概率论的基础知识
概率论基础知识
对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，即P{X＝a}＝0。事实上0≤P{X＝a}≤P{a－△x＜X≤a}＝F(a)－F(a－△x).P{a＜X≤b}＝P{a≤X≤b}＝P{a＜X＜b}.
定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
多个事件相互独立：一般，设A1，A2，…，An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。
推论：①若事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的。
第一章 概率论的基本概念
一、事件运算常用定律（设A,B,C为事件）：
二、频率与概率
1.概率的公理化定义：
①非负性：对于每一个事件A，有P加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj＝∅，i≠j，i,j＝1,2,…，有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋….
P{X＞s＋t|X＞s}＝P{X＞t}
3.正态分布(高斯分布)[X～N(μ,σ2)]：
正态分布性质：
①曲线关于x＝μ对称，这表明对于任意h＞0有P{μ－h＜X≤μ}＝P{μ＜X≤μ＋h }.
②当x＝μ时取到最大值 ，x离μ越远，f(x)的值越小。
③在x＝μ±σ处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。
标准正态分布：μ＝0，σ＝1.其概率密度和分布函数分别用φ(x)，Φ(x)表示，即有：
②若n个事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。
概率论的基础
概率论的基础1 预备知识在开始介绍概率论之前，我们需要先了解一些预备知识。
1.1 集合运算概率论中经常会涉及到集合运算，因此我们需要先了解集合运算的基本概念。
集合是由一些确定的对象组成的整体。
我们用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
常见的集合运算有：- 并集：将两个集合的元素合起来，得到包含这两个集合所有元素的新集合。
记作A∪B。
- 交集：只将两个集合中都有的元素取出来，得到一个新的集合。
记作A∩B。
- 补集：集合A的补集是指集合U中所有不在A中的元素的集合。
记作A'或者A^c。
- 差集：从集合A中减去集合B中的元素，得到一个新的集合。
记作A-B。
1.2 条件概率在概率论中，条件概率是指在已知一种事件发生的前提下，另一种事件发生的概率。
记作P(B|A)，表示在事件A发生的情况下，事件B发生的概率。
条件概率的计算公式为：$$P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
1.3 独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生不会互相影响。
也就是说，当事件A发生与否对事件B发生的概率没有任何影响时，我们称事件A和事件B是独立的。
如果事件A和事件B是独立的，那么有以下公式成立：$$P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)$$反之，如果有以上公式成立，那么我们可以认为事件A和事件B是独立的。
2 概率的定义概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在概率论中，我们用P(E)表示事件E发生的概率。
2.1 古典概型如果所有的结果都是等可能的，那么我们可以使用古典概型来计算概率。
例如，掷硬币和掷骰子都是古典概型，因为每一个结果都是等可能的。
在古典概型中，如果一个事件E可以由n个元素构成，且所有的元素等可能，那么事件E发生的概率就是：$$P(E) = \frac{\text{符合事件E的结果个数}}{\text{总结果个数}} = \frac{n_E}{n}$$2.2 条件概率法则如果我们已知事件B发生，在B的基础上怎么计算事件A发生的概率呢？根据条件概率公式，我们有：$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$这个公式被称为条件概率法则。
概率论的知识点总结
概率论的知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，其基本概念包括样本空间、事件和概率空间。
样本空间是随机试验的所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，概率空间包括样本空间和定义在样本空间上的概率测度。
2.概率分布概率分布描述了随机变量可能取值的概率情况。
概率分布分为离散分布和连续分布两种。
常见的离散分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
概率密度函数和累积分布函数是描述连续分布的重要工具。
3.随机变量随机变量是一种具有随机性的变量，它可以取样本空间中的某些值。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的概率分布由概率质量函数描述，连续随机变量的概率分布由概率密度函数描述。
4.数学期望和方差数学期望是随机变量的平均值，描述了随机变量的位置参数；方差是随机变量与其数学期望之间的离散程度，描述了随机变量的分散程度。
数学期望和方差是描述随机变量性质的重要指标，它们具有许多重要的性质，如线性性质、切比雪夫不等式等。
5.大数定律大数定律是描述随机变量序列平均值的收敛性质的定理。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律两种。
弱大数定律描述了随机变量序列平均值收敛于数学期望的概率性质，强大数定律描述了随机变量序列平均值几乎必然收敛于数学期望的性质。
6.中心极限定理中心极限定理是概率论中一个重要的定理，描述了大量独立随机变量的和呈现出正态分布的性质。
中心极限定理包括林德伯格-莱维中心极限定理、李亥莱中心极限定理等。
中心极限定理在统计学和金融学中具有重要的应用价值，它解释了正态分布在自然界和人类活动中的普遍性。
以上是概率论的一些重要知识点，概率论作为一门基础数学学科，不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中有着广泛的应用价值。
随着数据科学和人工智能的快速发展，概率论的应用前景将更加广阔。
概率论知识点总结归纳
概率论知识点总结归纳概率论是数学中的一个分支，研究随机现象发生的规律性及其数学模型。
概率论广泛应用于统计学、金融、生物学等领域。
本文将对概率论的基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及概率论在实际问题中的应用进行总结归纳。
