高中数学人教A版(课件)必修四 第三章 三角恒等变换 3.1.2
高中数学 必修四 课件：第三章 三角恒等变换
或asinα＋bcosα＝
a2＋b2·cos(α－φ)，其中tanφ＝ab.
第三章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[特别提醒] 化简的基本思想方法是统一角、统一三角 各个名称．
化简：2cos21θ＋＋3stainn2θθ－1－cos2θ3－＋45stainn2θθ－4
第三章 章末归纳总结
[分析] 利用β＝(α＋β)－α进行角的代换，则cosβ＝ cos[(α＋β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
第三章 章末归纳总结
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[解析] ∵α、 β均为锐角，∴0<α＋β<π. 又cos(α＋β)＝－1114 ∴sin(α＋β)＝ 1－－11142＝5143. 又tanα＝4 3 ∴sin2α＝sin2αsi＋n2cαos2α＝1＋tanta2nα2α＝4489. ∴sinα＝473，从而cosα＝ 1－sin2α＝17，
第三章 章末归纳总结
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专题一 三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
第三章 章末归纳总结
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若cos(
π 4
＋x)＝
3 5
，
17 12
π<x<
7 4
π，求
sin2x＋2sin2x 1－tanx
的
值．
[分析]
注意x＝(
π 4
＋x)－
π 4
，及2x＝2(
2014年人教A版必修四课件 3.2 简单的三角恒等变换
(三) 构造变换 补充例1. 已知 sina sin b 1 , cosa cos b 1 , 3 2 求 cos(a b) 的值.
解: 将已知两式分别平方得 sin 2 a sin 2 b 2sina sin b 1 , 9 cos2 a cos2 b 2cosa cos b 1 , 4 将两式相加得 , 22(sina sinbcosa cosb) 13 36 即 22cos(a b) 13 ,
于是可以根据第 (1) 题求证.
(二) 和差角公式的变换使用 例2. 求证: (1) sina cos b 1 [sin(a b ) sin(a b )]; 2 (2) sin sin 2sin cos . 2 2 a , b, (2) 证明: 令 2 2 则 a b , a b , 2sin cos 2sina cos b 2 2 sin(a b ) sin(a b ) ( (1)结论 ) sin s知 sina sin b 1 , cosa cos b 1 , 3 2 求 cos(a b) 的值. 分析: ∵cos(a b) sina sinbcosa cosb, 考虑需要的sina sinb 和cosa cosb从哪里来, 将已知中的两式分别平方就有了.
. 得 cos (a b) 59 72
36
(构造和 (差) 角形式)
(三) 构造变换 补充例2. 求证: cos 2a 1 tana . 1 sin2a 1 tana 分析: 等式的左边是二倍角, 右边是单角, 思想: 用二倍角公式化为单角,
问题: cos2a 化成哪一个? 不妨把右边切化弦观察, 1 sina 右边 cosa cosa sina , 1 sina cosa sina cosa 若分子乘以cosa sina 就得cos2a sin2a,
高中数学 第三章 三角恒等变换 3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式 新人教A版必修4
π 2
(k∈Z)，且
α≠kπ＋4π(k≠Z)．当α＝kπ＋π2时，求tan2α应使用诱导公式．请
读者自己寻求tan2α＝2tanα的条件．
3．使用二倍角公式应注意的问题
(1)对“二倍角”应该有广义上的理解，不仅局限于2α是α
的2倍．只要公式中等号左边的角是右边角的2倍，就可以使用
二倍角公式，如3α与
自 (1)2sinαcosα S2α 我 (2)cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α C2α
校
2tanα
对 (3)1－tan2α T2α
思考探究 上述公式如何推导得到？ 提示 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α即可 得到．
名师点拨 1.对“倍角”的理解 (1)本节所说的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍 角”等名词时，“三”字不能省略． (2)“倍”是描述两个数量关系的，2α是α的二倍，4α是2α 的二倍，α2是α4的二倍，这里蕴含着换元思想．
变式训练2 求下列各式的值：(1)cos215°－sin215°； (2)cos1π2cos152π；(3)sin150°＋cos530°.
解
(1)原式＝cos(2×15°)＝cos30°＝
3 2.
(2)原式＝cos1π2sin1π2＝12sin6π＝14.
(3)原式＝coss5in05°＋0°co3ss5i0n°50°
第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2．正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、 求值、证明.
