拉格朗日中值定理讲课稿
Lagrange中值定理PPT演示课件
罗尔定理回顾：
若函数 y f (x) 满足:
y
C
y f (x)
(1) 在闭区间a,b上连续；
(2) 在开区间a,b 内可导； A
(3) f (a) f (b).
o a 1
B D
2 b
x
在 a,b 内至少存在一点 , 使 f ( ) 0.
几何意义：在一段每点都有切线的连续曲线上，若两端 点的高度相同，则在此曲线上至少存在一条水平切线.
连续点,或者是f '( x)的第二类间断点.
证明：假设x0是f
(
x
)的第一类间断点，则
lim
x x0
f
'( x)
f ( x0 0)和
lim
x x0
f
'( x)
f ( x0 0)存在,由拉格朗日中值定理:
f '( x0 )
f(
x0
)
lim
h0
f ( x0 h) h
f ( x0 )
lim h0 0ch h
(
x
a)
(1) F ( x)在[a, b]上连续； y
(2) F ( x)在(a, b)内可导；
(3) F (a) F (b) 0.
A
由罗尔定理，存在 (a, b),使
F ( ) f '( ) f (b) f (a) 0. o a
ba
f ( ) f (b) f (a) .
ba
F(x)
一点 C ,在该点处的切
线平行于弦 AB.
A
D
o a 1
2 b
x
5
拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理的等价形式: f ( ) f (b) f (a) .
《拉格朗日中值定理》PPT课件
罗尔定理
微
拉格朗日中值定理
分
中
值
柯西中值定理
定
理
泰勒中值定理
1
罗尔（Rolle）定理
如果函数 f ( x) 满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导； （3） 且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b)；
则在(a, b) 内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在 该点的导数等于零，即 f ' () 0
2
Hale Waihona Puke 何解释: yy f (x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
3
y
y f (x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f ( ) f (b) f (a)
ba
4
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
f ( x1) f ( x2 ) .
10
推论 2
若 f (x) g(x) x I , 则 f (x) g(x) C x I . ( C 为常数 )
证
f (b) f (a) f ( )(b a)
F ( x) ( f ( x) g( x)) f ( x) g( x)
若 f (x) g(x) x I , 则 F(x) ( f (x) g(x)) 0 , x I ,
（3）定理只论证了 的存在性， (a, b) ，不知道
拉格朗日中值定理课件
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利
用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明 不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
谢谢大家
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
二、拉格朗日中值定理的应用
例1 函数 f (x) 2x2 x 1在区间[－1,3]上满足拉格
朗日中值定理的 =( ).
A. 3; B. 0; C. 3; D. 1 . 4
分析 由于 f (x) 2x2 x 1在[－1,3]上连续，在(－1,3)
内可导，因此f(x拉格朗日中值定理条件. )在[－
拉格朗日中值定理及其应用
一、拉格朗日中值定理
定理1. 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ( x),
f (x0 x) f (x0 ) f ( )x,
其中为x0与x0 x 为之间的点.也可以记为
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x)x, 0 1
或
y f (x0 x)x, 0 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'( ) 0 能导出 f ( ) f (b) f (a) ，则问题可解决.
ba
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
命题人系列第8讲：拉格朗日中值定理及应用
命题人系列第8讲：拉格朗日中值定理及应用凌晨讲数学
79篇原创内容
公众号
本节继续《命题人视角下的函数与导数》第8讲：拉格朗日中值定理及其在导数命题的中的应用.