一、基本概念1. 随机试验：在相同的条件下可以重复进行的实验，结果不确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合，用S表示。
3. 事件：由样本空间S的一个或多个元素构成的子集，表示试验结果的一个集合。
4. 概率：事件发生的可能性大小的度量，用P(A)表示。
二、概率计算方法1. 古典概型：指随机试验中每个基本事件发生的概率相等的情况。
计算概率时可以根据样本空间和事件个数进行计算。
2. 频率派概率：根据大量实验的频率来计算概率，概率等于事件发生的次数与试验次数之比的极限。
3. 主观概率：根据个人主观判断来计算概率，没有明确的计算方法。
三、常见概率分布1. 离散概率分布：表示随机变量在有限取值集合上的概率分布。
a. 伯努利分布：只有两个可能取值的离散概率分布。
b. 二项分布：多次伯努利试验的结果相加，每次试验相互独立。
c. 泊松分布：表示单位时间或空间内随机事件发生的次数的概率分布。
2. 连续概率分布：表示随机变量在一个区间上的概率分布。
a. 均匀分布：随机变量在一段区间上取值的概率相等。
b. 正态分布：最常见的连续概率分布，具有钟形曲线的特点。
四、概率论的应用1. 统计学：概率论是统计学的基础，通过概率论可以推导出统计学各种假设检验和置信区间的计算方法。
2. 金融学：概率论在金融学中被广泛应用，例如在风险管理、期权定价、投资组合构建等方面。
3. 生物学：概率论能够帮助解释生物学中的随机现象，如遗传、进化等过程中的概率计算。
4. 工程学：概率论可以用于工程问题的风险评估和可靠性分析，如工程结构的寿命预测等。
总结：概率论是研究随机现象的规律性及其数学模型的学科，它包括了基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及在各个领域的应用。
数学概率论与数理统计的基础知识
数学概率论与数理统计的基础知识概率论和数理统计是数学中的重要分支，它们研究了随机事件的发生规律以及通过对数据进行统计分析来了解事物的规律性。
本文将介绍数学概率论与数理统计的基础知识，帮助读者了解这两个领域的重要概念和方法。
一、概率论的基础知识1. 随机试验和样本空间随机试验是在相同条件下具有不确定性的实验，其结果不能事先预知。
样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
2. 事件和概率事件是样本空间的子集，表示一些感兴趣的结果。
概率是事件发生的可能性大小的度量，介于0和1之间。
3. 古典概型古典概型是指具有有限样本空间且样本点等可能出现的随机试验。
在古典概型中，事件的概率可以通过样本点的数目来计算。
4. 条件概率条件概率是指事件B在另一个事件A已经发生的条件下发生的概率，表示为P(B|A)。
条件概率的计算可以使用“乘法规则”。
5. 独立事件事件A和B称为独立事件，如果事件A的发生不会对事件B的发生产生影响。
独立事件的概率计算可以使用“乘法规则”。
二、数理统计的基础知识1. 总体和样本总体是指研究对象的全体，而样本是从总体中选取的一部分个体。
统计学中，我们通常通过对样本的统计分析来推断总体的特征。
2. 随机变量和概率分布随机变量是取值具有随机性的变量，可以是离散的或连续的。
概率分布描述了随机变量各个取值的概率。
3. 参数和统计量参数是总体的特征指标，统计量是样本的特征指标。
通过样本统计量的计算，我们可以对总体参数进行估计。
4. 抽样分布和中心极限定理抽样分布是指统计量的分布，它反映了统计量的随机性。
中心极限定理表明，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
5. 置信区间和假设检验置信区间用于对总体参数进行估计，假设检验用于对总体参数的假设进行推断。
通过置信区间和假设检验，我们可以对统计结论进行推断和验证。
三、应用案例概率论和数理统计在各个领域都有广泛的应用。
例如，金融领域中的风险评估和投资决策，医学领域中的临床试验和流行病学研究，工程领域中的质量控制和可靠性分析等等。
概率论必备知识点
概率论必备知识点概率论是一门研究随机现象数量规律的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用，从物理学、生物学、经济学到计算机科学等。
以下是一些概率论中的必备知识点。
一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
概率则是用来衡量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
计算概率的方法有多种。
对于等可能事件，概率等于事件所包含的基本结果数除以总的基本结果数。
例如，掷一个骰子，出现点数为 3的概率就是 1/6，因为骰子共有 6 个面，每个面出现的可能性相等，而点数为 3 的只有 1 种情况。
二、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型。
在古典概型中，试验的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率，这就是一个古典概型问题。
计算古典概型的概率，可以使用公式：P(A) ＝ n(A) ／n(Ω)，其中P(A)表示事件 A 发生的概率，n(A)表示事件 A 包含的基本结果数，n(Ω)表示总的基本结果数。
三、几何概型几何概型是古典概型的推广，当试验的结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等时，就可以使用几何概型来计算概率。
例如，在一个时间段内等待公交车，求等待时间不超过 5 分钟的概率。
在几何概型中，概率等于事件对应的区域长度（面积或体积）除以总的区域长度（面积或体积）。
四、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，已知今天下雨，明天晴天的概率就是一个条件概率。
条件概率的计算公式为：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)，其中 P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，P(AB)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率。
概率知识点归纳整理总结
概率知识点归纳整理总结概率基础知识1. 样本空间和事件概率论的基本概念是样本空间和事件。
样本空间是一个随机试验所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
事件是样本空间的一个子集，表示随机试验的一些结果。
事件的概率描述了该事件发生的可能性有多大。
2. 概率的定义在样本空间Ω中，事件A包含n(A)个基本事件，概率P(A)定义为P(A)=n(A)/n(Ω)，即事件A的发生可能性是A包含的基本事件数目与样本空间的基本事件数目之比。
