正弦型函数的周期

合集下载

正弦型函数的周期

一、教学目标1.通过学习，让学生掌握正弦型函数周期的推导过程，进而会求解正弦型函数的周期.2.通过学习，让学生体会到整体代换的方法在数学中的重要性，使学生能够熟练并灵活运用它.3.通过正弦函数周期公式的推导过程，让学生感受到数学的美，从而加强学习数学的兴趣.二、教学重难点重点：1.正弦型函数周期的推导过程.2.正弦型函数周期的计算公式.3.整体代换的数学方法.难点：正弦型函数周期的推导过程.三、教学过程1.复习旧知，引入新课里得出周期）师：学习三角函数时，（设计意图：为后面推导正弦型函数的周期奠基基础）师：上一节课我们学习了正弦型函数通过学习我们知道，它与正弦基础上来讨论一下它的周期.（设计意图：让学生知道这两个函数之间的联系，为后面整体代换方法的应用提供依据）2.教师讲解，学习主题首先我们写出正弦型函数师：我们如何把它转化为我们熟悉的正弦函数了？大家还记得我？生：我们使方程变成我们熟悉的一元二次方程.（设计意图：让学生复习整体代换的数学方法，为下面把正弦型函数转化为正弦函数提供基础）生：令（设计意图：让学生感受到成功的喜悦，增强学习的自信心）师：上面一步我们运用了数学一个非常重要的方法整体代换的方法，可见，通过这种方法会把不熟悉的东西变成我们熟悉的东西，通.（设计意图：让学生再次体会整体代换的方法，为得出结论做出铺垫）子？师：我们再把它还原过来，有为了和保持一致，我们把写成（设计意图：为得出最后结论而做铺垫，为学生自己得出总结而理清思路）师：于是有3.得出结论一般地，正弦型函数4.例题讲解，深化主题求下列函数的周期.（1（2（3（45.课堂小结，巩固反思本节课我们学习了正弦型函数的周期求解公式以及它的推导过程，再次体会了一类非常重要的数学方法，整体代换的方法，为以后的数学学习奠定基础.。

正弦型函数的周期

2

f

x

2

由周期函数的定义可知，
T 2 是f x A sin x ( 0)的周期

动脑思考探索新知
一般我们指的周期都是最小正周期
因此我们得到y A sin x 的周期是：T 2 。

注意：正弦函数的周期只与有关
f x T f x 成立，那么，函数 y f x 叫周期函数，常数 T 叫这个函数的一个周期
情境引入
情境引入
在电学中，电流强度的大小和方向都随时间变化的电流叫做交变电流，简称交流电．最简单的是简谐交流电，其电流的大小和方向随时间而变化，满足：
i I m sin(t 0 ) (Im 0, 0, ≤ 0 ≤ )
巩固知识典型例题
例1、求下列函数的最小正周期T.
（1）f (x ) 2sin(1 x )
24
（2）f
x

2 sin

2x

3

解：（1）= 1 ，T
2
2
1
4
2
（2）=2，T 2
2
点评：找准函数中的，即x 的系数。
巩固知识典型例题
例2、求函数y sin x cos 2x cos x sin 2x的周期。
(2) y 3sin(x π)； 3
(3) y sin(1 x π)； 23
(4) y cos 2x sin 2x．
（1） 2π ； 3
（2） 2π；（3） 4π；（4） π ．
理论升华整体建构

三角函数的周期性

.
4
正弦函数的周期性
2. y=sin(ωx) 的最小正周期
设ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx . 令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有
都是
2π
而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定.
.
7
复合函数的周期性
1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
【例题】研究以下函数的周期性：
(1) 2 sinx ； (2) sin x
【解答】 (1)
2 sinx 的定义域为R，值域为
1 2
,
2
，作图可知，
它是最小正周期为2π的周期函数.
如 y sin3x π 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是 2 π
2
3
于是，余弦函数 ycox ssinπxsin xπ的最小正周期与
2 2
sinx的最小正周期相同，都是2π.
.
6
三角函数的单调性
二、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ ωx，sinx →sinωx
后者周期变为 2π ( 0)
而在以下的各种变换中，如
(1)初相变换 sin ωx → sin( ωx+φ)；
(2)振幅变换 sin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)；
(3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m；