作为继泰勒展开之后的另一个高观点下的应用范例，我将从以下几个方面入手：
实际上，关于拉格朗日中值定理在导数题目中的应用，目前谈论最多的应该是一类割线斜率恒成立问题，例如2018年全国1卷，但是，仅就拉格朗日中值定理来讨论割线斜率恒成立问题又是不严谨的，即用该定理来解决这类问题会犯错！所以，这类不严谨的做法不是本文讨论的重
点，仅在文末会给出例子说明. 本节的重点是围绕两道高考真题谈论拉格朗日中值定理在导数命
题中最重要的两个应用：利普希茨条件和刘维尔不等式. 因此，本文的基本构架如下：
1.拉格朗日中值定理
2.利普希茨条件与2019天津卷导数题
3.刘维尔不等式与2017天津卷导数题
4.割线斜率的取值范围.更正下面定理为闭区间连续，开区间可导！
如果你喜欢此内容，请在文末为它点个赞和在看!。
说课：拉格朗日中值定理
二. 教法分析
（四）具体措施
根据以上的分析，本节课采用教师引导与学生 自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课 形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉快的 环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形 象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性， 以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形 的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养 学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流 的合作意识。
情景 引入
几何 意义 具体 运用
复习 引入
2、时间安排：
新课引入约10分钟， 探索求知约10分钟， 灵活运用约20分钟， 小结提高约5分钟。
概念 建构
演 练
作业
过程反思
本节课设计为一节“科学探究 — 合作学习”的活 动课，在整个教学过程中学生以探索者的身份学 习，在问题解决过程中，通过自身的体验对知识 的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。 力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精 确的统一，运动和静止的统一，感受量变到质变的 转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。 教师在这个过程中始终扮演学生学习的协作者和 指导者。学生通过自身的情感体验，能够很快的 形成知识结构，并将其转化为数学能力。
教学过程 （三）灵活运用 透析内涵 求函数 f ( x) x 在[0,2]上满足拉 格朗日中值定理条件的 ？
2
设计意图
' f 解： ( x) 2 x，
由拉格朗日中值定理得：
22 02 2 (2 0)
这是学生思维上升的 又一个层次，设计该 题目的在于加深学生 对导数刻画函数单调 性的理解，通过它及 时发现学生的问题， 及时纠正，能对学生 情况给予及时评价。
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量 联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单 调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。
拉格朗日中值定理说课稿
二、说学生
打好基础，够用为度，少讲推理，多讲应用
三、说教学目标
1.知识目标：记忆Lagrange中值定理的条 件和结论，了解其几何意义，并用它来建立 导数与函数单调性之间的关系。
2.能力目标：会求满足Lagrange中值定理
一般 课后作业：P99-4（1）、7
罗尔（Rolle）定理与Lagrange中值定 理
f()f(b)f(a).
ba
f()0.
f()f(b)f(a).
ba
令 a x 0 ,b x 0 x , y f ( x 0 x ) x ( 0 1 )
总结归纳
知识点总结：三个定理各自的条件和结论 方法总结：形象思维---抽象思维，特殊---
中的 值并应用Lagrange中值定理进行简
单的不等式、等式证明,会用单调性定理求 函数的单调区间。
四、说教学重点、难点
1.教学重点：
Lagrange中值定理及其推论的应用，会用单调 性定理求函数的单调区间。
2.教学难点：
Lagrange中值定理的证明。
五、说教学方法
讲授法 探究法 练习法 启发式
六、说教学过程
遵循着“复习旧知---讲授新知---总结归纳” 的原则，本节课的教学内容由以下六部分组 成：
导入
Fermat引理
Rolle定理
Lagrange中值定理
单调性定理
总结
费尔马引理与罗尔( Rolle )定理
yA
y A y f(x)
B
o x0 x
f(x0)0
o
a bx
课件：15-第15讲 罗尔、拉格朗日中值定理
又 f (a) f (b) f (c) f (d ) 0 ,
f (x) 是四次多项式 , 在 (,) 内可微 , 在 [a, b] ,[b, c] ,[c, d ] 上运用罗尔中值定理 , 得
f (1) f (2) f (3) 0 . 其中, 1 (a, b) , 2 (b, c) , 3 (c, d) .
由罗尔中值定理 , 至少存在一点 1 (a,c), 使得 (1) 0.
同理, 至少存在一点 2 (c,b), 使得 (2) 0. 在 [1,2] 上对函数 (x) 再运用罗尔中值定理 , 则
至少存在一点 (1,2) (a,b), 使得 (( )) ( ) 0,
即 f ( ) g( ). 29
22
例2
设 f (x) C([a, b]) , 在 (a, b)内可导, 证明
2x ( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x)
在 (a, b) 内至少有一根 .
