数学归纳法应用举例课件人教B版选修
选修4-5《数学归纳法》课件
05
练习与思考
练习题一
总结词
理解数学归纳法的原理
详细描述
通过解答练习题一，学生可以加深对数学归纳法原理的理解，掌握归纳法的应用步骤，并能够运用归 纳法证明一些简单的数学问题。
练习题二
总结词
应用数学归纳法证明
详细描述
练习题二要求学生运用数学归纳法证 明一个复杂的数学问题。通过解答这 道题，学生可以巩固数学归纳法的应 用技巧，提高数学证明能力。
利用数学归纳法证明不等式时，同样需要验证基础步骤和递推关系，同时需要 注意不等式的性质和变换技巧。
详细描述
在证明不等式时，首先验证n=1时不等式是否成立。然后假设n=k时不等式成 立，再证明n=k+1时不等式也成立。在证明递推关系的过程中，需要注意不等 式的性质和变换技巧，如放缩法、比较法等。
解决数列问题
总结词
数学归纳法在解决数列问题时，主要应用于证明数列的性质和求数列的通项公式。
详细描述
利用数学归纳法可以证明数列的性质，如单调性、有界性等。在求数列的通项公式时，也可以利用数学归纳法来 推导。首先验证n=1时公式是否成立，然后假设n=k时公式成立，再推导n=k+1时公式的形式，最终得到数列的 通项公式。
举例：在证明一个组合数的性质时， 需要验证从第k项到第k+1项的递推关 系是否成立，以确保整个性质的正确 性。
避免循环论证
循环论证是一种常见的逻辑错误，在数学归纳法中要特别注意避免。在证明过程中，不要将待证明的结论或假设作为递推基 础或递推关系的依据，否则会导致逻辑上的循环。
举例：在证明一个不等式时，不能将待证明的不等式作为递推基础或递推关系的依据，而应该从已知的事实或公理出发进行 推导。
《2.3.2 数学归纳法应用举例》课件1-优质公开课-人教B版选修2-2精品
2.3 数学归纳法
目标导航 预习导引
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
预习交流
(1)思考:①在数学归纳法的第一步“归纳奠基”中,第一个值 n0 是否 一定为 1?
提示:不一定,n0 还可以取其他值,如证明“2n>n2”中,n0=5,而证明“凸 n 边形内角和为(n-2)·180°”中,n0=3.
式子左边增加的项是什么?共多少项? 提示:(k2+1)+(k2+2)+…+(k2+2k+1),共 2k+1 项. 2.若在证明 n=k+1 时没用到 n=k 时的结论,而是借助其他知识证明
了 n=k+1 时也成立,这样证可以吗? 提示:不可以,用数学归纳法证明 n=k+1 时必需用 n=k 时成立的结
2.3 数学归纳法
《2.3.2 数学归纳法应用举例》课件1
2.3 数学归纳法
2.3 数学归纳法
2.3 数学归纳法
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KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
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学习目标 重点难点
1.能说出数学归纳法的原理及特点,掌握数学归纳法的证题步骤; 2.学会用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 重点:数学归纳法及其应用; 难点:对数学归纳法原理的理解.
答案:D
解析:f(n+1)=������+1 2
+
������+1 3+…+21������
+
1 2������+1
数学归纳法应用 课件人教B版选修.ppt
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数学归纳法证题的三个关键点： (1)验证是基础：
找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定 是1.
