动态规划第一次课)
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C语言 动态规划ppt课件
子问题的决策中，只对同一城市（结点）比较优劣。 而同一阶段的城市（结点）的优劣要由下一个阶段去 决定。
19 7 A
5
16.07.2021
13 5 B1
8 7
6
7
B2
14
5
C81 3
7
C72 3 5
7
10 整C理3ppt 8
D1
5
E
2
D2
10
2、数塔问题
有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每 一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底 层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。
16.07.2021
整理ppt
19
10.3 最长有序子序列
I
012 3 4 5 6 7 8
Num[I] 1 4 7 2 5 8 3 6 9
16.07.2021
整理ppt
20
子问题的构造
• 子问题——“求以ak（k=1, 2, 3…N）为终 点的最长上升子序列的长度”
• 虽然这个子问题和原问题形式上并不完全 一样，但是只要这N 个子问题都解决了， 那么这N 个子问题的解中，最大的那个就 是整个问题的解。
16.07.2021
整理ppt
24
例如，若X={A，B，C，B，D，B，A}， Y={B，D，C，A，B，A}，则
序列{B，C，A}是X和Y的一个公共子序 列，但它不是X和Y的一个最长公共子序列。
序列{B，C，B，A}也是X和Y的一个公 共子序列，它的长度为4，而且它是X和Y的一 个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4 的公共子序列。
(如3)若X=x{mA≠BynC，B则Dz}k≠Yyn=蕴{B涵D ZC是A XB}和Zy=n-{1B的C最B长} 公共子序 列。
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C81 3
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C72 3 5
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10 整C理3ppt 8
D1
5
E
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D2
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2、数塔问题
有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每 一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底 层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。
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整理ppt
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10.3 最长有序子序列
I
012 3 4 5 6 7 8
Num[I] 1 4 7 2 5 8 3 6 9
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整理ppt
20
子问题的构造
• 子问题——“求以ak（k=1, 2, 3…N）为终 点的最长上升子序列的长度”
• 虽然这个子问题和原问题形式上并不完全 一样，但是只要这N 个子问题都解决了， 那么这N 个子问题的解中，最大的那个就 是整个问题的解。
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整理ppt
24
例如，若X={A，B，C，B，D，B，A}， Y={B，D，C，A，B，A}，则
序列{B，C，A}是X和Y的一个公共子序 列，但它不是X和Y的一个最长公共子序列。
序列{B，C，B，A}也是X和Y的一个公 共子序列，它的长度为4，而且它是X和Y的一 个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4 的公共子序列。
(如3)若X=x{mA≠BynC，B则Dz}k≠Yyn=蕴{B涵D ZC是A XB}和Zy=n-{1B的C最B长} 公共子序 列。
第07章 动态规划 《运筹学》PPT课件
最优路径问题 资源分配问题 排序问题 投资问题 装载问题 生产计划与库存问题 生产过程的最优控制等
动态规划
模型分类
离散确定型 离散随机型 连续确定型 连续随机型
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
多阶段决策问题
(Multi-Stage decision process)
决策u1 决策u2
决策uk
32
维护费
8 8 9 9 10 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 54Βιβλιοθήκη 新设备购置费 5050
52 52 55 60
旧设备折价
20 15 10 5 2 30 25 20 15 10 31 26 21 15 33 28 20 35 30
40
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
3)连续生产过程的控制 问题：一般化工生产过程中，
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
不过，实际中尚有许多不包含时间 因素的一类“静态”决策问题，就其本 质而言是一次决策问题，是非动态决策 问题，但是也可以人为地引入阶段的概 念当作多阶段决策问题，应用动态规划 方法加以解决。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
4）资源分配问题：便属于这类静 态问题。如：某工业部门或公司，拟对 其所属企业进行稀缺资源分配，为此需 要制定出收益最大的资源分配方案。这 种问题原本要求一次确定出对各企业的 资源分配量，它与时间因素无关，不属 动态决策，但是，我们可以人为地规定 一个资源分配的阶段和顺序，从而使其 变成一个多阶段决策问题(后面我们将 详细讨论这个问题)。
动态规划
模型分类
离散确定型 离散随机型 连续确定型 连续随机型
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
多阶段决策问题