3. 概率的性质概率具有以下几个性质：（1）非负性：对于任意事件A，有0≤P(A)≤1；（2）规范性：样本空间的概率为1，即P(Ω)=1；（3）可列可加性：若事件A1，A2，A3，...两两互斥，则P(A1∪A2∪A3∪...)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...。
4. 条件概率条件概率是指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)，其定义为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
5. 独立事件两个事件A和B称为独立事件，当且仅当P(A∩B)=P(A)P(B)。
6. 贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算逆概率的定理，它表示为P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
概率的应用1. 排列与组合排列和组合是概率论的一个重要应用。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列的种数，用P(n,m)表示，其公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合的种数，用C(n,m)表示，其公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!）。
2. 事件的独立性在概率论中，独立性是一个重要的概念。
事件A和事件B称为独立事件，如果P(A∩B)=P(A)P(B)，即事件A的发生与事件B的发生互不影响。
在实际应用中，很多情况下要求两个事件的独立性，以便于计算事情发生的可能性。
3. 随机变量随机变量是概率论中的一个重要概念，它是一个从样本空间到实数的映射。
随机变量可分为离散型和连续型两种。
概率论的基础
概率论的基础概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的规律性和不确定性。
它在各个领域都有广泛的应用，例如统计学、金融学、物理学和生物学等。
本文将介绍概率论的基础概念和原理，以及它在现实生活中的应用。
一、随机事件和样本空间在概率论中，我们研究的对象是随机事件。
随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
样本空间是所有可能的结果组成的集合，每个结果称为一个样本点。
例如，投掷一个骰子，样本空间就是1到6的整数集合。
二、概率的定义和性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率具有以下性质：1. 非负性：对于任意事件A，有P(A)≥0。
2. 规范性：对于必然事件S，有P(S)=1。
3. 可列可加性：对于两个互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
三、条件概率和独立性条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
条件概率的计算使用了贝叶斯定理和乘法法则。
如果事件A和B的发生是相互独立的，那么P(A|B)=P(A)，即事件B的发生与事件A的发生无关。
四、概率分布和期望值概率分布描述了随机变量取值的可能性和相应的概率。
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数表示，连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数表示。
期望值是随机变量的平均值，它是每个取值乘以对应的概率后的总和。
五、大数定律和中心极限定理大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会趋向于其概率。
中心极限定理指出，独立同分布的随机变量的和的分布在试验次数趋向于无穷时近似服从正态分布。
概率论在现实生活中有许多应用。
例如，在医学诊断中，我们可以根据症状和概率分布来推断患者是否患有某种疾病。
在金融学中，概率论可以用于风险评估和投资决策。
在运输和物流中，我们可以利用概率论来优化路线规划和资源分配。
概率论是一门重要的数学工具，它帮助我们理解和描述随机事件的发生规律和不确定性。
概率论基础：入门知识点
概率论基础：入门知识点概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的规律和概率计算的方法。
它在各个领域都有广泛的应用，如统计学、金融、工程等。
本文将介绍概率论的入门知识点，帮助读者了解概率论的基本概念和计算方法。
一、随机事件和样本空间在概率论中，我们将可能发生的事件称为随机事件。
样本空间是指所有可能的结果组成的集合。
例如，掷一枚硬币的结果可以是正面或反面，那么样本空间就是{正面，反面}。
样本空间通常用Ω表示。
二、事件的概率事件的概率是指事件发生的可能性大小。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示一定发生。
概率可以通过实验或理论计算得到。
三、事件的运算1. 事件的和：事件A和事件B的和是指事件A或事件B发生的情况。
用符号表示为A∪B。
2. 事件的积：事件A和事件B的积是指事件A和事件B同时发生的情况。
用符号表示为A∩B。
3. 事件的差：事件A和事件B的差是指事件A发生而事件B不发生的情况。
用符号表示为A-B。
四、概率的计算方法1. 古典概型：当样本空间中的每个结果发生的可能性相等时，可以使用古典概型计算概率。
例如，掷一枚均匀的骰子，每个面的概率都是1/6。
2. 频率概率：通过实验的频率来估计概率。
例如，掷一枚硬币100次，正面朝上的频率为60次，那么正面朝上的概率为0.6。
3. 几何概率：通过几何方法计算概率。
例如，从一个圆盘上随机选择一个点，落在某个区域的概率等于该区域的面积与圆盘的面积之比。
4. 条件概率：指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
用符号表示为P(A|B)，读作“在B发生的条件下A发生的概率”。
五、概率的性质1. 非负性：概率的取值范围是0到1之间。
2. 规范性：样本空间的概率为1，即P(Ω)=1。
3. 加法性：对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
4. 减法性：对于事件A和事件B，有P(A-B)=P(A)-P(A∩B)。
5. 乘法性：对于独立事件A和B，有P(A∩B)=P(A)×P(B)。
概率论基础知识
A Ω
B
补充点
补充点 事件的并、交和互不相容事件可推广到n 个事件间的关系. 现就互不相容事件叙述如下：在一次事件 中，如果n个事件 A1 , A2 ,..., An 两两互不相 容，则称 A1 , A2 ,..., An是互不相容的事件组. 如果互不相容的事件组 A1 , A2 ,..., An 满足 A A ... A 或记作 A ， 则称事件组 A1 , A2 ,..., An 为一个划分.
