最优化理论与算法(六)一维搜索
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最优化方法-一维搜索
优点：按Ｆ法确定插入点的位置，所需使用的观测点的个数最少． Ｆ数列各数所表示的物理意义： Fn ：插入n个点后可以缩短为单位长度为一的区间的最大长度．
按任务方式插入n个观测点后，剩下的搜索区间的长度不少于原初始长 度的1／ Fn
令缩短后的长度为Ｓ，有： Ｓ （b-a）/ Fn
• Ｆibonacci数列：
• ＝b- (b-a)=a+(1- )(b-a)
• =a+ (b-a)
•
• 2 0.618法算法
设
值
(t)是单谷函数，［ a
t
与精确极小点
t*
0的，最b大0 ］绝是对初误始差搜t索 区t * 间 ， 要求精确极小点近似
记：a= a0,b= b0 , =0.618.
(1) =a+(1- )(b-a), 1 = ()
进退算法的基本步骤：
（（（t0１ ２ ３点 回）））及升：：：，首若若t则0先［＋tt任t00h0＋＋选点，hh一t的点点n个函］的的初数就函 函始值是数 数点．一值 值个下 上t0搜降 升，索， ，初区继 则始间续 从步，前长t算进0h法点,，进停退直到止到到．t某0t个＋0 －ht，h0点并点．计的算函数值
4= a4 +( F0 / F2
b4
)(
=
b4
3 /a4
=2.5 , 4= 3 = 1.625
)=0.75+1/2*1.75=1.625
这时，
＝
4
，（因为已到k=3=n-2)
4
K=4, 因此
(5取5 =)a=0t5.41＝＝=410.,.6542（(5＝b,515).＋5=6=02a.550,47b+6）50,.＝1＝=2(1.b.05476)2255>＝2(.55 )
按任务方式插入n个观测点后，剩下的搜索区间的长度不少于原初始长 度的1／ Fn
令缩短后的长度为Ｓ，有： Ｓ （b-a）/ Fn
• Ｆibonacci数列：
• ＝b- (b-a)=a+(1- )(b-a)
• =a+ (b-a)
•
• 2 0.618法算法
设
值
(t)是单谷函数，［ a
t
与精确极小点
t*
0的，最b大0 ］绝是对初误始差搜t索 区t * 间 ， 要求精确极小点近似
记：a= a0,b= b0 , =0.618.
(1) =a+(1- )(b-a), 1 = ()
进退算法的基本步骤：
（（（t0１ ２ ３点 回）））及升：：：，首若若t则0先［＋tt任t00h0＋＋选点，hh一t的点点n个函］的的初数就函 函始值是数 数点．一值 值个下 上t0搜降 升，索， ，初区继 则始间续 从步，前长t算进0h法点,，进停退直到止到到．t某0t个＋0 －ht，h0点并点．计的算函数值
4= a4 +( F0 / F2
b4
)(
=
b4
3 /a4
=2.5 , 4= 3 = 1.625
)=0.75+1/2*1.75=1.625
这时，
＝
4
，（因为已到k=3=n-2)
4
K=4, 因此
(5取5 =)a=0t5.41＝＝=410.,.6542（(5＝b,515).＋5=6=02a.550,47b+6）50,.＝1＝=2(1.b.05476)2255>＝2(.55 )
3.3 一维搜索方法 (一维优化)
2 3
并令： h 2h
x3 x 2 h ，求 y3 f ( x3 )
重复上述步骤，直到函数值出现“高-低-高”为止。
4. 若在步骤2中，出现 y1 y 2 (图a虚线)，则应作后退运算: 令：h h0 置换：x3 x1 y 3 y1 ； x1 x2 y1 y2 ；x2 x3 y2 y3 再令：h 2h
2 2 2 2 ( x2 x3 ) f1 ( x3 x12 ) f 2 ( x12 x2 ) f 3 b ( x1 x2 )( x2 x3 )( x3 x1 )
教材中，c的表达式缺-号
c
( x3 x2 ) x2 x3 f1 ( x1 x3 ) x1 x3 f 2 ( x2 x1 ) x1 x2 f 3 ( x1 x2 )( x2 x3 )( x3 x1 )
入口
x
(0),ε
X
(1)=x(0)－f/x(0)/f//x(0)
∣f/x(1)∣≤ε 或∣x(1)－x(0)∣≤ε ?
x
(＊)：=x (1)
x
(0)：=x (1)
出口
4 3 2 例： 试用牛顿法求 f ( x) 1 x 2 x 2 x 7 x 8 4 3 值，已知探索区间为[a,b]=[3,4],ε=0.05。
4、牛顿法的特点 优点：收敛速度较快 缺点： 1）计算f’ 、f’’，计算工作量大。 2）用数值微分计算f’ 、f’’时，舍入误差会影响收敛速度。 3）x0与 x不能离太远，否则会发散或收敛于非极小点。 与0.618法比较： 0.618 法：1）收敛慢 2）对函数要求不严格 牛顿法正好相反。
5、牛顿法的框图
x3 x 2 h
3. 若 y 2 y1 ，应作前进运算(图a实线)：
并令： h 2h
x3 x 2 h ，求 y3 f ( x3 )
重复上述步骤，直到函数值出现“高-低-高”为止。
4. 若在步骤2中，出现 y1 y 2 (图a虚线)，则应作后退运算: 令：h h0 置换：x3 x1 y 3 y1 ； x1 x2 y1 y2 ；x2 x3 y2 y3 再令：h 2h
2 2 2 2 ( x2 x3 ) f1 ( x3 x12 ) f 2 ( x12 x2 ) f 3 b ( x1 x2 )( x2 x3 )( x3 x1 )
教材中，c的表达式缺-号
c
( x3 x2 ) x2 x3 f1 ( x1 x3 ) x1 x3 f 2 ( x2 x1 ) x1 x2 f 3 ( x1 x2 )( x2 x3 )( x3 x1 )
入口
x
(0),ε
X
(1)=x(0)－f/x(0)/f//x(0)
∣f/x(1)∣≤ε 或∣x(1)－x(0)∣≤ε ?
