导数求xy =解)(ln 1'==x xy )1()()()(ln ))((ln +='=∴n n n x x y)1(1)1(!]1)1[()1(+--+-+-=n n xn )1(!)1(+--=n n xn 注意这里的方法例7解x y cos ='x y sin -=''x y cos -='''x ysin )4(=.cos , sin 的各阶导数求x y x y ==xy sin = 看出结论没有)24sin(π⋅+=x )23sin(π⋅+=x )22sin(π⋅+=x )21sin(π⋅+=x 例8运用数学归纳法可以证得)( )2sin()(sin )(+∈⋅+=Z n n x x n π类似地 , 可求得)( )2cos()cos ()(+∈⋅+=Z n n x x n π)sin (cos sin 2sin x ex ey xx-+='')sin (cos 2sin x x ex-=. ,sin y e y x''=求解xey xcos sin ='二阶导数经常遇到, 一定要掌握.例10。
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解：
故
继续求导一次得
亦即
继续求导一次得
亦即
归纳知
将 带入上式，有
由 ， ， 知
Hale Waihona Puke 附专题八习题6的解答6.证明：方程 恰有三个实根。
解：令 ， ， ， 。 的两个确定的根为 ， ，对函数 在闭区间 上应用零点定理知至少存在一个 ，使得 。故 亦即方程 至少有三个实根，下面说明方程 恰有三个实根。倘若不然， 存在四个或者四个以上的实根，取其中的四个根 ， ， ， ，且不妨设 。 的一阶、二阶、三阶导数分别为
解：
由公式 知
故
4.已知 ，则当 时求 。
解：令 ， ，则 ，由莱布尼兹公式，有
故
5.设 ，其中 ， 为正整数，求 。
解：由 知
其中 ， 。由莱布尼兹公式知
而 ， ， ， ，故
6.设 ，求 。
解：
令 ， ，则 ，由莱布尼兹公式，有
而 ， ， ， ，故
注：例题4、5、6有共通之处，要求 ，首先将 因式分解为两项 和 相乘，应用莱布尼兹公式，且其中一项 必须为关于 的多项式（为了使 的零阶直至 阶导数只有少数几项在 处的值不为零）。
专题十
基础知识
关于高阶导数，有：
（1）几个常见的高阶导数公式
，
，
，
（2）分段函数在分段点处的二阶导数
（3）莱布尼兹公式：设函数 ， 皆 阶可导，则
（实际上就是二项式定理）
（4）隐函数及由参数方程确定的函数的二阶导数（不在本专题中涉及）
例题
1.设 ，求 。
解：
故
于是
2.已知 ，求 。
解：由 知
3.已知 ，求 。
由罗尔定理知存在 ， ， ，使得
继续应用罗尔定理，存在 ， ，使得
存在 ，使得
而 ， ，矛盾。故假设不成立，亦即方程 恰有三个实根。（附 与 的图像）
（罗尔定理）如果函数 满足：
（1）在闭区间 上连续
（2）在开区间 内可导
（3）在区间 的端点处函数值相等，及
则在 内至少存在一点 ，使得 。