四、 事件的关系与运算
1.包含关系和相等关系: 若事件A发生必然导致事件B发生, 则称事 件B包含事件A,记作AB。 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等
B Ω
A
2．事件的并 由属于A或者属于B的所有样本点组成的集合， 称为A与B的并（或者和），记作 A B 或者 A+B.显然事件表示“事件A与B事件至少有 一个发生”这一事件.
B
事件 A B 时，上式就不成立了.
A Ω
B
而有 P( A B) P( A) P( B) P( A B)
该公式称为概率的加法公式
加法公式可推广到有限个事件至少有一个 发生的情形，如三个事件 A, B, C 的并的加 法公式为：
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
当n=3时
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
返回
二、全概率公式与贝叶斯(Bayes )公式
1.全概率公式 设 H1 , H 2 ,...H n 是联系于一随机试验的完备 事件组.任一事件 A( A ) 可表示成 A A ( H1 H 2 ... H n ) A
概率论基础知识
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 两事件互斥
AB
二者之间没 有必然联系
定义2: 设A,B,C是三个事件,若满足: P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称A,B,C为相互独立的事件. 定义3：对n个事件A1,A2,…,An,如果对所有可 能的组合1≤i<j<k<…≤n成立着 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An), 则称这n个事件A1,A2,…,An相互独立.
概率的统计定义直观地描述了事件发生的 可能性大小，反映了概率的本质内容，但 也有不足，即无法根据此定义计算某事件 的概率。
2.2、古典概型
若随机试验满足以下特征：
(1)试验的可能结果只有有限个；
(2)各个结果的出现是等可能的. 则称此试验为古典概型.
古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及 事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
Ai — 第i次试验中A发生, 则
k P( X k ) Cn p k q nk , k 0,1,2,, n
称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记为
P( A n A1A 2 A n1 )
2.4 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分 定义 : 若B1, B2 , , Bn一组事件满足:
(i) Bi B j , i j, i, j 1, 2, ...,n,
概率论基础知识
则 P(A)=95/100, P(B|A)=5/100, P(B)=5/100。
注：由计算结果可见，本例中事件A与B是相互独立的。下面 我们来检验一下是否 P(AB)=P(A) P(B)。
事实上，由于A与B相互独立，事件AB可看成一个事件分
两个阶段发生：“第一次抽到正品，第二次抽到次品”，第 一阶段事件发生的可能性为 1 为
C100
1 C95
，第二阶段事件发生的可能性 1 .
C100
1 C5
1 1 C95 C5 95 5 故按乘法原理， P( AB) 1 1 P( A) P( B) C100 C100 100 100
§6 随机变量的概念
设试验 E 的样本空间为，X(e)是与样本 e 有关的一个量。 若对每个可能发生的结果(样本)e，都有唯一的实数X(e)与之 对应，则称变量X(e)为随机变量，简记为 X。 注: (1) 若一个随机变量 X 的所有取值能够一一列举出来，则称
§5 事件的独立性
若一个事件发生的概率不受另一事件发生的影响，
则称这两个事件是相互独立的。或者说，若 P(B|A)=P(B)， 则称 A 与 B 相互独立。 注：事件A与 B 相互独立当且仅当 P(AB)=P(A) P(B).
