利用二次函数求三角函数的最值

1 利用二次函数求三角函数的最值

换元法是求函数最值时常用的一种方法，它体现了化归转化数学思想的应用，可将陌生问题转化为熟悉问题来解决. 本文我们结合典型的例题来体会一下通过换元法，利用二次函数求解三角函数的最值问题. 例1. 设2[,]63x ππ

∈-，求函数24sin 12sin 1y x x =--的最值.

分析：可将sin x 可作一个整体，将给定的函数看作是关于sin x 的二次函数.

解：令sin t x =，由于2[,

]63x ππ∈-，故1[,1]2

t ∈-； 22341214()102y t t t ∴=--=--，因1[,1]2t ∈-时函数单调递减，故当12t =-，即6x π=-时，max 6y =；当1t =，即2x π

=时，min 9y =-.

点评：形如2sin sin y a x b x c

=++的函数，令sin t x =，这样通过换元就转化为二次函数2y at bt c =++的最值问题. 但应注意换元前后，变量的取值范围要保持不变，因此要根据给定的x 的取值范围，求出t 的范围；另外2cos cos y a x b c =++，2sin cos y a x b x c =++等形式函数的最值都可用这种方法.

例2. 求函数(43sin )(43cos )y x x =--的最小值. 【注：若x R ∈

，则(sin cos )[x x +∈】 分析：在函数(sin cos )sin cos y a x x b x x c =+++中，由于2(sin cos )12sin cos x x x x +=+，因此

若令sin cos ,[x x t t +=∈，则21s i n c o s 2t x x -=，这样函数就变为212

t y at b c -=+⋅+的形式，因此此类函数也可通过换元转化为二次函数的最值问题.

解：1612(sin cos )9sin cos ,y x x x x =-++

令sin cos t x x =+

，则[t ∈且21sin cos ,2

t x x -= 221116129(92423)22

t y t t t -∴=-+⨯=-+，

故当4[3t =∈时，min 72

y =. 点评：对于形如(sin cos )sin cos y a x x b x x c =-++的函数也同样可利用此种方法进行求解.