x
(＊)：=x (1)
x
(0)：=x (1)
出口
4 3 2 例： 试用牛顿法求 f ( x) 1 x 2 x 2 x 7 x 8 4 3 值，已知探索区间为[a,b]=[3,4],ε=0.05。
4、牛顿法的特点 优点：收敛速度较快 缺点： 1）计算f’ 、f’’，计算工作量大。 2）用数值微分计算f’ 、f’’时，舍入误差会影响收敛速度。 3）x0与 x不能离太远，否则会发散或收敛于非极小点。 与0.618法比较： 0.618 法：1）收敛慢 2）对函数要求不严格 牛顿法正好相反。
5、牛顿法的框图
x3 x 2 h
3. 若 y 2 y1 ，应作前进运算(图a实线)：
一维搜索-最优化方法
������2=0.538， ƒ2 = 1.751， ������1=������3+������������23 ������3 − ������3 =0.231
则ƒ2 = 1.822， ƒ1 > ƒ2，故得新区间为 [������4，������4]=[0.231， 0.846]
第五次迭代：
取������2=0.538， ƒ2 = 1.751， ������1=������2 − 0.1 ������4 − ������4 =0.477
问题3：按什么方式取点，求n次函数值之后多长的原始区间 缩短为最终区间长度为1？
• １：Ｆibonacci数列：
• F0 =1 ;
F1 = 1 ;
F 迭代公式：Fn2 ＝ Fn1 ＋ n
•
；n 非负整数
n
0
1
2
3
4
5
6
7
…..
1
1
23ຫໍສະໝຸດ 5813 21 …..
Fn
设Ln表示试点个数为n，最终区间长度为1时的原始区间[a ,b] 的最大可能的长度，现在找出Ln的一个上界。设最初的两个 试点为x1,x2,且且x1< x2 。如果极小点位于[a , x1]内，则我们 至多还有n-2个试点，因此x1-a≤Ln-2；如果极小点位于[x1 , b] 内，则包括x2在内还可以有n-1个试点，因此b- x1≦Ln-1。
t （１中）任若设取［两 (a点t,1b)］t1<是<单(tt2谷2) ，函，则数那搜么(索t有) 区的：间一可个缩已短知为搜*［索a区, 间t2］，.在［a,b］
( 2 ) 若 (t1 ) (t2 )，则搜索区间可缩短为［ t1，b］
第三章 一维搜索
迭代点x(k)，当k=0时，X(0)称为初始点 搜寻方向 S(k) 步长a（k）
一维搜索方法概述
在优化设计的迭代运算中，在搜索方向S(k) 上寻求最优步长 a（k）的方法称一维搜索法。实 际上一维搜索法就是一元函数极小化的数值迭代 算法，其求解过程称为一维搜索。 一维搜索法是非线性优化方法的基本算法， 例如：下图所示的二维优化的例子。
1、若f2 <f1(或者y2<y1) 方，应若f2>f1(或者y2>y1) ，则极小点位于 α (1)左 方，应反向后退搜索。
二、前进搜索(f2<f1)
以α（2）为初始点，以h为步长, 前进搜索得到 第三个试点方向的α（3） ， α（3） =α（2） +h= α（1） +2h，其函数值f3与f2比较有如下情况: 1.f2<f3 2.f2>f3
2
*
∈ ⎡α ( ) , b ⎤ ⎣ ⎦
1
区间消去法原理
一维搜索的最优化方法
从前面讲到的区间消去法可知,为了每次缩短区 间,只需要在区间内再插入一点并计算其函数值.针 对插入点确定方法的不同,可将一维搜索方法分成 两大类: 1.试探法: 2.插值法(函数逼近法):
一维搜索的最优化方法
1.试探法:按某种给定的规律来确定区间插入点的 位置.此点位置的确定仅仅按照区间缩短如何加 快,而不顾及函数值的分布关系. 此类方法主要包括: 黄金分割法 裴波纳契法(Fibonacci)
1、若f2<f3，则有f1> f2<f3，此时函数f(α)在[α （1） , α（3） ]必有极小点，故区间[a,b]=[α（1）, α（1） +2h]为初始搜索区间.
2、若f2>f3，则继续前进搜索，各点变换如下： α（1） ←α（2）, f1 ← f2 α（2） ← α（3）, f2 ← f3 然后步长加倍，前进搜索得到第三个试点方向的α（3） ， 重复上述比较f2与f3的大小，直至出现f1> f2<f3时，构成 搜索区间[a,b]= [α（1） , α（3） ]
《一维搜索方法》课件
02
线性搜索
线性搜索的定义
线性搜索是一种基本的搜索算法，它 从列表的第一个元素开始，逐个检查 每个元素，直到找到目标元素或遍历 完整个列表。
在线性搜索过程中，我们假设列表中 的元素是按顺序排列的，并且我们不 知道目标元素的确切位置，只知道它 存在于列表中。
线性搜索的步骤
初始化
选择一个起始位置，通常为列表的第一个元素。
抛物线搜索的步骤
3. 比较中间元素与目标值
2. 计算当前区间的中间元 素。
1. 初始化当前搜索区间为 整个数组。
01
03 02
抛物线搜索的步骤
01 如果中间元素等于目标值，返回该位置。
02
如果目标值小于中间元素，将左半部分区 间作为新的当前区间。
03
如果目标值大于中间元素，将右半部分区 间作为新的当前区间。
04
4. 重复步骤2和3，直到找到目标值或当前 区间为空。
抛物线搜索的时间复杂度
最坏情况下，抛物线搜索的时间复杂度为O(n)，其中n为数 组长度。
平均情况下，由于每次比较都可以将搜索区间缩小一半，因 此时间复杂度为O(log n)。
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
的单峰函数。
一维搜索方法的重要性
解决实际问题
一维搜索方法广泛应用于各种实 际问题中，如参数优化、函数逼 近、插值等。
算法基础
一维搜索方法是许多算法的基础 ，如梯度下降法、牛顿法等都需 要用到一维搜索方法来寻找迭代 步长。
理论分析
一维搜索方法在数学分析中也有 重要应用，如中值定理、单调函 数性质等都需要用到一维搜索方 法。
常用的一维搜索方法
线性搜索
优化 一维搜索
四.一维搜索的分类
1.精确一维搜索 • 二分法，黄金分割法，Fibonacci法（分数法），割线法 成功失败法——不用函数导数的方法 • 牛顿法，插值法（抛物线法，三次插值法）——需要用到 函数导数 2.不精确一维搜索 常用的不精确一维搜索算法包括利用简单准则的后退 方法、经典的Armijo．Goldstein方法、Wolfe-Powell方 法和强Wolfe-Powell方法、以及其后发展起来的利CurryAltman步长律、改进的Curry-Altman步长律、DanilinPshenichuyi步长律、De Leone-G-rippo步长律 Backtracking步长律等的各种方法。
• 有关一维搜索算法的研究历史悠久，研究成果十分丰富。
