利用二次函数求三角函数的最值
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值摘要：二次函数作为初中最重要的函数，近几年来，中考拉分题常常利用二次函数求线段的最值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题。
在解决二次函数的最值问题时，一般构建二次函数模型，通过数形结合把求三角形的周长、三角形面积的最值问题转化为求线段长度的问题。
关键词：二次函数；最值问题；轴对称；数形结合一、将军饮马“K”字形，两点之间线段最短问题1.二次函数与x轴交于点A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0,3）．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的分析：由已知，可求得二次函数的对称轴为，又因为二次函数图像关于对称轴对称可知：A、B两点关于对称，,连接BC与对称轴的交点为所求P点，则,所以CH＋EH的最小值为。
小结：利用二次函数求两线段和的最小值问题，我们通常是作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点得到的线段长度为我们所求的两线段和的最小值。
变式1.如问题1改为：的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长；若不存在，请说明理由。
分析：延伸1看起来跟问题1不一样，但实际上，万变不离其宗。
，已知A,C两点坐标，由勾股定理可得，,题目中要求周长的最小值可转化为求的最小值，也就转化为问题1，即：,问题2.如图，直线与抛物线交于点A（0,3），B(3,0) ,点F是线段AB上的动点，FE x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m，请用含m的代数式表示EF的长并求EF的最大值。
分析：利用E、F分别在抛物线及一次函数上可得到，,因为,所以,可求得当时，EF的最大值为小结：利用二次函数求竖直线段的最大值，一般是通过设未知数表示出二次函数及一次函数图像上的两点，由横坐标相等，利用两点纵坐标相减可得到线段的长度，再利用二次函数求最值方法可求出线段的最大值。
变式1：问题2改为过E作,求的最大值是多少？分析：因为该一次函数，可知为等腰直角三角形，，要求的最大值只需求得的最大值，由此就转化为问题2，所以小结：求斜线段的最大值问题，一般转化为求平行于y轴线段的最值问题，再利用三角函数可求得斜线段的最大值。
如何利用二次函数求解最值问题
数学篇数苑纵横与二次函数有关的最值问题是中考数学中的一个重难点，常与几何图形、三角函数、实际问题等相结合，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.不少同学面对这类最值问题时觉得难以下手，但只要我们认真阅读题目，理解问题的实质，构建出二次函数，再运用二次函数的有关性质即可使问题顺利得解.一、求解实际生活中的最值问题在实际生活中，我们总是追求利益最大或者是成本最低，从数学角度看，就是在特定条件下求目标函数的最大值或者最小值.运用二次函数求解实际生活中的最值问题，关键在于如何构建正确的二次函数模型.解题时应把握以下两点：其一，认真审题，提炼出有用信息；其二，根据题干描述以及自身生活经验，通过合理的抽象确定常量与变量间的函数关系，建立函数模型，然后结合模型和实际情况求得最大值或最小值.需要注意的是，实际问题中二次函数的最大值或最小值不一定在图象的顶点处取得，若顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，则要借助函数的增减性来求最大值或最小值.例1某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？解：（1）设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），则每件商品的利润为：（60-50+x ）元，总销量为：（200-10x ）件，商品利润为：y =(60-50+x )(200-10x )，=(10+x )(200-10x )，=-10x 2+100x +2000．∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x ≤12且x 为正整数；（2）y =-10x 2+100x +2000，=-10(x 2-10x )+2000，=-10(x -5)2+2250．故当x =5时，最大月利润y =2250元．这时售价为60+5＝65（元）．点评：此题主要考查了二次函数的应用及二次函数的最值问题.根据每天的利润＝一件的利润×销售量，建立函数关系式.借助二次函数解答实际问题是解题关键．例2李大爷利用坡前空地种植了一片优质草莓.根据市场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m （元/公斤）与第x 天之间满足m ＝ìíî3x +15(1≤x ≤15),-x +75(15<x ≤30).（x 为正整数），销售量n （公斤）与第x 天之间的函数关系如图1所示：图1如果李大爷的草莓在上市销售期间每天如何利用二次函数求解最值问题山西临沂周立恒23数学篇数苑纵横的维护费用为80元．（1）求日销售量n 与第x 天之间的函数关系式；（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y 与第x 天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额-日维护费）（3）求日销售利润y 的最大值及相应的x .解：（1）当1≤x ≤10时，设n ＝kx +b ，由图可知ìíî12=k +b ,30=10k +b ,解得ìíîk =2,b =10,∴n ＝2x +10同理得，当10＜x ≤30时，n =-1.4x +44，∴销售量n 与第x 天之间的函数关系式：n =ìíî2x +10(x ≤x ≤10),-1.4x +44(10<x ≤30),（2）∵y =mn -80，∴y =ìíîïï(2x +10)(3x +15)-80(x ≤x ≤10),(-1.4x +44)(3x +15)-80(10<x <15),(-1.4x +44)(-x +75)-80(15≤x ≤30),整理得，y =ìíîïï6x 2+60x +70,(1≤x ≤10),-4.2x 2+111x +580,(10<x <15),1.4x 2-149x +3220,(15≤x ≤30),（3）当1≤x ≤10时，∵y =6x 2+60x +70的对称轴x =-b 2a=602×6=-5,∴此时，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，∴当x =10时，y 取最大值，则y 10=1270当10＜x ＜15时，∵y =-4.2x 2+111x +580的对称轴是直线x =111-4.2×2=1118.4≈13.2<13.5，∴当x =13时，y 取得最大值，此时y 13=1313.2；当15≤x ≤30时,∵y =1.4x 2-149x +3220的对称轴为直线x =1492.8>30,∴此时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小∴x =15时，y 取最大值，y 的最大值是y 15=1300，综上，草莓销售第13天时，日销售利润y 最大，最大值是1313.2元.点评：本题在确定函数最大值时，由于此函数是分段函数，所以要分三种情况讨论.第二种情况中顶点的横坐标在自变量取值范围内，可以利用顶点坐标公式来确定函数的最大值；而第一种情况和第三种情况中顶点的横坐标都不在自变量取值范围内，因此必须利用函数的增减性来确定函数的最大值.分别求出三种情况中的最大值后，还要通过比较确定日销售利润的最大值.二、求解几何图形中的最值问题解答几何图形中的最值问题一般根据已知条件设置相关参数，构建对应的函数模型，再借助函数的性质进行解答.构建二次函数求解几何图形中的最值问题时，要全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在性质，综合运用所学的知识，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等，寻求等量关系构造出二次函数，结合二次函数性质计算出最终结果.同时，为保证求解最值问题的正确性，应明确自变量的取值范围.例3如图2，梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AB =BC =CD =6，∠D =60°，E 、F 分别为BC 、CD 上两个动点（不与端点重合），且∠AEF =120°，设BE =x ，CF =y .（1）求y 与x 的函数关系式；（2）x 取何值时，y 有最大值，最大值是多少？24数学篇数苑纵横图2解：（1）∵AB =BC =CD =6，BE =x ，CF =y ，∴EC =6-x ，∵BC ∥AD ，∴∠C +∠D =180°，又∠D =60°，∴∠C =120°，∴∠CEF +∠CFE =60°，又∠AEF =120°，∴∠CEF +∠AEB =60°，∴∠CFE =∠AEB ，又梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AB =CD ，∴∠B =∠C ，∴△ABE ∽△ECF ，∴AB EC =BE CF，即66-x =x y，∴y =-16x 2+x ；（2）函数y =-16x 2+x =-16(x -3)2+32为开口向下的抛物线，由0＜x ＜6可知，当x =3时，y 有最大值，y 的最大值为32.点评：本题的思路为通过已知条件得出相似三角形，由相似三角形的比例式，进而列出y 与x 的函数关系式，最后根据二次函数求最值的方法求出y 的最大值及此时x 的值.同学们在求二次函数最值时一定要注意自变量x 的范围．例4如图3，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝25，∠ACB ＝45°，D 为AB 边上一动点（不与点B 重合），以CD 为边长作正方形CDEF ，连接BE ，则△BDE 面积的最大值等于．图3图4解：如图4，过点E 作EM ⊥BA 于M ，过点C 作CN ⊥BA 交BA 的延长线于N ，过点A 作AH ⊥BC 于H ．在Rt△ACH 中，∵∠AHC =90°，∠ACH =45°，AC =25，∴AH =CH =AC ⋅cos 45°=10，在Rt△ABH 中，∵∠AHB =90°，AB =10，AH =10，∴BH =AB 2-AH 2=102-(10)2=310，∴BC =BH +CH =410，∵S △ACB =12⋅BC ⋅AH =12⋅AB ⋅CN ，∴CN =4，在Rt△ACN 中，AN =AC 2-CN 2=(25)2-42=2，∴BN =BA +AN =12，设BD =x ，则DN =12-x ，∵四边形EFCD 是正方形，∴DE ＝DC ，∠EDC =∠EMD =∠DNC =90°，∴∠EDM +∠ADC =90°，∠ADC +∠DCN =90°，∴∠EDM =∠DCN ，∴△EMD ≌△DNC (AAS)，∴EM =DN =12-x ，∴S △DBE =12⋅BD ⋅EM =12⋅x ⋅(12-x )=12x 2+6x =-12(x -6)2+18，∵-12<0，∴当x =6时，△BDE 的面积最大，最大值为18．故答案为18．点评：本题是一道几何函数题，考查了正方形的性质，解直角三角形等知识.求解时应从几何图形入手，充分利用几何图形的性质构造出函数关系，如本题以三角形的面积公式构建二次函数，再利用二次函数的性质解题．25。
概述初中数学三角函数值的计算方法