三角函数周期性知识点总结

三角函数周期性知识点总结一、三角函数的概念三角函数是一个关于角度或弧度的函数，它是一个周期性函数。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。

1.正弦函数正弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。

正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它的周期是2π。

2.余弦函数余弦函数的定义域是整个实数集，值域也是[-1,1]。

余弦函数的图像是一条连续的波浪线，它的周期也是2π。

3.正切函数正切函数的定义域是整个实数集，它的图像是一条呈周期性的曲线。

以上是三角函数的基本概念，下面将详细介绍三角函数的周期性特点。

二、正弦函数的周期性正弦函数是一个周期性函数，它的周期是2π。

这意味着，如果一个角度的正弦值是sinθ，那么在θ+2π、θ+4π、θ+6π……等角度上，它的正弦值都是sinθ。

也就是说，正弦函数在每隔2π的角度上都有相同的函数值。

正弦函数的周期性在周期函数中是非常典型的，它在描述周期性现象时有着广泛的应用。

在物理学中，正弦函数可以描述周期性振动的规律，在工程学中，它也常被用来描述交流电流的波形。

三、余弦函数的周期性与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期性函数，它的周期也是2π。

这意味着，如果一个角度的余弦值是cosθ，那么在θ+2π、θ+4π、θ+6π……等角度上，它的余弦值都是cosθ。

正弦函数与余弦函数有着相似的周期性特点，它们都在每隔2π的角度上都有相同的函数值。

这说明，正弦函数和余弦函数的周期性是非常紧密相关的，它们在周期性描述上有着相似的特点。

四、三角函数的周期性函数三角函数的周期性特点是它们在描述周期性现象时非常有用的特性。

它们可以帮助我们精确地描述周期性变化，是物理学、工程学等领域中不可或缺的数学工具。

在实际应用中，我们经常会遇到需要描述周期性变化的情况，比如声音的波形、电流的波形、机械振动等。

而三角函数的周期性特点正好可以帮助我们准确地描述这些周期性变化。

总结：三角函数是数学中非常重要的一个概念，它们具有明显的周期性特点。

函数的周期性解读

函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ）的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2.于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ）的周期性【例题】研究以下函数的周期性：（1）2 sin x ；（2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】（1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】函数 y =|sin 2x|的最小正周期为（A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ）【说明】图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】（1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】（1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】（1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若时 f (x ) = si nx 试求的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x + 3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k .【说明】先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02s i n4141=+x 得 4π=x 故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】（1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下：由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1）由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2）从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。