(Multi-Stage decision process)
决策u1 决策u2
决策uk
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维护费
8 8 9 9 10 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 54Βιβλιοθήκη 新设备购置费 5050
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旧设备折价
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§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
3)连续生产过程的控制 问题：一般化工生产过程中，
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
不过，实际中尚有许多不包含时间 因素的一类“静态”决策问题，就其本 质而言是一次决策问题，是非动态决策 问题，但是也可以人为地引入阶段的概 念当作多阶段决策问题，应用动态规划 方法加以解决。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
4）资源分配问题：便属于这类静 态问题。如：某工业部门或公司，拟对 其所属企业进行稀缺资源分配，为此需 要制定出收益最大的资源分配方案。这 种问题原本要求一次确定出对各企业的 资源分配量，它与时间因素无关，不属 动态决策，但是，我们可以人为地规定 一个资源分配的阶段和顺序，从而使其 变成一个多阶段决策问题(后面我们将 详细讨论这个问题)。
动态规划例题讲解精品PPT课件
动态规划例题讲解
山东师大附中
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本节课主要通过几道例题，总揽NOIp中较 常见的动态规划模型，不会过多涉及优化 内容。
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最长上升子序列 内存碎片 背包问题 最长公共子序列 石子合并
括号序列 决斗 三取方格数 选课 贪吃的九头龙
最长上升子序列
给出一个数列{a1,a2,...,an}，要求你选出尽量 多的元素，使这些元素按其相对位置单调
完全背包问题
共有N种物品，每种物品有一定的重量w[i] 和一定的价值v[i]，每种物品有无限个。现 在我们有一个最大载重量limit的包，问放入 哪些物品能使得总价值最高？
w[i]和v[i]均为整数，N<=100，limit<=10000
完全背包问题
fillchar(f,sizeof(f),0); for i:=1 to n do for j:= w[i] to limit do f[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+v[i]); writeln(f[limit]);
1400
共有3件物品 重量分别为30/80/10 价值分别为300/1200/200 背包最大载重量为100
0/1背包问题
令f[i,j]表示考虑完前i项物品，并且当前背包 承重不大于j的情况下能获得的最大价值
f[i,j]=max( f[i-1,j], //不选第i项物品 f[i-1,j–w[i]]+v[i]) //选择第i项物品
2
插入a6后 -inf
1
插入a7后 -inf
1
插入a8后 -inf
1
插入a9后 -inf
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inf
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8
山东师大附中
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本节课主要通过几道例题，总揽NOIp中较 常见的动态规划模型，不会过多涉及优化 内容。
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最长上升子序列 内存碎片 背包问题 最长公共子序列 石子合并
括号序列 决斗 三取方格数 选课 贪吃的九头龙
最长上升子序列
给出一个数列{a1,a2,...,an}，要求你选出尽量 多的元素，使这些元素按其相对位置单调
完全背包问题
共有N种物品，每种物品有一定的重量w[i] 和一定的价值v[i]，每种物品有无限个。现 在我们有一个最大载重量limit的包，问放入 哪些物品能使得总价值最高？
w[i]和v[i]均为整数，N<=100，limit<=10000
完全背包问题
fillchar(f,sizeof(f),0); for i:=1 to n do for j:= w[i] to limit do f[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+v[i]); writeln(f[limit]);
1400
共有3件物品 重量分别为30/80/10 价值分别为300/1200/200 背包最大载重量为100
0/1背包问题
令f[i,j]表示考虑完前i项物品，并且当前背包 承重不大于j的情况下能获得的最大价值
f[i,j]=max( f[i-1,j], //不选第i项物品 f[i-1,j–w[i]]+v[i]) //选择第i项物品
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动态规划教案课程
吉林师范大学计算机学院案教)(算法部分称C 程序设计课程名系级院级计算机学院计算机科学与技术095101 系、实验室() 计算机基础教研室教研室计算机科学与技术3班班级09 授课郑言生实习滕国文导教师系指吉林师范大学计算机学院二○一二年四月二十五日（星期三5，6节）课型章节：动态规划基本思想基要本参教考材资和料主：算法设计与分析》教学目的：本课程以C语言为教授程序设计的描述语言，结合语言介绍程序设计的基本原理、技巧和方法。
主要讲授内容包括程序设计动态规划基本概念，动态规划的基本步骤，动态规划问题的特。
通过本课程的学习，为算法更好的学习，以及能用计算机解决一些实际问题打下坚实的征基础。
教学基本要求：掌握C语言中动态规划的基本概念，。
并能熟练使动态规划的基本步骤，动态规划问题的特征用C语言动态规划思想解决一些简单程序问题；掌握一些基本算法结构及相关方法；熟悉程序设计的思想和编程技巧。
重点：动态规划基本概念，。
动态规划的基本步骤，动态规划问题的特征难点:动态规划的基本步骤课型：理论课教法：1.多媒体讲解2.举例讲解教学内容及过程：1.课前回顾：枚举法: 在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法．2. 数塔问题有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。