例9 某厂生产的100个零件中有5个次品，采用有放回抽样，求 抽出的第 1 件为正品且第 2 件是次品的概率，及第二次抽到次 品的概率。 解：设 A为第一次抽到的是正品；B为第二次抽到的是次品。
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 令：A=“出现不大于4的点”，B=“出现小于3的点”。
则A、B是上的两个事件：A={1, 2, 3, 4}, B={1, 2}。
当投掷结果出现4时，A发生； 当投掷结果出现2时，A、B都发生；
概率论知识
概率论知识概率论知识概率论是数学的一个分支，主要研究随机事件的规律性和统计规律。
它是一种量化分析随机现象的工具，被广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。
一、基本概念1. 随机事件：指在一定条件下可能发生或不发生的事情，如掷骰子出现1点或2点等。
2. 样本空间：指所有可能发生的随机事件组成的集合，如掷骰子样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
3. 事件：指样本空间中一个或多个元素组成的集合，如掷骰子出现偶数为事件A={2, 4, 6}。
4. 概率：指某个事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间，且所有事件概率之和为1。
二、基本公式1. 加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A∩B表示A和B同时发生的事件。
2. 条件概率公式：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中A|B表示在B发生的条件下A发生的概率。
3. 乘法公式：P(A∩B)=P(B)×P(A|B)，其中A∩B表示A和B同时发生的事件。
4. 全概率公式：P(A)=Σi=1nP(A|Bi)×P(Bi)，其中Bi为样本空间的一个划分，且所有的Bi不相交且并起来等于样本空间。
5. 贝叶斯公式：P(Bi|A)=P(A|Bi)×P(Bi)/Σj=1nP(A|Bj)×P(Bj)，其中Bi 为样本空间的一个划分，且所有的Bi不相交且并起来等于样本空间。
三、概率分布1. 离散型随机变量：指取有限个或可数个值的随机变量，如掷骰子点数就是一个离散型随机变量。
其概率分布可以用概率质量函数（PMF）表示，即p(x)=P(X=x)，其中X是随机变量，x是它可能取到的值。
2. 连续型随机变量：指取无限多个可能值的随机变量，如身高、体重等。
其概率分布可以用概率密度函数（PDF）表示，即f(x)，满足f(x)≥0且∫f(x)dx=1。
3. 期望：指随机变量的平均值，通常用E(X)表示。
概率论初步知识介绍
（2，7）
（2，8） （3，6）
（3，7）
（3，8） （4，6）
（4，7）
（4，8）
2.组合计数法则
▪阶乘
n!=n(n-1)(n-1)…3·2·1
▪排列
从n个不同对象中抽取r个（r<n）进行有序放置称为排列。
若n=r叫全排列。
P
r n
=n(n-1)···(n-r+1)
完成结果 投资成功 投资失败 合计
咨询意见 可以投资 不宜投资
154次 38次
2次
156次
6次
44次
合计
192次
8次
7、事件逆
样本空间S与事件A之差，即S-A这一事件称为A的逆事件、
对立事件或互补事件。记作 A。
8、互斥事件
如果两个事件A与B不可能同时发生，则称A与B互不相容 事件，或称为互斥事件,记作AB=Φ。
在我们的生活中会面临许多不确定性的决策问题
❖ 1、如果提高产品价格，则销售下降的“机会”有多少？ ❖ 2、某种新的装配方法会有多大的“可能性”提高生产率？ ❖ 3、某项工程按期完成的“可能”有多大？ ❖ 4、新投资赢利的机率有多大？
工期超过十个月的概率是多少？
一、概率的加法定理
2、相容事件的加法定理
如果事件A、B同时出现，则事件A和事件B称为联合事件,记 为AB。两个相容事件A与B之和的概率为： P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB) [例] 投资房地产赚钱的概率是0.7，投资电脑软件业的成功率 是0.8，同时投资的成功率是0.6，问投资二者中至少一种赚 钱的概率为多少？ 解：P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.7+0.8-0.6=0.9
概率论基础知识梳理
概率论基础知识梳理概率论基础知识梳理引言：概率论是一门重要的数学分支，它用于理解和预测随机事件的发生概率。
在日常生活中，我们经常面临各种各样的不确定性，例如天气变化、股市涨跌和彩票中奖等。
了解概率论的基础知识将帮助我们更好地分析和决策，从而在面对不确定性时做出明智的选择。
一、概率的基本概念和性质1.概率的定义：概率是描述一个事件发生的可能性大小的数值。
用P(A)表示事件A 发生的概率，0 ≤ P(A) ≤ 1。
2.概率的性质：- 事件的概率不会小于0，也不会大于1。
- 必然事件的概率为1，即P(S) = 1，其中S表示样本空间。
- 不可能事件的概率为0，即P(∅) = 0，其中∅表示空集。
- 对于任意两个互斥事件A和B，它们的联合概率为P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
二、条件概率和独立性1.条件概率：条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
用P(A|B)表示事件A在给定事件B的条件下发生的概率。
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：乘法定理用于计算两个事件的联合概率，它表达为P(A∩B) = P(A|B) * P(B)。
3.独立事件：如果两个事件A和B满足P(A|B) = P(A)，或者等价地，P(B|A) =P(B)，则称事件A和事件B相互独立。
三、随机变量和概率分布1.随机变量：随机变量是对随机现象结果的数值化描述。
可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量只能取有限个或可数个值，例如抛硬币的结果（正面或反面）。
连续随机变量可以取任意实数值，例如测量某物体的长度。
2.概率分布：概率分布用于描述随机变量各个取值的概率。