人教版高中数学必修四教案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教材分析本节内容是数学4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第二课时，是在学习了差角的余弦公式的基础上，进一步对差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦和正切公式的探究.本节的六个公式是本章的重要内容，也是三角恒等变换的基础，对三角函数式的化简，求值、三角恒等式的证明等问题起着重要的支撑作用，同时，它又为后面学习倍角公式作铺垫.本节课的重点是公式的推导及公式的简单应用，难点是公式的记忆和灵活应用.通过公式的推导过程，揭示了公式间的联系，加深对公式的理解和记忆.教学中既要有意识地训练学生思维的有序性和对思维过程表述的准确性、简洁性，又要渗透转化、换元、分类讨论的数学思想，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.课时分配本节内容用1课时的时间完成，首先在两角差的余弦公式的基础上，引导学生自主探究得到两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并掌握公式的结构和变形形式.然后，通过例题运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的探究过程，公式结构及应用.难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的记忆和灵活应用.知识点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式.能力点：能以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式与同角三角函数关系式，推导出差角、和角的正弦、余弦和正切公式.教育点：经历公式的探究过程，注重知识间的联系，培养学生的探索精神，提高学生的推理能力和运算能力.自主探究点：以两角差的余弦公式为基础，探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的推导方法. 考试点：灵活使用差角、和角的公式进行三角函数式的化简、求值和恒等变形.易错易混点：使用公式时，学生容易在分析角的范围上出错.拓展点：如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式. 教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、 引入新课师：同学们，上节课我们学习了差角的余弦公式，请大家首先回顾一下这个公式的形式是怎样的. 生：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. ——同名积，符号反师：由于公式()cos αβ-只可以用来解决与差角的余弦相关的三角变换问题，因而在应用中有很大的局限性，遇到差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦、正切时，公式()cos αβ-就不能直接应用了，因此，我们有必要将公式()cos αβ-作进一步拓广，希望得到两角和与差的三角系列公式.这节课我们就来探究差角的正弦、正切公式及和角的正弦、余弦、正切公式.【设计意图】从熟悉的差角余弦公式出发，让学生意识到进一步探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的意义，是对旧知的扩展，进而引出本节课题，自然流畅.二、探究新知探究一：探究公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.问题：由公式()C αβ-出发，如何推导公式：()cos ?αβ+=【师生活动】师：引导学生从两个方面展开联想：①函数名称的联系；②角的联系，αβ+与αβ-之间的联系.重点指出，要想利用差角的公式得到和角的公式，如果从形式上能将和角变成差角的形式，那就近了一步.生：自主思考，一般得出：①将αβ+转化为()αβ--；②在公式()cos αβ-中，以β-代β. 师生：利用换元的思想推导出()C αβ+，并进一步理解公式间的联系，共同分析对比()C αβ-与()C αβ+两公式的结构形式.()()cos cos cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 即()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ——同名积，符号反【设计意图】让学生参与公式的探究过程，加深理解公式间的联系，有利于公式的记忆，培养学生换元的数学思想.探究二：探究公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.问题：在公式()C αβ-与()C αβ+的基础上，怎样推导()sin ?αβ+=与()sin ?αβ-=【师生活动】师：我们的目标是求两角和与差的正弦公式，而我们已经知道了相应的余弦公式，那么，一个自然的想法是什么？就是利用余弦公式求正弦公式.如何把()sin αβ+改写成余弦？生：自主探究，从原有知识结构中提取正弦与余弦的关系，将公式推导出来.()()sin cos cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+即()S αβ+：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+. ——异名积，符号同以β-代β得()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. ——异名积，符号同师生：共同整理推导过程，让学生认识到解决问题的关键是应用诱导公式把正弦化为余弦，体会转化与化归思想方法在解决问题中的重要性，并进一步分析所得公式的结构形式与()C αβ-、()C αβ+的区别.【设计意图】结合旧知，探究新知，既巩固已学知识，又加深理解公式间的联系，同时有利于公式的记忆，培养学生转化与化归的数学思想.探究三：探究公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 问题：怎样用,αβ的正切表示()tan αβ+、()tan αβ-呢？【师生活动】师：由两角和与差的正弦、余弦公式如何探究两角和与差的正切公式？以和角为例，请自主探究.生：自主探究.一般能从同角三角函数的关系式出发进行探究，教师可作个别指导.但是，多数学生可能只是将和角的正弦、余弦公式代入展开而不去化简.()()()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos sin sin αβααβαβααβααβαβαβ++=→+==+- 师：上述公式是用单角的正、余弦表示和角的正切，那么，通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？引导学生观察思考，当cos cos 0αβ≠时，分式的分子、分母同时除以cos cos αβ，得出和角的正切公式()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 师：进一步提出引申思考的问题：在上述公式的推导过程中，角,αβ有什么条件要求吗？除此之外，公式本身还有什么限制吗？生：自主思考，可以得出α、β、αβ+都不等于()2k k Z ππ+∈.师生：指明公式成立的条件，使公式完整.进一步让学生类比思考差角的正切公式的推导，自主得出差角公式，并与和角公式比较，分析结构，帮助记忆.差角的正切公式()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+. 【设计意图】让学生经历探究公式的过程，变老师教为学生学，突出学习的主体地位，有利于理解和掌握新知，训练学生动手动脑相结合的学习习惯.