证 令 F(x) x2( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x)
则由 f (x) 的连续性和可导性 , 得
O x1
x0 x2 x
8
将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置：
在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.
也就是说, 至少存在一点 (x1 , x2) , 使得 f ( ) f (x2 ) f (x1)
x2 x1 该命题就是微分中值定理.
9
极值的定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义 , 若
f (x) f (x0 ) x Uˆ (x0 ) ,
拉格朗日（Lagrange）中值定理讲义
拉格朗日（Lagrange ）中值定理教学目的：1.熟练掌握中值定理及其几何意义2.能应用拉格朗日中值定理证明不等式3.了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2教学重点：1.拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2.拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3.利用导数证明不等式的技巧。
教学难点：中值定理的应用技巧 教学内容：1．罗尔定理的回顾与拉格朗日中值定理的引入我们简单回顾一下罗尔定理的内容：若函数满足下列条件： )(x f ①在闭区间[连续； ②在开区间]b a ,()b a ,可导； ③)()(b f a f = 则在(内至少存在一点)b a ,ξ，使得'()0f ξ=图1 图2罗尔定理的几何意义大家都清楚了如图1，现在我们把坐标系统绕原点在平面内的旋转α角，使在新坐标系如图2，大家看看有什么不同？2．拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函数满足（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, 那么在内至少有一点)(x f (a <],[b a ),(b a ),(b a )b <ξξ, 使得等式成立。
)a )(()('b f a f −=−ξ)(b f 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上，则)()(b f a f =()()'()0f b f a f b a b aξ−===−−，即：，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
'()0f ξ=拉格朗日（微分）中值定理几何意义我们从几何的角度看一个问题，如下：设连续函数()y f x =，a 与是它定义区间内的两点（a b b <），假定此函数在(,上处处可导，也就是在(,内的函数图形上处处有不垂直于)a b )a b x 轴的切线，那么我们从图2上容易看到，差商()y f x b =(f a)a b Δ−Δ−就是割线的斜率，若我们把割线作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点AB AB ()C x ξ=处成为曲线的切线，而切线的斜率为()f ξ′，由于切线与割线是平行的，因此()()()f b f a f b aξ−′=−成立。
拉格朗日中值定理证明及其应用
拉格朗日中值定理证明及其应用1. 引言1.1 拉格朗日中值定理的引入拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出并证明。
这个定理在微积分的发展中具有重要的地位，被广泛应用于函数的性质研究和最值问题的求解中。
拉格朗日中值定理可以理解为函数在某个区间上的平均变化率等于某个点的瞬时变化率。
具体地说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续且可导，那么在开区间(a, b)内一定存在一个点c，使得函数在点c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
这个定理的引入可以帮助我们更好地理解函数的变化规律。
在实际问题中，我们经常需要研究函数在某个区间上的性质，比如函数的波动情况、增减性、极值等。
拉格朗日中值定理提供了一个有效的工具，可以帮助我们准确地描述函数在某个区间上的特征，进而推导函数的性质并解决相关问题。
拉格朗日中值定理的引入为我们理解函数的变化规律提供了一种新的视角，为函数求值、曲线求导和最值问题等提供了重要的理论支撑。
在接下来的文章中，我们将深入探讨拉格朗日中值定理的数学表述、证明过程以及在不同领域中的应用。