• 一维搜索既可独立的用于求解单变量最优化问题，同时又 是求解多变量最优化问题常用的手段，虽然求解单变量最 优化问题相对比较简单，但其中也贯穿了求解最优化问题 的基本思想。由于一维搜索的使用频率较高，因此努力提 高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。
（3）产生新的探测点a3＝a1＋h，y3＝f(a3); （4）比较函数值 y2与y3： （a）如y2<y3, 则初始区间得到； h>0时，[a,b]=[a1,a3];
h<0时，[a,b]=[a3,a1];
（b）如y2>y3, 加大步长 h＝2 h ，a1=a2, a2=a3,转（3）继 续探测。
确定初始单谷区间进退法示意图
3）抛物线法也可称作三点二次插值法，其基本思想与下面 要叙述的牛顿法相同，也是用二次函数近似目标函数，并以 其极小点去近似目标函数的极小点，不同之处是牛顿法是利 用目标函数f(x)在x0 处的二阶Taylor展式来逼近f(x)，而抛 x 物线法则是利用目标函数f(x)在三个点x0 , x1 , 2 处的函数 值构造一个二次函数作为其近似。一般地，抛物线法并不能 保证算法一定收敛，迭代过程中有可能会出现相邻迭代点xk ， xk 1 充分接近,且 xk 1 ，并非函数近似极小点的退化隋况。
一维搜索-最优化方法
∈( a , b ) ; （2） ������1 = ������0 - Ψ’(������0) / Ψ’’(������0) ; （3）若 | Ψ’(������0) | ≤ ε ， 输出 ������0 ，计算停
止 ； 否则 ， ������0 = ������1 ，转（2） 。
例题：用切线法求Ψ(t) =������2-5t+2 , 在定义域 t ∈ ( 0 , 10 ) 上的极小点 ， 要求 ε = 0.2 。
切线法（Newton法）
设Ψ(t)是区间(a , b)上的二次可微的单谷函数，������∗ 是 Ψ(t) 在 (a , b)上的极小值点， ������������ 是 ������∗ 的一个近似点。 目标 函数Ψ(t) 的一阶导数为������ = Ψ’(t) ，过点 (������������, Ψ’(������������) ) 作导函数 Ψ’(t) 的图像的切线，则此切线的方程为
在实践工作中，应根据问题的具体特点以及工作条 件来选用相应的合适算法。不过，从以往的实践中 来看，0.618法和对分法使用的更多一些。
可望达到上述的最小值，
所以有 c-a = b-c ， 即 c = 0.5(b-a)
对分法的步骤
设单谷函数 Ψ（t）存在导函数Ψ’（t），极小值点的初始搜索 区间为(a。，b。），要求极小值点的近似值 ������ҧ 与精确极小值 点 t* 的最大绝对误差 ������ − ������ ∗ ҧ 不超过 ε 。
⑴ 令 a=a。 , b=b。;
⑵ 令 c = 0.5(b-a)，计算Ψ’(c);
⑶ 若 Ψ’(c)ຫໍສະໝຸດ <0 ，令 a=c , 转到⑷
若 Ψ’(c)>0 ，令 b=c ，转到⑷
止 ； 否则 ， ������0 = ������1 ，转（2） 。
例题：用切线法求Ψ(t) =������2-5t+2 , 在定义域 t ∈ ( 0 , 10 ) 上的极小点 ， 要求 ε = 0.2 。
切线法（Newton法）
设Ψ(t)是区间(a , b)上的二次可微的单谷函数，������∗ 是 Ψ(t) 在 (a , b)上的极小值点， ������������ 是 ������∗ 的一个近似点。 目标 函数Ψ(t) 的一阶导数为������ = Ψ’(t) ，过点 (������������, Ψ’(������������) ) 作导函数 Ψ’(t) 的图像的切线，则此切线的方程为
在实践工作中，应根据问题的具体特点以及工作条 件来选用相应的合适算法。不过，从以往的实践中 来看，0.618法和对分法使用的更多一些。
可望达到上述的最小值，
所以有 c-a = b-c ， 即 c = 0.5(b-a)
对分法的步骤
设单谷函数 Ψ（t）存在导函数Ψ’（t），极小值点的初始搜索 区间为(a。，b。），要求极小值点的近似值 ������ҧ 与精确极小值 点 t* 的最大绝对误差 ������ − ������ ∗ ҧ 不超过 ε 。
⑴ 令 a=a。 , b=b。;
⑵ 令 c = 0.5(b-a)，计算Ψ’(c);
⑶ 若 Ψ’(c)ຫໍສະໝຸດ <0 ，令 a=c , 转到⑷
若 Ψ’(c)>0 ，令 b=c ，转到⑷
一维搜索法
第二章 一维搜索法● 概述● 确定初始单谷区间的进退法 ● 一维搜索法分类 ● 区间消去法 ● 函数逼近法概述求一元函数()F x 的极小点和极小值问题就是一维最优化问题。
求解一维优化问题的方法称为一维优化方法，又称一维搜索法。
一维搜索法是优化问题中最简单、最基本方法。
因为它不仅可以解决单变量目标函数的最优化问题，而且在求多变量目标函数的最优值时，大多数方法都要反复多次地进行一维搜索，用到一维优化法。
一般多维优化计算的迭代的基本格式：从一个已知点()k x 出发（()k x由上次迭代获得，开始时就是起始点(0)x），沿某一优化方法所规定的是目标函数值下降的搜索方向()k S，选择一个步长因子α，求得下一个新迭代点(1)k x +，(1)()()k k k xx S α+=+并且满足1()()k k F x F x +≤，即新点必须能够使目标函数值有所下降，这个新点就是下一次迭代的出发点，如此重复，直到求出目标函数的最优解为止。
理想步长kα可以通过()()()()k k F F x S αα=+的极小点获得min ()F α，使得目标函数达到最小()()min ()k k F x S α+，这种在第k 次迭代中求理想步长k α的过程，就是一维搜索过程。
大致分为两个步骤：1. 确定初始搜索区域[a,b]，该区域应该包括一维函数极小点在内的单谷区域；2. 在单谷区域[a,b]上寻找极小点。
寻找极小点kα可以采用解析解和数值解等方法。
确定初始单谷区间的进退法单谷区域的定义：设函数()F x 在区域12[,]x x 内有定义，且（1） 在区域12[,]x x 内存在极小值x *，既有min ()()F x F x *=，12[,]x x x ∈； （2） 对区域1[,]x x *上任意自变量x ，有()()F x F x x >+∆，0x ∆>；对区域2[,]x x *上任意自变量x ，有()()F x F x x <+∆，0x ∆>；则称12[,]x x 为函数()F x 的单谷区域。
一维搜索的最优方法(黄金分割法)-2023年学习资料
d.比较f,>f3-再作前进运算-h=2×2=4-0%=0C2=2,-f1=fx=0-2=03 4,-f2=fx2=-2-a3=a2+h=8f3=f=18-e.此时有∫>f2,f2<f3,故 =%,=2,b=即初始搜索-区间为[2,8].
