拉氏变换常用公式
拉氏变换表(包含计算公式)
拉氏变换及反变换公式3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- )()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。
三角函数拉氏变换常用公式
三角函数拉氏变换常用公式
拉氏变换（Laplace transform）是应用数学中常用的一种积分变换，其符号为L[f(t)]。
拉氏变换是一个线性变换，可将一个有实数变数的函数转换为一个变数为复数s的函数：
拉氏变换在大部份的应用中都是对射的，最常见的f(t)和F(s)组合常印制成表，方便查阅。
拉氏变换和傅立叶变换有关，不过傅立叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加，属于「频域变换」；而拉氏变换则是将一个函数表示为许多矩的叠加，属于「时域变换」。
拉氏变换的好处就是能够将复杂的积分与微分的问题，变换成比较容易计算的代数方法，为什么要进行变换？因为很多时候频域变换比时域变换直观得多。
因此，拉氏变换较多被用于解决：
(1).常数系数的线性微分或积分方程式；
(2).分析线性非时变系统的输入输出信号。
实务上，拉氏变换在物理及工程上常用来分析线性非时变系统，可用来分析电子电路、谐振子、光学仪器及机械设备，在这些分析中，拉氏变换可以作时域和频域之间的转换，在时域中输入和输出都是时间的函数，在频域中输入和输出则是复变角频率的函数。
拉氏变换表(包含计算公式)
拉氏变换及反变换公式3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss is A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1 r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
自动控制中拉氏变换常用公式
⏹ 自动控制中常用拉普拉斯变换● 拉普拉斯变换()()()0,,0st F s L f t f t e dt s j σωσ∞-===+>⎡⎤⎣⎦⎰其中 1、 指数函数00()0t t f t et α-<⎧=⎨≥⎩，其中，α为常数。
()001[]d d t t st s t L e e e t e t s αααα∞∞----+===+⎰⎰ 2、 单位阶跃函数()00()110t f t t t <⎧==⎨≥⎩，其中，A 为常数。
()01[1]1d st L t e t s ∞-=⋅=⎰ 3、 单位斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t tt f 2000011[]d d d st st st st e e L t te t t t e t s s s s∞--∞∞∞--==-==--⎰⎰⎰ 4、 三角函数00()sin 0t f t t t ω<⎧=⎨≥⎩ 根据欧拉公式：sin 2j t j te e t jωωω--= 拉式变换为：2222112[sin ]22j t j t j L t L e e j j s s ωωωωωωω-⎛⎫⎡⎤=-== ⎪⎣⎦++⎝⎭ 同理余弦函数的拉式变换为：22[cos ]s L t s ωω=+ 5、 单位脉动函数 00010()00,t t t f t t t t ⎧<<⎪=⎨⎪<<⎩，其中，t 0为常数。
脉动函数可以看做是一个从t ＝0开始的高度为1/t 0的阶跃函数，与另一个从t ＝t 0开始的高度为1/t 0的负阶跃函数叠加而成。
即00011()()()f t u t u t t t t =-- ，可得： 0000000011111[()]()()(1)st st L f t L u t L u t t e e t t t s t st s --⎡⎤⎡⎤=--=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 6、 单位脉冲函数单位脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，常被用于信号处理、系统分析、电路设计等领域。
在进行拉氏变换时，我们常用到一些常用的公式，这些公式是解决问题的关键。
本文将介绍一些常用的拉氏变换公式，以及其在实际应用中的意义和用法。
1. 基本定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的方法。
它定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞)e^(-st) f(t) dt其中，F(s)表示拉氏变换结果，L表示拉氏变换算子，f(t)表示时域函数，s表示复频域变量。
2. 常见公式以下是一些常用的拉氏变换公式：2.1 常数函数L{1} = 1/s2.2 单位阶跃函数L{u(t)} = 1/s2.3 指数函数L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为常数2.4 正弦函数L{sin(at)} = a/(s^2 + a^2)2.5 余弦函数L{cos(at)} = s/(s^2 + a^2)2.6 钟形函数L{rect(t)} = 1/sinc(s/2)，其中sinc(x) = sin(x)/x2.7 基本运算拉氏变换具有一些基本运算规则，如时移、倍乘和微分等。
这些运算可以用于求解更复杂的函数对应的拉氏变换。
详细的运算规则可以参考相应的数学教材。
3. 实际应用拉氏变换在信号处理、系统分析和电路设计等领域有着广泛的实际应用。
3.1 信号处理在信号处理中，常常需要对信号进行滤波、频域分析等操作。
通过将信号进行拉氏变换，可以将复杂的时域信号转换为频域函数，便于对信号特性的分析和处理。
3.2 系统分析拉氏变换在系统分析中有着重要的作用。
通过将系统的输入和输出进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的频率响应、稳定性等性质。
3.3 电路设计在电路设计中，拉氏变换可以用于求解电路的导纳、阻抗等参数。
通过将电路的输入和输出进行拉氏变换，可以得到电路的传输函数，进而进行电路的设计和优化。
综上所述，拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、系统分析、电路设计等领域。
第二章附录-拉氏变换
例3 : y(3) 3y 3y y 1, y(0) y(0) y(0) 0 求微分方程.