1.2 拉格朗日中值定理的重要性拉格朗日中值定理作为微积分中的重要定理，具有非常重要的数学意义和实际应用价值。
在数学分析领域，拉格朗日中值定理是连接微积分中的微分和积分两个重要概念的桥梁，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和求值方法。
拉格朗日中值定理的重要性在于它提供了一种有效的方法来处理函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
通过该定理，我们可以准确地计算函数在某一区间上的平均斜率，并将其与函数在该区间某一点的瞬时斜率联系起来。
这对于研究函数的变化规律，求解函数的最值以及解决相关实际问题都具有重要作用。
拉格朗日中值定理还为我们提供了一种重要的数学工具，可以帮助我们证明一些关于函数的重要性质和定理。
通过应用拉格朗日中值定理，我们可以简化复杂的数学问题，减少证明的难度，提高证明的效率。
拉格朗日中值定理的证明及应用PPT课件
f
(b) b
f (a) a
ab (b a)
ba
设辅助函数
F(x) f (x)
x
由于F (x) 在 [a ,b] 上满足拉氏中值定理条件, 且
F ( x)
x
f
(x) x2
f
(x)
即存在一个 使
f
f ( ) 2
f(b a)
∴原式成立
例2：设函数 f x 在 a,b内可导，且 f x M
那么可以令则有sincos时至少存在一个数sincos三拉格朗日中值定理的应用1证明等式2证明不等式3研究导数和函数的性质4证明有关中值问题的结论5判定方程根的存在性和唯一性6利用中值定理求极限证明等式所证结论左边为例2
拉格朗日(拉式)中值定 理的证明方法及应用
一、定义：如果函数 f x 满足：
1、在闭区间a,b 上连续
则有Fa Fb
∴ 由罗尔定理得：当 F a F b 时，至少存在
一个数
最后得出
使 F
f tan
0，即 f cos
0 ,即f f
sin
b f
0
a
ba
三、拉格朗日中值定理的应用
1、证明等式 2、证明不等式 3、研究导数和函数的性质 4、证明有关中值问题的结论 5、判定方程根的存在性和唯一性 6、利用中值定理求极限
证明 f x在 a,b 内有界。
证：取点 x0 a,b，再取异于x0 的点 x a,b ， 对 f x 在以 x ，x0 为端点的区间上用拉式中值定
理得：f x f x0 f x x0 （ 界于 x0与 x之间）
则有：f x f x0 f x x0
f x0 f x x0
2、在开区间a, b 内可导
试讲拉格朗日中值定理
…则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf 。
2、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出了一个 微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理， 但未证明。
拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础，我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容： 2.1 拉格朗日中值定理 若函数()x f 满足下列条件：① 在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得…………………………装………………………订………………………线…………………………ξ()x f y =()()()a b a f b f f --=ξ'注意：（1）深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
（2）若加上()()b f a f =，则()()()00'=-=--=ab a b a f b f f ξ即()0'=ξf ，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
（3）形象认识（几何意义），易知()()ab a f b f --为过B A 、两点的割线的斜率，()ξ'f 为曲线()x f 上过ξ点的切线的斜率：若()()()ab a f b f f --=ξ'即是说割线的斜率等于切线的斜率。
几何意义：若在闭区间[]b a ,上有一条连 续的曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少有一点()()ξξf C ,，使得过点C 的切线平行于割线AB 。
它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线…………………………装………………………订………………………线…………………………CyOABMN()x f y =a ξxb……………山西水利职业技术学院教案纸…………………………装………………………订………………………线……………………………Array……………………装………………………订………………………线……………………………Array……………………装………………………订………………………线……………………………Array……………………装………………………订………………………线…………………………。
