流体力学第二章课件

同理可得 y、z 向方程。
应力形式的运动微分方程为
du x 1 xx yx zx X ( ) dt x y z du y 1 xy yy zy Y ( ) dt x y z du z 1 xz yz zz Z ( ) dt x y z du 1 f ( σ ) dt
N n dV
式中，ρ为流体的密度； dV 为微分体积。
在 t 时段内，系统中流动性质的变化为：
N N S 2 N S 1 ( N B 2 N C 2 ) ( N A1 N B1 ) N B 2 N B1 N C 2 N A1
瞬时变化率为：
N C 2 N A1 N N B 2 N B1 lim lim lim t 0 t t 0 t 0 t t
当定义
ux y
和
uy x
，连续性方程
自然满足。称ψ 为流函数。
2. 物理意义

const 为流线，当取不同
常数时，则得到不同流线。 两条流线的流函数数值之差等于 这两条流线间所通过的单宽流量。
q
2 d 1
2 1
公式表明，两条流线间所通过的单宽流 量等于两个流函数数值之差。且，引入ψ后 可将求ux，uy 的问题化为求ψ 的问题。
2.4 微分形式的运动方程
1. 应力形式的运动微分方
（1）运动流体一点处的应力状态
xx yx zx σ xy yy zy xz yz zz
双下标含义：
第一个下标：作用面的外法线方向，
第二个下标：应力的方向。 正的应力：正面、正力或负面、负力。 负的应力：正面、负力或负面、正力。
dW P p (u dA) CS dt
式中： E为总能量；e 为单位质量的总能量， 包括内能 eI 、势能 gz、动能 u2/2 ； W 为总功， 包括压力功WP 、切力功Wt 、轴传功Ws 。
于是得出
dQh dWt dWs p e dV ( e)( u dA) CS dt dt dt t CV
2. 方程的简化
（1）恒定流：
CV u dV 0 t
CS
，则有
F u ( u d A)
（2）恒定、均质不可压缩流体的一维流动
F A u u n dA A u u n dA
2 1
引入
A u u n dA 0U Q
第2章
1.系统 S：
流体运动的基本方程
2.1 系统法与控制体积法
流体质点系统。
2.控制体积CV：
任意选定且与坐标系无相对运动的空间区域。
3.控制面CS：
控制体积的表面。
4.系统法：
与系统概念相对应的方法，即拉格朗日法。
5.控制体积法：
与控制体积概念相对应的方法，即欧拉法。
2.2 微分形式的连续性方程
F CV u dV CS u ( u dA) t
或
Fn Ft Fb CV u dV CS u ( u dA) t
式中： Fn 为表面力的法向分量， 为表面力的切向分量， Ft 为质量力。 Fb
（2）方程的推导 依据牛顿第二定律。 六面体流体元中心点M的坐标为 x，y，z， 应力状态为σ，可求出各面中心点的应力。 以x方向为例 ：
Fx m a x
外力的 x 向分量 Fx ： 质量力的x向分量： X x y z
表面力的 x 向分量：
xx ( x) yz x yx ( y ) zx y zx ( z ) xy z
式中， 0 1.02 ~ 1.05 为动量校正系数。 则有
F 0 Q (U 2 U 1 )
2.8 积分形式的能量方程 1.方程的推导
（1）依据能量守恒与转换定律：
dQh dW dE
或
dQh dW dE dt dt dt
式中：dQh为外界加给系统的热量；dW为系统对 外界
3. 纳维－斯托克斯方程（N－S方程）
u x u x u x u x ux uy uz t x y z 2u x 2u x 2u x 1 p X v( ) 2 2 2 x x y z u y u y u y u y ux uy uz t x y z 2 2 2 u u u 1 p y y y Y v( ) y x 2 y 2 z 2 u z u z u z u z ux uy uz t x y z 2 2 2 uz uz uz 1 p Z v( ) 2 2 2 z x y z
2. 方程的简化
（1）对于恒定流，
CV e dV 0 t
（2）对于恒定一维流动，并取过流断面与 流线垂直（使
dWt 0 dt
），得出
dQh dWs p u2 CS (eI gz )( u dA) dt dt 2
或
dQh dWs p u p u A (eI gz ) un dA A (eI gz ) un dA 2 1 dt dt 2 2
( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 t x y z
或
( u ) 0 t
（2）方程的简化
对于恒定流动： 0 , ( u )0 t
对于不可压缩流体： u 0
u y u z u x 或 0 x y z
（流出－流入）
系统的随体导数公式为
dN dt N t
CS
n u d A
S
CV
该式将系统法与控制体积法直接联系起来，从而 做到： 通过将“随体导数”直接代入“三大定律”的 数学 表达式，可推导出积分形式的基本方程。 通过化“随体导数”为“局部与迁移之和”， 才能适应流体运动的“欧拉描述”。
写成矢量形式： 1 u 2 ( u ) u f p u t
方程各项的含义：
左端：惯性力 右端：质量力、压力（压强梯度力）、粘性力
2.5 推求系统随体导数的公式
考察系统 S 穿过控制体积CV的流动。
若 N 为系统中某一流动性质 (如 质量、动量、能量)，n 为单位质量 的某一流动性质，则
u x u x u x u x x y z ( ux uy uz ) t x y z
除以ΔxΔyΔz，并令 Δx→0,Δy→0,Δz→0 取极限，得出
u x u x u x u x xx yx zx ( ux uy uz ) X t x y z x y z
式中：
N d N lim t 0 t dt
瞬时变化率
系统
N B 2 N B1 N lim t 0 t t
局部变化率
控制体积
N C 2 N A1 δN lim lim n u d A t 0 t 0 t CS t
净通率
1. 连续性方程
（1）方程的推导
依据质量守恒定律： x 向质量净通率：
( u x ) xyz x y、z 向质量净通率分别为： ( u y ) y z x y
和
( u z ) zxy z
体积内的质量减少率 ：
x y z t
u dA 0
CS流入 u n dA＝CS流出 u n dA
（3）恒定、均质不可压缩流体的一维流动 引入断面平均流速 U
连续性方程为
A u n dA
A
Q A
U1 A1 U2 A2
（4）用wenku.baidu.com面平均流速表示的连续性方程
dV U A U A t CV 流出 流入
则有：
( u x ) ( u y ) ( u z ) xyz xyz y z t x
除以体积Δ xΔ yΔ z，并令 Δ x→0, Δ y→0,Δ z→0取极限，得到直角坐 标下的连续性方程 ：
2.6 积分形式的连续性方程
1.方程的推导
（1）依据质量守恒定律：
dm 0 dt
（2）对于流体质点系统，则有
dm dt 0
S
（3）普遍的连续性方程 此时，N＝ m，n＝1，得出
t
或
t
CV dV CS