师：依据以上公式的推导过程，请思考差角、和角的6个公式之间有怎样的内在联系？【师生活动】生：自主分析，找出公式间的逻辑关系.师生：在学生自主探究的基础上，师生共同总结公式之间的紧密逻辑关系，并用框图形式表示出来.【设计意图】及时梳理知识，完善知识体系.整体把握公式间的逻辑关系，巩固对公式的理解与掌握，为下一步公式的灵活使用打好基础.三、理解新知公式的结构特点：()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m . ——同名积，符号反()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±. ——异名积，符号同()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 注意：,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 【设计意图】准确把握三组公式，为公式的灵活使用打好基础.四、运用新知例1．已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 分析：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=，求cos α，进而求tan α，再代入公式求值即可. 解：由3sin 5α=-，α是第四象限角，得4cos 5α===， 所以 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- . 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 在本题中sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与 cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭两结果一样，那么，对于任意角α，此等式成立吗？我们能否用第一章的知识证明？变式：如果本例中的条件“α是第四象限角”去掉，结果怎样表述呢？【设计意图】训练学生的解题能力，发现不同题目解题过程的区别与联系.变式中对求解过程的表述上会有更高的要求，培养学生分类讨论的思想方法.巩固练习：（1）已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求sin()αβ+和sin()αβ-的值.（2）已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=，求cos β的值. 答案：（1）3365，6365-； （2. 例2．利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-o o o o；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-o o o o ； （3）1tan151tan15+-oo． 分析：本题的关键在于观察分析待化简求值的三角式的结构特征，再联想具有此特征的有关公式，经过适当变形，再顺用或逆用公式解决.解：（1）由公式()S αβ-，得：()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==o o o o o o o ； （2）由公式()C αβ+，得：()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）由公式()T αβ+及tan 451=o，得：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o o o o o o o o ． 巩固练习：（1）cos 44sin14sin 44cos14-o o o o；（2）sin(54)cos(36)cos(54)sin(36)x x x x -++-+o o o o ；（3答案：（1）12-. （2）1. （3）1-. 例3．已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求sin()4πα+的值. 分析：注意到已知角与待求角之间的关系：()()44ππααββ+=+--，从而把待求角转化为已知角的差的形式，再利用差角的正弦公式求解. 解：3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， 3(,2)2παβπ∴+∈，3(,)424πππβ-∈. 3sin()5αβ+=-Q ， 4cos()5αβ∴+=. 12sin()413πβ-=Q ， 5cos()413πβ∴-=-. sin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()4444ππππααββαββαββ∴+=+--=+-++-3541263()()51351365=-⨯-+⨯=.巩固练习：（1）已知sin α=，sin()αβ-=，,αβ均为锐角，求sin β的值.答案：2. 【设计意图】使学生掌握把待求角转化为已知角的和与差的形式的变化技巧.让学生在精析精练中，突破重点、难点，体会公式的灵活应用，从而巩固新知，提高能力.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？主要涉及到哪些数学思想方法？1.知识：①()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m .()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 其中,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 2．思想：转化与化归思想，特殊与一般思想，分类讨论思想.【设计意图】师生共同回忆所学内容，发挥学生学习的主体性，帮助学生记忆公式，梳理知识，培养良好的学习方法.六、布置作业1.阅读教材 P128-131；2.书面作业：必做题：P137 习题3.1 A 组7,8，9，10.选做题：（1）已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求()sin αβ+的值.（2）已知sin α=，sin()αβ-=,αβ均为锐角，求αβ+的值.3．课外思考：化简：（1）1cos 2x x ；（2）sin cos x x -；（3x x ； （4）sin cos a x b x +.【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，准确掌握6个公式后，再做作业.书面作业的布置，是为了训练学生使用差角、和角公式，解决简单的数学问题，在公式的应用中，加深对公式的理解和掌握.课外思考题的设计是为了引导学生探究如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +的式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式.七、教后反思1.本教案的亮点：从学生熟悉的两角差的余弦公式出发，以旧引新，符合学生的认知规律，加强知识间的联系，结构自然顺畅.例题与习题设计恰当，突出本节课的三个知识点(三组公式)，主要选择基础题目，并安排了适当量的随堂练习，帮助学生总结解题方法和技巧，及时巩固新知.2.本节课公式较多，公式的推导、记忆与应用，都用时较多，各校学生基础不同，建议教师对巩固练习题目灵活掌握，但一定要在公式的推导上留给学生足够的时间.3.本节课的弱项：本节课容量较大，课堂上有限的时间不易照顾到对公式的全面应用，有关公式的灵活、变形使用还有待于在后续课堂上加强.八、板书设计。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修
2
sin
2
2
cos2 sin2
=2
2=
cos
=右边.
