第4讲_5.5奈奎斯特稳定判据

N 0,逆时针旋转
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第五章 频率响应
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二、奈氏稳定判据
K1 ( S z / 1 )( S z / 2 )( S z / m ) G(S ) H (S ) ( S p1 )( S p2 )( S pn )
令F (S ) 1 G(S )H (S ) 0

2
1 (T1 )
2
3)T1 T2，N 2 z 0， 说明闭环系统有二个 闭环 极点在S平面的右方， 故闭环系统不稳定 。
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第五章 频率响应
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采用穿越的概念简化复杂曲线包围次数的计算
由0变到+ 时开环频率特性曲线要
形成对(-1,j0)点的一次包围，势必穿越 （-∞，-1）区间一次。
1)T1 T2，N 0 z 0
闭环系统稳定
K (1 T2T1 2 ) j (T2 T1 ) G ( j ) 2 2 2 (1 (T1 ) ) (1 (T1 ) 2 )
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GH
K 1 (T2 ) 2
5.3 奈奎斯特稳定判据
系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征根都具有负实部，
即位于 s 左半平面。在时域分析中判断系统的稳定性，一种方法 是求出特征方程的全部根，另一种方法就是使用劳斯判据（代数 判据）。然而，这两种方法都有不足之处，对于高阶系统，非常 困难且费时,也不便于研究系统参数、结构对稳定性的影响。
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1）围线Cs围绕F(S)的一个零点
S 令F(S) S2
结论: Cs按顺时针方向围绕F(S)的一个零点,则其在F(S)平面上的 映射曲线CF亦按顺时针方向围绕F(S)平面的坐标原点旋转一周.
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2）围线Cs的顺时针方向围绕F（S）的一个极点
结论:围线Cs以顺时针方向围绕F(S)的一个极点,则其在F(S)平面 上的映射曲线CF亦按逆时针方向围绕F(S)平面的坐标原点旋转一 周.
z1， z2， ， zn — F (S )的零点
p1， p2， ， pn — F (S )的极点
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若在S平面上任取一封闭曲线Cs,且令S以顺时针方向沿着Cs 变化,则上式求得其在F(S)平面上的映射曲线CF。
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第五章 频率响应
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GH
K 1 (T2 ) 2
() 180 arctanT2 arctanT1
K (1 T2T1 2 ) j (T2 T1 ) G ( j ) 2 (1 (T1 ) 2 ) 2 (1 (T1 ) 2 )
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幅角原理：除有限个奇点外，F(s)是一个解析函数。如果S 平面上的闭合曲线Cs以顺时针方向包围F(S)的Z个零点和P
个极点，且此曲线不通过F(s)的任何极点和零点，则其在
F(s)平面上的映射曲线CF将围绕F(s)平面的坐标原点旋转N 周。
N PZ
N 0,顺时针旋转
Z = P -2（ N’+ - N’- ）
由以上分析可知，开环系统型别过高会影响稳定性，而串联 比例微分调节器可以改善系统的稳定性，起到校正的作用，但要 选择合适的参数。
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三、奈氏判据在对数坐标图上的应用
由于系统开环对数频率特性曲线的绘制较奈 奎斯特曲线更为简单、方便，自然使用伯德图来 进行系统稳定性判别就更适用。该判据不但可以 回答系统稳定与否的问题，还可以研究系统的稳 定裕量（相对稳定性），以及研究系统结构和参 数对系统稳定性的影响。
（2）正穿越 N+：产生正的相 位移，相频特性应穿越180°线。 （ 3 ）负穿越 N- ：产生负的相 位移,相频特性应穿越180°线 。 正、负穿越的定义和前面的定义实际上是一致的。
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3、对数幅频特性曲线的奈氏判据
根据上述对应关系，结合使用正、负穿越情况的稳定 判据，在伯德图上使用奈奎斯特稳定判据时，就是在L() >0dB的频率范围内，根据相频曲线穿越-180º 的相位线的次 数对系统稳定性做出判定。可将对数频率特性判断闭环系 统稳定性的奈氏稳定判据表述如下:
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奈氏图上的正、负穿越
伯德图上的正、负穿越
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例7
K G( S ) H ( S ) ，T1 T2 (T1S 1)(T2 S 1)
2( N N ) 2(0 0) z 0
z 0
闭环稳定
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第五章 频率响应
（2）从对数相频特性来看, G(j)平面上的负实轴,对应于对 数相频特性上的()=-180°。 （3） (-1,j0)点的向量表达式为 1∠-180°，对应于伯德图上 穿过0分贝线，并同时穿过()=-180°的点。
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2、穿越在伯德图上的含义
（ 1 ）穿越：在 L()>0dB 的频 率范 围内 ， 相 频特 性曲线 穿 过 -180° ； 在 L()<0dB 的频 率范 围内 ， 相 频特性 曲线穿过-180°不是穿越。
F (S ) K ( S z1 )( S z 2 )( S z n ) ( S p1 )( S p 2 )( S p n )
z1， z 2， ， z n — F ( S )的零点， 也是闭环特 征方程的根 。
p1， p2， ， pn — F ( S )的极点， 也是开环 传递函数 的极点。
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例1
G( S ) H ( S )
解, 当由 变化时,
K ，T1 T2 0 (1 T1S )(1 T2 S )
G ( j ) H ( j )曲线为 右图所示：
因为p 0, N 0, z 0, 闭环系统稳定
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例5
解 GH K 1 (T2 ) 2
K (T2 S 1) GH 2 S (T1S 1)
分析T1和T2的相对大小对系统稳定 性的影响。
2 1 (T1 ) 2
() 180 arctanT2 arctanT1
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例4
K
K GH 2 ，K 0，T 0 S (1 TS )
解 : G ( j )
2 1 T 2 2
() 180 arctanT
因为 p 0， N 2 P Z， 所以 z 2 闭环系统不稳定。
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由0变到+ 时的开环奈氏图 G(j)对(-1,j0)点的总包围次数为
N = （ N’+ - N’- ） 利用正、负穿越情况的奈奎斯 特稳定判据叙述为：
Z = P -2（ N’+ - N’- ）=0
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第五章 频率响应
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[例6] 判断图示系统的闭环稳定性
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1、奈氏图与伯德图的对应关系
开环系统幅相频率特性与对数频率特性之间存在如下对应 关系:
（1）在G(j)平面上, |G(j)|=1的单位圆,对应于对数幅频特 性的0分贝线; 单位圆外部如 (-,-1)区段，对应L () >0dB， 单位圆内部对应L () <0dB。
N Z P
G(j ) H ( j ) 1 G ( j ) H ( j ) 1
映射曲线CF围绕F(S)
平面的坐标原点等 价于G(jω)H (jω)
对GH平面上的
(-1,j0)点围绕。
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N PZ
奈氏判据 : 1)如果开环系统是稳 定的,即p 0,则其闭环系统稳定充要 条件是 G(jω)H(jω) 曲线不包围( 1,j0)点 2)如果开环系统不稳 定,且已知有p个开环极点 在s平面的右方， 则其闭环系统稳定的充 要条件是G(jω)H (jω)按逆时针方向 围绕( 1,j0)点旋转p周。
取S平面上封闭围线Cs为右图所示。
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第五章 频率响应
F ( j ) 1 G( j ) H ( j 8)
F ( j ) 1 G( j ) H ( j )
若围线Cs以顺时针方向包围了F(S)的Z个零点和P个极点，由幅 角原理可知，在F(jω)平面上的映射曲线CF将按顺时针方向围绕 坐标原点旋转N周。