概述初中数学三角函数值的计算方法1三角函数求值的计算方法1.1利用三角函数的定义1.2 三角函数具有六种基本函数：正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y1.3 一些特殊的三角函数值：Sin=1/2; sin=;sin=Cos=;cos=;cos=1/2tan=;tan=1;tan=1.4 三角函数的基本展开公式：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos (A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos (A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2 三角函数求最值最近几年，高考三角函数的题型由原来的恒等式证明改为求值，常见题型有三种：给出一个比较简单的三角函数式的值，求一个比较复杂的三角函数式的值；考察三角变换问题；三角形中的求值问题。
解上述三种类型题应注重四点：要严格讨论角的范围；选择的公式与解题方向必须吻合；要熟悉变换方向；要掌握变换技巧。
三角函数的最值有以下几种求法：利用二次函数求最值，利用三角函数的有界性求最值，换元法求最值。
3 如何学好三角函数数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习等五类。
相应地，数学学法指导的实施亦需分别落实到这五类教学之中。
这里仅就例题教学中如何实施数学学法指导谈几点认识。
3.1根据学习目标和任务精选例题例题的作用是多方面的，最基本的莫过于理解知识、应用知识、巩固知识，莫过于训练数学技能、培养数学能力、发展数学观念。
高三数学三角函数的最值问题
；网络招生管理系统 网络招生管理系统 ；
炼器至尊,九品下の实力,凭借手中奇异の宝物,实力居然能比九品上！ 风月君主从不参与各大势力の纷争,就算风月大陆各大世家明争暗斗,他都很少管.只要不触犯他订下の几条规矩就没事,一心钻研炼器,所以他炼器の水平已经达到一些极其高深の水平.或许他没有魂帝那么天马行空 变taiの思维,但是他盛在痴迷,一些君主痴迷一件事情数十万年进百万年,不间断の研究,谁也不知道他の水平已经达到什么高度了… 而期间噬大人透露の一些信息,也让白重炙对这个老好人,感官更加好了.恶魔降临之时,一直很少出关の风月君主第一站了出来,开始召集各君主,甚至派 人去了不少秘境请那几位老东西出山.在众位君主忙着清理各自大陆阴煞涧の不咋大的部分恶魔时,他就放言,如果星辰海の恶魔不立即镇压,神界将会迎来历史上第三次灭世大浩劫！ 结果…各路巅峰强者,刚准备去风月大陆汇集の时候,妖智开始暴动了！ 第一波浩劫来临,就在昨日风 云君主再次传讯了,今日妖月升起之前,不管各大陆の妖智击杀の情况如何,必须去风月潭集合商议对策,否则事情将不可挽回！ 所以噬大人给白重炙两天の时候,白重炙听完之后一阵唏嘘.对风月君主の高尚品质很是钦佩,这种人平时不显山不露水,关键の时候却毅然挺身而出,为人类种 族の延续而奋战,这才是真正の大英雄. 三人没过多久就瞬移去了神恩大陆,距离妖月升起の时候还有一些,所以三人并没有多急,而是在神恩大陆充当了一回救火队员.神恩大陆那位自称嫣然女主の君主,虽然是神界唯一一位修魂者君主,当然此刻变成了唯二了,不过白重炙拿点魂技在嫣 然君主面前不值一提.但是毕竟她只是一人,神恩大陆情况很不妙,所以噬大人三人の到来,嫣然君主无比の感激和振奋. 白重炙休息了一不咋大的会,刚刚缓解了一些の精神压力.在神恩大陆战斗了数个数个时辰之后,再次差点灵魂奔溃了. 三位巅峰强者の加入,神恩大陆の妖智攻击在妖 月就要升起之前,终于稳定了下来.四人立即开始传送去风月大陆.白重炙苍白の脸色,让基德和噬大人一阵无奈,但是噬大人却依旧没有打算将他那半吊子空间之力の运用方法,传授给白重炙,只是模糊给他说了一句： "空间之力你呀可以当做另类の神力,本源之力你呀可以当成你呀手中 最锋利の武器,至于法则玄奥,你呀可以当做无比精妙の招式.三种结合起来,你呀の攻击力才会最大化,也能让你呀战斗の更加轻松,利用最少の空间之力,照成更大の攻击力…具体の自己去研究,俺和基德以前没有教你呀运用方法,以后也不会教你呀！" 白重炙虚弱の点了点头,虽然不明 白噬大人为何这么做,但是他知道噬大人不会害他,这就够了！ 嫣然君主很少说话,幸运子和夜妖娆差不多,很冷,是这种天然の冷.不过看到白重炙如此样子,虽然没有半句客气感激の话,但是望向白重炙の眸子,已经不再那么冰冷了！ 风月潭在风月城外,景色很美,漫山遍野の暗紫色不 咋大的花,高耸入云の古树下,一些深潭边,一座古朴の城堡静静伫立,这就是风月君主の居住地！ 白重炙四人来の时候,风月君主亲自前来迎接,白重炙一看果然和基德述说の一模一样,一些老实の不咋大的老头般.丢到炽火城街道内,估计没有人会看第二眼. 风月君主亲自将四人迎进了 古堡内,大殿内有人,有四人.白重炙只认识一些,天启君主莫尚煌,一如既往の大嗓门,爽然性格,亲热笑容.还有三人,有两名仙风道骨の老头,气质飘然,她们几人进来,两人只是淡淡の一笑,点了点头. 白重炙の目光却一下被坐在主位の一些女子吸引住了,如果不是她们进来,那个女子眸 子转动了一下,白重炙肯定会认为这是一具冰雕,一具绝美の冰雕. 冰雪女王出岛了！ 并且坐在了风月古堡の主位,似乎她是主人一样.并且所有人包括风月君主都没有半点不满,似乎那是天经地义の事情般. 冰雪女王很冷,甚至噬大人朝她点头,她都没有动一下.宛如一座冰山一样,似乎 对大殿内の这么多君主熟视无睹.偏偏众人感觉还很应该,也习以为常.这场面在白重炙看起来,无比の怪异. 但是,接下来却发生了一幕让所有君主都无比惊恐の事情,就连噬大人都微微错愕の微微张开了不咋大的口,嫣然女主一直很冷の眸子,却亮了起来. 因为冰雪女王,眸子转动の时 候,扫在白重炙身体の时候,停了下来.而后…居然笑了,她居然朝白重炙笑了！虽然笑の很勉强,笑の很冷！但是她这一笑,带给场中这几位神界最巅峰强者の感觉,却比神界浩劫来の更加震撼. 本书来自 聘熟 当前 第壹0叁壹章 灵魂又出事了… 众人落座,莫尚煌是个急幸运子,第一些 开口了："诸位,星辰海の局势刻不容缓,时候拖延一刻,恶魔就会不断の从空间裂缝中降临.神界の天地元气中の恶魔气息就会越来越浓郁.现在是妖智暴动,估计半年之后再不镇压下去,下次暴动将会是…神界所有の低级练家子.并且,星辰海の空间裂缝被恶魔の控制之下,会变得越来越 大,越来越稳定.不用三个月,绝对能产生能降临恶魔君主の超级大裂缝.恶魔君主の强横不用多说,只要恶魔君主一降临,恐怕到时候神界の一半低级练家子,会瞬间魔化！浩劫啊,有可能灭世の大浩劫啊！" 文章阅读 笑是一件很简单の事情,婴儿在几个月の时候就会笑.看书 有人笑の很温和,不温不火の,比如白重炙,有人笑の儒雅,比如基德.有人笑得很放荡,比如莫尚煌.还有人笑の很…恐怖,比如眼前这位气质上比嫣然君主更甚一筹の冰雪女王. 因为在场中人,包括已经活了近千万年の风月君主,都没有见过冰雪女王…笑过！这位实力深不可测の女王,拥 有这女神般の气质,让无数男人看一眼,就心甘情愿就趴在脚上tian她の脚趾头女人.在场の人见过她不少次,每人都去冰雪岛拜见过她.风月君主见过他次数最多,有几十次,嫣然女主也见过她无数次. 但是…她一直宛如一座冰雕般,将身体包裹在极北之地の寒气之中.能正眼看你呀一眼 已经算是破天荒了,今日,她居然笑了！为一些第一次见面の男人笑了！为一些在场中实力垫底の不咋大的男人笑了！ 风月君主最为震惊,他了解这位邻居,心比天高,实力强横,十个他都不是对手.他与世无争の幸运子很受冰雪女王待见,两人一直处の很好.基本来说能算朋友了,也一起 聊过不少次,不过今日他彻底被吓到了. 他想起神界一句古老の传言——当哪天冰女女王笑了,这个世界将会颤抖为之颤抖了！ 所有人将目光投向了面色苍白の白重炙,虽然白重炙是神界历史上最为年轻の君主,第一怪才.但是他并没有帅得让人为之惭愧の容颜,也没有宛如开锋の利剑 般让人凛冽の气质.温和の笑容,淡淡の从容让人感觉宛如一些邻家の不咋大的弟弟般. 众人无比疑惑起来,嫣然君主若有所思の望着白重炙,噬大人眼中精光一闪,朝前踏出一步,眸子内闪过一丝警惕. 白重炙有些莫名其妙,不知道为何这个女神对他笑了笑,众人却如此大惊不咋大的怪? 他从来不认为自己身体上有一股王霸之气,虎躯一震,所有の女子都对他趴开那洁白の大腿.所以他朝冰雪女王微微一笑,而后在一边の蝉木椅子上坐了下来. 冰雪女王宛如冰山上の莲花盛开の一笑后,再次成为了一座冰雕.众人也就心思复杂の各自坐了下去,开始闭目眼神或者相互传音 交谈起来. 白重炙没有去看任何一人,而是闭目静坐起来,他不是装十三,而是精神太疲惫了,需要好好静修恢复. 同时他也开始内视身体起来.闭关了六百年,他出关之后就一直在战斗,此刻完全松懈下来,才有想起身体の状况起来. 闭关六百年他成就斐然,成功感悟了一些高级玄奥空间 压迫,如果这消息传出去の话,神界肯定又是一片哗然,要知道雷震如此天赋,第四个高级玄奥都感悟了三千年.法则实力已经成为了六品破仙の实力,原本准备一鼓作气继续参悟下一些高级玄奥の时候,妖姬把他叫醒了. 一查探！ 结果,他差点又吓得跳了起来！ 身体没事！脑袋也没事, 脑袋内の几个灵魂海洋…又出事了！ 灵魂海洋上空の本源之力内の雷电依旧在不停の朝下方劈下,本源之力没有什么变幻,雷电依旧老样子,宛如一条条白色怒龙在本源之力和灵魂海洋内来回游走.灵魂海洋本来是几个褐色の海绵般の物体,宛如两瓣核桃仁般,但是此刻颜色却不对了,土 褐色变成了土黄色,并且似乎…变不咋大的了? 绝对变不咋大的了！并且,不咋大的了整整几多之一！ 白重炙迅速做下了判断！而后他几个灵魂海洋开始微微颤抖起来,他恐慌起来.娘希匹の…他这六百年时候,几乎都在灵魂静寂第五层内.他虽然在闭关,但是妖姬却很准时の每隔五年, 施展她の绝世大杀招"观音坐莲"帮助他进入灵魂静寂状态！ 按理来说,灵魂静寂第五层下,他の灵魂海洋会不断の扩展,虽然灵魂到达神帝境之后,进展有些缓慢.但是六百年时候,灵魂海洋扩展一倍还是没有问题,现在却马勒戈壁の变不咋大的了?还变色了? 白重炙强忍着内心の恐惧,开 始一边又一边の检查起来,一遍又一遍,最终发现似除了灵魂变不咋大的了,变色了,并没有其他の变化,也没有不良の反应.那座连接几个灵魂の桥梁虽然变得更加闪亮了,那条刚刚冒出头の黑线,也没有继续延伸の趋势… 不对！ 突然,白重炙眼睛猛然睁开,将场中の诸位君主弄得一愣一 愣の,但是白重炙利马又闭上了眼睛,内心却又惊愕起来,但是这次除了惊还有喜！ 灵魂海洋变不咋大的了?好像灵魂强度…变强了?还不是强了一点两点?灵魂强度不是灵魂海洋越大,就越强吗?难道自己の感觉错了? 白重炙有种当场释放一些魂技,检验一下灵魂强度の冲动.最后没敢贻 笑大方,他沉吟了片刻,最后打算,这次事情完了之后,找美丽の嫣然君主聊一聊.当然并不是谈人生理想,而是谈一谈修魂者の问题. 这位神界最强の修魂者,有这个资格为他传道解惑,当然她会不会倾囊相授就不得而知了. 虽然白重炙很想在继续检查起来,并且细细研究一下.但是随着古 堡外の空间一阵抖动,几道身影の出现,白重炙不得不打断了自己の沉思. 南岭君主血夜君主隐世君主,还有一位宛如远古蛮族般有着古铜色皮肤の巨汉走了进来.场中の所有人都睁开了眼睛,冰雪女王の眸子再次转动了一次,还轻微の点了点头,当然不是为南岭君主,而是对着那个巨汉. "这是神界极南那座神界最高青山の主人,他习惯别人称呼他青山大人！实力…和冰雪女王一样,深不可测！" 基德の传音让白重炙,眼睛微微缩了缩.今日看来神界の大部分巅峰强者都聚
三角函数求值域专题
三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。
例1 ：求函数y sinx的值域。
cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。
33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。
三角函数最值问题的几种常见类型
三角函数最值问题的几种常见类型三角函数是重要的数学运算工具,三角函数最值问题是三角函数基础知识的综合应用,近几年的高考题中经常出现,这部分内容是一个难点。