离散随机变量用概率质量函数（PMF）表示，连续随机变量用概率密度函数（PDF）表示。
常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布和泊松分布；常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布等。
四、期望和方差1.期望：期望是对随机变量取值的加权平均值，用E(X)表示，其中X为随机变量。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结1. 概率论基础- 随机事件：一个事件是随机的，如果它可能发生也可能不发生。
- 样本空间：所有可能事件发生的集合。
- 事件的概率：事件发生的可能性的度量，满足0≤P(A)≤1。
- 条件概率：在另一个事件发生的条件下，一个事件发生的概率。
- 贝叶斯定理：描述了随机事件A和B的条件概率和边缘概率之间的关系。
- 独立事件：两个事件A和B是独立的，如果P(A∩B) = P(A)P(B)。
- 互斥事件：两个事件A和B是互斥的，如果它们不能同时发生，即P(A∩B) = 0。
2. 随机变量及其分布- 随机变量：将随机事件映射到实数的函数。
- 离散随机变量：取值为有限或可数无限的随机变量。
- 连续随机变量：可以在某个区间内取任意值的随机变量。
- 概率分布函数：描述随机变量取值的概率。
- 概率密度函数：连续随机变量的概率分布函数的导数。
- 累积分布函数：随机变量取小于或等于某个值的概率。
- 期望值：随机变量的长期平均值。
- 方差：衡量随机变量取值的离散程度。
3. 多维随机变量及其分布- 联合分布：描述两个或多个随机变量同时取特定值的概率。
- 边缘分布：通过联合分布求得的单个随机变量的分布。
- 条件分布：给定一个随机变量的值时，另一个随机变量的分布。
- 协方差：衡量两个随机变量之间的线性关系。
- 相关系数：协方差标准化后的值，表示变量间的线性相关程度。
4. 大数定律和中心极限定理- 大数定律：随着试验次数的增加，样本均值以概率1收敛于总体均值。
- 中心极限定理：独立同分布的随机变量之和，在适当的标准化后，其分布趋近于正态分布。
5. 数理统计基础- 样本：从总体中抽取的一部分个体。
- 总体：研究对象的全体。
- 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
- 点估计：给出总体参数的一个具体估计值。
- 区间估计：给出一个包含总体参数可能值的区间。
- 假设检验：对总体分布的某些假设进行检验。
- 显著性水平：拒绝正确假设的最大概率。
概率论基础知识
则 A 与 B 便是互不相容的。
7、对立：称事件 A 不发生的事件为 A 的对立事件，记为 显然
，A∩ =φ
例如，从有 3 个次品，7 个正品的 10 个产品中任取 3 个，若令 A={取得的 3 个产品中至少有一个次品}，则 ={取得的 3 个产品均为正品}。
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而 P（B）=3P（A）=
概率论基础知识
定义 1：在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为 NΩ而事件 A 所 含的样本数，即有利于事件 A 发生的基本事件数为 NA，则事件 A 的概率便定义为：
例 1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。 解：用 H 表示正面，T 表示反面，则该试验的样本空间
若 A B，则 A∪ B=B, A∩ B=A A-B=A-AB= A
等等。
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概率论基础知识
例 3，从一批产品中每次取一件进行检验，令 Ai={第 i 次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示 下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合 格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝
2048 4040 12000 24000 30000
概率论基础知识
1061 2148 6019 12012 14994
0．5180 0．5069 0．5016 0．5005 0．4998
定义 2：在相同条件下，将试验重复 n 次，如果随着重复试验次数 n 的增大，事件 A 的频率 fn(A)越来越 稳定地在某一常数 p 附近摆动，则称常数 p 为事件 A 的概率，即 P（A）=p 不难证明频率有以下基本性质：
概率论基础知识
对立事件概率 “至少一个的”对立事件是该事件没有发生 “至少一个”的计算过程 设A为至少一个事件发生 求事件A没有发生的概率 至少一个事件发生的概率=1-事件没有发生的概率
条件概率 一个事件的条件概率是指通过其他时间发生的额外信息所得概率 假设事件A发生了，计算事件B发生的概率 A和B同时发生的概率/A发生的概率
概率论基础知识
概率
概率的基本概念 基本定义 事件是一个过程的结果或结果的任意集合 对立事件：事件未发生的所有结果组成 简单事件时不能进一步拆分的结果或事件 一个过程的样本空间由所有可能得简单事件组成 计算事件概率的三种方法 相对频数法 事件概率=事件发生的次数/重复该过程的次数 经典计算法 如果一个过程由N个等可能性的不同简单事件，且事件A有S种不同的发生 方式 事件概率=事件A可能发生的次数/不同简单事件的个数 主观估计法 根据相关情况估计事件发生的概率
贝叶斯定理 贝叶斯定理的重要性和实用性在于可以利用连续事件，由此可以通过后续事件中 的新信息修正初始事件的概率 先验概率：在未获得额外信息情况下的初始概率 后验概率：在获得额外信息情况下的修正概率
计数法则
乘法计数法则 对于一个事件序列，第一个事件可以有n1种发生方式，第二个事件可以有n2种 发生方式，第三个时间可以有n3种发生方式，以此类推，事件结果总数为 n1*n2*n3
阶乘法则 有n种不同的方式可以从所有元素中选出第一个元素，有n-1种不同的方式可以 从n-1个元素中选出第二个元素，以此类推 阶乘法则：n个不同元素的排列方式总数n！等于所有小于或等于该数的正整数 乘积
排列法则(元素相异) 从n个元素中无放回地任取r个元素排成一列，并考虑他们之间的先后次序，其排 列数为n!/(n-r)!