(2)递推是关键： 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过 程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构 成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少 项、增加怎样的项．
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在本例(1)中，等式不变，试用数学归纳法证明此等式成 立．
【证明】 (1)n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×(2×1 －1)＝2，
∴等式成立． (2)假设n＝k时，等式成立． 即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1×3×…×(2k－1)．
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猜想 an＝22n－ n－11. 下面证明猜想正确： (1)当 n＝1 时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当 n＝k 时猜想成立，则有 ak＝22k－k－11，当 n ＝k＋1 时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1， ∴ak＋1＝12[2(k＋1)－Sk]
的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这
个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．
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RB . 数学 . 选修2-2 数学归纳法证明步骤的框图展示
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选修4-5数学归纳法PPT
应用
双数学归纳法在证明一些与两个自然数集有 关的定理时非常有用，例如排列组合中的一 些问题。
反向数学归纳法
定义
反向数学归纳法是一种从特殊到一般的归纳推理方法 ，它从给定的特殊情况出发，逐步推导出一般情况。
应用
反向数学归纳法在证明一些与自然数有关的定理时非 常有用，例如一些与自然数有关的数学问题。
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05 数学归纳法的扩展与推广
超数学归纳法
定义
超数学归纳法是一种对自然数和集合进行归纳推理的方法，它不仅考虑自然数的性质， 还考虑集合的性质。
应用
超数学归纳法在证明集合论中的一些定理时非常有用，例如集合的基数、集合的运算性 质等。
双数学归纳法
定义
双数学归纳法是一种对两个自然数集进行归 纳推理的方法，它需要同时考虑两个自然数 集的性质。
然后根据已知条件或已知事实，推导出当$n=k+1$ 时命题与当$n=k$时命题之间的关系。
结论
通过初始状态和递推关系，得出对于所有正整 数$n$，命题都成立的结论。
04 数学归纳法的应用实例
等差数列求和公式
要点一
等差数列求和公式
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项， $d$是公差，$n$是项数。
反向证明法
反证假设
首先假设数学命题不成立，即假设存在某个正整数 $n$使得命题不成立。
导出矛盾
然后根据这个假设，推导出与已知条件或已知事实相 矛盾的结论。
结论
通过反证假设和导出矛盾，得出原命题成立的结论。
递推证明法
初始状态
首先验证数学命题在初始状态下的成立情况 ，即当$n=1$时，命题成立。
数学归纳法应用举例 课件 人教B版选修.ppt
n＋1 1＋n＋1 2＋…＋3n1＋1>2254.
(1)n＝1 时，已证结论正确．
课堂讲练互动
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(2)假设 n＝k (k∈N*)时， k＋1 1＋k＋1 2＋…＋3k＋1 1>2254， 则当 n＝k＋1 时，有k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋3k＋1 1＋ 3k＋1 2＋3k＋1 3＋3k＋11＋1 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋3k＋1 1＋ 3k＋1 2＋3k＋1 3＋3k＋1 4－k＋1 1
(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假 设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．
(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利 用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的 关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程 要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．
课堂讲练互动
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知识点2 探索问题
【例 2】若不等式n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋3n1＋1>2a4对一切
正整数 n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明你的结论． 解 取 n＝1，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1＝2264，
令2264>2a4⇒a<26，而 a∈N*，∴取 a＝25. 下面用数学归纳法证明：
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知识点3 用数学归纳法证明几何问题
【例3】 平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一 点，求证这n个圆分平面为n2－n＋2个部分．
证明 (1)当n＝1时，n2－n＋2＝1－1＋2＝2， 而一圆把平面分成两部分，所以n＝1命题成立． (2)设n＝k时，k个圆分平面为k2－k＋2个部分， 则n＝k＋1时，第k＋1个圆与前k个圆有2k个交点， 这2k个交点分第k＋1个圆为2k段，
人教版选修2数学归纳法及其应用举例说课稿PPT课件
板书设计 教学程序 方法手段 教学目标 学生学情 教材分析
数学归纳法及其应用举例
知识准学 二备生项对式定等差理等（比知）识数有列较全、数面列的求把和握、
和较深入的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归 纳能力，但对归纳的概念是模糊的．
能力储学 有备生一经定的过中推理学五能年力的，数数学学学思习维，也已逐具步
数学归纳法及其应用举例
知识与技能 了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实 质．掌握两个步骤；会证明简单的与自 然数有关的命题．培养学生观察,分析,思考,论证的能力, 发展 抽象思维能力和创新能力．培养学生大胆猜想，小心求证的辨证 思维素质以及发现问题，提出问题的意识和数学交流的能力．
过程与方法 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积 极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学 习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的构建过程, 体会类比的 数学思想．
＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝ 131，f（10）＝151，… ， f（39）＝1 601． 但是 f（40）＝1 681＝