§4一2黄金分割法（0.618法-一、-消去法的基本原理-基本思路：逐步缩小搜索区间，直至最小 存在的区-间达到允许的误差范围为止。-设一元函数fa的起始搜索区间为[a,b],a是-函数的极 点。-在搜索区间[a,b]内任取两点a1、2。且-a<a1<2<b,计算j1人fo2将fa1' -fa2进行比较，可能出现三种情况：
在极小点附近，函数呈现“大-小-大”-y=fx-X
二、确定搜索区间的进退法-基本思想-从一点出发，按一定的步长，试图确定出函数值-呈现出”高-低 高“的三个点。一个方向不成功，就-退回来沿相反方向搜索。-具体作法：-给出初始点au,初始步长 。>0,若pa。十h〈pao,-则下一步从新点。十，出发，加大步长向前搜索，直到目标-函数上升 停止。若pa4。十h,>pa,则下一步仍然从点-α出发，沿反方向搜索，直到目标函数上升就停止。 样就-可以得到一个搜索区间。
假定给定了搜索方向S,从点X出发沿S方向-进行搜索，要确定步长，使得-fX=fxtas<fX-oa=fxk+ask-即确定步长a,就是单变量函数oa的搜索问题。-称为一维搜索问题。-mi paw=fX+x的S
®在极小点附近，函数呈现“大-小-大”-y-一维搜索的思路-y=fx-1确定极小点a*所在的区 间[a,b],在此区间内，函数呈-现“大-小-大”变化趋势。-搜速区间。-X-2在[a,b]内 *-将区-间长度逐步缩短。-0.618法与二次插值法就是解-决第二个步骤的方法
3.一维搜索方法
-0.4 -0.8
1.8 12.096 1.9 14.377
1.8 12.096 1.6 8.488
可得初始搜索区间
1.9 1.8
1.6 1.2
14.377 12.096
8.488 4.584
b 0 . 4 ,
1.6 8.488 1.2 4.584 0.4 5.992
1 . 6 .
a ,
y2 > y1
消去区间[a2,b]，新的搜索区间[a,b]的端点 a=-3不变，而b=a2=1.944
21
例题：黄金分割法（二）
• 依次重复黄金分割法的迭代过程，前五次迭代的结果
迭代序号 0 1 2 3 4 5 a -3 -3 -3 -1.832 -1.832 -1.386 a1 0.056 -1.111 -1.832 -1.111 -1.386 -1.111 a2 1.944 0.056 -1.111 -0.665 -1.111 -0.940 b 5 1.944 0.056 0.056 -0.665 -0.665 y1 0.115 -0.987 -0.306 -0.987 -0.851 比较 ＜ ＜ ＞ ＜ ＞ y2 7.667 0.115 -0.987 -0.888 -0.987
) = y1 - y2 ) = y2 - y3
a1 =
2 2 2 2 2 2 ( x 2 - x 3 )y 1 + ( x 3 - x 1 )y 2 + ( x 1 - x 2 )y 3
( x 1 - x 2 )( x 2 - x 3 )( x 3 - x 1 ) ( x 2 - x 3 )y1 + ( x 3 - x1 )y 2 + ( x1 - x 2 )y 3 ( x 1 - x 2 )( x 2 - x 3 )( x 3 - x 1 )
1.8 12.096 1.9 14.377
1.8 12.096 1.6 8.488
可得初始搜索区间
1.9 1.8
1.6 1.2
14.377 12.096
8.488 4.584
b 0 . 4 ,
1.6 8.488 1.2 4.584 0.4 5.992
1 . 6 .