概率论知识点
概率论知识点概率论是数学的一个分支，研究的是随机事件的发生规律和概率性质。
在现实生活中，概率论的应用广泛，涵盖了统计学、经济学、计算机科学等各个领域。
本文将介绍概率论的一些基本概念和常见应用。
一、基本概念1. 随机事件：随机事件是指在一次试验中可能发生的事件，具有不确定性和不可预测性。
例如，抛一枚硬币的正反面结果就是一个随机事件。
2. 样本空间：样本空间是指一次随机试验中所有可能结果的集合。
以掷一枚骰子为例，样本空间就是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
3. 事件：事件是样本空间的一个子集，表示一些可能的结果的集合。
例如，掷一枚骰子得到的结果是偶数的事件就是{2, 4, 6}。
4. 概率：概率是描述事件发生可能性大小的数值，范围在0到1之间。
概率越大，事件发生的可能性越高。
例如，正常情况下抛一枚硬币出现正面和反面的概率都是1/2。
二、常见应用1. 条件概率：条件概率是指在一定条件下，某一事件发生的概率。
以抽取一张扑克牌为例，已知抽到一张红心牌的条件下，再次抽到红心牌的概率就是条件概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) /P(B)，其中A和B为事件。
2. 独立事件：独立事件是指两个事件之间互不影响，一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
例如，抛一枚硬币与掷一颗骰子的结果无关。
若事件A和B是独立事件，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 期望值：期望值是对某个随机变量的平均数的度量。
在离散型随机变量的情况下，期望值的计算公式为E(X) = Σ(x×P(X=x))，其中x为可能的取值，P(X=x)为该取值的概率。
4. 正态分布：正态分布是概率论中最重要的分布之一，也称为高斯分布。
在统计学中，很多现象都符合正态分布，例如人的身高、智商等。
正态分布的概率密度函数为f(x) = 1 / (σ√(2π)) × exp(-(x-μ)² / (2σ²))，其中μ为均值，σ为标准差。
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6s
计算上下规格限： USL=70+3=73 LSL =70-3=67 (1-Φ(2))+(1-Φ(2))=2-2Φ(2)
查标准正态分布函数表的Φ(2)=0.9772
随机变量及其分布
常用连续分布—均匀分布
6s
均匀分布在两端点a,b之间有一个恒定的概率密度函数，即在（a，b）上概率密度函数是一个常数，见
3 X 2 = 6 条旅游路线。
加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法 ，则完成这件事共有n1+n2种方法。 例如：从A城到B城有三类交通工具，汽车，火车和飞机。汽车有5个班次，火车有3个班次 ，飞机有2个班次，那么从A城到B城共有5+3+2=10个班次供旅游选择。 可以推广到多个步骤和途径事件。
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随机变量及其分布
随机变量分布
6s
随机变量及其分布
随机变量均值和方差的运算性质
6s
随机变量及其分布
常用离散分布—二项分布
1）重复进行 n 次试验；
6s
2） n 次试验间相互独立；
3）每次试验仅有两个可能结果； 4）成功的概率为p，失败的概率为1-p； 在上述四个度函数为：
为使候车时间 X 少于 5 分钟，乘客必须在7:10 ，到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站， 则
：
随机变量及其分布
常用连续分布—指数分布
6s
e x , x 0 p( x) x0 0 ,
随机变量及其分布
常用连续分布—指数分布
6s
随机变量及其分布
常用连续分布—指数分布
若两个事件相当，他们必定互相包含，即A=B，则有A 件互相包含，则它们相等。
B ，A
B；反之，若两个事
概率基础知识
事件 （三）事件的运算 ⑴对立事件（又称为互逆事件或逆事件）【在一个随机想
6s
象中，Ω 是样品空间，A为事件，由在Ω 中而不在A中的样
本点组成的事件称为A的（互逆事件）。记为 （读非 A）。】
α是满足下列等式的实数
P( U≤ u
α)
= α
随机变量及其分布
常用连续分布—正态分布
6s
随机变量及其分布
常用连续分布—正态分布
2、正态分布的标准转化
6s
）
某产品的质量特性 X ~ N(16, σ2 ) ,若要求P(12 < X < 20)≥0.8，则σ 最大值应为（
A 、u
0.9
/ 4 / 2
B、4 / D 、2 / u
A
A
互逆事件
A
⑵事件 A 与B 的并（又称为和事件）【由事件 A 与事件 B 中 所有样本点组成的新事件称为 A 与 B 的并，记为A∪B或 A+B。并事件意味着事件A与事件B至少有一个发生。】
Ω
A
B
A∪B
概率基础知识
事件 （三）事件的运算 ⑶事件A与B的交（又称为积事件）【由事件A与事件B中公
6s
概率基础知识
概率 [ 例] 一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示
6s
从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 如果取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率
概率基础知识
概率
6s
二、概率的古典定义
古典定义
用概率的古典定义确定概率方法的要点如下：
（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有 n 个样本点； （2）每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）； （3）若被考察的事件A含有 k个样本点，则事件A的概率定义为：
