概率论的基础知识

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随机变量及其分布
随机变量分布
6s
随机变量及其分布
随机变量均值和方差的运算性质
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随机变量及其分布
常用离散分布—二项分布
1）重复进行 n 次试验；
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2） n 次试验间相互独立；
3）每次试验仅有两个可能结果； 4）成功的概率为p，失败的概率为1-p； 在上述四个条件下，设x表示n次独立重复试验中成功出现的次数，则有概率密度函数为：
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随机变量及其分布
常用连续分布—正态分布
1、正态分布的概率密度函数
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它的图形是对称的钟形曲线，常称为正态曲线。
正态分布有两个参数μ和σ，常记为N（ μ，σ2）。
其中μ为分布的均值 （μ 读作miu） σ为分布的标准差
随机变量及其分布
常用连续分布—正态分布
6s
0.9357
随机变量及其分布
常用连续分布—正态分布
3 X 2 = 6 条旅游路线。
加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法 ，则完成这件事共有n1+n2种方法。 例如：从A城到B城有三类交通工具，汽车，火车和飞机。汽车有5个班次，火车有3个班次 ，飞机有2个班次，那么从A城到B城共有5+3+2=10个班次供旅游选择。 可以推广到多个步骤和途径事件。
⑶一顾客在超市排队等候付款的时间: Ω ={t:t≥ 0} ⑷一颗麦穗上长着的麦粒个数: Ω ={0,1,2,······}
⑸新产品在未来市场的占有率: Ω ={[0,1]}
⑹一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间: Ω ={t:t≥ 0} ⑺加工机构轴的直径尺寸: Ω ={ ⑻一罐午餐肉的重量： Ω ={ G±g } }
概率基础知识
事件 （二）随机事件 定义：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用 大写字母A
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、B、C 等表示。
1、随机事件的特征 ⑴任一事件A是相应样本空间Ω 中的一个子集；
⑵当A中某一样本点发生,那么事件A就发生；
⑶事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用的语言应是明确无误的； ⑷任一样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是Ω ，它对应的事件就是必然事件 ，仍用Ω 表示； ⑸任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能 事件，记为φ （读作fai ）。
概率基础知识
事件 2、随机事件之间的关系
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B,或者B A
⑴包含：【在一个随机现象中有两个事件A和B，若事件A中的任一个样本点必在B中，则
称A被包含在B中，或者B包含A，记为A
B A
A
B
Ω
A B
Ω
A与B互斥
⑵互不相容： 【若事件A与B没有相同样本点，则称事件A与B互不相容。】（互斥）
两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容。
2、分类： 假如一个随机变量的所有可能取值 充满数轴上一个区间（a，b），则 称此随机变量为连续随机变量。
产品质量特性是表征产品 性能的指标，产品性能一 般具有随机性，所有质量 特性就系一个随机变量
随机变量及其分布
随机变量分布
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X P
随机变量及其分布
随机变量分布
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2
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3
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4
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概率基础知识
概率 （四）概率 — 事件发生可能性大小的度量
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一个随机事件A发生可能性的大小用这个事件的概率P（A）来表示。概率是一个介于0 到1之间的数。概率越大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就 愈小。 特别地，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。即： P(φ ) = 0 P( Ω ) = 1
为使候车时间 X 少于 5 分钟，乘客必须在7:10 ，到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站， 则
：
随机变量及其分布
常用连续分布—指数分布
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e x , x 0 p( x) x0 0 ,
随机变量及其分布
常用连续分布—指数分布
6s
随机变量及其分布
常用连续分布—指数分布
样单元。 3、样本空间：随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为 Ω （读Omega ）。 认识一个随机现象首要就是能罗列出它的
一切可能发生的基本结果。
概率基础知识
事件 [ 例] ⑴一天内进某超市的顾客数: Ω ={0,1,2,······}
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⑵一顾客在超市购买的商品数: Ω ={0,1,2,······}
性质8：假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概 率P(A|B)等于事件A的(无条件)概率P(A)。
随机变量及其分布
随机变量
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1、定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z等表示随机变量，而随机
变量的值用小写字母 x、y、z表示 。
例如，在灯泡寿命试验中，令 X 为“灯泡寿命” ( 小时 ) ，则 X 为一随机变量。 {X>500} ，{X≤1000} ， {800<X≤1200}等表示了不同的随机事件。 假如一个随机变量仅取数轴上有限 个点或可列个点，则称此随机变量 为离散随机变量。
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随机变量及其分布
常用连续分布—指数分布
例：
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某种热水器首次发生故障的时间T（单位：小时）服从λ=0.002的指数分布，则其密度函数和分布函数为
求该热水器在300~500小时内需要维修的概率： 解：
随机变量及其分布
中心极限定理
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N ( ,
s2
n
)
共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交，记为A∩B，
简记为AB。交事件意味着事件A与事件B同时发生。】
A AB
B
⑷事件A对B的差【由在事件A中而不在事件B中的样本点 组成的新事件称为A对B的差，记为A－B。】
A
A-B
B
概率基础知识
事件
事件运算具有如下性质： 1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶律： 以上性质都可推广到多个事件运算中去。
概率基础知识
概率
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概率基础知识
概率
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概率基础知识
概率
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（二）条件概率、概率的乘法法则及事件的独立性 （1）条件概率与概率的乘法法则 条件概率要涉及两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概
率，记为P(A|B)。条件概率的计算公式为：
性质6：（乘法法则）对任意两个随机事件A与B，有 P（AB）=P(B)P（A|B） =P(A)P（B|A） P(B) > 0 P(A) > 0
这个分布称为二项分布，记为b（n，p）。
均值：E(x)=np
方差： Var(x)= np (1-p)
随机变量及其分布
常用离散分布—二项分布
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随机变量及其分布
常用离散分布—泊松分布
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P( X x)
x
x!