a ,
y2 > y1
消去区间[a2,b]，新的搜索区间[a,b]的端点 a=-3不变，而b=a2=1.944
21
例题：黄金分割法（二）
• 依次重复黄金分割法的迭代过程，前五次迭代的结果
迭代序号 0 1 2 3 4 5 a -3 -3 -3 -1.832 -1.832 -1.386 a1 0.056 -1.111 -1.832 -1.111 -1.386 -1.111 a2 1.944 0.056 -1.111 -0.665 -1.111 -0.940 b 5 1.944 0.056 0.056 -0.665 -0.665 y1 0.115 -0.987 -0.306 -0.987 -0.851 比较 ＜ ＜ ＞ ＜ ＞ y2 7.667 0.115 -0.987 -0.888 -0.987
) = y1 - y2 ) = y2 - y3
a1 =
2 2 2 2 2 2 ( x 2 - x 3 )y 1 + ( x 3 - x 1 )y 2 + ( x 1 - x 2 )y 3
( x 1 - x 2 )( x 2 - x 3 )( x 3 - x 1 ) ( x 2 - x 3 )y1 + ( x 3 - x1 )y 2 + ( x1 - x 2 )y 3 ( x 1 - x 2 )( x 2 - x 3 )( x 3 - x 1 )
一维搜索方法__论文
一维搜索方法摘要：一维搜索方法是求解一维目标函数的极值点的数值迭代方法，可归结为单变量的函数的极小化问题。
虽然优化设计中的大部分问题是多维问题，但是一维优化方法是优化方法中最基本的方法，在数值迭代过程中都要进行一维搜索，因此，对一维搜索方法的研究有着重要的意义。
关键字：一维搜索、区间消去法、黄金分割法、插值法一．一维搜索的概念1．当采用数学规划法寻求多元函数的极值点时，一般要进行 一系列如下格式的迭代计算：k k k k d x x α+=+1 （k=0，1，2...）其中k d 为第k+1次迭代的搜索方向，k α为沿k d 搜索的最佳步长因子（通常也称作最佳步长）。
2．当方向k d 给定，求最佳步长k α就是求一元函数的极值问题，()()()k k k k k d x f x f αϕα=+=+1它称作一维搜索。
3．求多元函数极值点，需要进行一系列的一维搜索。
可见一维搜索是优化搜索方法的基础。
4．求解一元函数()αϕ的极小点*α，可采用解析解法和数值解法。
⑴ 解析解法① 利用一元函数的极值条件()0*·=αϕ，求*α。
② 为了直接利用()x f 的函数式求解最佳步长因子*α。
可把()k k k d x f α+或它的简写形式()d x f α+进行泰勒展开，取到二阶项，即()()()()()()()Gd d x f d x f d G d x f d x f d x f T T T T 22121αααααα+∇+=+∇+≈+ 将上式对α进行微分并令其等于零，给出()d x f α+极值点*α应满足的条件()0*=+∇Gd d x f d T T α从而求得()Gdd x f d T T ∇-=*α 这里是直接利用函数()x f 而不需要把它化成步长因子︒α的函数()︒αϕ不过， 此时需要计算k x x =点处的梯度()x f ∇和海赛矩阵G 。
该方法的缺点是需要进行求导计算，对于函数关系复杂、求导困难或无法 导的情况，使用解析法将是非常不便的。
一维搜索
缩短
成
或
。
▪ 对于第一种情况，我们已算出区间
内 点的函数值，
如果要把搜索区间
进一步缩短，只需在其内再取一点
算出函数值并与 加以比较，即可达到目的。
▪ 对于第二种情况，同样只需再计算一点函数值就可以把搜索区 间继续缩短。
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2020年3月24日6时53分
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▪ 第三种情形与前面两种情形不同，因为在区间
结束
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▪ 黄金分割法的搜索过程
1. 给出初始搜索区间
及收敛精度 ，将 赋以0.618。
2. 按坐标点计算公式计算 和 ，并计算其对应的函数值
。
3. 根据区间消去法原理缩短搜索区间
▪ 程序设计技巧
▪为了能用原来的坐标点计算公式，需进行区间名称的代换， 并在保留区间中计算一个新的试验点及其函数值。
1）要求插入点 具有对称性，即
的位置相对于区间
两端点
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其中 为待定常数。
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2）黄金分割法还要求在保留下来的区间内再插入一点所形 成的区间新三段，与原来区间的三段具有相同的比例分 布。
即每次缩小所得的新区间长度与缩小前区间长度之比 （即：区间收缩率）为定值。
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非极小点。
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二次插值法（抛物线法）
▪ 二次插值法是利用
在单谷区间中的三点
的相应函数值
，作出如下的二次
插值多项式
则它应满足条件
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最优化理论与算法一维搜索
最优化理论与算法一维搜索一维是最优化问题求解中常用的一种算法。
在一维中，我们需要在给定的区间内寻找函数的最小值或最大值。
一维算法的基本思想是通过不断的迭代，在区间内不断缩小最优解的范围，最终找到最优解。
常用的一维算法包括黄金分割法、斐波那契法、插值法等。
黄金分割法是一种较为简单且常用的一维算法。
该算法基于黄金分割点的性质，通过不断缩小区间来逼近最优解。
黄金分割法的具体步骤如下：1.初始化区间的上下界，确定迭代终止条件；2.计算黄金分割点的位置；3.根据黄金分割点分割区间；4.更新区间的上下界；5.判断是否满足迭代终止条件，如果满足，则输出最优解；如果不满足，则返回第2步。
斐波那契法是另一种常用的一维算法。
该算法通过斐波那契数列的性质，不断缩小区间来逼近最优解。
斐波那契法的具体步骤如下：1.初始化斐波那契数列，确定迭代终止条件；2.计算斐波那契点的位置；3.根据斐波那契点分割区间；4.更新区间的上下界；5.判断是否满足迭代终止条件，如果满足，则输出最优解；如果不满足，则返回第2步。
插值法是一种基于函数插值的一维算法。
该算法通过插值函数来拟合原函数，并通过求解插值函数的最小值或最大值来近似求解原函数的最小值或最大值。
插值法的具体步骤如下：1.初始化区间的上下界，确定迭代终止条件；2.根据插值函数拟合原函数，得到插值函数的表达式；3.求解插值函数的最小值或最大值；4.更新区间的上下界；5.判断是否满足迭代终止条件，如果满足，则输出最优解；如果不满足，则返回第2步。
除了上述算法，还存在其他一维算法，如割线法、牛顿法等。
这些算法各有特点，适用于不同类型的最优化问题。
一维算法的优势在于其计算简单、耗时少的特点。
然而，一维算法也存在一些缺点，例如容易陷入局部最优解、收敛速度较慢等。
因此，对于一些复杂的最优化问题，可能需要使用更高维度的算法进行求解。
总之，一维是最优化问题求解中常用的一种算法。
通过在给定的区间内不断迭代，可以逼近最优解。
一维搜索方法课件
第三章一维搜索方法
采用数学规划法求函数极值点的迭代计算：
xk1 xk ak d k
K+1次迭代的搜索方向
搜索的最佳步长因子
当搜索方向d k给定，求最佳步长 ak 就是求一元函数的极值。
f xk1 f xk akd k ak
称为一维搜索。 是优化搜索方法的基础。
否则作4。
4）令 k k 1 转1。
16
优点：收敛速度快。 缺点：每一点都要进行二阶导数，工作量大；
要求初始点离极小点不太远，否则有可能使极小化 发散或收敛到非极小点。