F (s)
1 s(s 1)3
b3 (s 1)3
b2 (s 1)2
b1 s 1
c4 s
b3
[
s(s
1 1)3
(s
1)3 ]s1
1
b2
d
ds
[
s(s
1 1)3
(s
1)3
]
s1
[d ds
(
1 s
一.拉氏变换
1.定义：设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积
分
F (s) f (t)est dt
0
存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
简称拉氏变换。记为 F (s) L[ f (t)]
f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
f (t) L1[F (s)]
2.常用函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t) f(t)
ci是常数
M (s) ci [ D(s) (s pi )]s pi
例1: F(s)
1
(s 1)(s 2)(s 3)
c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
c1
[ (s
1)(s
1 2)(s
3)
(s
1)]s 1
1 6
1
1
c2
[ (s
1)(s
2)(s
3)
(s
2)]s2
15
c3
[ (s
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
0
(8)卷积定理
拉氏变换表(包含计算公式)
1拉氏变换及反变换公式1. 拉氏变换的基本性质 1线性定理齐次性)()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=-=][ '- -=-=----=-∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk kn nnndtt f dt ffss F s dtt f dL f sf s F s dt t f dL f s sF dt t df L ）（初始条件为0时)(])([s F s dtt f dL nnn=3 积分定理一般形式∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=++=+=nk t nn k n nnn t t t dt t f sss F dt t f L sdt t f sdt t f ss F dt t f L s dt t f ss F dt t f L 112222]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时nnn ss F dt t f L )(]))(([=⎰⎰个共4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts-=--5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-6 终值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t →∞→=7 初值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8 卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =-=-⎰⎰τττττ22． 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s)时间函数e(t) Z 变换E(z)1 1δ(t)12 Tse--11∑∞=-=)()(n T nT t t δδ1-z z 3 s1 )(1t1-z z 4 21st2)1(-z Tz5 31s22t32)1(2)1(-+z z z T6 11+n s!n tn)(!)1(limaTnn na ez zan -→-∂∂-7 as +1 ate- aTez z -- 8 2)(1a s + atte- 2)(aTaT ez Tze --- 9 )(a s s a + ate--1 ))(1()1(aTaTez z ze-----10 ))((b s a s ab ++- btatee---bTaTez z ez z ----- 11 22ωω+s tωsin 1cos 2sin 2+-T z z T z ωω12 22ω+s s tωcos1cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω13 22)(ωω++a s t eatωsin - aTaT aTeT zez T ze22cos 2sin ---+-ωω 14 22)(ω+++a s a st eatωcos -aTaTaTeT ze zTzez 222cos 2cos ---+--ωω15aT s ln )/1(1-Tt a/az z-33． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
拉氏变换常用公式
常用拉普拉斯变换总结1、指数函数000)(≥<⎩⎨⎧=-t t Aet f t α,其中,A 和a 为常数; αααα+===⎰⎰∞+-∞---s A t e A t e Ae Ae L t s st t t 0)(0d d ][ 2、阶跃函数000)(><⎩⎨⎧=t t At f ,其中,A 为常数; sA t Ae A L st ==⎰∞-0d ][ 3、单位阶跃函数 0010)(><⎩⎨⎧=t t t u s t e t u L st 1d )]([0==⎰∞-4、斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t At t f ,其中,A 为常数;⎰⎰∞-∞-∞----==000d d ][t sAe s e At t Ate At L st st st 20d sA t e s A st ==⎰∞-A ＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数,发生在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成rt-t 