简单的进行选举方法的引导，让同学们主动思考到动态规划的思想上了。
考虑一下：从顶点出发时到底向左走还是向右走应取决于是从左走能取到最大值还是从右走能取到最大值，只要左右两道路径上的最大值求出来了才能作出决策。
同样，下一层的走向又要取决于再下一层上的最大值是否已经求出才能决策。
这样一层一层推下去，直到倒数第二层时就非常明了。
如数字2，只要选择它下面较大值的结点19前进就可以了。
所以实际求解时，可从底层开始，层层递进，最后得到最大值。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
《动态规划》课件
《动态规划》ppt课 件
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
Vk,n (sk , uk , , sn1) fk [sk , uk ,Vk 1,n (sk 1, uk 1, , 1)] ③函数 fk (sk , uk ,Vk 1,n ) 对于变量 Vk1,n 要严格单调。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
动态规划讲解+例子ppt课件
航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因此就要 根据航天飞机飞行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞行方向和速 度（状态），使之能最省燃料和完成飞行任务（如软着陆）。
5
多阶段决策过程的特点：
• 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为若干个互相联系又
互相区别的阶段。
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
4
5
63
背包问题 有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为a 公斤，设有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的重量及使用价值（作用），问此 人应如何选择携带的物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？
物品
12…j…n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an 每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
112
2
B1
10
14
A
5
B2 610
1
4
13
B3
12 11
C1 3
9 6
C2 5
8
C3 10
D1 5 E
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D2
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D2
解：整个计算过程分四个阶段，从最后一个阶段开始。
第四阶段（D →E）： D 有两条路线到终点E 。
学习动态规划，我们首先要了解多阶段决策问题。
2
最短路径问题：给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或运费），试求从A点到G点的最短距离（总运输费用最小）。
5
多阶段决策过程的特点：
• 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为若干个互相联系又
互相区别的阶段。
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背包问题 有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为a 公斤，设有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的重量及使用价值（作用），问此 人应如何选择携带的物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？
物品
12…j…n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an 每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
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解：整个计算过程分四个阶段，从最后一个阶段开始。
第四阶段（D →E）： D 有两条路线到终点E 。
学习动态规划，我们首先要了解多阶段决策问题。
2
最短路径问题：给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或运费），试求从A点到G点的最短距离（总运输费用最小）。
动态规划(完整)ppt课件
3
• Ⅲ --Ⅳ :
B1—C1—T
4
• Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ ：A2—B1—C1—T
7
• Ⅰ--Ⅱ--Ⅲ --Ⅳ：
•
Q—A2—B1—C1—T
11
•
Q--A3—B1—C1—T
11
•
Q--A3—B2—C2—T
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最新版整理ppt
3
最短路径
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Q
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C1
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B2 3
最新版整理ppt
16
(4)策略和允许策略集合
策略(Policy)也叫决策序列．策略有全过程 策略和 k 部子策略之分，全过程策略是指具 有n 个阶段的全部过程，由依次进行的 n 个 阶段决策构成的决策序列，简称策略，表示
为 p1,n{x1,x2, ,xn}。从 k 阶段到第 n 阶段，
依次进行的阶段决策构成的决策序列称为 k
新分支的创立。
最新版整理ppt
6
• 动态规划将复杂的多阶段决策问题分解为 一系列简单的、离散的单阶段决策问题, 采用顺序求解方法, 通过解一系列小问题 达到求解整个问题目的;
• 动态规划的各个决策阶段不但要考虑本阶 段的决策目标, 还要兼顾整个决策过程的 整体目标, 从而实现整体最优决策.