三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。
因此,三角函数的最值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。
这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性。
学生在解题时,常常出现解题思路不清楚,难以抓住最值问题的本质,不能给予恰如其分的分析。
因此有必要让学生对求三角函数的最值求解的方法有个总体的认识,以培养学生的数学解题能力和思维能力。
下面介绍几种典型的三角函数最值问题的类型。
?И?1 y=asin x +b(或y=a cos x+b)型的函数这种类型的函数的特点是含有正弦或者余弦函数,并且是一次式。
解这类的三角函数的最大值、最小值问解这类三角函数的最值问题时首先要让学生知道最值都是在给定的区间上取得的,因而要特别注意题设中所给出的区间或是挖掘题中的隐含条件。
例1:求y=sin6x+cos6x的最值。
解:y=(sin2x+cos2x) ( sin4x-sin2x cos2x+cos4x)=(sin2x+cos2x)2-3sin2x cos2x=1-34 sin22x=1-3 8 (1-cos4x)=58+38cos4x∴当x= Kπ2(k ∈z)时,有ymax=1当x= Kπ2+π4(k ∈z)时,有ymin= 14点评:求三角函数的最值时,常常通过恒等变换,而恒等变换,一般要综合运用同角三角函数间的关系、和角、半角、半角的三角函数及和差化积、积化和差公式。
2 y=asinx+bcosx型的函数这种类型的函数的特点是含有正余弦函数,并且是一次式。
解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。
三角函数最值问题(典型题型)
三角函数最值问题求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。
1、利用三角函数的单调性求最值例1：求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(-⋅-= ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈2,0πx 的最值 解:x x x x x x x x f 2sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos )(2222-=--+=)42cos(2π+=x 45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x ,由余弦函数的单调性及图像知： 当442ππ=+x ， 即0=x 时 ，)42cos(π+x 取最大值22； 当ππ=+42x ，即83π=x 时，)42cos(π+x 取最小值-1； 故2)(,1)(min max -==x f x f方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形如θθcos sin b a +的形式，再用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 化为标准形式结合三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。
2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值例2：求1cos 2sin --=x x y 的最小值 解：(方法一)由1cos 2sin --=x x y 得：y x y x -=-2cos sin ，y x y -=-+∴2)sin(12ϕ 即212)sin(y yx +-=-ϕ，故11212≤+-≤-y y ，解之得43≥y ， 故y 的最小值为43 方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。
(方法二)设),(),sin ,(cos 21M x x P ,则1cos 2sin --=x x y 表示单位圆上的动点P 与平面内定点M 连线的斜率，当斜率存在时，设过P 、M 两点的直线方程为)1(2-=-x k y ，由距离公式得1122=+-k k ，解之得43=k ，结合图形可知函数的最小值为43。
“二次函数”面积最值问题的几种解法
“二次函数”面积最值问题的几种解法以微课堂公益课堂，奥数国家级教练与四位特级教师联手执教。
二次函数是初中数学的一个重点、难点，也是中考数学必考的一个知识点。
特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。
而求三角形面积的最值问题，更是常见。
今天介绍二次函数考试题型种，面积最值问题的4种常用解法。
同学们只要熟练运用一两种解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题，就好。
原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。
考试题型，大多类似于此。
求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。
一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。
通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。
方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。
请看解题步骤。
解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。
这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。
铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。
因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。
这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。
设动点P的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。
解法三：切线法。
这其实属于高中内容。
但是，基础好的同学也很容易理解，可以看看，提前了解一下。
解法四：三角函数法。
请大家认真看上面的解题步骤。
总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。
过点P做辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系。
设动点P的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点式，求出三角形面积的最大值。
对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。
三角函数最值问题常见解法
三角函数最值问题的几种常见解法一 、配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。
例1 函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为（ ）.A ． 2B . 0C . 41- D . 6 [分析]本题可通过公式x x 22cos 1sin -=将函数表达式化为2cos 3cos 2+-=x x y ，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t ，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y ,选B.例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。
()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 二 、引入辅助角法例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ三 、利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。
高三数学三角函数的最值问题分类例析
三角函数的最值问题分类例析三角函数式的最值问题是函数最值的重要组成部分，也是历屉高考的热点之一。
三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次议程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。
因此，三角函数的最值问题的求解，往往要综合应用多方面的知识。
三角函数的最值问题的类型很好，其常见类型有以下几种： 一、y=asinx+b （或y=acosx+b ）型 处理方法：利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。
例1 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值. 剖析：函数y =a cos x +b 的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论.解：当a ＞0时，⇒⎩⎨⎧=+-=+71b a b a a =4，b =－3； 当a =0时，不合题意；当a ＜0时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a a =－4，b =－3. 当a =4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=－34）； 当a =－4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=34）. ∴b sin x +a cos x 的最大值为5.例2．例3已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为[5,1]-，求常数a 、b 的值. 解：∵()b a x a x a x f++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π .∵20π≤≤x ，∴32323πππ≤-≤-x ，∴1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx .当0a >时，()3b f x a b ≤≤+.∴⎩⎨⎧-==+.513b b a ，解得⎩⎨⎧-==.52b a ，当0a <时，3()a b f x b +≤≤.∴⎩⎨⎧=-=+.153b b a ，解得⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值为⎩⎨⎧-==52b a 或⎩⎨⎧=-=12b a感悟：分类讨论是重要的数学思想方法，本例若不对常数a 进行讨论，将会出错。
高考数学：三角函数中的最值问题(4种方法)
三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
基于平方关系的sin_x+cos_x=1三角函数最值分析
基于平方关系的sin²x+cos²x=1三角函数最值分析作者：曹志钢来源：《读写算》2013年第11期摘要：本文通过对平方关系sin²x+cos²x=1在三角函数最值求解中的应用，阐述了直接利用平方关系求最值，引进一个参变量求最值，以及引进两个参变量求最值等3种求法，现以具体实例阐述如下，以供参考。