05、单位斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t t t f⎰⎰∞-∞-∞----==000d d ][t s e s e t t te t L st st st201d 1s t e s st ==⎰∞- 6、正弦函数00sin 0)(≥<⎩⎨⎧=t t tA t f ω,其中A 为常数; )(t f t 图2.3正弦函数和余弦函数)(t f t(a)(b)00根据欧拉公式：拉式变换为： 2201212d )(2]sin [ωωωωωωω+=+--=-=⎰∞--s A j s j A j s j A t e e e j A t A L st t j t j 同理余弦函数的拉式变换为：22]cos [ωω+=s As t A L 7、脉动函数 t t t t t t A t f <<<<⎪⎩⎪⎨⎧=000,000)(,其中,A 和t 0为常数;脉动函数可以看做是一个从t ＝0开始的高度为A /t 0的阶跃函数,与另一个从t ＝t 0开始的高度为A /t 0的负阶跃函数叠加而成;)()()(000t t u t A t u t A t f --= )1()()()]([00000000st st e st A e s t A s t A t t u t A L t u t A L t f L ---=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡= )(21sin t j t j e e jt ωωω--=8、脉冲函数脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况;t t t A t g <∆<∆<<⎪⎩⎪⎨⎧∆=→∆,000lim )(0[]()A s As s e A e s A t g L s s ==∆∆-∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆=∆-→∆∆-→∆d d )1(d d lim )1(lim )]([00 9、单位脉冲函数当面积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数,或称为狄拉克Disac 函数,1d )(0)(-0000=-⎩⎨⎧=∞≠=-⎰∞∞t t t t t t t t t δδ量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设,而不可能在物理系统中发生;但是,如果系统的脉动输入量值很大,而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时,可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入;当描述脉冲输入时,脉冲的面积大小是非常重要的,而脉冲的精确形状通常并不重要;脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量;单位脉冲函数)(0t t -δ可以看作是单位阶跃函数ut-t 0在间断点t=t 0上的导数,即)(d d )(00t t u tt t -=-δ 相反,如若对单位脉冲函数)(0t t -δ积分：)(d )(000t t u t t t tt -=-⎰δ 积分的结果就是单位阶跃函数 ut-t 0利用脉冲函数的概念,我们可以对包含不连续点的函数进行微分,从而得到一些脉冲,这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值;10、加速度函数000)(2<≥⎩⎨⎧=t t At t f ,其中,A 为常数; 拉氏变化为：300202212d 2d ][s At te e t s A t e At At L st st st =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰∞-∞-∞- 当A=21时称之为单位加速度函数,用at 表示,发生在t=t 0时刻的加速度函数通常写成)(0t t a -,图像如下： )t 00t 图单位加速度函数(a)(b) 8642123411、单位加速度函数：00210)(2≥<⎪⎩⎪⎨⎧=t t t t a30020221d 211d 21)(21s t te e t st e t t u t L st st st =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎰⎰∞-∞-∞-。
拉氏变换表(包含计算公式)
2． 常用函数的拉氏变换和 z 变换表
序 号 拉氏变换 E(s)
时间函数 e(t)
1
1
δ(t)
2
1
1 nT) n0
1(t )
4
1
t
s2
5
1
t2
s3
2
6
1
tn
s n1
n!
7
1
sa
eat
8
1 (s a)2
te at
9
a
s(s a)
s si
式中， A(s) 为 A(s) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
f (t) L1
F(s)
L1
n
i1
s
ci si
＝
n i 1
ci e sit
② A(s) 0 有重根
设 A(s) 0 有 r 重根 s1 ，F(s)可写为
z za
2
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设 F (s) 是 s 的有理真分式
F (s)
B(s) A(s)
bm s m an s n
bm1s m1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
Fs
B(s)
(s s1 )r (s sr1 )(s sn )
=
(s
cr s1
)
r
cr 1 (s s1 )r1
c1 (s s1)
cr 1 s sr1
拉氏变换表(包含计算公式)
拉氏变换及反变换公式1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
拉氏变换表(包含计算公式)