412，是合数．
第一阶段:输入阶段
借助数学史料, 促使学生思辨
地位作在 法用高 推一 导， 等学 差生 数已 列经 、学 等了 比用 数不列完的全通归项纳公
式，数学归纳法是数列知识的深入与扩展.纵观高中数学, 数学归纳法是一个重难点内容,也是一种重要的数学方法, 可以使学生学会一种研究数学的科学方法．
重点难点
重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析． 难点：数学归纳法中递推思想的理解．
(2) 完全归纳法实例
证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及 一边上三种情况．
设计意图:
人教B版选修2-2高中数学2.3.2《数学归纳法应用举例》ppt课件
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
f (k) k(k 3) , (k ≥ 4) 2
当n=k+1时，k+1边形比k边形多了一个顶点,
该顶点与原k边形中的(k－2)个顶点可连
成(k－2)条对角线，而原来的一条边也变成
对角线，故(k+1)边形比k边形增多了(k－1)
条对角线,
所以 f (k 1) k(k 3) (k 1)
在此基础上，为使区域最多，应使新增 加的圆与前k个圆都交于两点，于是新增2k 个交点，
这2k个交点将新圆分成2k段弧，这2k段弧 将所经过的区域一分为二，因此新增2k个区 域，这样k+1个圆最多把平面分成
(k2－k+2) +2k=(k+1)2－(k+1)+2个区域，
这就是说，当n=k+1时，结论也正确，
2.3.2 数学归纳法应用举例
例1．用数学归纳法证明：
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1， 等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么
12 22 32 k 2 (k 1)2 k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
高中数学 3.1 第2课时数学归纳法应用举例课件 新人教B版选修22
学法归纳总结
第三十五页，共38页。
1．每一个复数，对应着平面直角坐标系中唯一的一点(或 一个向量)；反过来，平面直角坐标系中每一个点(或者一个向 量)，也对应着唯一的一个有序实数对．这样我们可以通过有 序实数对，建立复数z＝a＋bi(a，b∈R)和点Z(a，b)(或向量O→Z ) 之间的一一对应关系，点Z(a，b)或向量 O→Z 是复数z的几何表 示．如图．
第十六页，共38页。
当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i 在复平面(píngmiàn)中的对应点
(1)位于第四象限； (2)位于x轴的负半轴上．
第十七页，共38页。
[解析] (1)由已知mm22＋－38mm－＋2185＜＞00
∴m－＜7＜3或mm＜＞4 5 ，∴－7＜m＜3.
第二十八页，共38页。
[说明] 对于复数的模，可以从以下两个方面进行(jìnxíng) 理解：一是任何复数的模都表示一个非负的实数；二是复数的 模表示该复数在复平面内对应点与原点的距离．所以复数的模 是绝对值概念由实数的一维空间向二维空间的一种推广．
第二十九页，共38页。
设z∈C，满足(mǎnzú)下列条件的点的集合是什么图形？ (1)|z|＝4；(2)2<|z|<4.
第二十四页，共38页。
[说明(shuōmíng)] 解这类题的关键是将复数设成z＝a＋ bi(a，b∈R)的代数形式，然后根据复数相等，实现复数问题向 实数问题的转化，使问题得以解决．
第二十五页，共38页。
已知复数(fùshù)z1＝x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是复数
(fùshù)z2＝4－20i的共轭复数(fùshù)，求x的值．
人教版高中数学选修第四讲《数学归纳法》ppt课件
一.用数学归纳法证明等式问题
特别提示:
数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推 理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.
课堂练习:
C
B
B
C
B
D
B
二.用数学归纳法证明几何问题
特别提示:
用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清楚,一定要讲清从n=k 到n=k+1时,新增加量是多少.一般地,证明第二步常用的方法是加一法,即在 原来的基础上,再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利用假 设.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立. 这种证明方法称为数学归纳法.
用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.
(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的正确性. 在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了,没有必要验证命题 对几个正整数成立. (2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第一步,则失去了递推的 基础;而只有第一步而没有第二步,就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们 无法递推下去,所以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,…,是否正确. 在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1时的情况则有待利用 命题的已知条件,公理,定理,定义加以证明. 完成一,二步后,最后对命题做一个总的结论.
对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用以前学习过的方法 证明,用数学归纳法可能会收到较好的效果.
什么是数学归纳法 ? 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n立;
高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课件 新人教B版选修2-2.pptx
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直 接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它 们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比 较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常 用数学归纳法证明. (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时也成 立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.
7
(2)数学归纳法的框图表示
8
题型探究
9
类型一 用数学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明： 1×12 3＋3×22 5＋…＋2n－1n22n＋1＝2n2nn＋＋11.
10 证明
反思与感悟
用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄 清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值 是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”， 将n＝k＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设， 然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论.