1 2cos sin 1 sin
22
所以 tan( π - )= cos . 4 2 1 sin
题型四 易错辨析 [例 4] 化简: 1 sin - 1 sin (θ∈(0,π)).
错解:原式= sin2 cos2 +2sin cos - sin2 cos2 2sin cos
2
= 1 (cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B) 2
=cos 2Acos 2B=右边,所以等式成立.
(2)cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ.
证明:(2)法一 左边=cos2θ(1- sin2 ) cos2
=cos2θ-sin2θ=cos 2θ=右边. 法二 右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ =cos2θ(1- sin2 )=cos2θ(1-tan2θ)=左边.
1 tan2 π
解:原式= 12 =-2·
12 =-2×
1
tan π
2 tan π
tan π
12
12
6
= 2 =-2 3 . 3 3
题型二 利用二倍角公式给值求值
[例 2] 已知 sin( π -x)= 5 ,0<x< π ,求 cos2x 的值.
4 13
4
cos
π 4
x
解:因为 0<x< π ,所以 π -x∈(0, π ).
cos 2
名师点津
对二倍角公式的理解 (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义.
高中数学必修四 第三章三角恒等变换 3.2.1三角恒等变换
<
0.
∴tan
������ 2
=
−
1-cos������ 1+cos������
=
−
1-
3 3
1+
3 3
=
−
2-
3
=−
1 2
8-4
3
=
−
1 2
( 6- 2)2 =
22
6.
解法二:
用
tan
������ 2
=
1-cos������ sin������
来处理
∵α 为第四象限角,∴sin α<0.
∴sin α=−
(2)y=sin
x(cos
x-sin
x)+
1 2
=sin
xcos
x-sin2x+
1 2
=
1 2
sin
2x−
1-cos2������ 2
+
1 2
=
1 2
sin
2x+
1 2
cos
2x−
1 2
+
1 2
22
2
= 2 2 sin2������ + 2 cos2������
2
π
= 2 sin 2������ + 4 .
������ 2
的值为
()
A.
6 3
B.
−
6 3
C.
±
6 3
D.
±
3 3
解析:∵α∈(0,π),∴
������ 2
∈
0,
π 2
,
∴cos
������ 2
人教A版高中数学必修4课件：3-1-2-2两角和与差的正切公式
和的正切形式．(2)可以直接利用公式的变形，口答得 出结果，若在选择填空中，可以套入结论处理．
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第三章·3.1·3.1.2·
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【解】
1＋tan15° tan45° ＋tan15° (1) ＝ 1－tan15° 1－tan15° tan45°
＝tan(45° ＋15° )＝tan60° ＝ 3. tanα＋tanβ (2)由tan(α＋β)＝ 的变形 1－tanαtanβ tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)得： tan10° ＋tan35° ＝tan45° (1－tan10° tan35° ) ＝1－tan10° tan35° ， 所以tan10° ＋tan35° ＋tan10° tan35° ＝1.
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重点难点
重点：记住并会应用两角和与差的正切公式； 难点：灵活运用公式进行求值、化简、证明.
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预习篇01
新知导学
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第三章·3.1·3.1.2·
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第三章·3.1·3.1.2·
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3－tan105° tan60° －tan105° 解析：(1) ＝ ＝tan(－45° ) tan105° 1＋ 3tan105° 1＋tan60° ＝－1. tanα＋tanβ π (2)∵α＋β＝3，∴tan(α＋β)＝ ＝ 3， 1－tanαtanβ ∴tanα＋tanβ＋ 3tanαtanβ＝ 3， ∴tanα＋ 3tanαtanβ＋ 3c ＝ 3－tanβ＋ 3c＝0， ∴tanβ＝ 3(c＋1)．
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两
3.1.2 两角和与差的正弦21．两角和与差的正弦公式两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(Sα＋β)两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(Sα－β)【自主测试1－1】sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°的值是( )A．－12B．12C．32D．－32答案：A【自主测试1－2】sin 105°＝________.答案：6＋242．旋转变换公式已知点P(x，y)，与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到点P′(x′，y′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x cos θ－y sin θ，y′＝x sin θ＋y cos θ.【自主测试2－1】已知点M(－1,6)，与坐标原点保持距离不变，按顺时针旋转90°得到点M′的坐标为________．答案：(6,1)【自主测试2－2】已知向量OBuuu r＝(1,3)，绕原点按逆时针旋转60°得到向量'OBu u u u r的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫1－332，3＋323．辅助角公式形如a sin x＋b cos x(a，b不同时为0)的式子可以化为一个三角函数式．即a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cos φ＝aa2＋b2，sin φ＝ba2＋b2.【自主测试3－1】函数y＝sin x＋cos x的最小正周期是( )A．π2B．π C．2π D．4π解析：∵y＝sin x＋cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x＋22cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ4sin x＋sinπ4cos x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4，∴最小正周期为T ＝2π1＝2π.答案：C【自主测试3－2】已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝( ) A ．45 B ．－45 C ．35 D ．－35 答案：D1．对两角和与差的正弦公式的正确理解 剖析：(1)公式中的α，β均为任意角． (2)与两角和与差的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sinβ.(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如sin(2π－α)＝sin 2πcos α－cos 2πsin α＝0×cos α－1×sin α＝－sin α，当α或β中有一个角是π2的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便． (4)使用任何一个公式都要注意它的逆向、多向变换，还要掌握整体思想等，这是灵活使用公式的前提，特别是三角函数公式．