(完整word版)高数辅导之专题十：高阶导数

由罗尔定理知存在 ， ， ，使得
继续应用罗尔定理，存在 ， ，使得
存在 ，使得
而 ， ，矛盾。故假设不成立，亦即方程 恰有三个实根。（附 与 的图像）
（罗尔定理）如果函数 满足：
（1）在闭区间 上连续
（2）在开区间 内可导
（3）在区间 的端点处函数值相等，及
则在 内至少存在一点 ，使得 。
解：
由公式 知
故
4.已知 ，则当 时求 。
解：令 ， ，则 ，由莱布尼兹公式，有
故
5.设 ，其中 ， 为正整数，求 。
解：由 知
其中 ， 。由莱布尼兹公式知
而 ， ， ， ，故
6.设 ，求 。
解：
令 ， ，则 ，由莱布尼兹公式，有
而 ， ， ， ，故
注：例题4、5、6有共通之处，要求 ，首先将 因式分解为两项 和 相乘，应用莱布尼兹公式，且其中一项 必须为关于 的多项式（为了使 的零阶直至 阶导数只有少数几项在 处的值不为零）。
7.设 ，求 。
解：
故
继续求导一次得
亦即
继续求导一次得
亦即
归纳知
将 带入上式，有
由 ， ， 知
附专题八习题6的解答
6.证明：方程 恰有三个实根。
解：令 ， ， ， 。 的两个确定的根为 ， ，对函数 在闭区间 上应用零点定理知至少存在一个 ，使得 。故 亦即方程 至少有三个实根，下面说明方程 恰有三个实根。倘若不然， 存在四个或者四个以上的实根，取其中的四个根 ， ， ， ，且不妨设 。 的一阶、二阶、三阶导数分别为
专题十
基础知识
关于高阶导数，有：
（1）几个常见的高阶导数公式
，
，
，
（2）分段函数在分段点处的二阶导数
（3）莱布尼兹公式：设函数 ， 皆 阶可导，则
（实际上就是二项式定理）
（4）隐函数及由参数方程确定的函数的二阶导数（不在本专题中涉及）
例题
1.设 ，求 。
解：
故
于是Baidu Nhomakorabea
2.已知 ，求 。
解：由 知
3.已知 ，求 。