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第七章 动态规划
主要内容:
§7.1多阶段决策问题 §7.2 动态规划的基本概念和基本原理 §7.3 动态规划应用举例
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1
例 求解最短路问题
2
Q
4
动态规划算法0-1背包问题课件PPT
回溯法
要点一
总结词
通过递归和剪枝来减少搜索空间，但仍然时间复杂度高。
要点二
详细描述
回溯法是一种基于递归的搜索算法，通过深度优先搜索来 找出所有可能的解。在0-1背包问题中，回溯法会尝试将物 品放入背包中，并递归地考虑下一个物品。如果当前物品 无法放入背包或放入背包的总价值不增加，则剪枝该分支 。回溯法能够避免搜索一些无效的组合，但仍然需要遍历 所有可能的组合，时间复杂度较高。
缺点
需要存储所有子问题的解，因此空间 复杂度较高。对于状态转移方程的确 定和状态空间的填充需要仔细考虑， 否则可能导致错误的结果。
04
0-1背包问题的动态规划解法
状态定义
状态定义
dp[i][ j]表示在前i个物品中选，总 重量不超过j的情况下，能够获得 的最大价值。
状态转移方程
dp[i][ j] = max(dp[i-1][ j], dp[i1][ j-w[i]] + v[i])，其中w[i]和v[i] 分别表示第i个物品的重量和价值。
02
计算时间复杂度：时间复杂度是指求解问题所需的时间与问题规模之间的关系。对 于0-1背包问题，时间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被遍历， 因此时间复杂度为O(2^n)，其中n是物品的数量。
03
空间复杂度：空间复杂度是指求解问题所需的空间与问题规模之间的关系。在0-1 背包问题中，空间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被存储，因此 空间复杂度也为O(2^n)，其中n是物品的数量。
06
0-1背包问题的扩展和实际应用
多多个物品和多个 背包，每个物品有各自的重量和价值， 每个背包有各自的容量，目标是选择物 品，使得在不超过背包容量限制的情况 下，所选物品的总价值最大。
管理运筹学课件第9章动态规划
Dk (sk ) {xk 0 ≤ xk ≤ sk} 允许决策集合
sk+1=sk-xk （状态转移方程） s1=a n
（边界条件）
指标函数： Vk,n gi (xi )
ik
若fk(sk)表示数量为sk资源分配给第k种产品时，从第k阶段到第n阶段
总收益，则有：
f f
k n
(sk (sn
9.2.2 动态规划问题的解法:顺序法
最优值函数f(k):从A到k阶段的最短距离；阶段指标函数,即该阶段选择 不同路线的距离。从前向后推。
2
C1 6 8
5
A 3
B1 3 6
B2
8
7 6
C2 3 5
3 C3 3
84
D1 2
1 D2
E
C4 A — B— C — D — E
阶段1
阶段2 阶段3 阶段4
S0={A} S1={B1,B2} S2={C1,C2,C3,C4} S3={D1,D2} S4={E}
显然f(E)=0,为该问题的边界条件.
2019/7/14
最k优=4化原理
(Ofp(Dtim1) alifty(Ep)rindc(iDp1l,eE)): 0 2 2
最k优=3策略f (具D1备) 这2样的决性策质：:无D1论初E始
状 以 始 策 也 例 A1C依 最 程最 最32—ffkkf态 第 状 略 是 如 据 优 。f,—短 短((其==((CffCBDCf21.与 一 态 最 ， 这 子((1fD通路 路2(子21B3)A()B))11—C初 个 的 优 在 一 过))2俗线 长ff策—)4ffffmm((mC)始 决 过 的 导 原 程mm((((D地::Af略mmiCCCiECm1Ai2nniimm()n2决 策 程 入 理 ，.nn3i1243im,mEi—说):nnin)i)))BDn1n2i)i策 所 而 案 ， 从ff11n2nffD:Bff11((18541最83fff((ff8554((455DD81—如 形 言 例 从 而—fff1DD1(((6d1DD((5323CCC1(((ff—2优BB12(CCC312)62)5)((C1何成中后得,E8632)71)D2)必3)DD3)24决4)决)E8)C策也2)决决决决))21d2的，往到,8dd,d,—)5然2以d4)d策d策最dd(略d8E(是(策策策策d(1d(Cdd(CC(状最前全(C(1C(DC构1后)(B5(：dB((1：B短d13的2A最2：：：：BA,BB3D1,3111(,态优推程(,,D,,,1,D,11成诸C,DCDCAD距D,C—1C,,BD子0优B1CCCCCCC24114作策各最)11232222),)最决),)3)1234)离24)E)策)D的D)))1为略阶优EB,1优策2为)略E。)1DDDD初是段过1策对1122
第6章_动态规划ppt课件
第三部分 动态规划
第一章 动态规划的基本方法 §1 动态规划的研究对象