如化简sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而是采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α，这也体现了数学中的整体原则．(5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数的积，连接符号与左边的连接符号相同．归纳总结两角和与差的正、余弦公式虽然形式、结构不同．但它们的本质是相同的：cos(α＋β)cos(α－β)sin(α＋β),sin(α－β)，所以在理解公式的基础上，只要记住中心公式cos(α＋β)的由来及其表达方式就可掌握其他三个公式了．这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会．2．解读辅助角公式剖析：(1)a sin x ＋b cos x (a ，b 不同时为0)中的角x 必须为同一个角，否则不成立． (2)通过化单角(x )为复角(x ＋θ)，达到减少函数名称，合二为一的目的．最终化为一个(复)角的一种三角函数，有利于进一步研究相关性质．(3)化简的形式不唯一． 由于选用的辅助角不一样，所以化简的结果也会不相同，这实际上是由化简过程中采用的公式决定的．如f (x )＝3sin x ＋cos x 可以写成f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6还可以写成f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.3．有关三角函数的最值问题的求法剖析：一般地，三角函数的求最值问题可归结为以下几种情况： (1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，利用sin α的值域求最值；(2)形如y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d的函数，可通过数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率，确定斜率的最值即可；(3)可化为形如y ＝a (sin x －b )2＋c 或y ＝a (cos x －b )2＋c 的函数，利用换元法转化为二次函数在特定区间上的最值问题；(4)求形如f (x )＝a sin x ＋b cos x (ab ≠0)的函数的最值，通常化归为求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 的最值．题型一 利用两角和与差的正弦公式求值【例题1】已知cos φ＝45，在下列情况下，分别求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ的值． (1)φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；(2)φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. 分析：在已知cos φ＝45和φ的取值范围的前提下，要求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，只需把sin φ求出再应用公式即可得出．解：(1)∵cos φ＝45，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin φ＝1－cos 2φ＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝sin π3cos φ－cos π3sin φ＝32×45－12×35＝43－310. (2)∵cos φ＝45，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， ∴sin φ＝－1－cos 2φ＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝sin π3cos φ－cos π3sin φ＝32×45－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝43＋310. 反思在cos φ已知的前提下，sin φ要根据φ的取值范围才能唯一确定．如果φ不能确定，则一定要分情况讨论．题型二 三角函数式的化简【例题2】化简：sin A ＋2Bsin B－2cos(A ＋B )．分析：解答本题若用两角和与差的正余弦公式展开，则计算复杂．对题中各角之间的关系进行分析后，我们选定(A ＋B )和B 作为基本量，则有A ＋2B ＝(A ＋B )＋B ，抓住了这些关系后，再恰当地运用公式，问题便不难解决了．解：原式＝sin[A ＋B ＋B ]－2cos A ＋B sin Bsin B＝sin A ＋B cos B －cos A ＋B sin B sin B＝sin[A ＋B －B ]sin B ＝sin A sin B.反思在做三角函数题时，角度变换是三角恒等变换的首选方法，但具体怎样来变换，我们主要是分析它们之间的关系，以便通过角度变换，减少不同角的个数．这其中，寻找一个或几个基本量是快速定位这类题目解法的关键．题型三 公式在三角形中的应用【例题3】在△ABC 中，若sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C ．分析：借助C ＝π－A －B 转化，再利用公式求解．解：∵cos B ＝513，∴B 为锐角，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1213.∵sin A ＝35，0＜A ＜π，∴当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝45，此时cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665，当A 为钝角时，sin A ＝35＜32，∴A ＞120°.又∵cos B ＝513＜12，∴B ＞60°，∴A ＋B ＞180°与三角形内角和等于180°矛盾．∴cos C ＝1665.反思解决与三角形有关的问题时要注意： (1)三角形的内角和等于180°；(2)创设条件使之能运用两角和与两角差的三角函数公式； (3)常用结论：A ＋B ＋C ＝180°，sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan(A ＋B )＝－tan C ．〖互动探究〗若把本例中的“cos B ”改为“sin B ”，结果又如何？解：∵sin A ＝35，0＜A ＜π，∴当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝45.∵sin B ＝513＜35＝sin A ，∴B 为锐角，∴cos B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝35×513－45×1213＝－3365， 当A 为钝角时，cos A ＝－45，cos B ＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝35×513－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×1213＝6365.题型四 辅助角公式的应用【例题4】已知函数f (x )＝sin x －3cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期与值域；(2)求f (x )的单调递增区间．分析：解答本题时，可把a sin x ＋b cos x 化简成a 2＋b 2sin(x ＋θ)的形式求解．解：f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3－cos x sin π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈R . (1)T ＝2π1＝2π，f (x )的值域为[－2,2]．