12
跟踪训练 1 用数学归纳法证明当 n∈N＋时，1－12＋13－14＋…＋ 2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n.
13 证明
类型二 用数学归纳法证明不等式 例 2 用数学归纳法证明 1＋12＋13＋…＋21n>n＋2 1(n∈N＋).
16 证明
反思与感悟
(1)验证第一个n值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0 ＝k＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要 用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归 纳假设.
新人教B版学高中数学选修推理与证明数学归纳法数学归纳法应用举例讲义
学习目标核心素养１．了解数学归纳法的原理．（重点、易混点）２．掌握数学归纳法的步骤．（难点）３．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（难点）１．通过数学归纳法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理素养.２．通过利用数学归纳法证明数学命题，提升学生数学运算素养.数学归纳法数学归纳法的定义一个与自然数相关的命题，如果（１）当n取第一个值n0时命题成立；（２）在假设当n＝k（k∈N＋，且k≥n0）时命题也成立的前提下，推出当n＝k＋１时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．（）（２）数学归纳法的第一步n0的初始值一定为１．（）（３）数学归纳法的两个步骤缺一不可．（）[答案] （１）×（２）×（３）√２．用数学归纳法证明：首项是a１，公差是d的等差数列的前n项和公式是S n＝na１＋错误!d时，假设当n＝k时，公式成立，则S k＝（）Ａ．a１＋（k—１）dＢ．错误!Ｃ．ka１＋错误!dＤ．（k＋１）a１＋错误!d[解析] 假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即S k＝ka１＋错误!d.[答案] C３．下列说法正确的是________．（填序号）１数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明；２证明当n＝k＋１时命题成立用到归纳假设，即n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立；３不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋１时，项数都增加了一项．[答案] １２用数学归纳法证明等式＋验证n＝１时，左边应取的项是（）Ａ．１Ｂ．１＋２Ｃ．１＋２＋３Ｄ．１＋２＋３＋４（２）用数学归纳法证明（n＋１）·（n＋２）·…·（n＋n）＝２n×１×３×…×（２n—１）（n∈N＋），“从k到k＋１”左端增乘的代数式为__________．[解析] （１）当n＝１时，左边应为１＋２＋３＋４，故选Ｄ．（２）令f（n）＝（n＋１）（n＋２）…（n＋n），则f（k）＝（k＋１）·（k＋２）…（k＋k），f（k＋１）＝（k＋２）（k＋３）…（k＋k）（２k＋１）（２k＋２），所以错误!＝错误!＝２（２k＋１）．[答案] （１）D （２）２（２k＋１）数学归纳法证题的三个关键点１．验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是１．２．递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋１”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋１时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．３．利用假设是核心在第二步证明n＝k＋１成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋１”，在书写f（k＋１）时，一定要把包含f（k）的式子写出来，尤其是f（k）中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．１．下面四个判断中，正确的是（）Ａ．式子１＋k＋k２＋…＋k n（n∈N＋）中，当n＝１时，式子的值为１Ｂ．式子１＋k＋k２＋…＋k n—１（n∈N＋）中，当n＝１时，式子的值为１＋kＣ．式子１＋错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N＋）中，当n＝１时，式子的值为１＋错误!＋错误!Ｄ．设f（n）＝错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N＋），则f（k＋１）＝f（k）＋错误!＋错误!＋错误![解析] A中，n＝１时，式子＝１＋k；B中，n＝１时，式子＝１；C中，n＝１时，式子＝１＋错误!＋错误!；D中，f（k＋１）＝f（k）＋错误!＋错误!＋错误!—错误!.故正确的是Ｃ．[答案] C用数学归纳法证明不等式＋程中，由n＝k推导n＝k＋１时，不等式的左边增加的式子是__________．（２）证明：不等式１＋错误!＋错误!＋…＋错误!<２错误!（n∈N＋）．[思路探究] （１）写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋１时左边的式子，比较即可．