特征：包含有随时同变化的因素和变量，整个 过程可以分为若干个相互联系的阶段，而且每个 阶段都要做出决策。
PPT学习交流
1
应用：
企业管理：动态规划可以用来解决最优路径问题、资源 分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序 问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题等等。
xk(sk)Dk(sk)
PPT学习交流
10
PPT学习交流
11
在实际过程中，可供选择的策略有一定的范围，此 范围称为允许策略集合，用P表示，从允许策略集合中 找出达到最优效果的策略称为最优策略。
五、状态转移方程
在多阶段决策过程中，第k阶段到第（k+1）阶段的 演变规律，称为状态转移方程。当给定了第K阶段的状 态变量sk和决策变量xk时，根据状态转移方程，第 （k+1）阶段的状态Sk+1的值也随之而定。也就是说， sk+1将依某种函数关系与（sk,xk（sk））相对应，这种对 应关系常记为：
一个阶段包含若干个状态，描述状态的变量称为状 态变量。常用sk表示第k阶段的某一状态。所有状态 变量组成的集合，称为状态变量集合。常用Sk表示第 k阶段的状态变量集合。 三、决策和决策变量
决策就是某阶段状态给定以后，从该状态演变 到下一阶段某状态的选择。描述决策的变量，称为 决策变量。常用xk（sk）表示第k阶段当状态处于sk时 的决策变量，在实际问题中，决策变量的取值往往 限制在某一范围内，此范围称为允许决策集合，通 常用Dk（sK）表示第k阶段的允许决策集合，显然有：
二、动态规划的基本方程 动态规划函数基本方程的一般形式为：
fk(sk)opvk( tsk,xk(sk) )fk 1(sk 1)
第一章 动态规划的基本方法 §1 动态规划的研究对象
特征：包含有随时同变化的因素和变量，整个 过程可以分为若干个相互联系的阶段，而且每个 阶段都要做出决策。
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1
应用：
企业管理：动态规划可以用来解决最优路径问题、资源 分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序 问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题等等。
xk(sk)Dk(sk)
PPT学习交流
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PPT学习交流
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在实际过程中，可供选择的策略有一定的范围，此 范围称为允许策略集合，用P表示，从允许策略集合中 找出达到最优效果的策略称为最优策略。
五、状态转移方程
在多阶段决策过程中，第k阶段到第（k+1）阶段的 演变规律，称为状态转移方程。当给定了第K阶段的状 态变量sk和决策变量xk时，根据状态转移方程，第 （k+1）阶段的状态Sk+1的值也随之而定。也就是说， sk+1将依某种函数关系与（sk,xk（sk））相对应，这种对 应关系常记为：
一个阶段包含若干个状态，描述状态的变量称为状 态变量。常用sk表示第k阶段的某一状态。所有状态 变量组成的集合，称为状态变量集合。常用Sk表示第 k阶段的状态变量集合。 三、决策和决策变量
决策就是某阶段状态给定以后，从该状态演变 到下一阶段某状态的选择。描述决策的变量，称为 决策变量。常用xk（sk）表示第k阶段当状态处于sk时 的决策变量，在实际问题中，决策变量的取值往往 限制在某一范围内，此范围称为允许决策集合，通 常用Dk（sK）表示第k阶段的允许决策集合，显然有：
二、动态规划的基本方程 动态规划函数基本方程的一般形式为：
fk(sk)opvk( tsk,xk(sk) )fk 1(sk 1)
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划教案章节一：引言1.1 课程目标：让学生了解动态规划的基本概念和应用领域。
让学生掌握动态规划的基本思想和解决问题的步骤。
1.2 教学内容：动态规划的定义和特点动态规划的应用领域动态规划的基本思想和步骤1.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本概念和特点。
案例分析法：分析动态规划在实际问题中的应用。
教案章节二：动态规划的基本思想2.1 课程目标：让学生理解动态规划的基本思想。
让学生学会将问题转化为动态规划问题。
2.2 教学内容：动态规划的基本思想状态和决策的概念状态转移方程和边界条件2.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本思想。
练习法：通过练习题让学生学会将问题转化为动态规划问题。
教案章节三：动态规划的求解方法3.1 课程目标：让学生掌握动态规划的求解方法。
让学生学会使用动态规划算法解决问题。