(2)由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 反思研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数的性质，都要先把其化为整体角的正弦函数形式或余弦函数形式，方法是提取a 2＋b 2，逆用公式S α±β，C α±β，特别注意角的范围对三角函数值的影响．题型五 易错辨析 【例题5】已知向量MN u u u u r＝(3，－1)，将此向量绕其始点，顺时针旋转30°后所得向量MN ′→的坐标为________．错解：由旋转变换公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x cos 30°－y sin 30°，y ′＝x sin 30°＋y cos 30°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝33＋12，y ′＝3－32，所以MN ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋12，3－32.错因分析：没有考虑到是顺时针旋转30°，在代入公式时，角的度数为－30°. 正解：由旋转变换公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3cos －30°－－1sin －30°，y ′＝3sin －30°＋－1cos －30°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝33－12，y ′＝－3＋32，所以MN ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－12，－3＋32.1．(2012·山东邹城质检)sin 75°cos 30°－cos 75°sin 30°的值为( )A ．1B ．12C ．22D ．32答案：C2．已知sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝13，则tan α∶tan β＝( )A ．－17B ．17C ．－7D ．7解析：由sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝13，得sin αcos β＋cos αsin β＝14，①sin αcos β－cos αsin β＝13.②由①＋②，得2sin αcos β＝712.③由①－②，得2cos αsin β＝－112.④故由③④，得tan αtan β＝－7.答案：C3．(2012·山东鱼台期末)在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案：C4．sin α＋30°－sin α－30°cos α＝________.解析：sin α＋30°－sin α－30°cos α＝sin αc os 30°＋cos αsin 30°－sin αcos 30°－cos αsin 30°cos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1.答案：15．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.解析：3sin x －3cos x ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝23(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝23sin(x ＋φ)，∴cos φ＝32，sin φ＝－12.又φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π66．是否存在x 使得函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)存在最小值？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由．解：∵x ＋40°＝(x ＋10°)＋30°，∴y ＝sin(x ＋10°)＋cos[(x ＋10°)＋30°]＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋10°)cos 30°－sin(x ＋10°)sin 30° ＝12sin(x ＋10°)＋cos 30°cos(x ＋10°) ＝sin 30°sin(x ＋10°)＋cos 30°cos(x ＋10°) ＝cos(x ＋10°－30°)＝cos(x －20°)．∵－1≤cos(x －20°)≤1，∴函数的值域为[－1,1]， ∴当y min ＝－1时，x －20°＝k ·360°＋180°，k ∈Z ， 此时，x ＝k ·360°＋200°，k ∈Z .。
高中数学 必修四 课件：3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
正切
2tanα tan2α＝ 1－tan2α
简记 S(α＋β) S2α C(α＋β) C2α
T(α＋β) T2α
第三章 3.1 3.1.3
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[总结]对倍角公式的理解： ①成立的条件：在公式S2α，C2α中，角α可以为任意角， T2α则只有当α≠k2π＋π4(k∈Z)时才成立． ②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的 二倍、α是α2的二倍、3α是32α的二倍等等都是适用的．
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第三章
三角恒等变换
第三章 三角恒等变换
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第三章
3. 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三章 三角恒等变换
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第三章
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
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[解析] 原式＝csoins7700°°·cos10°( c3ossi2n02°0°－1)
＝ 3cos10°－cos10°·csoins7700°°
＝ 3cos10°－2csoisn1100°°··ccooss2100°°
＝
3sin20°－cos20° 2sin10°
第三章 3.1 3.1.3
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[解析] (1)因为a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx ＋cosx)，
所以f(x)＝1＋sin2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝ 2 sin(2x－4π)＋1.
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教版必修4
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝sin26 ＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.
所以
cos2α＋π4
＝
22－2245－275＝－3150
2 .
类型三 给值求角问题 【例 3】 已知 tan α ＝13，tan β ＝－17，且 α，β ∈(0，π )，
求 2α－β 的值. 解 ∵tan α ＝13>0，
∴α ∈0，π2 ，2α ∈(0，π )， ∴tan 2α ＝12－tatnanα2α ＝1－2×13132＝34>0，
系.特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符
号.
【训练 2】已知 cosα
＋π4 ＝35，π2 ≤α
3π <2
，求 cos2α
＋π4
的值.