4.1.2拉格朗日中值定理
第四章 中值定理及导数的应用第1节中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理一、定理及证明拉格朗日中值定理 如果函数f (x )(1)在闭区间],[b a 上连续,(2)在开区间),(b a 内可导,那末在),(b a 内至少有一点)(b a <ξ<ξ，使等式))(()()('a b f a f b f -ξ=- 成立. ).()(:b f a f =去掉了与罗尔定理相比条件中注意).()()(ξ'=--f ab a f b f 结论亦可写成a b 1ξ2ξx xo y)(x f y =A B CDN M 几何解释:,.AB C AB 在曲线弧上至少有一点在该点处的切线平行于弦证分析:).()(b f a f =条件中与罗尔定理相差弦AB 方程为).()()()(a x ab a f b f a f y ---+=,)(AB x f 减去弦曲线.,两端点的函数值相等所得曲线b a作辅助函数)].()()()([)()(a x ab a f b f a f x f x F ---+-=,)(满足罗尔定理的条件x F .0)(,),(=ξ'ξF b a 使得内至少存在一点则在0)()()(=---ξ'ab a f b f f 即拉格朗日中值定理二、进一步说明拉格朗日中值定理 如果函数f (x )(1)在闭区间],[b a 上连续,(2)在开区间),(b a 内可导,那末在),(b a 内至少有一点)(b a <ξ<ξ，使等式))(()()('a b f a f b f -ξ=- 成立. 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值公式,),(],[)(内可导在上连续，在设b a b a x f ).10()()()(000<θ<∆⋅∆θ+'=-∆+x x x f x f x x f 则有),,(,00b a x x x ∈∆+).10()(0<θ<∆⋅∆θ+'=∆x x x f y 也可写成.的精确表达式增量y ∆拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论.)(,)(上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数I x f I x f拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理的应用例4).11(2arccos arcsin ≤≤-π=+x x x 证明证]1,1[,arccos arcsin )(-∈+=x x x x f 设)11(11)(22x x x f --+-=' .0=]1,1[,)(-∈≡∴x C x f 0arccos 0arcsin )0(+=f 又20π+=,2π=.2π=C 即.2arccos arcsin π=+∴x x例5)(arctan arctan 211212x x x x x x <-≤-其中证明不等式证)()(11arctan arctan ],,[.arctan )(211221221x x x x x x x x x x f <<-+=-=ξξ有在设.arctan arctan ,11112122x x x x -≤-≤+所以ξ例6.)1ln(1,0x x xx x <+<+>时证明当证),1ln()(x x f +=设,],0[)(上满足拉氏定理的条件在x x f )0(),0)(()0()(x x f f x f <ξ<-ξ'=-∴,11)(,0)0(x x f f +='= 由上式得,1)1ln(ξ+=+x x x <ξ<0 又x+<ξ+<111,11111<ξ+<+x ,11x x x x <ξ+<+∴.)1ln(1x x x x <+<+即THANK YOU。
拉格朗日中值定理教案
拉格朗日中值定理教案教案:拉格朗日中值定理教学目标:1.理解拉格朗日中值定理的基本概念和定义；2.掌握拉格朗日中值定理的应用方法。
教学准备:1.教材:数学分析教材中与拉格朗日中值定理有关的章节；2.工具:黑板、粉笔、教具等。
教学过程:一、导入(5分钟)1.引入拉格朗日中值定理的概念，与学生讨论导数的作用；2.回顾导数的定义和基本性质。
二、讲解(20分钟)1.讲解拉格朗日中值定理的概念和基本原理；2.说明定理的前提条件和使用范围；3.列举几个关于应用拉格朗日中值定理的典型例题，分析求解过程；4.引导学生思考定理的几何和物理意义。
三、示范演练(15分钟)1.给出一个具体的函数表达式，要求学生应用拉格朗日中值定理求解；2.带领学生分析解题步骤和关键点；3.鼓励学生互相合作，积极参与讨论和解答问题。