3.2 教学内容：动态规划的求解方法：自顶向下和自底向上的方法动态规划算法的实现：表格化和递归化的方法3.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的求解方法。
练习法：通过练习题让学生学会使用动态规划算法解决问题。
教案章节四：动态规划的应用实例4.1 课程目标：让学生了解动态规划在实际问题中的应用。
让学生学会使用动态规划解决实际问题。
4.2 教学内容：动态规划在优化问题中的应用：如最短路径问题、背包问题等动态规划在控制问题中的应用：如控制库存、制定计划等4.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划在实际问题中的应用。
案例分析法：分析实际问题，让学生学会使用动态规划解决实际问题。
教案章节五：总结与展望5.1 课程目标：让学生总结动态规划的基本概念、思想和应用。
让学生展望动态规划在未来的发展。
5.2 教学内容：动态规划的基本概念、思想和应用的总结。
动态规划在未来的发展趋势和挑战。
5.3 教学方法：讲授法：总结动态规划的基本概念、思想和应用。
讨论法：让学生讨论动态规划在未来的发展趋势和挑战。
教案章节六：动态规划的优化6.1 课程目标：让学生了解动态规划的优化方法。
TSP问题之动态规划法PPT课件
序号 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
集合表示 000 001 002 003 012 013 023 123
.
11
动态规划法（一）
动态规划法： 定义：将每个子问题只求解一次，并将其解保存在一个表格中，当需要再次
求解此子问题时，只是简单地通过查表获得该子问题的解，从而避免了大量 的重复计算。 特点：最优子结构、自底向递归、子问题相互重叠。
d(0, {1, 2, 3})=min{
C01+ d(1, { 2, 3}),
3 6 7
C02+ d(2, {1, 3}), C03+ d(3, {1, 2}) }
C
(
ci j
)
这是最后一个阶段的决策，它必须依据d(1, { 2, 3})、
5 6 3
4 7
2 5
3
2
d(2, {1, 3})和d(3, {1, 2})的计算结果，而：
d(1, {2, 3})=min{C12+d(2, {3}), C13+ d(3, {2})} d(2, {1, 3})=min{C21+d(1, {3}), C23+ d(3, {1})} d(3, {1, 2})=min{C31+d(1, {2}), C32+ d(2, {1})}
继续写下去： d(1, {2})= C12+d(2, {}) d(1, {3})= C13+d(3, {})
动态规划法使用的条件：问题符合最优性原理
.
12
动态规划法（二）
最优性原理：
对于一个具有n个输入的最优化问题，其求解过程往往可以划分 为若干个阶段，每一阶段的决策仅依赖于前一阶段的状态，由决策所 采取的动作使状态发生转移，成为下一阶段决策的依据。
《动态规划》课件
《动态规划》PPT课件
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
《动态规划》课件
特点
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
《动态规划算法》课件
总结词
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
运筹学课程07-动态规划(胡运权 清华大学)
u k , ,u n
Vk ,n (sk , uk , sk 1 , uk 1 , , sn1 )
可递推
k [ sk , uk , Vk 1, n ( sk 1 , uk 1 , , sn 1 )]
指标函数形式: 和、 积
NEUQ
原过程的一个后部子过程： 对于任意给定的k（1 ≤ k≤n），从第k段到第n段的过 程称为原过程的一个后部子过程
阶段4
本阶段始点 （状态） D1 D2 本阶段各终点（决策） E 10 6 10 6 到E的最短距离 本阶段最优终点 （最优决策) E E
NEUQ
分析得知：从D1 和 D2 到E的最短路径唯一。
NEUQ
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路 径问题：
NEUQ
动态规划 Dynamic Programming
不要过河拆桥 追求全局最优
本章内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原 理 动态规划方法的基本步骤 动态规划方法应用举例
NEUQ
NEUQ
一、多阶段决策过程的最优化
示例1（工厂生产安排）：
某种机器可以在高、低两种负荷下生产。高负荷生产
NEUQ
示例3 （连续生产过程的控制问题）：
一般化工生产过程中，常包含一系列完成
生产过程的设备，前一工序设备的输出则是后
一工序设备的输入，因此，应该如何根据各工
序的运行工况，控制生产过程中各设备的输入 和输出，以使总产量最大。
示例4、最短路径问题