解
∵π2
≤α
3π <2
，∴3π4
≤α
＋π4
7π <4
，于是可由 cosα
＋π4
＝35得到 sinα ＋π4 ＝－45.即 22cos α － 22sin α ＝35，
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
123 45
解析答案
2.化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A.2 2sinπ6＋x
B.2 2cosπ6－x
C.2 2sinπ3－x
D.2 2cosπ3＋x
解析
2cos x－
6sin x＝2
212cos
x－
3 2 sin
123 45
解析答案
123 45
5.已知
α，β
9
均为锐角，且
sin
α＝35，tan(α－β)＝－13，则
sin(α－β)＝
－
10 10
，
cos β＝
50
10
.
解析 ∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，
∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－ 1100，cos(α－β)＝31010.
达标检测
1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( B )
A.－
3 2
B.－12
1
3
C.2
D. 2
解析 原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°
必修四-第三章-三角恒等变换
必修四 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式 一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、教学设想：（一）导入：问题1：我们在初中时就知道2cos 452=，3cos 302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示。
思考1：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ （2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- （三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=+=-=⨯-⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===- 又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：本题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解:︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒=2．教材P127面1、2、3、4题（五）小结α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用. （1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系． （六）作业：《习案》作业二十九3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一） 一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、教学设想： （一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）cos sin =α？（二）新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？ 探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈5、将)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差角公式。
2017-2018学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两角和与差的正弦课件 新人教B版必修4
=
1 2
+
1-
3 2
sin x+
3 2
-
3+
3 2
cos x=0.
(2)原式=sin[(������+������)+������s]i-n2���c���os(������+������)sin������ =sin(������+������)coss���i���n-c���o��� s(������+������)sin������ =sin[(s������in+������������)-������] = ssiinn������������.
������
+
π 3
=
.
答案:4-130 3
4.sin(������+30°co)s-s������in(������-30°)=
.
解析:sin(������+30°co)s-s������in(������-30°) =sin������cos30°+cos������sin30°co-s(s������in������cos30°-cos������sin30°) =2cos���c���ossin������30°=2sin 30°=1.
3.1.2 两角和与差的正弦
课标阐释
思维脉络
1.掌握两角和与差的正弦公式. 2.能运用两角和与差的正弦公式化简、求值、 证明.
两角和与差的正弦公式
【问题思考】
1.(1)计算sin 15°的值.
(2)试用sin α,cos α,sin β,cos β表示sin(α+β)和sin(α-β).
提示:(1)sin 15°=cos 75°=cos(45°+30°)=
第三章 简单的三角恒等变换
2
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1 π α 2．已知 cosα＝－ ， <α<π，则 sin 等于( 5 2 2 10 10 15 A．－ B. C．－ 5 5 5 π π α π 解析：∵ <α<π，∴ < < ， 2 4 2 2
) 15 D. 5
α 则 sin ＝ 2
1－cosα 15 ＝ ，故选 D. 2 5
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3π 解：∵ <α<2π， 2 ∴原式＝ ＝ 1 1 ＋ 2 2 1＋cos2α ＝ 2 1 1 ＋ cosα 2 2
1 1 1 10 ＋ × ＝ . 2 2 4 4
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温馨提示：含根式的三角函数式的化简求值问题，一般 先利用升幂公式进行化简，解题过程中可重复使用公式 1＋cos2α 1－cos2α 2 ＝cos α 和 ＝sin2α，达到脱掉根号的目的， 2 2 这是解决此类问题的常规思路．
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规 律 归 纳 依据题中的函数形式，正确转化为辅助角公式的形式， 是一种化简方法，也为解决复杂三角函数解析式的有关性质 问题提供了一个解题方向．
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2 2.
又 α∈0，π2 ，∴α＝π4 .
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[探究共研型]
辅助角公式的应用
探究 1 函数 y＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为 2 对吗？为什么？ 【提示】 不对．因为 sin x＋cos x
＝
2
2 2 sin
x＋
2 2
cos x
＝
2sin x·cos
π 4 ＋cos x·sin
30°＝(
)
A．－
3 2
C．12
B．－12
D．
3 2
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(2)化简求值： ①11＋－tatann7755°°； ②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°)； ③(2016·遵义四中期末)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40°. 【精彩点拨】 (1)化简求值应注意公式的逆用． (2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
α、β∈R α、β∈R
2.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝_____a_2＋__b_2___sin(x＋θ)(a，b 不同时为 0)，其中 cos θ
a
b
＝_____a_2＋__b_2___，sin θ＝______a_2＋__b2___．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
cos α＝－45，所以 sin α＝－35.
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因为 β∈π2 ，π，tan β＝－13，
所以 cos
β＝－3 1010，sin
β＝
10 10 .
所以 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝－45×－3 1010－－35×
1100＝3
10 10 .
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【自主解答】 因为π4 <α<34π，所以π2 <π4 ＋α<π.