三角函数的单调性与周期知识点

三角函数的单调性与周期知识点三角函数是数学中一类重要的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

研究三角函数的单调性与周期是深入理解和应用三角函数的基础。

在本文中，我们将重点讨论三角函数的单调性与周期的相关知识点。

一、正弦函数的单调性与周期正弦函数是最常见的三角函数之一，可以表示周期性的波动现象。

正弦函数的标准形式为：f(x) = A*sin(Bx + C) + D，其中A、B、C和D 为常数。

1. 单调性：正弦函数的单调性与其幅值A有关。

当A>0时，正弦函数在每个周期内先上升后下降，即先递增后递减，如图1所示。

当A<0时，正弦函数在每个周期内先下降后上升，即先递减后递增，如图2所示。

插入图1和图22. 周期：正弦函数的周期与参数B有关。

正弦函数的周期为2π/B，其中B 为正数。

当B增大时，正弦函数的周期变短，波动速度加快；当B减小时，正弦函数的周期变长，波动速度减慢。

二、余弦函数的单调性与周期余弦函数也是常用的三角函数之一，可以表示周期性的波动现象。

余弦函数的标准形式为：f(x) = A*cos(Bx + C) + D，其中A、B、C和D为常数。

1. 单调性：余弦函数的单调性与其幅值A有关。

当A>0时，余弦函数在每个周期内先下降后上升，即先递减后递增，如图3所示。

当A<0时，余弦函数在每个周期内先上升后下降，即先递增后递减，如图4所示。

插入图3和图42. 周期：余弦函数的周期与参数B有关。

余弦函数的周期为2π/B，其中B 为正数。

当B增大时，余弦函数的周期变短，波动速度加快；当B减小时，余弦函数的周期变长，波动速度减慢。

三、正切函数的单调性与周期正切函数是三角函数中的一种特殊函数，可以表示角度的对称性关系。

正切函数的标准形式为：f(x) = A*tan(Bx + C) + D，其中A、B、C 和D为常数。

1. 单调性：正切函数在每个周期内都存在间断点，因此不存在严格的单调性。

三角函数正弦余弦正切

三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。

它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。

本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。

一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。

正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。

5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。

二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。

余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。

5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。

三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。

正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。

正弦函数的周期性(周期性、奇偶性、单调性)

y A sin( x ，它的周期 )
T 2
是多少?
•

正弦函数的奇偶性
• 奇函数定义：如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有f(-x)=-f(x), 则称这个函数为奇函数。
奇函数关于原点对称
• 偶函数定义：如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有f(-x)=f(x), 则称这个函数为偶函数。偶函数关于y轴对称
1
-1
1
-1
周期性
1
-1
奇偶性
1
-1
单调性
正弦函数的周期性
• 周期函数的定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，
使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 f(x)=sinx的周期为2kπ
• 最小正周期的定义：
• 因此：
正弦函数y=sinx是关于原点对称的奇函数其对称轴是 x

2
k ，且关于
（kπ，0）对称
5 y sin(2 x ) 2 例2.
的图象的一条对

2
称轴是（）
• A.
A
x
B.
x

4
• C.
x

8
D
5 x 4
三角函数的单调性
1
3 2 k , 2 k • y=sinx的在每一个闭区间 _______________________ 2 2
y 3sin 2 x
sin( )
• 例4.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
• （1） sin( 与 ) 18

三角函数的周期及变换规律

三角函数的周期及变换规律三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

本文将探讨三角函数的周期及其变换规律，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

首先，我们来了解三角函数的周期。

对于正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)来说，它们的周期都是2π。

这意味着在一个周期内，函数的值会重复出现。

例如，当x取0时，sin(0)=0，当x取2π时，sin(2π)=0，当x取4π时，sin(4π)=0，以此类推。

同样地，cos(x)在一个周期内的取值也是如此。

而对于正切函数tan(x)来说，它的周期是π。

也就是说，当x取0时，tan(0)=0，当x取π时，tan(π)=0，当x取2π时，tan(2π)=0，以此类推。

需要注意的是，正切函数在π/2和3π/2这两个点处是无定义的，因为在这些点上，tan(x)的值会趋向于无穷大。

了解了三角函数的周期后，我们可以来探讨它们的变换规律。

首先是平移变换。

对于正弦函数sin(x)来说，当我们将x替换为x-a时，函数会向右平移a个单位。

例如，sin(x-π/2)的图像与sin(x)的图像相比，向右平移了π/2个单位。

同样地，cos(x-a)和tan(x-a)也遵循这一规律。

其次是伸缩变换。

当我们将x替换为kx时，函数会在x轴上进行伸缩。

对于sin(kx)来说，当k>1时，函数会在x轴上收缩，当0<k<1时，函数会在x轴上拉伸。

类似地，cos(kx)和tan(kx)也遵循这一规律。

需要注意的是，当k为负数时，函数的图像会关于x轴进行翻转。

最后是垂直方向的变换。

当我们将函数的值乘以一个常数a时，函数会在y轴上进行伸缩。

例如，当我们将sin(x)的值乘以2时，函数的振幅会增大，图像会在y轴方向上拉伸。

同样地，cos(x)和tan(x)也遵循这一规律。

通过平移、伸缩和垂直方向的变换，我们可以根据需要调整三角函数的图像，以适应不同的情况。

这在几何、物理和工程等领域中具有重要的应用。

三角函数的周期性

三角函数的周期性三角函数是我们在学习高中数学时必修的一门课程。

在三角函数中，周期性是一个重要的概念。

周期性是指函数在一定范围内的值有规律地重复出现。

在三角函数中，有三种函数具有周期性，它们分别是正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数的周期性正弦函数的周期性是指在一定范围内，正弦函数的值会按照一定的规律循环出现。

正弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。

正弦函数的图像是一条连续的波形，它的形状是上下有限的缓慢起伏的波浪线。

正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的值会从1降到-1，再从-1升到1。

如果我们对正弦函数进行平移和拉伸，则周期会发生变化。

余弦函数的周期性余弦函数与正弦函数非常相似，它们的周期相同，都是2π。

余弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。

余弦函数的图像也是一条连续的波形，形状上下有限的缓慢起伏的波浪线。

余弦函数的周期与正弦函数的周期相同，但是它们的波形有所不同。

余弦函数的波形是将正弦函数的波形上下翻转再向左平移π/2个单位，即余弦函数的波形是正弦函数波形上下翻转，再向左移动π/2个单位。

正切函数的周期性正切函数是另一种具有周期性的三角函数。

正切函数的定义域是所有不为π/2+ kπ，k∈Z的实数，值域是实数集。

正切函数的图像是一条不连续的波形，它在每个周期内重复出现。

正切函数的周期是π，即在一个周期内，正切函数的值会从0降到-∞，再从-∞升到0，然后从0升到∞，最后再从∞降到0。

正切函数在定义域内存在无限个不连续点，因此它的图像是由一条条的线段组成，每个线段的斜率为正或负无穷。

三角函数的周期性在数学中有着广泛的应用。

它们除了可以用来描述波的传播、音乐和图形外，还可以用来描述周期性运动、波动和天文学等领域中的现象。

周期性是三角函数的一个特性，在实际问题中经常有用的信息，了解三角函数的周期性可以帮助我们更好地分析和解决实际问题。

总之，在学习三角函数时，我们需要深入理解周期性的概念，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的周期，为日后更深入地研究三角函数打下良好的基础。

