波的分析

例 一平面简谐波动在弹性媒质中传播时，在 传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的 能量是 （1）动能为零，势能最大 （3）动能最大，势能最大 （2）动能为零，势能为零 （4）动能最大，势能为零
二
惠更斯原理 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波 的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是 新的波前. 这就是惠更斯原理.
平 面 波
球 面 波
O
三 波的干涉 1 波的叠加原理

几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征 （频率、波长、振幅、振动方向等）不变, 并按照原来 的方向继续前进, 好象没有遇到过其他波一样.（独立性） 在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在 时在该点所引起的振动位移的矢量和.（叠加性）
2π
x

x
k π
k 0,1,2,
k 0,1,2,
波腹 波节
x
2 1 (k ) k 0,1, Amin 0 2 2
k

k 0,1, Amax 2 A
1 2 π (k ) π 2
2 相邻波腹和波节间距 4
相邻波腹（节）间距
（3）在 0 t 0.050 s 内的什么时刻，线上所
有点的横向速度为零？
令 cos 40 π t 1
1 则 40 π t k π (k 0, ,2)
1 即 t k 40
所以横向速度为零的时刻为：
1 1 t1 0s t 2 s t3 s 40 20
2 波的干涉
频率相同、 振动方向平行、
相位相同或相位
差恒定的两列波 相遇时，使某些 地方振动始终加 强，而使另一些
地方振动始终减
弱的现象，称为 波的干涉现象.
s1 s2
波源振动
r1
r2
*
P
y1 A1 cos(t 1 )
y2 A2 cos(t 2 )
y1 p A1 cos( t 1 2π r1 )
s1*
s2*
2
解
p
*
2.2
( 4.4π) (3.5π) π
1 y1 p A cos(2πt π 4π) 2 y2 p A cos(2πt 4.4π)
y2 A cos(2πt )
1 .9 π 0.1π
y2 A cos(2πt 1.9π) y2 A cos(2πt 0.1π)
一
波动能量的传播 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点 均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能. 同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能. 以一列绳子上的横波为例分析波动能量的传播.
ym
O
y

(a )
(b)
x
dx
dx
ym
O
y

(a )
(b)
x
dx
dx
取长度为dx 的体积元

体积元在平衡位置（a）时，动能、势能和总 机械能均最大. 体积元在位移最大处（b）时，三者均为零. 波动是能量传递的一种方式 .
2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节 两侧振动相位相反，在波节处产生 的相位跃变 . （与行波不同，无相位的传播）.
π
2 4
y
o
4
3
2 4
x
例
在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动 （2）振幅不同，相位相同
（1）振幅相同，相位相同 （3）振幅相同，相位不同
（4）振幅不同，相位不同
三 相位跃变（半波损失）
请观察在反射点入射波和反射波两振动的相位关系
u
较 小
波 疏 介 质
u
较 大
波 密 介 质
当波从波疏介 质垂直入射到波密介质， 入射波与反射波在此处的 相位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变， 相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.
π
请观察在反射点入射波和反射波两振动的相位关系
当波从波密介质垂直入射到波疏介质，入射波 与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界 处不产生相位跃变.
四
驻波的能量
位移最大时
波 节百度文库
波 腹 A B C
x x
平衡位置时
驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化， 但无长距离的能量传播.
例 已知一根线上的驻波方程为
y 0.040sin 5 π x cos40 π t 1）求在 0 x 0.40 m内所有波节的位置.
A A 2 A1 A2 cos r2 r1 2 1 2π A
2 1 2 2
2) 合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分 布随位置而变，但是稳定的.
讨论
A
A A 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
2 1 2π
r2 r1
15m
10 m 0.10 m 100
20m
B 设 A 的相位较 B 超 前，则 A B π .
u
A
B A 2π
点P 合振幅
BP AP
25 15 π 2π 201 π 0.1 A A1 A2 0
例 s1 , s2 为两相干波源，它们的振动方向均垂直 于画面并发出波长为 的简谐波，P 点是两列波相遇 区域中的一点，距离如图，P 点发生相消干涉，s1 的 振动方程为 y1 A cos(2πt π 2) 求 s 2的振动方程.
点P 的两个分振动 r2 y2 p A2 cos( t 2 2π )
s1 s2
r1
r2
点P 的两个分振动
* P
y p y1 p y2 p A cos(t )
tan A1 sin(1 2π r1 ) A2 sin( 2
r1 y1 p A1 cos( t 1 2π ) r2 y2 p A2 cos( t 2 2π )
解 由 sin 5 π x 0 得 5 π x k π (k 0,1,2)
1 则 x k 所以，波节为： 5 x1 0m, x2 0.20m, x3 0.40m.
2）求线上除波节点之外的任意点的振动周期是多少？ 解 驻波的波节点不动，其它各点以相同的周期 振动 由
40π 2 T 0.05s
B
一 驻波的产生
振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊
的干涉现象.
驻波的形成
二 驻波方程 正向
负向
y1 A cos 2π (t
y 2 A cos 2π (t
x

)
)
x
y y1 y2
A cos 2π (t x
2π r2 )
2π r1 2π r1 A1 cos(1 ) A2 cos( 2 )
A
A A 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
2 1 2π
r2 r1

常量
讨论
1)
2k π k 0,1,2, A A1 A2 振动始终加强 (2k 1) π k 0,1,2, A A1 A2 振动始终减弱 其他 A1 A2 A A1 A2

x 2 A cos 2π cos 2π t
驻波的振幅 与位置有关
) A cos 2π (t
x

)
各质点都在作同 频率的简谐运动
讨论
驻波方程 y 2 A cos 2π x 1）振幅 2 A cos 2π 随 x 而异.
x

cos 2π t

cos 2 π
x


1 0
若 1 2 则 2 π

波程差
r2 r1
k
k 0,1,2,
振动始终加强
A A1 A2
3)
(k 1 2)
A A1 A2
k 0,1,2,
振动始终减弱

其他
A1 A2 A A1 A2
例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波 源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波 峰时，点B 恰为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B 发出的两列波传到点P 时干涉的结果. 解 BP 152 202 m 25 m P
2π (r2 r1 ) 2π r r2 干涉相消时 (2k 1) π k 0,1,2, A r1 r (2k 1) 2 u k 0 (r ) min 0.57m 2 2
例：干涉消声器结构原理如图，当发电机噪声经过 排气管达到 A 时分成两路在 B 点相遇，声波干涉相 消，若频率 300Hz，则弯管与直管的长度差至 少应为多少？（声波的速度 u 340m/s ）