四、讨论交流(20分钟)1.学生对于示范演练的问题进行讨论和交流；2.学生提出自己的疑问和解题思路，并与同学和教师进行讨论；3.教师引导学生找出问题的关键和解决方法。
五、拓展延伸(20分钟)1.在教师的指导下，学生自主解决一些与拉格朗日中值定理相关的问题；2.学生以小组形式展示解题过程和结果；3.学生进行评价和讨论，总结解题方法和技巧。
六、归纳总结(10分钟)1.教师引导学生总结拉格朗日中值定理的基本理论和应用方法；2.强调学生在解题过程中需要注意的问题和技巧；3.学生自主归纳总结，并记录到笔记中。
七、作业布置(5分钟)1.教师布置拉格朗日中值定理的相关作业，并规定提交时间；2.强调作业的重要性，鼓励学生积极完成。
教学反思:本节课主要介绍了拉格朗日中值定理的基本概念和应用方法，通过示范、讨论和练习等多种形式，提高了学生对定理的理解和应用能力。
在教学过程中，学生的合作意识和创造力得到了充分发挥，让学生更好地理解和应用拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理PPT课件
2019/12/29
3பைடு நூலகம்
2019/12/29
4
2019/12/29
5
2019/12/29
6
2019/12/29
7
2019/12/29
8
定律定义
定理表述
其他形式
2019/12/29
9
验证推导
2019/12/29
10
定理推广
2019/12/29
11
三、定理意义
几何意义
2019/12/29
• 运动学意义
• 对于曲线运动在任意 一个运动过程中至少 存在一个位置（或一 个时刻）的瞬时速率 等于这个过程中的平 均速率。 拉格朗日中值定理在 柯西的微积分理论系 统中占有重要的地位。 可利用拉格朗日中值12
参考资料：
[1] 同济大学数学系．高等数学．高等教育出 版社，2014年：126至129页 [2] 北京大学数学力学系．高等代数．北京： 人民教育出版社，1978：124-135 [3] 华东师范大学数学系．数学分析(上 册)(第二版)[M]．北京：高等教育出版社， 1991：153-161
拉格朗日中值定理
2019/12/29
1
• 一、拉格朗日中值定理的发展历程
拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的 基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的 整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的 关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广， 同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式 的弱形式（一阶展开）。
2019/12/29
13
谢谢
2019/12/29
14
2019/12/29
15
2019/12/29
拉格朗日中值定理课件
在(a、b)内任取两点x1,x2且x1<x2.则在[x1、x2]上 函数y=f(x)满足拉格朗日中值定理的条件。
证明
8
(A) 1. x3的单调性当x=0时 y'=0 当x≠0时 y'>0
1)f(x)=ln(1+x)
2)f(x)=|x|
4)f(x)=arctanx
下一页
解：
6
定理： 设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在(a、b)内可导.1)若在(a、b)内f’(x)>0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。 2)若在(a、b)内f’(x)<0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。证明
b x
af '(x)>0
二.函数单调性的判定法
几何特征：
f '(x)<0
0 a
b x
y
y
A
A
B
B
0
7
∴f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1) ξ ∈(x1、x2) 若f’(x)>0,则f’(ξ)>0 又x2-x1>0∴f(x2)>f(x1)∴y=f(x)在[a、b]上单调增加同理可证：若f'(x)<0 ,则函数f(x)在[a、b]上单调减少注： 1)上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间 结论同样成立。
引入新课
13
拉格朗日中值定理函数单调性的判定法
x
(- ∞、1)
1
(1、2)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
尊敬的评委老师：
大家下午好！