三角函数的周期性与应用

三角函数的周期性与应用三角函数是高中数学中重要的内容之一，它包括了正弦函数、余弦函数和正切函数等。

这些函数具有周期性的特点，周期性的应用广泛存在于物理、工程、音乐等领域中。

本文将从周期性的定义入手，介绍三角函数的周期性特点，并探讨其在实际应用中的重要性。

一、周期性的定义周期性是指某个函数在一定范围内反复重复的性质。

对于三角函数来说，周期性是它们最基本的特征之一。

1. 正弦函数的周期性正弦函数的定义为$f(x) = \sin(x)$，其中$x$为自变量，$f(x)$为函数值。

正弦函数的图像在数学坐标系中表现为一条起伏波动的曲线。

其周期为$2\pi$，表示正弦函数在$x$轴上反复重复的间隔。

即使对于不同的自变量，如$2\pi$、$4\pi$等，正弦函数的值也会相同。

这种周期性使得正弦函数在实际应用中有着重要的作用。

2. 余弦函数的周期性余弦函数的定义为$f(x) = \cos(x)$。

余弦函数与正弦函数非常相似，它们的周期也均为$2\pi$。

但是，余弦函数的图像在$x$轴上的起点并不是在零点，而是在$\frac{\pi}{2}$。

除此之外，余弦函数与正弦函数在周期性上的特点是一致的。

3. 正切函数的周期性正切函数的定义为$f(x) = \tan(x)$。

正切函数的图像在$x$轴上也具有周期性，其周期为$\pi$。

正切函数的图像是一条以原点为对称中心的曲线。

二、周期性的应用三角函数的周期性在实际应用中有着广泛的应用。

下面将从物理、工程和音乐三个领域中具体介绍其中的应用。

1. 物理应用在物理学中，三角函数的周期性被广泛应用于波动的描述。

例如，声波在传播过程中经历周期性的变化。

正弦函数可以用来描述声波的波形，通过调整正弦函数的振幅和频率，可以表达不同的音调和音量。

此外，光波、电磁波等也可以利用三角函数的周期性进行分析和描述。

2. 工程应用在工程领域中，周期性在信号处理、通信等方面有着重要的应用。

例如，调制技术中使用正弦函数来传输信息信号，通过调整正弦函数的频率和振幅调制出不同的信号。

正弦函数、余弦函数周期性

倍角公式可以用来理解正弦函数和余弦函数的周期性，例如，通过倍角公式可以推导出正弦函数和余弦函数的半角公式，进而理解函数的周期性。
三角函数的和差化积公式与周期性
和差化积公式
sin(a+b)和cos(a+b)可以通过sin(a)、 cos(a)、sin(b)、cos(b)的和差化积公式计算得出。
周期性
03
在代数和微积分中，正弦函数和余弦函数也经常出现。例如，在求解微分方程时，可以使用正弦函数和余弦函数的性质来简化问题。
在物理、工程等领域的应用
在物理学中，正弦函数和余弦函数广泛应用于振动、波动和交流电等领域。例如，简谐振动的位移、速度和加速度都可以用正弦函数和余弦函数来表示。
在工程领域，正弦函数和余弦函数也经常被用于解决与周期性变化相关的问题。例如，在机械工程中，可以使用正弦函数和余弦函数来描述旋转运动；在电子工程中，正弦函数和余弦函数用于描述交流电的电来自和电流。在日常生活中的应用
正弦函数和余弦函数在日常生活中的应用也非常广泛。例如，在计算投资回报率时，可以使用正弦函数和余弦函数的性质来分析利率的变化；在气象学中，可以使用正弦函数和余弦函数来描述气候的周期性变化。
此外，正弦函数和余弦函数还在音乐、摄影等领域有应用。例如，在音乐中，可以使用正弦函数和余弦函数来描述音调和节奏；在摄影中，可以使用正弦函数和余弦函数的性质来调整图像的亮度和对比度。
02
正弦函数、余弦函数周期性的性质
最小正周期
1 2
3
最小正周期定义
对于函数y=Asin(ωx)+b或y=Acos(ωx)+b，如果存在一个最小的正数T，使得当x取T内的任何值时，函数值都能重复出现，那么T就是该函数的最小正周期。

三角函数的周期与频率

三角函数的周期与频率三角函数是数学中的重要概念之一，它具有周期性和频率性的特点。

本文将介绍三角函数的周期与频率，并讨论它们在实际问题中的应用。

一、周期的定义周期是指函数在一定区间内重复出现的性质。

对于三角函数而言，周期是指函数的基本图形在横轴上重复出现的最小区间长度。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都具有周期性。

二、正弦函数的周期与频率正弦函数的周期是2π，也就是说，正弦函数的图像在横轴上每隔2π个单位长度重复一次。

在数学表示上，正弦函数可以用sin(x)表示，其中x是自变量。

频率是指单位时间内完成一个周期的次数。

在正弦函数中，频率与周期的倒数是相等的。

由于一个周期是2π，所以频率就是1/2π，即约0.159。

频率的单位是赫兹(Hz)。

三、余弦函数的周期与频率余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。

余弦函数可以用cos(x)表示，其中x是自变量。

与正弦函数类似，余弦函数的频率也是1/2π。

四、正切函数的周期与频率正切函数的周期是π，也就是说，正切函数的图像在横轴上每隔π个单位长度重复一次。

正切函数可以用tan(x)表示，其中x是自变量。

正切函数的频率是1/π。

五、应用举例三角函数的周期与频率在实际问题中有广泛的应用。

举例来说，电流的变化可以用正弦函数来描述。

在交流电路中，电流的周期是50Hz，频率是1/50s。

此外，三角函数的周期与频率还在信号处理、音乐、振动学等领域有着广泛的应用。

通过对三角函数的周期与频率的研究和分析，可以更好地理解和描述各种周期性现象，为相关问题的解决提供有效的方法和工具。

六、总结三角函数是周期性和频率性的函数，其中正弦函数、余弦函数和正切函数都具有周期性。

正弦函数和余弦函数的周期都是2π，频率是1/2π；正切函数的周期是π，频率是1/π。

三角函数的周期与频率在实际问题中有广泛的应用，帮助人们更好地理解和解决相关问题。

通过本文的介绍，相信读者对三角函数的周期与频率有了更深入的了解。

正弦型函数的周期教案(高教版拓展模块)