拉氏变换及反变换公式1 / 43． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( ts nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(（F-6）友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统分析和电路设计等领域。
本文将介绍拉氏变换常用的公式，包括重要的拉氏变换和反变换公式，以及一些常见的拉氏变换性质。
1. 拉氏变换公式拉氏变换公式是将一个时间域函数变换成复频域的函数。
以下是一些常用的拉氏变换公式：（1）常数信号的拉氏变换：如果输入信号为常数，即f(t)=A，其拉氏变换为F(s) = A/s，其中A 为常数。
（2）指数信号的拉氏变换：指数信号的拉氏变换公式为：f(t) = e^(at) -> F(s) = 1/(s-a)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏变换：单位冲激信号的拉氏变换公式为：f(t) = δ(t) -> F(s) = 1，其中δ(t)表示单位冲激函数。
（4）正弦信号的拉氏变换：正弦信号的拉氏变换公式为：f(t) = sin(ωt) -> F(s) = ω/(s^2 + ω^2)。
其中ω为正弦信号的频率。
2. 拉氏反变换公式拉氏反变换是将复频域函数转换回时间域函数的过程，以下是一些常用的拉氏反变换公式：（1）常数信号的拉氏反变换：对于F(s) = A/s，其拉氏反变换为f(t) = A。
（2）指数信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1/(s - a)，其拉氏反变换为f(t) = e^(at)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1，其拉氏反变换为f(t) = δ(t)。
（4）正弦信号的拉氏反变换：对于F(s) = ω/(s^2 + ω^2)，其拉氏反变换为f(t) = sin(ωt)。
3. 拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，其中包括线性性质、时间平移性质、频率平移性质、频率缩放性质、卷积定理等，这些性质对于信号处理和系统分析非常有用。
（1）线性性质：拉氏变换具有线性性质，即对于输入信号f1(t)和f2(t)，以及相应的拉氏变换F1(s)和F2(s)，有以下性质成立：a1*f1(t) + a2*f2(t) -> a1*F1(s) + a2*F2(s)。
(完整word版)拉氏变换常用公式
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。
拉氏变换 (3)
拉氏变换1. 简介拉氏变换（Laplace Transform）是一种用于解决常微分方程（ODE）的数学工具。
它将一个随时间变化的函数转换为一个复数域中的函数，使得常微分方程可以转化为代数方程来求解。
通过拉氏变换，我们可以将时域中的问题转化到频域中，从而简化问题的分析和求解。
拉氏变换的应用非常广泛，在控制系统、通信系统、信号处理等领域中起着重要的作用。
通过拉氏变换，我们可以分析系统的稳定性、阻尼特性、频率响应等性能指标。
2. 定义与性质拉氏变换是对一个函数f(t)的积分变换。
给定一个函数f(t)和复数s，拉氏变换可以用如下公式来表示：L{f(t)} = F(s) = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e是自然常数，s是复变量。
拉氏变换有许多重要的性质。
以下是一些常见的性质：•线性性质：即拉氏变换满足线性运算。
对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有 L{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + b G(s)。
•积分性质：对于函数f(t)的导数，有L{f’(t)} = sF(s) - f(0)，其中f(0)为f(t)在t=0时的初始值。
类似地，对于f(t)的n阶导数，有 L{f^(n)(t)} = s^n F(s) - s^(n-1) f(0) -s^(n-2) f’(0) - … - f^(n-1)(0)。
•初值定理：初值定理指出，当s趋于无穷大时，拉氏变换是函数f(t)的初始值的一阶逼近。
即lim(s→∞) sF(s) = f(0)。
•终值定理：终值定理指出，当s趋于零时，拉氏变换是函数f(t)的稳态值的一阶逼近。
即lim(s→0) sF(s) =lim(t→∞) f(t)。
3. 拉氏变换的应用3.1. 控制系统在控制系统中，拉氏变换被广泛应用于系统的稳定性分析、阻尼特性分析等。
通过将系统的微分方程转化为拉氏域的代数方程，可以求解系统的传递函数，从而分析系统的频率响应和稳定性。
拉氏变换常用公式
常用拉普拉斯变换总结1、指数函数,其中,A 与a 为常数。
2、阶跃函数,其中,A 为常数。
3、单位阶跃函数0010)(><⎩⎨⎧=t t t u s t e t u L st 1d )]([0==⎰∞-4、斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t Att f ,其中,A 为常数。
20d s A t e s A st ==⎰∞-A ＝1时得斜坡函数称为单位斜坡函数,发生在t=t 0时刻得单位斜坡函数写成r(t-t 0)5、单位斜坡函数6、正弦函数,其中A 为常数。
)(t f t 图2.3正弦函数和余弦函数)(t f t(a)(b)00根据欧拉公式: 拉式变换为:同理余弦函数得拉式变换为:7、脉动函数,其中,A 与t 0为常数。
脉动函数可以瞧做就是一个从t ＝0开始得高度为A /t 0得阶跃函数,与另一个从t ＝t 0开)(21sin t j t j e e j t ωωω--=始得高度为A /t 0得负阶跃函数叠加而成。
8、脉冲函数脉冲函数就是脉动函数得一种特殊极限情况。
9、单位脉冲函数当面积A =1得脉冲函数称为单位脉冲函数,或称为狄拉克(Disac)函数,量值为无穷大且持续时间为零得脉冲函数纯属数学上得一种假设,而不可能在物理系统中发生。
但就是,如果系统得脉动输入量值很大,而持续时间与系统得时间常数相比较非常小时,可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。