概率基础知识
概率
6s
乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事 共有n1*n2种方法。 例如：从A城去B城有3条旅游路线，从B城去C城有2条旅游路线，那么，从A城经B城到C城有
= 2 Φ(a) -1
随机变量及其分布
常用连续分布—正态分布
6s
随机变量及其分布
常用连续分布—正态分布
2、标准正态分布的分位数
6s
一般说来，对任意介于0与1之间的实数α，标准正态分布N（0，1）的α分位数是这样一个数，它的左侧
面积恰好为α，它的右侧面积恰好为1-α，用概率的语言来说， U的α分位数u
概率基础知识
事件 2、随机事件之间的关系
6s
B,或者B A
⑴包含：【在一个随机现象中有两个事件A和B，若事件A中的任一个样本点必在B中，则
称A被包含在B中，或者B包含A，记为A
B A
A
B
Ω
A B
Ω
A与B互斥
⑵互不相容： 【若事件A与B没有相同样本点，则称事件A与B互不相容。】（互斥）
两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容。
概率基础知识
概率
解：设 A = 取出的一个为正品 B = 取出的一个为供应商甲供应的配件
6s
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
概率基础知识
概率
6s
（2）独立性与独立事件的概率
设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不依赖另一个事件发生与否，则
称事件A与B相互独立。 性质7：假如两个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为
性质8：假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概 率P(A|B)等于事件A的(无条件)概率P(A)。
随机变量及其分布
随机变量
6s
1、定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z等表示随机变量，而随机
变量的值用小写字母 x、y、z表示 。
例如，在灯泡寿命试验中，令 X 为“灯泡寿命” ( 小时 ) ，则 X 为一随机变量。 {X>500} ，{X≤1000} ， {800<X≤1200}等表示了不同的随机事件。 假如一个随机变量仅取数轴上有限 个点或可列个点，则称此随机变量 为离散随机变量。
这个分布称为二项分布，记为b（n，p）。
均值：E(x)=np
方差： Var(x)= np (1-p)
随机变量及其分布
常用离散分布—二项分布
6s
随机变量及其分布
常用离散分布—泊松分布
6s
P( X x)
x
x!
e
x 0, 1, 2
随机变量及其分布
常用离散分布—超几何分布
u
0.9
C、 u
0.9
0.9
解：
随机变量及其分布
常用连续分布—正态分布
2、正态分布的标准转化
6s
产品质量特性的不合格品率的计算
1、质量特性 X 的分布，在受控的情况下，常为正态分布； 2、产品的规范限，常包括上规范限TU和下规范限TL。 产品质量特性的不合格品率为：
p = p L + pU
随机变量及其分布
概率基础知识
概率
6s
概率基础知识
概率
6s
概率基础知识
概率
6s
（二）条件概率、概率的乘法法则及事件的独立性 （1）条件概率与概率的乘法法则 条件概率要涉及两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概
率，记为P(A|B)。条件概率的计算公式为：
性质6：（乘法法则）对任意两个随机事件A与B，有 P（AB）=P(B)P（A|B） =P(A)P（B|A） P(B) > 0 P(A) > 0
共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交，记为A∩B，
简记为AB。交事件意味着事件A与事件B同时发生。】
A AB
B
⑷事件A对B的差【由在事件A中而不在事件B中的样本点 组成的新事件称为A对B的差，记为A－B。】
A
A-B
B
概率基础知识
事件
事件运算具有如下性质： 1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶律： 以上性质都可推广到多个事件运算中去。
6s
概率基础知识
概率 （四）概率 — 事件发生可能性大小的度量
6s
一个随机事件A发生可能性的大小用这个事件的概率P（A）来表示。概率是一个介于0 到1之间的数。概率越大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就 愈小。 特别地，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。即： P(φ ) = 0 P( Ω ) = 1
2、分类： 假如一个随机变量的所有可能取值 充满数轴上一个区间（a，b），则 称此随机变量为连续随机变量。
产品质量特性是表征产品 性能的指标，产品性能一 般具有随机性，所有质量 特性就系一个随机变量
随机变量及其分布
随机变量分布
6s
X P
随机变量及其分布
随机变量分布
6s
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
样单元。 3、样本空间：随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为 Ω （读Omega ）。 认识一个随机现象首要就是能罗列出它的
一切可能发生的基本结果。
概率基础知识
事件 [ 例] ⑴一天内进某超市的顾客数: Ω ={0,1,2,······}
6s
⑵一顾客在超市购买的商品数: Ω ={0,1,2,······}