1.2.1 正弦型函数的周期一、教学目标1．使学生理解函数周期性的概念。

2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。

二、教学重、难点1. 教学重点：(1)周期函数的定义；(2)正弦、余弦函数、正切函数的周期性；2. 教学难点：周期函数与最小正周期的意义。

三、教学设想：（一）情境导入：T ：今天是星期一，7天之后星期几？S ：星期一T ：14天之后呢？S ：还是星期一T ：自然界还有许多类似的现象，比如每个星期都是从星期一到星期天。

你能找到类似的实例吗？S ：每年都有春、夏、秋、冬，地理课上的地球的自转，公转。

T ：这些现象有什么共同特点呢？S ：都给我们重复、循环的感觉T ：同学总结的很好，它们都可以用“周而复始”来描述，我们把这些现象叫做周期现象。

[设计思路：通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，激发学生的求知欲]我们已经学习了正弦函数和余弦函数，在物理、电工和工程技术中，经常会遇到形如()sin y A x ωϕ=+的函数，这类函数叫做正弦型函数，它与正弦函数有着密切的联系。

正弦函数的周期是2π，那么()sin y A x ωϕ=+的周期又是多少呢？（二）探讨过程：1、我们先看函数周期性的定义．定义对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．需要注意的几点：①T 是非零常数。

②任意x D ∈，都有x T D +∈，0T ≠，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件。

③任取x D ∈，就是取遍D 中的每一个x ，可见周期性是函数在定义域上的整体性质。

理解定义时，要抓住每一个x 都满足),()(x f T x f =+成立才行；④周期也可推进，若T 是)(x f y =的周期，那么2T 也是)(x f y =的周期.⑤对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.2、函数()sin y A x ωϕ=+的周期()()sin f x A x ωϕ=+(0)ω>()()()sin sin 2f x A x A x ωϕωϕπ=+=++22sin A x f x ππωϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 由周期函数的定义可知，()()sin f x A x ωϕ=+(0)ω>的周期是：2T πω=一般我们指的周期是最小正周期，()()sin (0)f x A x ωϕω=+<的周期又是多少呢？很显然，是2πω的绝对值。

正弦型函数对称轴公式

正弦型函数对称轴公式正弦型函数对称轴公式是数学中的一个重要公式，它可以帮助我们更好地理解正弦函数的性质和特点。

在本文中，我们将详细介绍正弦型函数对称轴公式的含义、推导过程和应用。

让我们来了解一下正弦函数的基本性质。

正弦函数是一种周期函数，它的图像呈现出一种波浪形状。

正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的值都会重复出现。

此外，正弦函数的取值范围在[-1,1]之间。

接下来，我们来看一下正弦型函数对称轴公式的含义。

正弦型函数对称轴公式是指，对于任意一个正弦函数y=Asin(wx+b)，其对称轴的方程为x=-b/w。

这个公式告诉我们，正弦函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其位置取决于函数中的参数b和w。

那么，这个公式是如何推导出来的呢？我们可以通过对正弦函数的图像进行分析来得到答案。

正弦函数的图像呈现出一种对称性，即在对称轴两侧的函数值相等。

因此，我们可以通过求解对称轴方程来确定对称轴的位置。

具体来说，我们可以将正弦函数表示为y=Asin(wx+b)=A[sin(wx)cos(b)+cos(wx)sin(b)]，然后将其化简为y=Acos(b)sin(wx)+Asin(b)cos(wx)。

由于正弦函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，因此我们可以令x=-b/w，从而得到y=Asin(wx+b)=Acos(b)sin(-1)+Asin(b)cos(-1)=Asin(-b/w+b)。

让我们来看一下正弦型函数对称轴公式的应用。

正弦型函数对称轴公式可以帮助我们更好地理解正弦函数的图像和性质。

例如，我们可以通过对称轴公式来确定正弦函数的对称轴位置，从而更好地理解正弦函数的对称性。

此外，对称轴公式还可以用于求解正弦函数的零点和最值等问题。

正弦型函数对称轴公式是数学中的一个重要公式，它可以帮助我们更好地理解正弦函数的性质和特点。

通过对这个公式的学习和应用，我们可以更好地掌握正弦函数的知识，从而更好地应用于实际问题中。

正弦函数的周期是

正弦函数的周期是
正弦函数的周期公式是：T=2π。

正弦函数是三角函数的一种。

定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin x，叫做正弦函数。

正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sin A=b/sin B=c/sin C。

在直角三角形ABC中，∠C=90°，y为一条直角边，r为斜边，x为另一条直角边（在坐标系中，以此为底），则sin A=y/r,r=√（x^2+y^2）。

将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。

出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），假如存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（xT）=f （x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