关键词：平方关系；sin²x+cos²x=1；三角函数最值三角函数的最值问题是数学运算的重点和难点，其对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求均较高。
本文通过对sin²x+cos²x=1平方关系的灵活运用，对三角函数求最值过程中，直接利用平方关系，引进一个或两个参变量求最值的运算方法，以实际例题形式进行了归纳总结。
一、三角函数重要公式应用在三角函数sin²x+cos²x=1平方关系的背景下，要将其灵活有效的运用，首先要注意在运算时，对几个常见、常用的三角函数进行熟练记忆和后学后用。
比如，①二倍角公式：；等。
②半角公式：；；。
以及三角函数中相应的倒数关系、商关系和平方关系等。
二、3种利用平方关系的sin²x+cos²x=1三角函数最值应用为探讨平方关系背景下利于sin²x+cos²x=1求三角函数最值，笔者特从直接套用、引入单一变量，和引入两个变量3个方面对sin²x+cos²x=1的应用进行了阐述。
1、直接套用sin²x+cos²x=1求三角函数最值直接利用在sin²x+cos²x=1求三角函数最值即类似于以下的最值问题。
例题：设0<解：∵ y=sin = sin .（1+2cos² -1）=2 sin .cos²= = ·（1）∴有（1）≤ · （3）又∵ sin² +cos² =1（2）∴有（1）≤ · = = = .上述运算中当且仅当 = ，即 =2arctan 时，（1）和（3）等号成立，∴ y = .在本题三角函数最大值的计算中，除了相应的三角函数关系式的使用，关键在于将问题利用三项均值不等式转化为较为简单的平方关系，即sin²x+cos²x=1的形式，进而求得最大值。
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法解法一：利用图像性质求解利用三角函数的图像性质，首先将函数图像画出来，观察函数在指定区间上的最大值和最小值所对应的点的坐标。
解法二：使用导数求解通过对三角函数进行求导，然后将导数等于零进行求解，可以得到函数的关键点，进而通过函数的变化趋势确定最值。
解法三：使用平均值不等式求解根据平均值不等式的性质，可以得到三角函数的最值。
例如，对于正弦函数sin(x)，可以利用平均值不等式得到最值。
解法四：使用二次函数的性质求解将三角函数转化为二次函数的形式，然后利用二次函数的性质求解最值。
例如，可以将正弦函数sin(x)转化为二次函数的形式。
解法五：使用三角函数的周期性质求解三角函数的周期性质可以帮助我们确定最值所在的区间。
通过观察函数的周期性质，可以得到函数的最大值和最小值。
解法六：使用三角函数的反函数求解利用三角函数的反函数，可以将问题转化为求解反函数的最值问题。
通过对反函数的最值进行求解，可以得到原函数的最值。
解法七：使用三角函数的恒等式求解利用三角函数的恒等式，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。
例如，可以利用和差公式将三角函数的角度转化为相对简单的形式。
解法八：使用三角函数的基本关系求解利用三角函数的基本关系，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。
例如，可以利用正切函数和余切函数的基本关系求解最值。
解法九：使用三角函数的积分求解通过对三角函数进行积分，可以得到函数的积分表达式，并通过积分表达式求解最值。
例如，可以通过对正弦函数进行积分得到函数的积分表达式。
解法十：使用泰勒级数展开求解利用泰勒级数展开，可以将三角函数转化为幂级数形式，进而求解最值问题。
通过计算前几项幂级数的和，可以得到函数的近似值，并进一步求解最值。
二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法
数学篇纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解；补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.例1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+2x -3交x 轴于点A ，B ，在y 轴上有一点E （0，1），连接AE ．（1）求直线AE 的解析式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值．图1解：（1）∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1)，∴当y =0时，x 1=-3，x 2=1，∴点A 的坐标为（-3，0），设直线AE 的解析式为y =kx +b ，∵过点A （-3，0），E （0，1），∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得：ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1；（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，延长DG 交AE 于点F ，设D (m ,m 2+2m -3)，则F (m ,13m +1)，∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4，∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924，∴当m =-56时，△ADE 的面积取得最大值为16924．二、铅垂法如图2，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h )．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知：如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？图3解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2)，将点A（0，6）代入，得：-12a=6，解得：a=-12，所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6；（2）如图3，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：ìíîb=6,6k+b=0,解得：ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6，设P(t,-12t2+2t+6)，其中0＜t＜6，则N(t,-t+6)，所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t，所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272，所以当t=3，P位于（3，152）时，△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值．将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值．例3如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S.图4解：（1）在y=-x-4中分别令x=0，y=0，可得点A（-4，0），B（0，-4），根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得：ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4；（2）设点E的坐标为(m，12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远，此时E 点所在直线与AB 平行，且与抛物线相切，只有一个交点，设点E 所在直线为l ：y =-x +b ，联立得方程组：ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ，得：12x 2+2x -4-b ＝0，据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0，解得b =-6，∴直线l 的解析式为y =-x -6，联立方程，得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得：ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4)，过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ，此时点N （-2，-2），EN =-2-（-4）=2，∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4，△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中，只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数，就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式，求出三角形面积的解析式，利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （-1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线交y 轴于点C ，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.图5解：（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y =-x 2+bx +c ，可得，{-1+b +c =0，-9-3b +c =0，解得{b =-2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3.（2）如图5，作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ，作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ，把B （-3，0）、C （0，3），代入得{-3m +n =0，n =3，解得{m =1，n =3，故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x +3）（-3＜x ＜0），则点F 的坐标为（x ，x +3）.由A 、C 坐标可知，AC =32，S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时，-x 2-2x +3=154，即P (-32,154).所以存在一点P ，使△PAC 的面积最大，最大值为278，P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍，相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法，在二次函数的综合题中，再出现求图形面积的最值问题，就能轻松应对了.数苑纵横25。
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。
（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。
微专题31 三角函数的最值问题求解策略(解析版)