CS
u dA 0
CV dV
u dA
存在问题： 方程组不闭合（4个方程，9个未知量）。
2. 不可压缩流体的应力与应变率关系
u x xx p 2 x u y yy p 2 y u z zz p 2 z u y u x xy yx ( ) x y u y u z yz zy ( ) y z u x u z zx xz ( ) z x

CS 流出
u n d A
CS 流入
u n d A
2. 方程的简化
（1）恒定流： CV dV 0 t
，则有
CS
或
u d A 0
CS流入 u n dA＝CS流出 u n dA
（2）恒定、均质不可压缩流体: const ，则
CS
或
(或 ） 表示几个不同的 式中， 流出 流入
出流（或入流）的累加。
2.7 积分形式的动量方程 1.方程的推导
（1）依据动量守恒定律： dM F dt 式中，M m u （2）对于流体质点系统，则有
d(mu ) F dt S
（3）普遍的动量方程 此时
N mu , n u ，得出
质量 m ：m x y z 加速度的 x 向分量 ax ：
du x u x u x u x u x ax ux uy uz dt t x y z
xx yx zx X x y z ( ) x y z x y z
dQh 作功； dE为系统的能量增加； 为热交换率； dt dE dW 为功率； 为能量变化率。 dt dt
（2）对于流体质点系统，则有
d Qh d W d E dt dt dt
S
（3）普遍的能量方程 此时
u N = E ， n e eI gz ， 2
2
W W p Wt Ws ，及
柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：
1 ( rur ) 1 u u z 0 r r r z
（3）连续性方程的应用 判别流动能否发生。 求解某一未知速度分量。
与运动微分方程联立求解。
2.3 流函数ψ
1. 定义
u x u y 0 二维不可压缩流体连续性方程为： x y