正弦函数的周期与频率关系

正弦函数的周期与频率关系正弦函数是高中数学中的重要概念之一，它在各个学科中都有广泛的应用。

在学习正弦函数时，我们常常会遇到两个关键概念，即周期和频率。

本文将详细探讨正弦函数的周期与频率之间的关系。

首先，我们需要了解正弦函数的基本概念。

正弦函数是一种周期函数，它的图像在坐标系中呈现一条连续的波形。

这个波形在某个水平线上下起伏，同时具有周期性，即每个周期内的波形重复出现。

正弦函数的基本形式可以表示为y = A*sin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D是常数。

接下来，我们来研究正弦函数的周期与频率之间的关系。

周期是指正弦函数图像中一个完整波形所需要的水平距离，通常用T来表示。

频率是指单位时间内波形重复出现的次数，通常用f来表示。

显然，周期T与频率f之间存在着以下关系：T = 1/f也就是说，周期的倒数等于频率。

这是因为周期表示了一个完整波形的时间长度，而频率表示了单位时间内波形重复出现的次数。

周期和频率是互为倒数的。

那么，正弦函数中的B值与周期、频率有什么关系呢？我们知道，正弦函数的周期是由B值决定的。

具体来说，B = 2π/T，其中2π是一个完整的圆周，T是周期。

由这个公式可以看出，B值与周期成反比。

当周期变大时，B值就变小；而当周期变小时，B值就变大。

也就是说，周期越大，正弦函数的波形图像在水平方向上的起伏变化越为缓慢；而周期越小，波形的起伏变化越为剧烈。

最后，我们来探讨D值对周期和频率的影响。

D值表示了正弦函数图像在垂直方向上的平移，即整个波形在y轴上的上下平移。

D值的变化不会改变正弦函数的周期和频率，它只会使整个波形在纵向上发生平移。

当D值增加时，整个波形会向上平移；而当D值减小时，波形则会向下平移。

综上所述，正弦函数的周期与频率之间存在着倒数关系。

周期越大，频率越小；周期越小，频率越大。

而正弦函数中的B值与周期和频率成反比，D值则只会对波形图像进行上下平移。

对于学习正弦函数来说，理解周期与频率的关系是非常重要的，它有助于我们更好地理解正弦函数的性质和应用。

正弦函数角速度

正弦函数角速度
正弦函数是一种在数学中非常重要的函数，它描述的是一个周期性的振动。

正弦函数的周期是2π，它的图像是一个在y轴上以0为中心点上下波动的曲线。

正弦函数通常用以下的公式表示：
y = A sin(ωx + φ)
其中A是振幅，ω是角速度，φ是初相位，x是自变量。

角速度指的是单位时间内角度的改变量，通常用弧度表示。

对于正弦函数来说，角速度是周期的倒数，即
ω = 2π/T
其中T是周期。

因此，我们可以通过周期来计算角速度。

在实际应用中，正弦函数经常用于描述振动的行为，如机械振动、电路中的交流电信号等。

在这些场合中，我们需要了解振动的频率和幅度，以便进行有效的控制和优化。

因此，正弦函数的角速度是非常重要的物理量之一。

除了正弦函数，还有许多其他的周期函数，它们的角速度也可以通过周期来计算。

这些函数包括余弦函数、正切函数等等。

这些函数在不同的领域中都有广泛的应用，例如音乐中的音调、天文学中的星体运动等。

总之，角速度是正弦函数中一个非常重要的物理量，它描述了周期性振动的频率。

对于许多实际应用，我们需要了解角速度的大小和作用方式，才能进行有效的控制和优化。

- 1 -。