所以 sinπ4 ＋α＝ 1－cos2π4 ＋α＝45. 又因为 0<β<π4 ，34π<34π＋β<π，
所以 cos34π＋β＝－ 1－sin234π＋β＝－1123，
所以 sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sinπ4 ＋α＋3π 4 ＋β＝
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[基础·初探]
教材整理 1 两角和与差的余弦公式
阅读教材 P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.
名称 简记符号
公式
使用条件
两角差的 余弦公式 两角和的 余弦公式
C(α－β) C(α＋β)
cos(α－β)＝ ___c_o_s_α_c_o_s__β_＋__si_n_α_s_i_n_β________
π 3，
但一般情况下不成立．
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是 α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)．
(3)√.当 α≠kπ＋π2 (k∈Z)，β≠kπ＋π2 (k∈Z)，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
时，由前一个式子两边同乘以 1－tan αtan β可得后一个式子．
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
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又 sin β＝ 1100，β为锐角，
∴cos β＝ 1－sin2β＝130 10.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝2 5 5×3 1010－
55×
1100＝
2 2.
又 α，β∈0，π2 ， ∴0<α＋β<π，
π 因此 α＋β＝ 4 .
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3 3.
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给值求值
(2016·普宁高一检测)已知π4 <α<3π 4 ，0<β<π4 ，cosπ4 ＋α＝－35，
sin34π＋β＝153，求 sin(α＋β)的值.
导学号：00680069】
【精彩点拨】 可先考虑拆角，π＋α＋β＝34π＋β＋π4 ＋α，然后再利
用 sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)求值．
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【解析】 (1)√.根据公式的推导过程可得．
(2)√.当 α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当 α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．
(4)√.因为 sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式 正确． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
π 4
＝ 2sinx＋π4 .
所以函数的最大值为 2.
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探究 2 函数 y＝3sin x＋4cos x 的最大值等于多少？
【提示】
因为
y＝3sin
x＋4cos
x＝535sin
x＋45cos
x，
令 cos φ＝35，sin φ＝45，
则 y＝5(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝5sin(x＋φ)，
π ＋ 2 (k∈Z)
且 tan
α·tan β≠1
α，β，α－β≠kπ
tan α－tan β tan(α－β)＝1_＋__t_a_n__α__ta_n__β_
π ＋ 2 (k∈Z)
且 tan
α·tan β≠－1
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )
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(3)π4 ＋α＋π4 ＋β＝π2 ＋(α＋β)； (4)π4 ＋α＋π4 －β＝π2 ＋(α－β)．
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[再练一题]
2．已知 cos α＝－45，α∈π，3π 2 ，tan β＝－13，β∈π2 ，π，求 cos(α
＋β)． 【解】
因为 α∈π，3π 2 ，
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给值求角
已知 sin α＝ 55，sin β＝ 1100，且 α，β为锐角，求 α＋β 的值． 【精彩点拨】 sin α，sin β → 求cos α，cos β →
求cos（α＋β） → 确定α＋β的范围 → 求α＋β的值
【自主解答】 ∵sin α＝ 55，α为锐角， ∴cos α＝ 1－sin2α＝25 5.
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教材整理 2 两角和与差的正弦公式
阅读教材 P128“探究”以下内容，完成下列问题． 1．公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦 两角差的正弦
S(α＋β) S(α－β)
sin(α＋β)＝ _s_i_n_α_c_o_s_β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β___
sin(α－β)＝ _s_i_n_α_c_o_s_β_－__c_o_s_α_s_i_n_β______
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【自主解答】
sin 47°－sin 17°cos 30°
(1)
cos 17°
＝sin（17°＋30°c）os－17s°in 17°cos 30°
＝sin
17°cos
30°＋cos 17°sin cos 17°
30°－sin
17°cos
30°
＝cos 1c7o°s 1s7in°30°＝sin 30°＝12.
【解】 ∵α∈0，π2 ，β∈－π2 ，0，∴α－β∈(0，π)，
由 cos(α－β)＝35，知 sin(α－β)＝45.
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由 sin β＝－102，知 cos β＝7102. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－ 102＝
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1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的 角不合题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角 函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
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[再练一题]
3．若把本例题的条件改为“α∈0，π2 ，β∈－π2 ，0，且 cos(α－β)＝35， sin β＝－102”，试求角 α 的大小．
α－12sin
α－
3cos α＝0.
∴原式＝0.
③原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋ 3tan 20°·tan 40°＝ 3.
∴原式＝ 3.
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1．公式 T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有 tan α·tan β，tan α＋tan β(或 tan α－tan β)，tan(α＋β)(或 tan(α－β))．三者知二可表示出或
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【答案】 C
(2)①原式＝t1a－n 4ta5n°4＋5°ttaann 7755°°＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.
∴原式＝－ 3.
②设 α＝θ＋15°，
则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－ 3cos α
＝12sin
α＋
3 2 cos
α＋
3 2 cos
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