当描述脉冲输入时,脉冲得面积大小就是非常重要得,而脉冲得精确形状通常并不重要。
脉冲输入量在一个无限小得时间内向系统提供能量。
单位脉冲函数可以瞧作就是单位阶跃函数u(t-t 0)在间断点t=t 0上得导数,即相反,如若对单位脉冲函数积分:积分得结果就就是单位阶跃函数 u(t-t 0)利用脉冲函数得概念,我们可以对包含不连续点得函数进行微分,从而得到一些脉冲,这些脉冲得量值等于每一个相应得不连续点上得量值。
10、加速度函数,其中,A 为常数。
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常用拉普拉斯变换总结
1、指数函数
00)(≥<⎩⎨⎧=-t t Ae
t f t
α，其中，A 和a 为常数。
α
ααα+=
==⎰⎰∞
+-∞---s A t e A t e Ae Ae L t s st
t t
)(0
d d ][ 2、阶跃函数
00)(><⎩⎨
⎧=t t A
t f ，其中，A 为常数。
s
A t Ae A L st =
=⎰∞-0
d ][ 3、单位阶跃函数
001
0)(><⎩⎨
⎧=t t t u
s t e t u L st 1d )]([0
=
=
⎰
∞
-
4、斜坡函数
00
)(≥<⎩⎨
⎧=t t At
t f ，其中，A 为常数。
⎰
⎰
∞
-∞
-∞
----==0
d d ][t s
Ae s
e At
t Ate At L st
st st
2
0d s
A t e s A st ==⎰∞-
A ＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成r （t-t 0）
5、单位斜坡函数
)(≥<⎩⎨
⎧=t t t
t f
⎰
⎰
∞
-∞
-∞
----==0
d d ][t s
e s
e t
t te t L st
st st
2
01d 1s t e s st ==
⎰∞-
6、正弦函数
0sin 0
)(≥<⎩⎨
⎧=t t t
A t f ω，其中A 为常数。
)
(t f t
图2.3正弦函数和余弦函数
)
(t f t
(a)
(b)
根据欧拉公式： 拉式变换为：
2
2
01212d )(2]sin [ωωωωωωω+=+--=-=⎰∞--s A j s j A j s j A t
e e e j A t A L st
t j t j
同理余弦函数的拉式变换为：2
2]cos [ωω+=s As
t A L
7、脉动函数
t
t t t t t A t f <<<<⎪⎩⎪⎨⎧=000
,000
)(，其中，A 和t 0为常数。
脉动函数可以看做是一个从t ＝0开始的高度为A /t 0的阶跃函数，与另一个从t ＝t 0开始
的高度为A /t 0的负阶跃函数叠加而成。
)()()(00
0t t u t A
t u t A t f --=
)1()()()]([00000000st st e s
t A e s t A s t A t t u t A L t u t A L t f L ---=-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡= )(21
sin t j t
j e e j
t ωωω--=
8、脉冲函数
脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。
t
t t A t g <∆<∆<<⎪⎩⎪⎨⎧∆
=→∆,000
lim )(0
[]
()
A s As
s e A e s A t g L s s ==∆∆
-∆=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-∆=∆-→∆∆-→∆d d )
1(d d lim )1(lim )]([00 9、单位脉冲函数
当面积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克(Disac)函数，
1
d )(0)(-0000=-⎩⎨
⎧=∞≠=-⎰
∞
∞
t t t t t t t t t δδ
量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在物理系统中发生。
但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。
当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。
脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。
单位脉冲函数)(0t t -δ可以看作是单位阶跃函数u （t-t 0）在间断点t=t 0上的导数，即
)(d d
)(00t t u t
t t -=
-δ 相反，如若对单位脉冲函数)(0t t -δ积分：
)(d )(0
t t u t t t t
t -=-⎰δ
积分的结果就是单位阶跃函数 u （t-t 0）
利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。
10、加速度函数
00
)(2
<≥⎩⎨
⎧=t t At t f ，其中，A 为常数。
拉氏变化为：
3
00
20
221
2d 2d ][s A
t te e t s A t e At At L st st
st =⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡-=
=⎰⎰∞
-∞-∞
-
当A=
2
1
时称之为单位加速度函数，用a （t ）表示，发生在t=t 0时刻的加速度函数通常写成)(0t t a -，图像如下：
)t 0
t 图单位加速度函数
(a)
(b)
8642
1234
11、单位加速度函数：
02
10)(2
≥<⎪⎩⎪⎨⎧=t t t t a
3
20
221d 211d 2
1)(21s
t te
e t s t e t t u t L st
st st
=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-
==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⎰
⎰
∞
-∞
-∞
-。