微专题31 三角函数的最值问题求解策略【方法技巧与总结】三角函数的最值问题主要涉及三角恒等变形，其主要思想是通过适当的三角变形或换元，将复杂的三角问题转化为基本三角函数或基本初等函数问题，再通过三角函数的有界性或求函数最值的方法进行处理．【题型归纳目录】题型一：恒等变形的应用，形如sin cos y a x b x =+ 题型二：二次函数型，形如2sin sin y a x b x c =++题型三：形如2(sin cos )(sin cos )(sin cos )y a x x b x x c x x =++++⋅ 题型四：分式结构，形如sin cos a x by c x d+=+【典型例题】题型一：恒等变形的应用，形如sin cos y a x b x =+例1．（2022秋•景洪市校级期中）求函数sin 3y x x =+的周期，最大值和最小值． 【解析】解：化简可得sin 3y x x =+ 132(sin )2x x =+2(cos sin sin cos )33x x ππ=+ 2sin()3x π=+ ∴原函数的周期为2T π=，最大值为2，最小值为2-例2．（2022秋•镇江期末）已知函数()2sin (sin 3)1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期和增区间；（2）当[0x ∈，]2π时，求函数()f x 的最大值和最小值．【解析】解：（1）()2sin (sin 3)1f x x x x =-22sin 23sin cos 1x x x =+- 3sin 2cos2x x =-2sin(2)6x π=-，22T ππ∴==， 令2[262x k πππ-∈-，2][26k x k ππππ+⇒∈-，]3k ππ+，k Z ∈． ∴函数的增区间为：[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈（2）[0x ∈，]2π时2[66x ππ⇒-∈-，5]6π；∴当266x ππ-=-即0x =时，()1min f x =-，当262x ππ-=即3x π=时，()2max f x =．例3．（2022•浙江模拟）已知函数()(3cos )cos f x x x x m =++的最大值为2． （Ⅰ）求()12f π的值；（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，求[()1][()1]12y f x f x π=-+-的最值以及取得最值时x 的集合．【解析】解：（Ⅰ）2()(3cos )cos 3cos cos f x x x x m x x x m =++=++31cos212sin(2)262x x m x m π+=++=+++的最大值为2， 1122m ∴++=，可得12m =， ()sin(2)16f x x π∴=++，3()sin(2)1sin 11121263f ππππ∴=⨯++=+=+．（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，3113[()1][()1]sin(2)sin(2)(2cos2)(sin 22)126322y f x f x x x x x x x πππ=-+-=++=+ 22333122sin 2cos2sin 42x x x x x =+=， 当8x π=时，即{|}8x x x π∈=时，32max y += 当38x π=时，即3{|}8x x x π∈=时，32min y -=．变式1．（2022秋•六枝特区校级月考）已知函数11()sin 322f x x x =．（1）求()f x 的最小正周期和对称轴； （2）当[6x π∈，9)4π时，求()f x 的最大值和最小值． 【解析】解：（1）函数111()sin 3cos 2sin()2223f x x x x π==-；故函数的最小正周期为2412ππ=， 令1232x k πππ-=+，()k Z ∈，整理得523x k ππ=+，()k Z ∈． 故函数的对称轴方程为523x k ππ=+，()k Z ∈． （2）由于[6x π∈，9)4π时， 所以119[,)23424x πππ-∈-，故12sin()[23x π-∈．当6x π=时，函数取得最小值为2，当56x π=时，函数取得最大值为1． 变式2．已知函数cos 4()22)4x f x x π=++，求： （1）函数的周期；（2）当x 为何值时函数()f x 取得最大值？最大值为多少？ 【解析】解：（1）cos 4()22)4x f x x π=++2222(cos2sin 2)22x x =-sin2cos22x x =++2)24x π=++，故22T ππ==；（2）令22()42x k k z πππ+=+∈，解得：8x k ππ=+，故()8x k k z ππ=+∈时，()f x 取得最大值22题型二：二次函数型，形如2sin sin y a x b x c =++例4．（2022秋•梅州期末）函数2cos sin y x x =-+的值域为( ) A ．[1-，1]B ．5[4-，1]-C ．5[4-，1]D ．[1-，5]4【解析】解：2cos sin y x x =-+， 2sin sin 1x x =+-， 215(sin )24x =+-，当12sinx =-时，54min y =-．当sin 1x =时95.144max y =-=， 故函数的值域为：5[,1]4-．故选：C ．例5．（2022春•衡水期中）函数2sin sin 1y x x =+-的值域为( ) A ．[1-，1]B ．5[4-，1]-C ．5[4-，1]D ．[1-，54【解析】解：2sin sin 1y x x =+-，令sin x t =，则有21y t t =+-，[1t ∈-，1]， 函数的对称轴：12t =-，开口向上，当12t =-及1t =时，函数取最值，代入21y t t =+-可得5[4y ∈-，1]．故选：C ．例6．（2022•湖南一模）函数11cos2sin 22y x x =-+-的值域为( )A ．[1-，1]B ．5[4-，1]C ．5[4-，1]-D ．[1-，5]4【解析】解：函数222111115cos2sin (12sin )sin sin sin 1(sin )222224y x x x x x x x =-+-=--+-=+-=+-1sin 1x -，∴当1sin 2x =-时，函数y 有最小值为54-．sin 1x =时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为5[4-，1]，故选：B ．变式3．（2022秋•天河区校级月考）函数()cos26cos()2f x x x π=+-的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：2()cos26cos()2sin 6sin 12f x x x x x π=+-=-++，令sin t x =，[1t ∈-，1]，则函数()f x 可转化为关于t 的二次函数2261y t t =-++，[1t ∈-，1]， 图象开口向下，对称轴为32t =， 所以函数2261y t t =-++在[1-，1]上单调递增， 所以当1t =时，函数取得最大值为5， 故选：B ．变式4．（2022•浙江）已知4k <-，则函数cos2(cos 1)y x k x =+-的最小值是( ) A ．1 B ．1-C ．21k +D ．21k -+【解析】解：2cos2(cos 1)2cos cos 1y x k x x k x k =+-=+--令cos t x =，则221(11)y t kt k t =+---是开口向上的二次函数，对称轴为14kx =-> 当1t =是原函数取到最小值1 故选：A ．变式5．（2022秋•崇川区校级期中）已知函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++在[0,]2x π∈时有最大值为72，则实数m 的值为 1 ．【解析】解：函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++21(12sin cos )cos42m x x x =++221(12sin 2sin 2)(12sin 2)2m x x x =+++-21(1)sin 22sin 22m x m x m =-+++． ①当1m =时，函数化为：12sin 212x ++．当sin21x =时，函数取得最大值，172122++=．满足题意． ②当1m >时，函数化为：21(1)(sin 2)121m mm x m m -++---，当sin21x =时，函数取得最大值，可得171222m m m -+++=，解得1m =，不满足题意． ③当12m时，[1,1]1m m ∈--，当sin 21m x m =--时，函数取得最大值，此时17212m m -=-，解得34m =，不满足题意． ④当112m <<时，sin21x =时函数取得最大值，此时有171222m m m -+++=，解得1m =不满足题意．综上，1m =． 故答案为：1．变式6．已知函数444()2(sin cos )(sin cos )f x x x m x x =+++在[0x ∈，)2π上的最大值为5，求实数m 的值．【解析】解：设sin a x =，cos b x =，且[0x ∈，)2π，则2222sin cos 1a b x x +=+=，1sin cos sin 22ab x x x ==，102ab∴； 444()2()()f x a b m a b ∴=+++222222222[()2](2)a b a b m a b ab =+-+++2224()(12)ab m ab =-++ 2224()[144()]ab m ab ab =-+++ 24(1)()42m ab mab m =-+++，当1m =时，()432sin 23f x ab x =+=+，在4x π=时取到最大值5，符合题意；当1m ≠时，21()4(1)[]12(1)1m f x m ab m m =-++---， 由抛物线性质，知：当1m >时，111()()4(1)42415242max f x f m m m m ==-⨯+⨯++=+=，解得1m =，不符条件，舍去； 当1m <时，若102(1)2mm -，则102m ， 1()[]152(1)1max m f x f m m ==-=--，解得34m =，不符条件，舍去；若112m <<，则1()()4152max f x f m ==+=，解得1m =，不符条件，舍去；若0m <，则()(0)25max f x f m ==+=，解得3m =，不符条件，舍去；综上，只有一个解1m =；即()f x 在[0x ∈，)2π上的最大值为5时，1m =．题型三：形如2(sin cos )(sin cos )(sin cos )y a x x b x x c x x =++++⋅例7．（2022春•习水县校级期末）函数sin cos sin cos y x x x x =++，[0x ∈，]3π的最大值是 122．【解析】解：令sin cos 2)4t x x x π=+=+，[0x ∈，]3π，可得[44x ππ+∈，7]12π，1sin()[42x π∴+∈，1]，2[2t ∴∈2]，21sin cos 2t x x -=． ∴函数2211sin cos sin cos (1)122t y x x x x t t -=++=+=+-，故当2t =y 取得最大值为122，故答案为：122．例8．求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值．【解析】解：令sin cos 2)4t x x x π=+=+，则22t-，则21sin cos 2t x x -=，故22111(1)1(22)222y t t t t=+-=+--，对称轴是1t =-，故当2t =y 有最大值122．