高中数学人教A版(课件)必修四 第三章 三角恒等变换 3.1.2

α－12sin
α－
3cos α＝0.
∴原式＝0.
③原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋ 3tan 20°·tan 40°＝ 3.
∴原式＝ 3.
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1．公式 T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有 tan α·tan β，tan α＋tan β(或 tan α－tan β)，tan(α＋β)(或 tan(α－β))．三者知二可表示出或
3 3.
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给值求值
(2016·普宁高一检测)已知π4 <α<3π 4 ，0<β<π4 ，cosπ4 ＋α＝－35，
sin34π＋β＝153，求 sin(α＋β)的值.
导学号：00680069】
【精彩点拨】 可先考虑拆角，π＋α＋β＝34π＋β＋π4 ＋α，然后再利
用 sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)求值．
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β是任意的．( ) (2)存在 α，β∈R，使得 sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意 α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )
(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( )
30°＝(
)
A．－
3 2
C．12
B．－12
D．
3 2
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(2)化简求值： ①11＋－tatann7755°°； ②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°)； ③(2016·遵义四中期末)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40°. 【精彩点拨】 (1)化简求值应注意公式的逆用． (2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
π ＋ 2 (k∈Z)
且 tan
α·tan β≠1
α，β，α－β≠kπ
tan α－tan β tan(α－β)＝1_＋__t_a_n__α__ta_n__β_
π ＋ 2 (k∈Z)
且 tan
α·tan β≠－1
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )
求出第三个．
π 2．化简过程中注意“1”与“tan 4 ”、“
3”与“tan
π3 ”、“12”与“cos
π 3”
等特殊数与特殊角的函数值之间的转化．
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[再练一题]
1．化简求值：
(1)cos 61°cos 16°＋sin 61°sin 16°；
(2)sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°；
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【自主解答】
sin 47°－sin 17°cos 30°
(1)
cos 17°
＝sin（17°＋30°c）os－17s°in 17°cos 30°
＝sin
17°cos
30°＋cos 17°sin cos 17°
30°－sin
17°cos
30°
＝cos 1c7o°s 1s7in°30°＝sin 30°＝12.
阶
阶
段
段
一
三
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
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1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活 运用．(重点)
2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难 点)
3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)
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教材整理 2 两角和与差的正弦公式
阅读教材 P128“探究”以下内容，完成下列问题． 1．公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦 两角差的正弦
S(α＋β) S(α－β)
sin(α＋β)＝ _s_i_n_α_c_o_s_β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β___
sin(α－β)＝ _s_i_n_α_c_o_s_β_－__c_o_s_α_s_i_n_β______
cos α＝－45，所以 sin α＝－35.
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因为 β∈π2 ，π，tan β＝－13，
所以 cos
β＝－3 1010，sin
β＝
10 10 .
所以 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝－45×－3 1010－－35×
1100＝3
10 10 .
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2 2.
又 α∈0，π2 ，∴α＝π4 .
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[探究共研型]
辅助角公式的应用
探究 1 函数 y＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为 2 对吗？为什么？ 【提示】 不对．因为 sin x＋cos x
＝
2
2 2 sin
x＋
2 2
cos x
＝
2sin x·cos
π 4 ＋cos x·sin
π 4
＝ 2sinx＋π4 .
所以函数的最大值为 2.
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探究 2 函数 y＝3sin x＋4cos x 的最大值等于多少？
【提示】
因为
y＝3sin
x＋4cos
x＝535sin
x＋45cos
x，
令 cos φ＝35，sin φ＝45，
则 y＝5(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝5sin(x＋φ)，
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[基础·初探]
教材整理 1 两角和与差的余弦公式
阅读教材 P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.
名称 简记符号
公式
使用条件
两角差的 余弦公式 两角和的 余弦公式
C(α－β) C(α＋β)
cos(α－β)＝ ___c_o_s_α_c_o_s__β_＋__si_n_α_s_i_n_β________
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
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[小组合作型] 灵活应用和、差角公式化简三角函数式
(1)(2016·济宁高一检测)
sin
47°－sin 17°cos cos 17°
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【答案】 C
(2)①原式＝t1a－n 4ta5n°4＋5°ttaann 7755°°＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.
∴原式＝－ 3.
②设 α＝θ＋15°，
则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－ 3cos α
＝12sin
α＋
3 2 cos
α＋
3 2 cos
所以函数 y 的最大值为 5.