二、二次插值（抛物线法）
利用 y f a 在单谷区间中 1 2 3 的函数值
f 1 f 2 f 3 ，作出如下的二次插值多项式
而插入点的位置，可以由不同的方法来确定。就形成了不同的 一维搜索方法。
试探法 黄金分割法 一维搜索方法分类
插值法 二次Hale Waihona Puke 值法第三节一维搜索的试探法
最常用的一维搜索试探法是黄金分割法，又称0.618法。
9
要求插入点a1、a2的位置相对于区间[a,b]两端点具有对称性。
a1 b b a a2 a b a
三、区间消去法原理
a) f a1 f b1
6
b) f a1 f b1
c) f a1 f b1
7
为了避免多计算函数值，将第三种情况合并到前两种 情况中。
a) f a1 f b1
b) f a1 f b1
8
三、一维搜索方法的分类
从前面的分析可知，每次缩短区间，只需要在区间内在插入一 点并计算其函数值。
求解一元函数 a 的极小点 a* ，可用解析法。
采用数学规划法求函数极值点的迭代计算：
xk1 xk ak d k
K+1次迭代的搜索方向
搜索的最佳步长因子
当搜索方向d k给定，求最佳步长 ak 就是求一元函数的极值。
f xk1 f xk akd k ak
称为一维搜索。 是优化搜索方法的基础。
否则作4。
4）令 k k 1 转1。
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优点：收敛速度快。 缺点：每一点都要进行二阶导数，工作量大；
要求初始点离极小点不太远，否则有可能使极小化 发散或收敛到非极小点。
二、二次插值（抛物线法）
利用 y f a 在单谷区间中 1 2 3 的函数值
f 1 f 2 f 3 ，作出如下的二次插值多项式
而插入点的位置，可以由不同的方法来确定。就形成了不同的 一维搜索方法。
试探法 黄金分割法 一维搜索方法分类
插值法 二次Hale Waihona Puke 值法第三节一维搜索的试探法
最常用的一维搜索试探法是黄金分割法，又称0.618法。
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要求插入点a1、a2的位置相对于区间[a,b]两端点具有对称性。
a1 b b a a2 a b a
三、区间消去法原理
a) f a1 f b1
6
b) f a1 f b1
c) f a1 f b1
7
为了避免多计算函数值，将第三种情况合并到前两种 情况中。
a) f a1 f b1
b) f a1 f b1
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三、一维搜索方法的分类
从前面的分析可知，每次缩短区间，只需要在区间内在插入一 点并计算其函数值。
求解一元函数 a 的极小点 a* ，可用解析法。
最优化方法-一维搜索法
• 这种以加大步长进行探索来寻找探索区间的方法叫进退探索法。
搜索区间及其确定方法
• 加步探索法算法的计算步骤： • (1) 选取初始数据．选取初始点 t0 [0, ) (或 t0 [0, tmax ]),
计算0 (t0 ), 给出初始步长h0 0, 加步系数 1,令 k 0 • (2) 比较目标函数值．令 tk 1 tk hk计算 k1 (tk1) ，
方向 Pk 之间应满足
f (Xk1)T Pk 0
4.2
• 事实上，设 (t) f ( X k tPk ), 对 t 求导有
(t) f (X k tPk )T Pk
• 令 '(t) 0, 即 f (X k tPk )T Pk 0 所以 f (X k1)T Pk 0
这一准则对于定义域上的凸函数是完全正确的．若是非凸函数，有 可能导致误把驻点作为最优点。 对于约束优化问题，不同的优化方法有各自的终止准则．
• 定义3.3 当一个算法用于n元正定二次函数求最优 解时，可以从任意初始点出发，至多经过n步迭 代求出最优解，就称此算法具有二次终止性。
• 如果算法具有二次终止性，则认为算法比较好。 • 二次终止性仅仅是判断一个算法优劣的衡量标准
存在
,且
,则称[t1 t2]是函数(t)
的最优解 的一个搜索区间。
搜索区间及其确定方法
•单峰区间和单峰函数有如下有用的性质： •定理3.1 设 : R1 R1, [a, b] 是的单峰区间，任取
t1, t2 [a, b] 并且 t2 t1 ． （1）若有 (t2 ) (t1) ，则 [a, t1 ]是(t) 的单峰区间． （2）若有 (t2 ) (t1) ，则[t2 , b]是(t)的单峰区间．
搜索区间及其确定方法
• 加步探索法算法的计算步骤： • (1) 选取初始数据．选取初始点 t0 [0, ) (或 t0 [0, tmax ]),
计算0 (t0 ), 给出初始步长h0 0, 加步系数 1,令 k 0 • (2) 比较目标函数值．令 tk 1 tk hk计算 k1 (tk1) ，
方向 Pk 之间应满足
f (Xk1)T Pk 0
4.2
• 事实上，设 (t) f ( X k tPk ), 对 t 求导有
(t) f (X k tPk )T Pk
• 令 '(t) 0, 即 f (X k tPk )T Pk 0 所以 f (X k1)T Pk 0
这一准则对于定义域上的凸函数是完全正确的．若是非凸函数，有 可能导致误把驻点作为最优点。 对于约束优化问题，不同的优化方法有各自的终止准则．
• 定义3.3 当一个算法用于n元正定二次函数求最优 解时，可以从任意初始点出发，至多经过n步迭 代求出最优解，就称此算法具有二次终止性。
• 如果算法具有二次终止性，则认为算法比较好。 • 二次终止性仅仅是判断一个算法优劣的衡量标准
存在
,且
,则称[t1 t2]是函数(t)
的最优解 的一个搜索区间。
搜索区间及其确定方法
•单峰区间和单峰函数有如下有用的性质： •定理3.1 设 : R1 R1, [a, b] 是的单峰区间，任取
t1, t2 [a, b] 并且 t2 t1 ． （1）若有 (t2 ) (t1) ，则 [a, t1 ]是(t) 的单峰区间． （2）若有 (t2 ) (t1) ，则[t2 , b]是(t)的单峰区间．
一维搜索的最优方法(黄金分割法)
05 黄金分割法的应用举例
在函数优化中的应用
一元函数优化
黄金分割法可用于一元函数的极值求解，通过不断缩小搜索区间来逼近最优解。
多元函数优化的辅助手段
在多元函数优化中，黄金分割法可作为辅助手段，用于一维搜索或线搜索过程。
在工程问题中的应用
结构设计优化
在结构设计中，黄金分割法可用于寻 找最优的结构参数，如梁、柱的截面 尺寸等，以实现结构性能和经济性的 平衡。
二分法每次迭代将搜索区间减半，而黄金分割法每次迭代将搜索区间缩小为原来的约 0.618倍。在收敛速度上，二分法通常比黄金分割法更快。但二分法要求函数在搜索区间 内连续且单调，而黄金分割法则没有这样的限制。
与牛顿法相比
牛顿法是一种基于导数信息的搜索方法，具有较快的收敛速度。但在一维搜索问题中，当 导数信息不可用或难以获取时，黄金分割法则更为适用。此外，牛顿法对初始点的选择较 为敏感，而黄金分割法则相对稳健。
解决一维搜索问题的方法有多种，其中黄金分割法是一种较为常用且有效的方法。
黄金分割法简介
黄金分割法是一种通过不断缩小搜索 区间来逼近函数极小值点的方法。
黄金分割法具有简单、快速、稳定等 优点，适用于单峰函数的一维搜索问 题。
它在每次迭代中，通过比较区间两个 端点处的函数值，来确定下一步的搜 索区间。
黄金分割点
在一条线段上，按照黄金分割比 例将线段分割成两部分，分割点
即为黄金分割点。
函数图像
对于一元函数，可以将其图像视 为一条曲线。黄金分割法通过不 断在曲线上选取试探点来逼近最
优解。
搜索区间缩小
每次迭代后，根据试探点的函数 值比较结果，将搜索区间缩小，
使得下一步的搜索更加精确。
黄金分割法的算法步骤
9一维搜索
根据以上定理,只需选择两个点就可缩短包含极小点的 区间 : (1)若f ( x (1) ) f ( x (2) ), 则极小点x [ x (1) ,b]; (2)若f ( x (1) ) f ( x (2) ), 则极小点x [a, x (2) ].
