分类与整合思想例析

分类与整合思想例析

1.分类与整合的思想的含义

分类与整合的思想,就是当问题所给的对象因一些不确定的因素而不能进行统一研究时 (如不能用同一种标准,或同一种运算,或同一个类型,或同一个定理,或同一种方法去解决等),就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略. 分类讨论既是一种重要的数学方法，也是一种重要的数学思想．由于有关分类讨论的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，并能训练人的思维的条理性与概括性，因而在高考试题中往往占有较大的比重

对问题实行分类与整合,确定分类标准后等于增加了一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.

2.运用分类与整合思想解题的基本步骤：确定标准→合理分类→逐类讨论→归纳总结。

(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；

(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不

越级)；

(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；

(4)归纳总结：将各类情况总结归纳

3.明确引起分类讨论的原因，有利于掌握分类整合的思想方法解决问题.分类讨论的主要原因有：

(1)由数学概念引起的分类讨论：有些数学概念本身就是以分类形式定义的，如直线与平面所成的角、三角函数值所在象限的符号、绝对值等．有些数学概念本身也有一定的限制，如直线的斜率 ，二次曲线中又包括椭圆、双曲线及抛物线，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的斜率与倾斜角、两条直线所成的角，指数函数,对数函数,空集，直线的截距式等.

(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响，三角函数的定义域，一元二次方程解的情况是按“∆”的正负给出的等；

(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学性质、定理、公式是分类给出的,在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否分类讨论。如等比数列的前n 项和公式，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的单调性，等。

(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图像类型，位置需要分类，如角的终边所在的象限，立体几何中的点线面的位置关系，二次函数对称轴位置的变动，函数问题中区间的变动，函数图象形状的变动，直线由斜率引起的位置变动，圆锥曲线由焦点引起的位置变动或离心率引起的形状变动等。

(5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，如含参数的函数，方程，不等式，

由于 参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；

(6)由实际意义引起的分类讨论，如排列、组合问题，应用问题等.

4.其他

1.数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立. 这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论. 常见的“个别”情形略举以下几例

（1）“方程ax 2+bx +c =0有实数解”转化为“Δ=b 2－4ac ≥0 ” 时忽略了个别情形：当a =0

1(1)

1n a q q

--

时，方程有解不能转化为Δ≥0；

（2）等比数列{a 1qn －1}的前n 项和公式Sn =

中有个别情形：q =1时，公式不再成立，而是Sn =na 1；

（3） 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，但有个别

情形：当直线与x 轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑； （4）若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为 ，但有个别情形：a =0时，则不能如此设，应另行考虑.

2.分类讨论问题已成为高考考查学生知识与能力的热点问题，这是因为：

其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识的考查；

其二，解分类讨论问题要有一定的分析能力、一定的分类思想与分类技巧，有利于

对学生能力的考查；

其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关.

3.分类讨论要注意的几点：

在运用分类讨论解题时，我们要明确分类的原因是什么？对象是什么？分几个类

别？不仅要掌握分类的原则，而且要把握分类的时机，重视分类的合理性与完整性。

(1) 根据问题实际，做到分类不重复、不遗漏;

(2) 熟练地掌握基本知识、基本方法和基本技巧，并做到融会贯通，是解好分类讨

论问题的前提条件;

(3) 不断地总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性;

(4) 要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程

4.分类原则：

①施行分类的集合的全集必须是确定的；

②每一次分类的标准必须是统一的；

③分类必须是完整的，不出现遗漏；

④各子集必须是互斥的，不出现重复；

⑤实行多次分类时，必须逐级进行，不得越级．

5.分类方法：

①明确讨论对象，确定对象的全体

②确定分类标准，正确进行分类；

③逐步进行讨论，获取阶段性结果；

④归纳小结，综合得出结论．

5．解题时严把“四关”：

①基础关——深刻理解基本知识与基本原理；

②分类关——找准划分标准；

③逻辑关——分类条理分明，层次清晰；

④检验关——注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍

6.分类讨论的类型：

1.问题中含有需要讨论的变量或参数时，要进行分类讨论。

2. 问题中的条件是分类给出的，要进行分类讨论。

3.解题过程不能同一叙述的，必须要进行分类讨论。

4.有关几何问题中，几何元素的形状，位置的变化，需要进行分类讨论。

7.简化分类的策略

由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述繁琐，且极易在完备性上造成失误，因此它并非一定是解决问题的良策．我们提倡在熟悉和掌握分类讨论思想的同时，要注意克服思维1x y a a +=