第九讲-卡氏定理

250 2F 3 y 3/2 x 3 vc 3c 2b 3 h15/2
Vc 25F 2 l 4 wA 2 2（ 5 ） F 2 c b h
例 3-4 图示刚架的变形能为U，问 合力的相应位移？
U F
代表什么？
a A F
A点合位移？
解：考虑该刚架的另一载荷 状态，其变形能 则
U U ( F1 , F2 )
c c
cbh 5/2 Fx M 5 2 1 5 2Fx cbh 5/2


5 2Fx y bh5/2
c
2. 余能与位移计算
vc


0
d


2
c
2
0
d
Vc 2

l
h/2
0 0
25F 3 l 4 vc dydx 2 2 5 6c b h
2
W0 D kd Fk
V Dk Fk
例题 例 3-1 用卡氏定理求DBy
解：
Δk

l
FN (x ) FN (x ) dx EA Fk FNi li FNi EA Fk

i 1
n
DBy
FN1 l1 FN1 FN2 l2 FN2 EA F EA F
Vc Vε
Dk
V ε Fk
A. Castigliano (18471884)，意大利工程师。 线性弹性体的应变能，对载1870年入都灵工业学院， 1873年提出工程师学位 荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的 论文。 相应位移 Dk 2 2 2 M ( x )d x 卡氏第一定理 M FN ( x )dx T 2 ( x )dx y z ( x )dx Vε －－ l 卡氏第二定理 l l l
非圆截面杆或杆系：
2 2 My ( x )dx M z2 ( x )dx FN ( x )dx T 2 ( x )dx Vε l l l l 2 EA 2GIt 2 EI y 2 EI z
y , z轴－主形心轴
功的互等定理 功的互等定理（简单形式）
两种 加载 状态
位移互等定理 位移互等定理
F1D12 F2D21
当F1= F2时
D12 D21
当F1与F2的数值相等时， F2在点1沿F1方位引起 的位移D12，等于F1在点2沿F2方位引起的位移D21
§3 余能与卡氏第二定理
余能概念
克罗第－恩格塞定理 卡氏定理 例题
余能概念 余功与余能
基本公式
一般物体
载荷 f : 0 F 相应位移 d : 0 D
dW fdd
W fdd
0
D
线性弹性体
f d f kd
k － 线弹体在载荷作
用点、沿其作用方向 产生单位位移所需之 力，称为刚度系数
W kddd
0
D
kD2 2
FD W 2
克拉比隆定理
Fi Di （与加载次序无关） W i 1 2
施加矩为 Me的力偶 －附加力偶
B ( q) B ( q , M e )M 0
e
B (q)

e
2. 位移计算
ql M e 2 l M x qlx M e x qx 2 M ( x) M e l 2 l 2 M ( x ) M ( x ) B (q) dx l EI M e M 0 FAy
d dV
V 0
*
余能是载荷的函数
VC VC ( F1 , F2 , , Fn ) VC V
对线弹体
克罗第－恩格塞定理 问题：弹性结构受n个载荷作用， 求指定载荷Fk的相应位移Δk 给载荷增量 d Fk
余功增量
d Wc D k d Fk
余能增量
Vc d Vc d Fk Fk
克罗第－恩格塞定理
dWc D k dFk
dVc Vc dFk Fk
d Wc d Vc
Vc Dk Fk
弹性体的余能对载荷 Fk 的偏导数，等于该载 荷的相应位移 Dk－ 克罗第－恩格塞定理 Crotti-Engesser’s theorem
卡氏定理
对于线性弹性体：
卡氏定理直接推导
线弹性体受n个载荷
Fi D i 外力功 V0 W0 2 i 1
n
给载荷增量 d Fk
考虑两个加载过程
1) 先Fi , 后d Fk
V1 V0
V d Fk Fk
2) 先d Fk , 后Fi
V1 W1
线弹性体外力功 与加载次序无关
d FkdD k
Complementary Work and Complementary Energy
W fdd
0
D
余功的定义:
Wc
ddf
0
F
Wc W FD
弹性体的余能Vc数 值上等于余功：
Vc Wc
余能计算 单向应力状态下 的余能密度为
vc
d
0
*
故拉压杆与梁 的余能为
Vc
对于线性弹性体，F1在F2引起的位移D12上所作的 功，等于F2 在F1引起的位移 D21上所作的功
功的互等定理（一般形式）
F D P D
i iP j i 1 j 1
n
m
jF
对于线性弹性体，第一组外力 Fi 在第二组外力引起 的位移 DiP 上所作的功，等于第二组外力 Pj在第一组外 力引起的位移 DjF上所作的功
n
Fi－广义载荷，D i－相应广义位移
,Fn Di Di F1 ,F2，
本定理只适用于线性弹性体
圆截面杆或杆系：
2 FN ( x )dx T 2 ( x )dx M 2 ( x )dx dV ε 2 EA 2GI p 2 EI
2 FN ( x )dx T 2 ( x )dx M 2 ( x )dx Vε l l l 2 EA 2GIp 2 EI
FN1 2F
FN2 F
2F 2l (-F ) l 2 (-1) EA EA (2 2 1)Fl EA
DBy
DBy
（ ）
例 3-2 利用卡氏定理计算B
EI EI
－附加力法
解：1. 分析方法
转角θB所对应的载荷？
M ( x ) M ( x ) dx l EI M e M 0
2 EA 2GIt 2 EI y 2 EI z
Vc Dk Fk
M y ( x ) M y M z ( x ) M z FN ( x ) FN ( x ) T ( x ) T ( x ) Δk dx dx dx dx l EA l l l Fk GIt Fk EI y Fk EI z Fk
若两个F载荷平行、反向，
U F
为两载荷对应的相对位移。
a
A
F
A
DA
F
F 2F
fA
DA
A
B
B
A1
合力的相应位移
DA
2 DA DA fA 2
U U 2 U 2 DA fA F 2F 2 F 2



e
1 B (q) EI

qlx qx 2 0 2 2
l
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x ql 3 dx l 24 EI
( )
例 3-3 利用克罗第－恩格塞定理计算 wA ，
c
解：1.应力分析

y

y
h/2 c 3/2 M ydA 2 y bdy A 0
D ij
引起位移的载荷
发生位移的部位
线性弹性体的两种加载方式与外力功： 先加 F1，后加 F2
W1 F1D11 F2D22 F1D12 2 2
先加 F2，后加 F1
F2 D22 F1D11 W2 F2 D21 2 2
总功与加载次序无关
W1 W2
F1D12 F2D21
F1D12 F2D21
U DA, F1 U fA F2
F
B a A
F2
F1
B
若令
F1 F ,
F2 F
则由复合求导法则
U U F1 U F2 U U F F1 F F2 F F1 F2 DA
F1 F
fA
F2 F
可见，
U F
为两F载荷相应位移的代数和。
第 11 章 能量法（一）
讲授内容
§1 §2 §3 §4 §5
外力功与应变能 互等定理 余能与卡氏第二定理 变形体虚功原理 单位载荷法
上讲回顾
上讲回顾
相应位移 载荷 F 作用点处 沿载荷作用方向的位移 D. 由所有载荷共同引起 外力功 载荷 F 在其相应 位移 D 上所作之功 应变能 构件因变形而储 存的能量（变形能） 广义载荷 力，力偶，一对大小相等、方向相反 的力或力偶等 广义位移 线位移，角位移，相对线位移，相 对角位移等