（２）在由n＝k到n＝k＋１推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度．[解析] （１）当n＝k＋１时左边的代数式是错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!，增加了两项错误!与错误!，但是少了一项错误!，故不等式的左边增加的式子是错误!＋错误!—错误!＝错误!.[答案] 错误!（２）证明：１当n＝１时，左边＝１，右边＝２，左边<右边，不等式成立．２假设当n＝k（k≥１且k∈N＋）时，不等式成立，即１＋错误!＋错误!＋…＋错误!<２错误!.则当n＝k＋１时，１＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!<２错误!＋错误!＝错误!<错误!＝错误!＝２错误!.∴当n＝k＋１时，不等式成立．由１２可知，原不等式对任意n∈N＋都成立．试用数学归纳法证明上例（１）中的不等式．[证明] １当n＝２时，错误!＋错误!＝错误!>错误!.２假设当n＝k（k≥２且k∈N＋）时不等式成立，即错误!＋错误!＋…＋错误!>错误!，那么当n＝k＋１时，错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＋错误!—错误!>错误!＋错误!＋错误!—错误!＝错误!＋错误!—错误!＝错误!＋错误!>错误!.这就是说，当n＝k＋１时，不等式也成立．由１２可知，原不等式对任意大于１的正整数都成立．用数学归纳法证明不等式应注意的２个问题１．当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．２．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋１时也成立，证明时运用归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差（作商）比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”．归纳——猜想——证明n n n１（１）求a２，a３；（２）猜想数列{a n}的通项公式，并证明．[思路探究] （１）令n＝２,３可分别求a２，a３.（２）根据a１，a２，a３的值，找出规律，猜想a n，再用数学归纳法证明．[解] （１）a２＝错误!＝错误!，a１＝错误!，则a２＝错误!，类似地求得a３＝错误!.（２）由a１＝错误!，a２＝错误!，a３＝错误!，…，猜得：a n＝错误!.证明：１当n＝１时，由（１）可知等式成立；２假设当n＝k时猜想成立，即a k＝错误!，那么，当n＝k＋１时，由题设a n＝错误!，得a k＝错误!，a k＋１＝错误!，所以S k＝k（２k—１）a k＝k（２k—１）错误!＝错误!，S k＋１＝（k＋１）（２k＋１）a k＋１，a k＋１＝S k＋１—S k＝（k＋１）（２k＋１）a k＋１—错误!.因此，k（２k＋３）a k＋１＝错误!，所以a k＋１＝错误!＝错误!.这就证明了当n＝k＋１时命题成立．由１２可知命题对任何n∈N＋都成立．１．“归纳—猜想—证明”的一般环节２．“归纳—猜想—证明”的主要题型（１）已知数列的递推公式，求通项或前n项和．（２）由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．（３）给出一些简单的命题（n＝１,２,３，…），猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．２．已知函数y＝f（n）（n∈N＋），设f（１）＝２，且任意的n１，n２∈N＋，有f（n１＋n２）＝f （n１）·f（n２）．（１）求f（２），f（３），f（４）的值；（２）试猜想f（n）的解析式，并用数学归纳法给出证明．[解] （１）因为f（１）＝２，f（n１＋n２）＝f（n１）·f（n２），所以f（２）＝f（１＋１）＝f（１）·f（１）＝２２＝４，f（３）＝f（２＋１）＝f（２）·f（１）＝２２·２＝２３＝8．f（４）＝f（３＋１）＝f（３）·f（１）＝２３·２＝２４＝１6．（２）猜想：f（n）＝２n（n∈N＋）．用数学归纳法证明如下：１当n＝１时，f（１）＝２１＝２，所以猜想正确．２假设当n＝k（k≥１，k∈N＋）时猜想正确，即f（k）＝２k，那么当n＝k＋１时，f（k＋１）＝f（k）·f（１）＝２k·２＝２k＋１，所以，当n＝k＋１时，猜想正确．由１２知，对任意的n∈N＋，都有f（n）＝２n.用数学归纳法证明整除性问题[探究问题]１．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为１？提示：不一定，如证明n边形的内角和为（n—２）·１80°时，第一个值为n0＝３．２．数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤（１）而缺少步骤（２）就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠步骤（１），无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤（２）而缺少步骤（１）时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤（１）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（２）也就没有意义了．【例４】用数学归纳法证明：n３＋（n＋１）３＋（n＋２）３能被9整除（n∈N＋）．[思路探究] 在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑．[解] （１）当n＝１时，１３＋２３＋３３＝３6能被9整除，所以结论成立；（２）假设当n＝k（k∈N＋，k≥１）时结论成立，即k３＋（k＋１）３＋（k＋２）３能被9整除．则当n＝k＋１时，（k＋１）３＋（k＋２）３＋（k＋３）３＝[k３＋（k＋１）３＋（k＋２）３]＋[（k＋３）３—k３]＝[k３＋（k＋１）３＋（k＋２）３]＋9k２＋２7k＋２7＝[k３＋（k＋１）３＋（k＋２）３]＋9（k２＋３k＋３）．因为k３＋（k＋１）３＋（k＋２）３能被9整除，9（k２＋３k＋３）也能被9整除，所以（k＋１）３＋（k＋２）３＋（k＋３）３也能被9整除，即n＝k＋１时结论也成立．由（１）（２）知命题对一切n∈N＋成立．与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n＝k＋１时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.３．用数学归纳法证明“n３＋５n能被6整除”的过程中，当n＝k＋１时，对式子（k＋１）３＋５（k＋１）应变形为__________．[解析] 由n＝k成立推证n＝k＋１成立时必须用上归纳假设，∴（k＋１）３＋５（k＋１）＝（k３＋５k）＋３k（k＋１）＋6．[答案] （k３＋５k）＋３k（k＋１）＋6１．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n—２）π”时，归纳奠基中n0的取值应为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４[解析] 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝３．[答案] C２．用数学归纳法证明１＋a＋a２＋…＋a n＋１＝错误!（n∈N＋，a≠１），在验证n＝１成立时，左边所得的项为（）Ａ．１Ｂ．１＋a＋a２Ｃ．１＋aＤ．１＋a＋a２＋a３[解析] 当n＝１时，n＋１＝２，故左边所得的项为１＋a＋a２.[答案] B３．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为１×４＋２×7＋…＋k（３k＋１）＝k（k＋１）２，则当n＝k＋１时，表达式为________．[解析] 当n＝k＋１时，应将表达式１×４＋２×7＋…＋k（３k＋１）＝k（k＋１）２中的k更换为k＋１．[答案] １×４＋２×7＋…＋k（３k＋１）＋（k＋１）（３k＋４）＝（k＋１）（k＋２）２４．以下是用数学归纳法证明“n∈N＋时，２n＞n２”的过程，证明：（１）当n＝１时，２１＞１２，不等式显然成立．（２）假设当n＝k（k∈N＋）时不等式成立，即２k＞k２.那么，当n＝k＋１时，２k＋１＝２×２k＝２k＋２k＞k２＋k２≥k２＋２k＋１＝（k＋１）２.即当n＝k＋１时不等式也成立．根据（１）和（２），可知对任何n∈N＋不等式都成立．其中错误的步骤为________（填序号）．[解析] 在２k＋１＝２×２k＝２k＋２k＞k２＋k２≥k２＋２k＋１中用了k２≥２k＋１，这是一个不确定的结论．如k＝２时，k２＜２k＋１．[答案] （２）５．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，（n２—１）＋２（n２—２２）＋…＋n（n２—n２）＝错误!.[证明] （１）当n＝１时，左边＝１２—１＝0，右边＝错误!＝0，所以等式成立．（２）假设当n＝k（k∈N＋）时等式成立，即（k２—１）＋２（k２—２２）＋…＋k（k２—k２）＝错误!.那么当n＝k＋１时，有[（k＋１）２—１]＋２[（k＋１）２—２２]＋…＋k·[（k＋１）２—k２]＋（k ＋１）[（k＋１）２—（k＋１）２]＝（k２—１）＋２（k２—２２）＋…＋k（k２—k２）＋（２k＋１）（１＋２＋…＋k）＝错误!＋（２k＋１）错误!＝错误!k（k＋１）[k（k—１）＋２（２k＋１）]＝错误!k（k＋１）（k２＋３k＋２）＝错误!.所以当n＝k＋１时等式成立．由（１）（２）知，对任意n∈N＋等式成立．。
数学归纳法PPT课件
归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确， 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误， 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对 于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
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感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用，我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式， 从而证明了二项式定理的正确性。
3.2用数学归纳法证明不等式贝努利不等式课件人教新课标B版
1
3
1
+…+
+…+
1
3
+
1−
3
1
1
利用 ③,得 11
1
3 1- 3
1
1-3
1
3
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
+1 +
3
= 1−
1
32
1
2
1
+1
3
1
1
1
+ 2+…+
3 3
3
1
1
1
· + 2+…+
3 3
3
1-
1
3+1
≥1−
.
3+1
1-
≥ 1-
3+1
1
即当 n=k+1 时,③式也成立.