NEUQ
给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或花费），试求从A点到G点的最短距离（总费用最小）。
Vk ,n (sk , uk , sk 1 , uk 1 , , sn1 )
可递推
k [ sk , uk , Vk 1, n ( sk 1 , uk 1 , , sn 1 )]
指标函数形式: 和、 积
NEUQ
原过程的一个后部子过程： 对于任意给定的k（1 ≤ k≤n），从第k段到第n段的过 程称为原过程的一个后部子过程
阶段4
本阶段始点 （状态） D1 D2 本阶段各终点（决策） E 10 6 10 6 到E的最短距离 本阶段最优终点 （最优决策) E E
NEUQ
分析得知：从D1 和 D2 到E的最短路径唯一。
NEUQ
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路 径问题：
NEUQ
动态规划 Dynamic Programming
不要过河拆桥 追求全局最优
本章内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原 理 动态规划方法的基本步骤 动态规划方法应用举例
NEUQ
NEUQ
一、多阶段决策过程的最优化
示例1（工厂生产安排）：
某种机器可以在高、低两种负荷下生产。高负荷生产
NEUQ
示例3 （连续生产过程的控制问题）：
一般化工生产过程中，常包含一系列完成
生产过程的设备，前一工序设备的输出则是后
一工序设备的输入，因此，应该如何根据各工
序的运行工况，控制生产过程中各设备的输入 和输出，以使总产量最大。
示例4、最短路径问题
NEUQ
给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或花费），试求从A点到G点的最短距离（总费用最小）。
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8.1 过程实例与最优性定理
第8章 动态规划 章 Dynamic Programming
2012年3月15日星期四
动态规划最优性原理 作为整个过程的最优策略具有这 样的性质： 样的性质：即无论过去的状态和 决策如何， 决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言， 的状态而言，余下的诸决策必须 构成最优策略。简言之， 构成最优策略。简言之，一个最 优策略的子策略总是最优的。 优策略的子策略总是最优的。
2012年3月15日星期四
• 1） 龚六堂 《动态经济学方法》北京大学出版社 动态经济学方法》 ） • 2）蒋中一 《动态最优化基础》 商务印书馆 动态最优化基础》 ） • 3）LUCAS、STOKEY、PRESCOTT 《经济动态的递 ） 、 、 归方法》（数学上比较严格，初学不必看） 》（数学上比较严格 归方法》（数学上比较严格，初学不必看） • 4）KAMIEN 和SCHWARTZ的《DYNAMIC ） 的 OPTIMIZATION》 》 • 5） SHELDON ROSS的 《INTRODUCTION TO ） 的 STOCHASTIC DYNAMIC PROGRAMMING》 》 • 6）Dimitri P.Bertsekas的《Dynamic ） 的 Programming:Deterministic and Stochastic Models》这 》 本书数学上做得比较充分
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第8章 动态规划 章 Dynamic Programming
动态规划参考书目
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• 1） 龚六堂 《动态经济学方法》北京大学出版社 动态经济学方法》 ） • 2）蒋中一 《动态最优化基础》 商务印书馆 动态最优化基础》 ） • 3）LUCAS、STOKEY、PRESCOTT 《经济动态的递 ） 、 、 归方法》（数学上比较严格，初学不必看） 》（数学上比较严格 归方法》（数学上比较严格，初学不必看） • 4）KAMIEN 和SCHWARTZ的《DYNAMIC ） 的 OPTIMIZATION》 》 • 5） SHELDON ROSS的 《INTRODUCTION TO ） 的 STOCHASTIC DYNAMIC PROGRAMMING》 》 • 6）Dimitri P.Bertsekas的《Dynamic ） 的 Programming:Deterministic and Stochastic Models》这 》 本书数学上做得比较充分
动态规划思考题
第8章 动态规划 章 Dynamic Programming
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最短路问题中，如果起点、 最短路问题中，如果起点、终 点有多个时， 点有多个时，应如何解决这类 问题？ 问题？