例9．（2022春•香洲区校级期中）已知sin cos x x t -= （Ⅰ）用t 表示33sin cos x x -的值；（Ⅱ）求函数sin cos sin cos y x x x x =-+，[0x ∈，]π的最大值和最小值．（参考公式：3322()())a b a b a ab b -=-++【解析】解：由sin cos x x t -=，得212sin cos x x t -=，即21sin cos 2t x x -=，（Ⅰ）233313sin cos (sin cos )(1sin cos )(1)22t t t x x x x x x t ---=-+=+=； （Ⅱ）由题设知：2)4t x π=-，3444x πππ--，2sin()14x π-， 2221111(1)12222t y t t t t -∴=+=-++=--+，且[1t ∈-，2]，∴当1t =时，1max y =；当1t =-时，1min y =-．变式7．已知[6x π∈-，]2π，求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++的最大值和最小值．【解析】解：函数(sin 1)(cos 1)y x x =++ sin cos sin cos 1x x x x =+++，令sin cos 2)4t x x x π=++，[6x π∈-，]2π，[412x ππ∴+∈，3]4π，62sin()[4x π-∴+∈1]， 31[t -∴∈2]， 又212sin cos t x x =+，21sin cos 2t x x -∴=， 22111(1)22t y t t -∴=++=+，对称轴：1t =-， 区间31[-，2]在对称轴的右边，为递增区间． 213123(2min y ++∴==， 21322(21)22max y +==． 变式8．设sin cos a x x =，sin cos b x x =+．（1）求a ，b 的关系式；（2）若(0,)2x π∈，求sin cos sin cos y x x x x =++的最大值．【解析】解：（1）sin cos b x x =+，22(sin cos )12sin cos 12b x x x x a ∴=+=+=+；（2）由（1）21(1)2a b =-，2)(14b x π=+∈2]．2211(1)(1)122y a b b b b =+=-+=+-，2b ∴=sin cos sin cos y x x x x =++的最大值为122． 题型四：分式结构，形如sin cos a x by c x d+=+例10．求函数3(sin 2)5sin 2x y x +-=+的值域．【解析】解：由3(sin 2)553sin 2sin 2x y x x +-==-++． 当sin 1x =时，43max y =， 当sin 1x =-时，2min y =-．∴函数的值域为4[2,]3-．例11．已知[0x ∈，2)π，求函数1cos sin 2xy x -=+的值域．【解析】解：1cos sin 2xy x -=+sin 21cos y x y x ∴+=-， sin cos 12y x x y ∴+=-，∴21)12y x y θ++=-，其中2tan 1yθ=+2sin()1x yθ∴++，[0x ∈，2)π， (,2)x θθπθ∴+∈+ 1sin()1x θ∴-+， 212111y y-∴-+，解得403y即函数的值域为[0，4]3．例12．求函数sin 2sin 1x y x =+，[6x π∈，]2π的值域．【解析】解：函数11sin sin 11222sin 12sin 124sin 2x x y x x x +-===-+++，[6x π∈，]2π 可得4sin 2[4x +∈，6]，111[,]4sin 264x ∈+，sin 11[,]2sin 143x y x =∈+．变式9．用至少2种方法求函数sin cos 2xy x =-的值域．【解析】解：方法1: cos 20x -≠，(cos 2)sin y x x ∴-= sin cos 2x y x y ⇔-=- ⇔21)2y x y θ++=-⇔2sin()1x y θ+=+，sin()[1x θ+∈-，1]，∴22111y y --+，解得333y ， ∴函数的值域为：33[． 方法22222tan212tan222:11322212x x x tan y x x tan tan xtan +==--+-+，令tan ()2x t t R =∈，则2213ty t =-+， 当0t =时，0y =， 当0t ≠时，213y t t=-+，13(,23][23,)t t+∈-∞-+∞，33[y ∈⋃． ∴函数的值域为：33[． 故答案为：33[．变式10．（1）求cos 2cos 1xy x =+值域（2）求1sin 3cos xy x+=+的值域．【解析】解：（1）由cos 2cos 1xy x =+可得，cos 12y x y =-，由于1cos 1x -，即为||112yy-， 即2(1)(31)0(12)y y y ---，解得1y 或13y， 则值域为(-∞，1][13，)+∞；（2）1sin 3cos xy x+=+，3cos 1sin y y x x ∴+=+，即sin cos 31x y x y -=-，∴21)31y x y θ++=-，2sin()1x yθ∴++，又1sin()1x θ-+， 231111y y-∴-+，解得304y ， 即函数1sin 3cos x y x +=+的值域是[0，3]4．【过关测试】 一．选择题1．（2022秋•湖州期末）函数sin (cos sin )y x x x =-，x R ∈的值域是( ) A ．1[2-，3]2B ．1212[22C ．31[,]22-D ．1212[22-- 【解析】解：函数211121sin (cos sin )sin cos sin sin 2cos2)22242y x x x x x x x x x π=-=-=-+=+-．1sin(2)14x π-+∴2121222y --． 故选：D ．2．函数sin(2)()3y x x R π=-∈的值域为( )A ．[1-，1]B ．[2-，2]C ．1[2-，1]2D ．(1,1)-【解析】解：函数sin(2)()3y x x R π=-∈的值域为[1-，1]，故选：A ．3．（2022春•渝中区校级期中）函数2sin sin 1()y x x x R =-+∈的值域是( ) A ．3[4，3]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．1[2，3]【解析】解：令sin x t =，则22131()24y t t t =-+=-+，[1t ∈-，1]，由二次函数性质，当12t =时，y 取得最小值34．当1t =-时，y 取得最大值3，3[4y ∴∈，3]故选：A ．4．（2022秋•武冈市校级期中）函数23()sin 3cos ,([0,])42f x x x x π=-∈的最大值是( )A ．1B 334C ．334- D ．14【解析】解：2231()3cos 3cos 44f x sin x x cos x x =-=-+， 令cos t x =，[0x ∈，]2π，cos [0t x ∴=∈，1]，则原函数化为2134y t t =-+，其对称轴方程为3t =， ∴当3t =时，y 有最大值为1． 故选：A ．5．（2022秋•鄂尔多斯期中）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos (θ= )A 25B 5C ．25D ．5 【解析】解：由题意可得()sin 2cos 5()555f θθθθθ=-=∴155θθ=．再结合22sin cos 1θθ+=， 求得sin 5θ=25cos 5θ== 故选：C ．6．（2022秋•贵阳期末）当02x π<<时，函数2228()sin 2cos x sin xf x x +=的最小值为( )A ．2B ．23C ．4D ．43【解析】解：当02x π<<时，tan 0x >，∴函数2222282cos 8sin 11()4tan 24tan 4sin 22sin cos tan tan cos x sin x x x f x x x x x x x x++===+⨯，当且仅当1tan 2x =时，取等号， 故()f x 的最小值为4， 故选：C ．7．（2022秋•镜湖区校级期末）已知函数2()sin 2sin xf x x =+，则()f x 的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解析】解：24()sin 24sin 2sin 2sin x f x x x x ==++-++，令sin 2t x =+，[1t ∈，3]，则44y t t=+-， 由对勾函数的性质可知44y t t =+-在[1，2]上单调递减，在(2，3]上单调递增， 当1t =时，1y =，3t =时，13y =， 所以函数()f x 的最大值为1． 故选：D ．8．（2022秋•诸暨市校级月考）已知当4x π=-时，函数()sin cos f x a x x =+取到最大值，则3()4f x π+是()A ．奇函数，在0x =时取到最小值B ．偶函数，在0x =时取到最小值C ．奇函数，在x π=时取到最小值D ．偶函数，在x π=时取到最小值【解析】解：由于当4x π=-时，函数()sin cos f x a x x =+取到最大值，故2221a +=+1a =-， 故()cos sin 2)4f x x x x π=-+，所以3()cos()cos 4f x x x ππ+=+=-，故函数3()4f x π+为偶函数，在0x =时，函数取得最小值1-． 故选：B ． 二．填空题9．（2022春•南关区校级期中）函数21sin 2sin 2y x x =+，x R ∈的值域是 ．【解析】解：函数2111cos2122212sin 2sin sin 2(2))222224x y x x x x x x π-=+=+==-，1sin(2)14x π--，222sin(2)242x π-， ∴12122222y -+， 故函数的值域为2121[]22+， 故答案为2121[]22+． 10．（2022•江西）设()33cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有|()|f x a ，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】解：不等式|()|f x a 对任意实数x 恒成立， 令()|()|33cos3|F x f x x x ==+， 则()max a F x ．()3sin3cos32sin(3)6f x x x x π=+=+2()2f x ∴- 0()2F x ∴ ()2max F x =2a ∴．即实数a 的取值范围是2a 故答案为：2a ．11．（2022秋•南昌期末）若6x π=是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是 ．【解析】解：2()3sin 2cos 29)f x x a x a x θ=+=++（其中tan )3aθ=，又6x π=是函数的一条对称轴，262k ππθπ∴⨯+=+，即6k πθπ=+，k Z ∈．由3tan 3tan()3tan 366a k ππθπ==+==299323a ++=∴函数()f x 的最大值是3故答案为：2312．（2022秋•阆中市校级月考）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的值域为 ． 【解析】解：22317()cos23cos 2cos 3cos 12(cos )48f x x x x x x =--=--+=-++，1cos 1x -，∴当cos 1x =时，()4min f x =-，故函数()f x 的最小值为4-，∴当3cos 4x =-时，()f x 最大为178，故函数()f x 的最小值为178， ()f x ∴的值域为[4-，17]8． 