故对一切 n∈N*,③式都成立.
=1 −
HONGNANJUJIAO
题型三
则当 n=k+1 时,
1-
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
目标导航
… 11-
1
3
1
3
≥1 −
=
1
1
+ 2
3 3
1 1 1
+
2 2 3
>
+…+
1
3
1
, 即②式成立.
2
故原不等式成立.
3.了解贝努利不等式的应用条件.
-2-
3.2
用数学归纳法证明不等式,
贝努利不等式
人教B版高二数学选修2-2《数学归纳法》课件
你认为上面的证明正确吗？为什么？ 11
这种证明方法叫做数学归纳法．
6
03 巩 固 认 知
例题1.在数列{an}中，a1
1，an1
an ，(n 1 an
N
，)
先计算a2, a3, a4的值，再推测通项公式，最后证明
你的结论.
证明：（1）当n 1时，等式成立.
猜想：an
1 n
（2）假设当n=k时，等式1成立，即：ak
1. k
结论写明莫忘掉.
10
06 巩 固 延 伸
作业：(1)课本P72 练习A第1、2题；P73 习题A第2题； (2)课后思考：用数学归纳法证明 1 2 22 23 2n1 2n 1(n N)时， 第二步采用这样的证法：设n k时等式成立， 即：1 2 22 23 2k1 2k 1， 则当n k 1时，1 2 22 23 2k1 2k
人教B版高二数学 选修2-2 §2.3.1
数学归纳法
01 问 题 情 境
情景一 葫芦里装的什么药？
2
01 问 题 情 境
情景二 华罗庚讲故事《公鸡归纳法》
1
01 问 题 情 境
情景三
已知an (n2 5n 5)2，(n N ), 分别求 : a1, a2 , a3, a4.
a1 1, a2 1, a3 1, a4 1.
an a1qn1.
8
05 概 况 提 升
知识梳理
归纳法 一种由特殊到一般的推理方法
分类
完全归纳法和不完全归纳法
考察全体对象
考察部分对象
高二数学选修 数学归纳法及其应用举例ppt课件 新人教版
练习： 1、用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=n(n+1)/2 (n∈N)； 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立，就是 1+2+3+…+k =k(k+1)/2 那么， 1+2+3+…+k+(k+1)= k(k+1)/2+ (k+1) =(k+1)[(k+1)+1]/2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。 因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N都成立。
当n分别取值1、2、3….k、k+1时的命题是什么？ n=1 命题：1=12
n=2 命题：1+3=2 2
n=3 命题：1+3+5=3 2 ……
n=k 命题：1+3+5+…..+（2k-1）=k 2 n=k十1 命题：1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)2
2.3 数学归纳法及其应用举例
证明：
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝1 23 1 6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，就是
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么
12 22 32 k 2 (k 1) 2 k (k 1)(2k 1) (k 1)2
6 k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 2
人教B版高中数学第三册_选修Ⅱ_第二章第一节数学归纳法课件数学归纳法
数学归纳法教学设计课标分析1知识目标 使学生了解数学归纳法的发现过程，理解数学归纳法原理；理解数学归纳法的操作步骤；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题并能正确书写证明步骤.2能力目标 培养学生观察、猜想、归纳、发现问题的能力；培养学生数学思维能力、推理论证能力以及分析问题和解决问题的能力.3情感目标 使学生在发现数学归纳法的过程中，体验数学研究的过程和发现的乐趣，激发学生学习数学的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验.重点、难点重点是如何在较短的时间内，使学生理解“归纳法”和“数学归纳法”的实质，接受数学归纳法的证题思路.难点有两个，一是学生初步对数学归纳法原理的理解；二是数学归纳法的两个步骤及其作用.教学过程1.从思考题中引入课题（1）、已知数列{}n a ， ...)4,3,2,1(1,111=+==+n a a a a nn n （1）求出其前四项4321,,,a a a a ，（2）你能得到什么样的猜想？猜想一定正确吗？（2）、某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的【设计意图】逐一验证是不可能的．那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题．引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法——数学归纳法”．2.数学归纳法概念的形成数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立；根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立. 3、数学归纳法的应用 例1. 用数学归纳法证明：)()12312*∈=-+++N n n n （【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”．【练习1】用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n ＋1) ＝1(1)(2)3n n n ++【设计意图】根据例1，学生完成练习1，体会数学归纳法的步骤。