e
x 0, 1, 2
随机变量及其分布
常用离散分布—超几何分布
若两个事件相当，他们必定互相包含，即A=B，则有A 件互相包含，则它们相等。

B ，A
B；反之，若两个事
概率基础知识
事件 （三）事件的运算 ⑴对立事件（又称为互逆事件或逆事件）【在一个随机想
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象中，Ω 是样品空间，A为事件，由在Ω 中而不在A中的样
本点组成的事件称为A的（互逆事件）。记为 （读非 A）。】
α是满足下列等式的实数
P( U≤ u
α)
= α
随机变量及其分布
常用连续分布—正态分布
6s
源自文库
随机变量及其分布
常用连续分布—正态分布
2、正态分布的标准转化
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）
某产品的质量特性 X ~ N(16, σ2 ) ,若要求P(12 < X < 20)≥0.8，则σ 最大值应为（
A 、u
0.9
/ 4 / 2
B、4 / D 、2 / u
概率基础知识
概率 [ 例] 一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示
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从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 如果取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率
常用连续分布—正态分布
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计算上下规格限： USL=70+3=73 LSL =70-3=67 (1-Φ(2))+(1-Φ(2))=2-2Φ(2)
查标准正态分布函数表的Φ(2)=0.9772
随机变量及其分布
常用连续分布—均匀分布
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均匀分布在两端点a,b之间有一个恒定的概率密度函数，即在（a，b）上概率密度函数是一个常数，见
= 2 Φ(a) -1
随机变量及其分布
常用连续分布—正态分布
6s
随机变量及其分布
常用连续分布—正态分布
2、标准正态分布的分位数
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一般说来，对任意介于0与1之间的实数α，标准正态分布N（0，1）的α分位数是这样一个数，它的左侧
面积恰好为α，它的右侧面积恰好为1-α，用概率的语言来说， U的α分位数u
下公式。则称“在区间（a，b）上的均匀分布”
其均值、方差为：
随机变量及其分布
常用连续分布—均匀分布
[例]
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某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30，7:45 等时刻，如果乘客到达
此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率。 解：依题意可知，X ～ U (0 ,30)，即
A
A
互逆事件
A
⑵事件 A 与B 的并（又称为和事件）【由事件 A 与事件 B 中 所有样本点组成的新事件称为 A 与 B 的并，记为A∪B或 A+B。并事件意味着事件A与事件B至少有一个发生。】
Ω
A
B
A∪B
概率基础知识
事件 （三）事件的运算 ⑶事件A与B的交（又称为积事件）【由事件A与事件B中公
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概论论的基础知识
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目录
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第一部分
第二部分
概率基础知识 随机变量及其分布
概率基础知识
事件 （一）随机现象 1、定义：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。
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随机现象的特点：
⑴随机现象的结果至少有两个； ⑵至于哪一个出现，事先人们并不知道。
2、样本点（抽样单元）：随机现象中的每一个可能结果，称为一个样本点，又称为抽
u
0.9
C、 u
0.9
0.9
解：
随机变量及其分布
常用连续分布—正态分布
2、正态分布的标准转化
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产品质量特性的不合格品率的计算
1、质量特性 X 的分布，在受控的情况下，常为正态分布； 2、产品的规范限，常包括上规范限TU和下规范限TL。 产品质量特性的不合格品率为：
p = p L + pU
随机变量及其分布
概率基础知识
事件 ⑶相等：【若事件A与B有相同的样本点，则称事件A与B相等，记着A=B】 [ 例]
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掷骰子：Ω =｛1，2，3，4，5，6｝，设事件A =“等于小于4的数”={1，2，3，4}，事
件B =“偶数”={2，4，6}，显然A与B有相同的样本点{2，4}，但事件A与B 并不相等。 可定义为“若事件A与B有完全相同的样本点，则称事件A与B 相等”
概率基础知识
概率
解：设 A = 取出的一个为正品 B = 取出的一个为供应商甲供应的配件
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
概率基础知识
概率
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（2）独立性与独立事件的概率
设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不依赖另一个事件发生与否，则
称事件A与B相互独立。 性质7：假如两个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为
2、标准正态分布的一些运算公式
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① P( U≤a ) = P(U <a ) = Φ(a)
② P( U > a ) = 1-Φ(a) ③ Φ( - a) = 1-Φ(a) ④ P(a ≤ U≤ b) = Φ(b) -Φ(a)
⑤ P( |U|≤a ) = P( -a ≤ U≤ a) = Φ(a) -Φ(-a)
概率基础知识
概率
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二、概率的古典定义
古典定义
用概率的古典定义确定概率方法的要点如下：
（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有 n 个样本点； （2）每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）； （3）若被考察的事件A含有 k个样本点，则事件A的概率定义为：
概率基础知识
概率
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乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事 共有n1*n2种方法。 例如：从A城去B城有3条旅游路线，从B城去C城有2条旅游路线，那么，从A城经B城到C城有