故答案为：[4-，17]8． 13．函数(2sin )(2cos )y x x =+-的最大值是 ． 【解析】解：函数(2sin )(2cos )y x x =+- 42(sin cos )sin cos x x x x =+--，设sin cos t x x =-，则2)[24t x π-∈-2]；212sin cos t x x =-，21sin cos 2t x x -∴=， 2211342(2)222t y t t -∴=+-=++，当[2t ∈-2]时，函数y 单调递增； 2t ∴=y 取得最大值是9222． 故答案为：9222． 14．函数3sin xy 的值域是 ．【解析】解：由3sin xy =3cos 2x y x y +=，∴23)2y x y α++=，2sin()3x yα∴+=+2|13y+，解得11y -故答案为：[1-，1]．15．（2022•湖南）若(0,)2x π∈则2tan tan()2x x π+-的最小值为 ．【解析】解：12tan tan()2tan 2tan x x x xπ+-=+(0,)2x π∈，tan 0x ∴>，112tan 22tan 22tan tan x x x x ∴+⋅2tan x =时，等号成立） 故答案为：2216．（2022春•蚌埠期末）当02x π<<时，函数21cos28sin ()sin 2x xf x x ++=的最小值为 ．【解析】解：2221cos28sin 8sin 2cos 4sin cos ()4sin 22sin cos cos sin x x x x x x f x x x x x x+++===+当且仅当224sin cos x x =时等号成立． 故答案为：417．（2022秋•东城区期末）已知函数()sin 3f x x x =+，则()f x 的最大值为 ．【解析】解：函数()sin 3cos 2sin()3f x x x x π==+，()f x ∴的最大值为2，故答案为：2．18．（2022秋•台江区校级期末）当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x -=⋅-的最小值是 ． 【解析】解：222cos 1()sin cos sin tan tan x f x x x x x x==--． 当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，2111tan tan 244x x⇒--=， ()4f x ∴．19．（2022秋•杭州期末）函数()2sin(2)6f x x π=-在[4x π∈-，]4π上的最大值为 ．【解析】解：[4x π∈-，]4π， 2(2)[63x ππ∴-∈-，]3π， 2sin(2)[26x π∴-∈-3]，∴函数()2sin(2)6f x x π=-在[4x π∈-，]4π3 3 三．解答题20．（2022春•石门县校级期末）已知函数()2)4f x x π=+，x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间和单调递减区间；（3）当[0x ∈，]2π，求()f x 值域．【解析】解：（1）由解析式得3ω=， 则函数的最小正周期223T ππω==． （2）由232242k x k πππππ-++，k Z ∈，得323244k x k ππππ-+，k Z ∈，即2234312k k x ππππ-+，k Z ∈， 即函数的单调递增区间为2[34k ππ-，2]312k ππ+，k Z ∈， 由3232242k x k πππππ+++，k Z ∈， 得225312312k k x ππππ++，k Z ∈， 即函数的单调递减区间为2[312k ππ+，25]312k ππ+，k Z ∈． （3）当[0x ∈，]2π时，3[0x ∈，3]2π，3[44x ππ+∈，7]4π， 则当342x ππ+=时，函数()f x 取得最大值，此时()222f x π=，当3342x ππ+=时，函数()f x 取得最小值，此时3()222f x π==- 即()f x 值域为[2-2]．21．（1）求函数34cos(2)3y x π=-+，[3x π∈-，]6π的最大值和最小值及相应的x 值．（2）求函数2cos 2sin 2y x x =+-，x R ∈的值域．（3）若函数2()sin cos 2f x x a x =-++，[0x ∈，]2π的最小值为12，求a 的值．【解析】解：（1）34cos(2)3y x π=-+，[3x π∈-，]6π， 2[33x ππ+∈-，2]3π， ∴当203x π+=时取最小值，最小值为1-，即6x π=-，2233x ππ+=时取最大值，最大值为5，即6x π=，6x π∴=-时，y 取最小值为1-，6x π=时，y 取最大值为5；（2）2cos 2sin 2y x x =+-， 2sin 2sin 1x x =-+-，令sin x t =，[1t ∈-，1]，221y t t ∴=-+-，[1t ∈-，1]， 由二次函数图象可知，对称轴为1， y ∴在定义域[1-，1]上单调递增，y 的值域为[4-，0]，∴函数2cos 2sin 2y x x =+-，x R ∈的值域[4-，0]；（3）2()sin cos 2f x x a x =-++，[0x ∈，]2π，2()cos cos 1f x x a x ∴=++，[0x ∈，]2π，令cos x t =，[0t ∈，1]，2()1f t t at ∴=++，[0t ∈，1]， 由二次函数性质可知：0a <， 当对称轴12at =->，即2a <-时， ∴最小值为f （1）12=， 322a ∴=->-，不成立，当012a-，20a -， 当2at =-取最小值，2a ∴=-．22．（2022秋•南阳期中）已知函数22()2cos ()sin 3f x x x π=-+-．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()()(0)2g x f x πϕϕ=+<<的图像关于点(,1)2π中心对称，求()y g x =在[,]63ππ上的值域．【解析】解：（1）22222131cos(2)cos 2cos sin 2sin 1cos 2211cos 21cos 21cos 233322()2cos ()sin 2223222222x x x x x x x x f x x x ππππ++-+-+---=-+-=--=--=--13cos 2211cos 2333313222cos 221(2sin 2)1)122423x x x x x x x x π-+-=--=+=++=++，即3())13f x x π++， 令222,232k x k k Z πππππ-++∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+∈，所以函数的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈． （2）因为33()())]12)133g x f x x x ππϕϕϕ=+=+++=+++， 又()g x 的图像关于点(,1)2π中心对称， 所以2,3k k Z ππϕπ++=∈，解得21,32k k Z πϕπ=-+∈， 因为02πϕ<<，所以3πϕ=，所以33())121g x x x π=++=+， 当[,]63x ππ∈时，22[,]33x ππ∈，所以3sin 2[x ∈，所以31()[1,]4g x ∈， 即()y g x =在[,]63ππ上的值域为31[1]4．23．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =-． （1）求函数()y f x =的最小正周期和严格递减区间；（2）若()()1g x f x =+，[0,]2x π∈，求函数2()()2g x y g x =+的值域．【解析】解：（1）2()2sin cos 2cos sin 2(1cos2)2)14f x x x x x x x π=-=-+=--，所以最小正周期22T ππ==， 令2(242x k πππ-∈+，32)2k ππ+，k Z ∈，则3(8x k ππ∈+，7)8k ππ+，k Z ∈， 故最小正周期为π，严格递减区间为3(8k ππ+，7)8k ππ+，k Z ∈． （2）()()12)4g x f x x π=+-，因为[0,]2x π∈，所以2[44x ππ-∈-，3]4π，所以()[1g x ∈-2]，故2()2(()2)442[2()2()2()2g x g x y g x g x g x +-===-∈-+++，222]-+．24．（2022秋•硚口区期末）已知函数22()(sin cos )233f x x x x =+- （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求函数()12y f x π=+，[0,]2x π∈的值域．【解析】解：（1）由三角函数公式化简可得： 1cos2()1sin 22332xf x x +=+-sin 23cos212sin(2)13x x x π=+=-+， 由222232k x k πππππ--+可得5,1212k x k k Z ππππ-+∈，()f x ∴的单调递增区间为：5[,],1212k k k Z ππππ-+∈；（2）由（1）可得()2sin(2)1126y f x x ππ=+=-+，2x π，∴52666x πππ--，∴1sin(2)126x π--，03y ∴∴函数的值域为：[0，3]25．（2022春•柳州期末）已知函数2()(sin cos )cos(2)16f x x x x π=+++-．求：（1）函数()f x 的最小正周期；（2）方程()0f x =的解集；（3）当[,]44x ππ∈-时，函数()y f x =的值域．【解析】解：（1）函数231()(sin cos )cos(2)11sin 2sin 2162f x x x x x x x π=+++-=+--sin 23sin(2)23x x x π==+，故它的最小正周期为22ππ=．（2）由()0f x =，可得sin(2)03x π+=，23x k ππ∴+=，k Z ∈， 求得26k x ππ=-，k Z ∈，故方程()0f x =的解集为{|26k x x ππ=-，k Z ∈}． （3）当[,]44x ππ∈-时，2[36x ππ+∈-，5]6π，1sin(2)[32x π∴+∈-，1]， 故函数()y f x =的值域为1[2-，1]． 26．（2022秋•汶上县校级月考）已知函数()2sin(2)6f x x aa R π=++∈，a 是常数 （1）求5()3f π的值 （2）若函数()f x 在[,]44ππ-3a 的值． 【解析】解：（1）()2sin(2)6f x x a π=++，a R ∈， 510()2sin()2336f a a πππ∴=++=-+⋯（3分） （2）因为[4x π∈-，]4π， 2[63x ππ∴+∈-，2]3π， 3sin(2)[6x π∴+∈，1]⋯（6分） 3()2a f x a ∴-+⋯（9分）即2max y a =+，3min y a =，由已知得323a a -++=31a ∴⋯（12分）27．（2022春•兴庆区校级期末）已知函数2()2cos 2222x x x f x =． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[π-，0]上的值域．【解析】解：（1）211cos 2()2cos 22sin 2sin()222224x x x x f x x x π-=-=+， ()f x ∴的最小正周期为221ππ=． （2）[x π∈-，0]，3[44x ππ∴+∈-，]4π，sin()[14x π∴+∈-2，22sin()[14x π∴+-，0]，故()f x 的值域为2[1--． 28．求函数cos 21y x +- 【解析】解：函数cos 21y x =+-，sin 1cos 20x y x y y ∴-=+-=，即sin cos (21)1x y x y -=+， 21)(21)1y x y θ++=+，即2(21)1sin()1y x y θ-++=+． 根据|sin()|1x θ+，求得2(21)111y y -++，平方化简可得2(222)2(21)y y -， 即(1)0y y -，解得1y ，或0y ，即函数的值域为{|1x y ，或0}y ．。