我们知道，导数是研究函数以及曲线的某些形态的重要工具，而微分中值定理则是导数应用的理论基础，因此对微分中值定理的理解和掌握是非常必要的。
下面请同学们回忆一下我们上一节课所学的罗尔定理的基本内容和数学意义，罗尔定理有三个条件分别是在闭区间上连续、在开区间内可导和区间端点的函数值相等，结论是至少存在一点属于开区间，使得函数在这个点的导数值等于零，它的代数意义是方程函数的导数等于零在开区间内至少有一个实根；几何意义是，在曲线段AB上有平行于弦AB的切线存在，那么请大家思考这样一个问题：如果罗尔定理中第三个条件（也就是函数在区间端点的函数值不相等）不成立的话，在曲线段AB上还会有平行于弦AB的切线存在吗？带着这个问题，让我们走进今天的新课：拉格朗日中值定理及其应用。
首先我们来认识一下数学家拉格朗日，拉格朗日是一位法国数学家，他在方程论、解析函数论以及数论等方面做出了重要贡献，是对分析数学产生全面影响的数学家之一。
拉格朗日中值定理就是他的诸多成果中的一个。
下面我们来看一下拉格朗日中值定理的条件和结论，定理的条件是函数满足在闭区间上连续、在开区间内可导，结论是在开区间内至少存在一点，使得函数在该点的导数值等于……，该式也称为拉格朗日中值公式或微分中值公式。
我们来分析一下拉格朗日中值定理的数学意义，首先来看几何意义，通过图示可以看到弦AB的斜率为……，设曲线上两个点……处的切线分别为……，对应的横坐标为……，那么对应切线的斜率分别为……，如果满足……，可以直观的看到两条切线是和弦AB平行的，也就是说拉格朗日中值定理的几何意义是在曲线弧AB上有平行于弦AB的切线存在，这就回答了我们最初提出的问题，很容易知道，罗尔定理就是拉格朗日中值定理在区间的两个端点的函数值相等时的特殊情形。
这个定理的代数意义是方程在开区间内至少有一个实根。
下面我们来证明一下这个定理，首先来看一下该定理的证明思路，我们可以从它的代数意义出发，假设存在一个函数……，那么要证明的结论就化为证明方程……在开区间内至少有一个实根，而这恰恰与罗尔定理的结论不谋而合，因此
可以考虑对函数在闭区间上应用罗尔定理加以证明，如何找到满足罗尔定理条件的函数就成为了证明中的一个难点，所以大家必须注意这个函数的构造方法，下面就是函数构造的思路，注意到待构造的函数满足……，而……，由导数的四则运算法则，……，因此可以选取……，其中…为任意常数。
证明思路已经有了，下面我们来写一下这个定理的证明过程。
首先构造辅助函数（为简化证明过程，这里取常数C=0），由连续函数的性质和导数的性质，有函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且……，显然……，由罗尔定理，至少存在一点属于开区间，使得……，也即……。
证毕。
对于该定理的证明，我们用到了构造辅助函数的思想，也就是通过结论对照条件找合适的函数，这属于逆向思维的过程，这种思想也是未来在应用微分中值定理解决相关问题时的一种常用思想。
在这里，大家应该引起重视，而且对于拉格朗日中值定理的证明，辅助函数的形式并不唯一，今天给出的辅助函数的构造是从定理的代数意义着手的，这里留给大家一个思考题，如果从定理的几何意义出发能成功构造合适的辅助函数吗？请同学们课后试着构造一下。
拉格朗日中值定理是沟通函数和导数的桥梁，也是未来研究函数的极值、单调性以及凹凸性等函数性态的重要工具，所以这里再给出拉格朗日公式的几种常用形式。
第一个形式：……，在由…和…构成的闭区间上应用拉格朗日中值定理就得了第二个形式：……，如果令……，……，则有第三个形式……，在一元函数微分学中，我们介绍过增量的近似表示……，相比这个近似表示，这里实际上给出了增量的一种精确表达式，所以这个公式也成为有限增量公式，相应的拉格朗日中值定理又称为有限增量定理。
下面就通过一个例子来学习一下该如何应用拉格朗日中值定理解决相关问题，首先看一元函数微分学中的一个简单命题，如果函数在区间上是一个常数，那么函数在该区间上的导数恒为零。
请同学们写出这个命题的逆命题，并思考逆命题成立吗？成立的话该如何证明？
大家已经写出了逆命题了，那就是下面这个定理：如果函数在区间上的导数恒为零，那么函数在区间上是一个常数。
该如何证明呢？我们来对这个定理的条件和结论做一个简要的分析，条件非常简单，就是在区间上函数的导数恒为零，要证明结论，只需要在区间上取一个定点，证明对于区间上的任意一点，总
有……，也即……成立即可。
由于拉格朗日中值定理表述的是函数和导数的关系，所以，考虑在区间……上应用拉格朗日中值定理，可得……，由定理条件知，因此有……，请大家独立的写一下该定理规范的证明过程。
这节课我们学习了拉格朗日中值定理的相关知识，通过这节课的学习，我们必须熟记定理成立的条件和结论，应该知道罗尔定理是拉格朗日中日中值定理的特殊情形，重点应该掌握拉格朗日中值定理证明中构造辅助函数的思想。
今天的作业分为两类，一类是必做题，习题3-1，第2题和第6题；一类是选做题，思考拉格朗日中日中值定理的条件是不是必要的？如果不是，请举例说明。
最后，请各位老师多提宝贵意见，谢谢！。