9. 一维搜索-试探法5
0.618法的基本思想:通过取试探点使包含极小点的 区间(不确定区间)不断缩小,当区间长度小到一定 程度时,区间上各点的函数值均接近极小值,此时 该区间内任一点都可以作为极小点的近似值.
( ) f ( x ( k ) d ( k ) )
的极小点.
设 ( )的极小点为k , 称k 为沿方向d ( k )的步长因子 于是f ( x)在直线L上的极小点为 x
( k 1)
x
(k )
k d
(k )
(9.1.3)
9. 一维搜索-概念3
一维 搜索
{
试探法 函数逼近法/插值法
步4:若 k ak , 停止计算,输出 k ; 否则,令 ak+1 : ak , bk+1 : k , k 1 : k , ( k+1 ) : ( k ), k+1 ak+1 0.382(bk+1 ak+1 )， 计算( k 1 ), 转步5
由( 2.3)和(2.4)得到
k ak (1 r)(bk ak ) , k ak r (bk ak ),
(2.5) (2.6)
9. 一维搜索-试探法7
今考虑( 2.1)的情形,此时新的搜索区间为 [ak 1 , bk 1 ] [ak , k ] (2.7)
显然x (1)不是极小点.此时要么极小点x [a, x (1) ] 要么x [ x (1) , b]. 若x [a, x ], 则f ( x ) f ( x ), 矛盾.
9. 一维搜索-试探法5
0.618法的基本思想:通过取试探点使包含极小点的 区间(不确定区间)不断缩小,当区间长度小到一定 程度时,区间上各点的函数值均接近极小值,此时 该区间内任一点都可以作为极小点的近似值.
( ) f ( x ( k ) d ( k ) )
的极小点.
设 ( )的极小点为k , 称k 为沿方向d ( k )的步长因子 于是f ( x)在直线L上的极小点为 x
( k 1)
x
(k )
k d
(k )
(9.1.3)
9. 一维搜索-概念3
一维 搜索
{
试探法 函数逼近法/插值法
步4:若 k ak , 停止计算,输出 k ; 否则,令 ak+1 : ak , bk+1 : k , k 1 : k , ( k+1 ) : ( k ), k+1 ak+1 0.382(bk+1 ak+1 )， 计算( k 1 ), 转步5
由( 2.3)和(2.4)得到
k ak (1 r)(bk ak ) , k ak r (bk ak ),
(2.5) (2.6)
9. 一维搜索-试探法7
今考虑( 2.1)的情形,此时新的搜索区间为 [ak 1 , bk 1 ] [ak , k ] (2.7)
显然x (1)不是极小点.此时要么极小点x [a, x (1) ] 要么x [ x (1) , b]. 若x [a, x ], 则f ( x ) f ( x ), 矛盾.
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9. 一维搜索-试探法6
我们要求两个试探点k 和k 满足下列条件 : (1), k 和k 到搜索区间 ak , bk 的端点等距,即 bk k k ak , (2.3)
(2), 每次迭代,搜索区间长度的缩短率相同,即 bk 1 ak 1 r (bk ak ), (2.4)
由d 0,当k充分大时, 必有d ( k ) 0, 于是由(9.1.5)
k
y ( k ) x( k ) d
(k )
(9.1.6)
9. 一维搜索-概念5
yx 令k ,则k d y x d f ( y ( k ) ) f ( x ( k ) k d ( k ) ) (9.1.7) (9.1.5)中令k 并注意到(9.1.7), 有 (9.1.8) (9.1.9) 根据M的定义,对每个k 及k 0 , 有 由于f 连续, 令k ,则由(9.1.9)得 f ( y) f ( x d ) 故 即知 f ( x d ) min f ( x d )
9. 一维搜索-试探法2
单峰函数的一个等价定义：
设f : R R,[a, b] R, 若* [a, b]，使得f ( x )在 [a, *]上严格递减, 在[*, b]上严格递增, 则称[a, b] 是函数f ( x )的单峰区间, f ( x )是[a, b]上的单峰函数.
单峰函数具有一些很有用的性质:如果f是[a,b] 上单峰函数,则可通过计算此区间内两不同点 的函数值,就能确定一个包含极小点的子区间, 从而缩小了搜索区间.
精度要求>0.计算最初两试探点1，1： 1 a1 0.382(b1 a1 )， 1 a1 0.618(b1 a1 )， 计算(1 )和 (1 ).
步2 :比较函数值.若( k ) (k ), 则转步3， 否则，( k ) (k )转步4
为进一步缩短区间.需取试探点k 1和k 1.由(2.6)
k 1 ak 1 r (bk 1 ak 1 ) =ak r( k ak )
=ak r(ak r(bk ak ) ak ), =ak r 2 (bk ak ) (2.8)
9. 一维搜索-试探法8
(2)若f ( x (1) ) f ( x (2) ), 则x [ x (2) , b], f ( x) f ( x (1) ),
9. 一维搜索-试探法4
证明:仅证(1),反证,如若不然,存在点x*[a, x(1)],使 f ( x*) f ( x (2) )
显然x (1)不是极小点此时要么极小点 . x [a, x (1) ] 要么x [ x (1) , b]. 若x [a, x ], 则f ( x ) f ( x ), 矛盾.