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【自主解答】 因为π4 <α<34π，所以π2 <π4 ＋α<π.
所以 sinπ4 ＋α＝ 1－cos2π4 ＋α＝45. 又因为 0<β<π4 ，34π<34π＋β<π，
所以 cos34π＋β＝－ 1－sin234π＋β＝－1123，
所以 sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sinπ4 ＋α＋3π 4 ＋β＝
(2)对任意
α，β∈R，tan(α＋β)＝1t－antaαn ＋αttaann
β β都成立．(
)
(3)tan(α＋β)＝1t－antaαn ＋αttaann
β β等价于
tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)·(1－tan
αtan β)．( )
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【解析】
(1)√.当 α＝0，β＝π3 时，tan(α＋β)＝tan0＋π3 ＝tan 0＋tan
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【解析】 (1)√.根据公式的推导过程可得．
(2)√.当 α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当 α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．
(4)√.因为 sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式 正确． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
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1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的 角不合题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角 函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
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[再练一题]
3．若把本例题的条件改为“α∈0，π2 ，β∈－π2 ，0，且 cos(α－β)＝35， sin β＝－102”，试求角 α 的大小．
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又 sin β＝ 1100，β为锐角，
∴cos β＝ 1－sin2β＝130 10.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝2 5 5×3 1010－
55×
1100＝
2 2.
又 α，β∈0，π2 ， ∴0<α＋β<π，
π 因此 α＋β＝ 4 .
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给值求角
已知 sin α＝ 55，sin β＝ 1100，且 α，β为锐角，求 α＋β 的值． 【精彩点拨】 sin α，sin β → 求cos α，cos β →
求cos（α＋β） → 确定α＋β的范围 → 求α＋β的值
【自主解答】 ∵sin α＝ 55，α为锐角， ∴cos α＝ 1－sin2α＝25 5.
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教材整理 3 两角和与差的正切公式
阅读教材 P129“探究”以下至“例 3”以上内容，完成下列问题．
名称 简记符号
公式
使用条件
两角和 的正切
两角差 的正切
T(α＋β) T(α－β)
tan α＋tan β α，β，α＋β≠kπ
tan(α＋β)＝1_－__ta_n__α__t_a_n__β_
－sinπ4 ＋αcos34π＋β＋cosπ4 ＋αsin3π 4 ＋β ＝－45×－1123＋－35×153＝6635.
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1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析 出已知角和待求角的关系．如本题中巧用 β＝(α＋β)－α 这一关系．
2．常见角的变换为
(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α； (2)α＋ 2 β＝α－2β－α2 －β， α－ 2 β＝α＋2β－α2 ＋β；
【解】 ∵α∈0，π2 ，β∈－π2 ，0，∴α－β∈(0，π)，
由 cos(α－β)＝35，知 sin(α－β)＝45.
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由 sin β＝－102，知 cos β＝7102. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－ 102＝
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(3)π4 ＋α＋π4 ＋β＝π2 ＋(α＋β)； (4)π4 ＋α＋π4 －β＝π2 ＋(α－β)．
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
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[再练一题]
2．已知 cos α＝－45，α∈π，3π 2 ，tan β＝－13，β∈π2 ，π，求 cos(α
＋β)． 【解】
因为 α∈π，3π 2 ，
1＋tan 12°tan 72°
(3) tan 12°－tan 72° .
【解】
(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos
45°＝
2 2.
(2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.
(3)原式＝1t＋ant1a2n°12－°ttaann7722°°＝－tan（72°1－12°）＝－
α，β∈R
cos(α＋β)＝ __c_o_s _α_c_o_s_β_－__s_in__α_s_in__β_________
α，β∈R
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cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________． 【解析】 逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 【答案】 0
α、β∈R α、β∈R
2.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝_____a_2＋__b_2___sin(x＋θ)(a，b 不同时为 0)，其中 cos θ
a
b
＝_____a_2＋__b_2___，sin θ＝______a_2＋__b2___．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
π 3，
但一般情况下不成立．
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是 α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)．
(3)√.当 α≠kπ＋π2 (k∈Z)，β≠kπ＋π2 (k∈Z)，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
时，由前一个式子两边同乘以 1－tan αtan β可得后一个式子．
【答案】 (1)√ (2)× (3)√