e j
1) 1，C2 部分在GH平面上的映 射曲线为一半径无穷大 的半圆。
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2) 2，C2 部分在GH平面上的映 射曲线为一半径无穷大 的圆。
第五章 频率响应
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例3
K GH ，K 0，T1 0 S (1 T1 S )
取下图所示的 奈氏途径,C2部分在GH平台上的映 射曲线为 一半径无穷大的 半圆，它与 奈氏曲线G(jω)H( jω)相连接后为 下图所示：

2
1 (T1 )
2
() 180 arctanT2 arctanT1
2)T1 T2，G( j ) H ( j )曲线穿过 (1, j 0)点， 说明闭环系统有一对虚 根， 闭环系统不稳定。
K (1 T2T1 2 ) j (T2 T1 ) G ( j ) 2 (1 (T1 ) 2 ) 2 (1 (T1 ) 2 )
开环频率特性曲线逆时针穿越（-∞，-1）区间时，随 ω增加，频 率特性的相角值增大，称为一次正穿越N’+。
反之，开环频率特性曲线顺时针穿越（ -∞，-1 ）区间时，随 ω增 加，频率特性的相角值减小，则称为一次负穿越N’-。 频率特性曲线包围 (-1,j0)点的情况，就可以利用频率特性曲线在 负实轴（-∞，-1）区间的正、负穿越来表达。
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作业：
设开环传递函数在右半s平面上的极点数为P，则
L() >0dB的频率范围内，当频率增加时对数相频特性曲线 对-180º 的相位线的正、负穿越次数为N+与N- ，闭环右极点 个数为 Z = P + 2（N- - N+）
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Z P 2( N N ); R 2( N N ) Z P
必求闭环特征根；
2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）； 3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计； 4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。
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第五章 频率响应
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一、幅角原理
令F (S )
K ( s z1 )(s z2 ) (s zn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
第五章 频率响应
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ11
开环传递函数在虚轴上有极点
设开环传递函数为
G(S ) H (S ) K (1 i S ) S (1 Tl S )
l 1 i 1 n m
,n m
在C2 部分上,令S e j ( 0),
(90 ,90 )
lim G( S ) H ( S ) lim s 0 0 K
特别是，如果知道了开环特性，要研究闭环系统的稳定性， 还需要求出闭环特征方程，无法直接利用开环特性判断闭环系统 的稳定性。而对于一个自动控制系统，其开环数学模型易于获取， 同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。
2014-12-22 第五章 频率响应 1
除劳斯判据外，分析系统稳定性的另一种常用判据为奈 奎斯特（Nyquist）稳定判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯特 于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。 奈氏判据的主要特点有 1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不