(1) (1) (2)
若x [ x (1) ,b], 则f ( x* ) f ( x (1) ) f ( x (2) ), 矛盾.
根据以上定理,只需选择两个点就可缩短包含极小点的 区间 : (1)若f ( x (1) ) f ( x (2) ), 则极小点x [ x (1) ,b]; (2)若f ( x (1) ) f ( x (2) ), 则极小点x [a, x (2) ].
由( 2.3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和(2.4)得到
k ak (1 r)(bk ak ) , k ak r (bk ak ),
(2.5) (2.6)
9. 一维搜索-试探法7
今考虑( 2.1)的情形,此时新的搜索区间为 [ak 1 , bk 1 ] [ak , k ] (2.7)
2 1 (2.9) 则 k 1 =ak +(1- )(bk ak ) k (2.10) 这样新的试探点k 1就不用重新计算只要取k ,于是
若令 每次迭代中(除第一次)只需取一个试探点. 类似的,如考虑(2.2)的情形,新的试探点k 1 =k , 它也不需重新计算. 解方程(2.9)立得区间长度缩短率 = -1 5 -1+ 5 由于 >0,故取 = 0.618 2 2
步5:k: k 1, 转步2。
9. 一维搜索-试探法13
2.2 Fibonacci法 Fibonacci法是与0.618法类似的一种分割方法。 它与0.618法的主要区别之一在于：搜索区间 长度的缩短率不是采用黄金分割数，而是采用 Fibonacci数： Fn 1 Fn Fn 1 , F0 F1 1, n 1,2,... Fbinacci法中计算公式为：
0
y M ( x, d )
9. 一维搜索-试探法1
•9.2.1, 0.618法
Df 9.2.1设f 是定义在闭区间[a, b] 上的一元实函数, x 是f 在[a, b]上 的极小点, 且对x (1) , x (2) [a, b], x (1) x (2) , 有 当x (2) x时f ( x (1) ) f ( x (2) ) 当x x (1)时f ( x (1) ) f ( x (2) ) 则称f 是在闭区间[a, b]上的单峰函数.
9. 一维搜索-试探法3
Th9.2.1 设f 是区间[a, b]上的单峰函数, x (1) , x (2) [a, b]. 且x (1) x (2) , 则 (1)若f ( x ) f ( x ), 则x [a, x ], f ( x) f ( x )
(1) (2) (1) (2)
步4:若 k ak , 停止计算,输出 k ; 否则,令 ak+1 : ak , bk+1 : k , k 1 : k , ( k+1 ) : ( k ), k+1 ak+1 0.382(bk+1 ak+1 )， 计算( k 1 ), 转步5
k ak (1
ak
Fn k Fn k 1
)(bk ak )
Fn k 1 Fn k 1 Fn k Fn k 1
(bk ak ), k 1,2,.., n 1 (bk ak ), k 1,2,..., n -1
k ak
9. 一维搜索-试探法14
显然, 这里Fn-k /Fn-k+1相当于0.618法(1.5)-(1.6)中的, 每次的缩短率满足 Fnk bk 1 ak 1 (bk ak ) Fnk 1
这里n时计算函数值的次数,即要求经过n次计算函数 值后, 最后区间的长度不超过 ,即 由于 bn an
注意到上述迭代算法中,当方向确定后, 涉及到求一个 步长 k , 使得目标函数值减小(极小化问题), 这就是在一 直线上求目标函数的极小点,即极小化f ( xk k d k ).这称 为 对变量的一维搜索问题,或称为线搜索.
9. 一维搜索-概念2
设目标函数为f ( x), 过点x ( k )沿方向d ( k )的直线可用点集 来表示: L {x | x x ( k ) d ( k ) ,- } 求f ( x)在直线L上的极小点就转化为求 (9.1.1) (9.1.2)
• 一维搜索算法的闭性
假设一维搜索是以x为起点,沿方向为d的进行的, 并定义为算法映射M Df 9.1.1 算法映射M : R n R n R n定义为
M ( x, d ) { y | y x d , 满足 f ( x d ) min f ( x d )}
F1 F2 F1 F2
bn an
( bn1 an1 )
Fn-1 2 F ... F3 Fn (b1 a1 ) 1 Fn
(b1 a1 )
9. 一维搜索-试探法15
故 1 b1 a1 (b1 a1 ) Fn （1.20） Fn 给出最终区间长度得的上界 ，由(1.20)求出Fibonacci数 Fn , 再跟据Fn 确定出n, 从而搜索一直进行到第n个搜索点 为止. 注意到
2
9. 一维搜索-试探法10
其几何意义:黄金分割率对应的点在单位长区间[0,1] 中的位置相当于其对称点1-在区间[0,]中的位置
ak Step 2
k
ak+l
k
bk
k+l
bk+l
k+l
Step 3
bk+l
ak+l
k+l
k+l
9. 一维搜索-试探法11
算法(0.618法) 步1:选取初始数据,确定初始搜索区间[a1 ,b1 ]和
0
(9.1.4)
9. 一维搜索-概念4
Th9.1.1 设f是定义在Rn的连续函数,d0,则(9.1.4)定 义的算法映射M在(x,d)处是闭的
证 : 设序列{x ( k ) }和{d ( k ) }满足 ( x ( k ) , d ( k ) ) ( x, d ); y ( k ) y, y ( k ) M ( x ( k ) , d ( k ) ) 下证 y M ( x, d ) , 注意到, 对每个k ,k 0 , 使 y ( k ) x ( k ) k d ( k ) (9.1.5)
9. 一维搜索-试探法5
0.618法的基本思想:通过取试探点使包含极小点的 区间(不确定区间)不断缩小,当区间长度小到一定 程度时,区间上各点的函数值均接近极小值,此时 该区间内任一点都可以作为极小点的近似值.
设 ( )是搜索区间[a1 , b1 ]上的单峰函数.设在第k次迭代时 搜索区间为[ak , bk ].取两个试探点k , k [ak , bk ], k k . 计算 (k )和 ( k ), 根据Th1 : (1), 若 (k ) ( k ), 令ak 1 ak , bk 1 k , (2), 若 (k ) ( k ), 令ak 1 k , bk 1 bk , (2.1) (2.2)