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第8章 动态规划 章 Dynamic Programming
动态规划参考书目
8.2 机器负荷分配问题
第8章 动态规划 章 Dynamic Programming
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【例8.2】 】
某种设备可在高低两种不同的负荷下进行生产， 某种设备可在高低两种不同的负荷下进行生产， 设在高负荷下投入生产的设备数量为x,产量为 设在高负荷下投入生产的设备数量为 产量为 g=8x，设备年完好率为 设备年完好率为a=0.7；在低负荷下投入 ； 生产的设备数量为y 产量为h=5y 生产的设备数量为y，产量为h=5y，年完好率为 b=0.9。假定开始生产时完好的设备数量 1=100。 。假定开始生产时完好的设备数量s 。 制定一个五年计划，确定每年投入高、 制定一个五年计划，确定每年投入高、低两种 负荷下生产的设备数量， 负荷下生产的设备数量，使五年内产品的总产 量达到最大。 量达到最大。
v2 10 7 13 2 19 v1 5 13 v4 20 11 v6 12 8 v9 4 8 14 7 v3 10 v5 2 8 6 12 5 4 8 v8 8 v10 0 v7 5
阶段： 第1阶段
第2阶段 第3阶段 图8－1 －
第4阶段 第5阶段
8.规划 章 Dynamic Programming
8.1 过程实例与最优性定理
第8章 动态规划 章 Dynamic Programming
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Bellman' s principle of optimality
From any point on an optimal trajectory, the remaining trajectory is optimal for the corresponding problem initiated at that point.
运筹学
Operations Research
第八章 动态规划
Dynamic Programming
8.1 过程实例与最优性原理 8.2 机器负荷分配问题 8.3资源分配问题 资源分配问题
8.1 过程实例与最优性原理
表示需从V － 表示需从 【例8.1】最短路径问题 图8－1表示需从 1到V10铺 】 设一条煤气管道，中间经过三级中站， 设一条煤气管道，中间经过三级中站，问应如何铺设 Min{2+5,8+8,6+4}=7 使总路线最短。 使总路线最短。 5 17
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例8.2 设备更新问题。
某企业使用一台设备，在每年年初，企业领导就要决定是购置新的， 某企业使用一台设备，在每年年初，企业领导就要决定是购置新的， 还是继续使用旧的。若购置新设备，就要支付一定的购置费用； 还是继续使用旧的。若购置新设备，就要支付一定的购置费用；若 继续使用旧设备，则需支付一定的维修费用。 继续使用旧设备，则需支付一定的维修费用。现在的问题 是如何制定一个五年内的设备更新计划，使得总的支付费用最少。 是如何制定一个五年内的设备更新计划，使得总的支付费用最少。 已知该设备在各年年初的价格为： 已知该设备在各年年初的价格为：
动态规划思考题
第8章 动态规划 章 Dynamic Programming
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机器在不同负荷下生产问题中， 机器在不同负荷下生产问题中，如 果对第5年年末完好机器数有要求 果对第 年年末完好机器数有要求 （例如要求第5年年末完好机器数 例如要求第 年年末完好机器数 不少于50台），应该如何解决该问 不少于 台），应该如何解决该问 题？
第1年 11 第2年 11 第3年 12 第4年 12 第5年 13
还已知使用不同时间（ 还已知使用不同时间（年）的设备所需的维修费用为： 的设备所需的维修费用为：
使用年数 维修费用 0~1 5 1~2 6 2~3 8 3~4 11 4~5 18
8.1 过程实例与最优性原理
第8章 动态规划 章 Dynamic Programming
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动态规划问题具有以下基本特征 动态规划问题具有以下基本特征 1. 问题具有多阶段决策的特征。阶段可以按时间划分，也 问题具有多阶段决策的特征。阶段可以按时间划分， 可以按空间划分。 可以按空间划分。 2. 每一阶段都有相应的“ 状态”与之对应。 每一阶段都有相应的“ 状态”与之对应。 3. 每一阶段初的每一个状态都面临多个决策，选择不同的 每一阶段初的每一个状态都面临多个决策， 决策将会导致下一阶段不同的状态，同时， 决策将会导致下一阶段不同的状态，同时，不同的决策将会导 致这一阶段不同的目标函数值。 致这一阶段不同的目标函数值。