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为.[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t Θ当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().cos sin 21cos sin 2x x x x +=+，设sin cos .t x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=2t =. 六．利用函数在区间内的单调性 例6.已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y Θ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x Θ3≥y 或.31≤y 八． 数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. 例8． 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0x x y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.九． 判别式法例9．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十． 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1） 当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M （3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππΘ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。
二次函数面积最值问题的4种解法
微信公众号
从小学数学-------------------------------------------------
解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。 设动点 P 的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的 计算公式，得出二次函数，必有最大值。
微信公众号
从小学数学-------------------------------------------------
原 题 ：在（ 1）中 的 抛 物 线 上 的 第 二 象 限 是 否 存 在 一 点 P，使 △PBC 的 面 积 最 大 ？ 若 存 在 ， 求出 P 点的坐标及△PBC 的面积最大值，若没有，请说明理由。 考试题型，大多类似于此。求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。 一般解题思路和步骤是，设动点 P 的坐标，然后用代数式表达各线段的长。通过公式计 算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面 积表达的常规几何图形。请看解题步骤。
微信众号
从小学数学-------------------------------------------------
解 法 二 ： 铅 锤 定 理 ， 面 积 =铅 锤 高 度 ×水 平 宽 度 ÷2。 这 是 三 角 形 面 积 表 达 方 法 的 一 种 非 常 重要的定理。 铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。因为， 铅 锤 定 理 ，在 很 多 地 方 都 用 的 到 。这 里 ，也 有 铅 锤 定 理 的 简 单 推 导 ，建 议 大 家 认 真 体 会 。
解法四：三角函数法。请大家认真看上面的解题步骤。 总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。过点 P 做辅助线，然后利用相关性质，找 出各元素之间的关系。 设动点 P 的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点 式，求出三角形面积的最大值。 对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题 中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。
三角函数的值域
答案A
解析因为0≤x≤9，所以－ ≤ － ≤ ，所以－ ≤sin ≤1，则－ ≤y≤2.所以ymax＋ymin＝2－ .
跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝sin ，其中x∈ ，若f(x)的值域是 ，则实数a的取值范围是．
答案
解析∵x∈ ，∴x＋ ຫໍສະໝຸດ ，∵当x＋ ∈ 时，f(x)的值域为 ，
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－ 时，ymin＝－ － .
∴函数的值域为 .
三角函数的值域
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：
(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．
例1(1)函数y＝cos 2x＋2cosx的值域是()
A．[－1,3]B.
C. D.
答案B
解析y＝cos 2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝2 2－ ，因为cosx∈[－1,1]，所以原式的值域为 .
(2)函数y＝2sin (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()
∴由函数的图象(图略)知， ≤a＋ ≤ ，
∴ ≤a≤π.
(2)(2018·通辽质检)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为．
答案
解析设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝ ，且－ ≤t≤ .
利用二次函数求三角函数的最值
1 利用二次函数求三角函数的最值换元法是求函数最值时常用的一种方法，它体现了化归转化数学思想的应用，可将陌生问题转化为熟悉问题来解决. 本文我们结合典型的例题来体会一下通过换元法，利用二次函数求解三角函数的最值问题. 例1. 设2[,]63x ππ∈-，求函数24sin 12sin 1y x x =--的最值.分析：可将sin x 可作一个整体，将给定的函数看作是关于sin x 的二次函数.解：令sin t x =，由于2[,]63x ππ∈-，故1[,1]2t ∈-； 22341214()102y t t t ∴=--=--，因1[,1]2t ∈-时函数单调递减，故当12t =-，即6x π=-时，max 6y =；当1t =，即2x π=时，min 9y =-.点评：形如2sin sin y a x b x c=++的函数，令sin t x =，这样通过换元就转化为二次函数2y at bt c =++的最值问题. 但应注意换元前后，变量的取值范围要保持不变，因此要根据给定的x 的取值范围，求出t 的范围；另外2cos cos y a x b c =++，2sin cos y a x b x c =++等形式函数的最值都可用这种方法.例2. 求函数(43sin )(43cos )y x x =--的最小值. 【注：若x R ∈，则(sin cos )[x x +∈】 分析：在函数(sin cos )sin cos y a x x b x x c =+++中，由于2(sin cos )12sin cos x x x x +=+，因此若令sin cos ,[x x t t +=∈，则21s i n c o s 2t x x -=，这样函数就变为212t y at b c -=+⋅+的形式，因此此类函数也可通过换元转化为二次函数的最值问题.解：1612(sin cos )9sin cos ,y x x x x =-++令sin cos t x x =+，则[t ∈且21sin cos ,2t x x -= 221116129(92423)22t y t t t -∴=-+⨯=-+，故当4[3t =∈时，min 72y =. 点评：对于形如(sin cos )sin cos y a x x b x x c =-++的函数也同样可利用此种方法进行求解.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 利用二次函数求三角函数的最值
换元法是求函数最值时常用的一种方法，它体现了化归转化数学思想的应用，可将陌生问题转化为熟悉问题来解决. 本文我们结合典型的例题来体会一下通过换元法，利用二次函数求解三角函数的最值问题. 例1. 设2[,]63x ππ
∈-，求函数24sin 12sin 1y x x =--的最值.
分析：可将sin x 可作一个整体，将给定的函数看作是关于sin x 的二次函数.
解：令sin t x =，由于2[,
]63x ππ∈-，故1[,1]2
t ∈-； 22341214()102y t t t ∴=--=--，因1[,1]2t ∈-时函数单调递减，故当12t =-，即6x π=-时，max 6y =；当1t =，即2x π
=时，min 9y =-.
点评：形如2sin sin y a x b x c
=++的函数，令sin t x =，这样通过换元就转化为二次函数2y at bt c =++的最值问题. 但应注意换元前后，变量的取值范围要保持不变，因此要根据给定的x 的取值范围，求出t 的范围；另外2cos cos y a x b c =++，2sin cos y a x b x c =++等形式函数的最值都可用这种方法.
例2. 求函数(43sin )(43cos )y x x =--的最小值. 【注：若x R ∈
，则(sin cos )[x x +∈】 分析：在函数(sin cos )sin cos y a x x b x x c =+++中，由于2(sin cos )12sin cos x x x x +=+，因此
若令sin cos ,[x x t t +=∈，则21s i n c o s 2t x x -=，这样函数就变为212
t y at b c -=+⋅+的形式，因此此类函数也可通过换元转化为二次函数的最值问题.
解：1612(sin cos )9sin cos ,y x x x x =-++
令sin cos t x x =+
，则[t ∈且21sin cos ,2
t x x -= 221116129(92423)22
t y t t t -∴=-+⨯=-+，
故当4[3t =∈时，min 72
y =. 点评：对于形如(sin cos )sin cos y a x x b x x c =-++的函数也同样可利用此种方法进行求解.。