中职数学直线和圆的方程

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中职数学第八章直线方程和圆知识点

中职数学第八章直线方程和圆知识点直线方程和圆1.两点间距离公式：设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则AB的长度为AB = √[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

当x1=x2时，AB = |y2-y1|。

当y1=y2时，AB = |x2-x1|。

2.中点坐标：设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则线段AB的中点M的坐标为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]。

当x1≠x2时，M的纵坐标为(y2-y1)/(x2-x1)×(x-x1)+y1.3.直线的倾斜角和斜率：直线的倾斜角α∈[0,π)。

直线的斜率k=tanα (α≠π/2)。

当α=30°时，k=√3/3；当α=45°时，k=1；当α=60°时，k=√3；当α=120°时，k=-√3；当α=150°时，k=-√3/3.4.直线方程：点斜式：设直线过点A(x1,y1)，斜率为k，则直线的点斜式方程为y-y1=k(x-x1)。

斜截式：设直线与y轴交点为b，则直线的斜截式方程为y=kx+b。

两点式：设直线过点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，则直线的两点式方程为(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)。

截距式：设直线与x轴和y轴的截距分别为a和b，则直线的截距式方程为x/a+y/b=1 (a≠0,b≠0)。

一般式：设直线的一般式方程为Ax+By+c=0 (A和B不同时为0)。

5.两直线的位置关系：当两直线斜率都不存在时，若它们的截距不相等，则两直线平行；若它们的截距相等，则两直线重合。

当两直线斜率都存在时，若它们的斜率相等且截距不相等，则两直线平行；若它们的斜率相等且截距相等，则两直线重合；若它们的斜率乘积为-1，则两直线垂直。

当一条直线斜率不存在时，另一条直线斜率存在且不为0时，它们不可能平行或垂直。

当两直线斜率都存在且不为0时，若它们的斜率不相等，则它们相交，且夹角为arctan|k1-k2|；若它们的斜率相等且截距不相等，则它们平行；若它们的斜率相等且截距相等，则它们重合。

中职数学基础模块下册第六章直线的方程教学设计课件

(2)已知点A(1,-3),B(-3,5),则直线AB的斜率k= 2 .
(3)过点P(-2,0)且斜率为2的直线方程为 2x y 4 0 .
(4)已知过点M(4,-3)且垂直于x轴的直线方程为 x 4 .
(5)直线x-2y+10=0的斜率和纵截距分别为 ( D )
A. 2,5
B.2, 5
C. 1 ,5 2
A. 1 , 1 3
B. 1 ,1 3
C. 1 ,1 3
D. 1 , 1 3
【考试意图】考查直线方程的几种形式, 给定直线的一般形式
能写出斜率和纵截距.
【答案】 A
【解题指南】可将直线化为斜截式y 1 x 1可求得, 3
也可根据斜率k A ,纵截距b C , 代入求得.
B
B
(4)过点P(1,-3)且斜率为 1 的直线方程为 ( )
7.掌握两条相交直线的交点坐标的求解. 8.掌握两条直线平行、垂直的条件. 9.了解点到直线的距离公式. 10.掌握圆的标准方程. 11.理解圆的一般方程. 12.了解直线和圆的三种位置关系,会判断直线与圆的位置关系. 13.初步掌握直线与圆相交时弦长的求法,会求过圆上一点圆的切线方程.
第一单元直线的方程
D. 3 ,3 2
9.斜率为 1,且在y轴上的截距为1的直线方程为 3
【达标训练1】 (直线与直线的方程)
一、选择题
1.已知点A(3,-2),B(-1,6),则AB的中点坐标为
A.(1,2)
B.(1,-4)
C.(-2,4)
(A) D.(2,-4)
2.已知点A(1,0),B(5,3),则线段AB的长度为 ( B )
A. 5
B.5
C.25

中职数学基础模块下册第八章直线和圆的方程单元测试卷含参考答案

中职数学基础模块下册第八章直线和圆的方程单元测试卷含参考答案一、选择题：（每题3分，共30分）1.已知点M(2，-3)、N(-4，5)，则线段MN 的中点坐标是（）A ．（3,-4)B ．（-3,4)C ．(1,-1) D.（－1,1)2.直线过点A( -1，3)、B(2，-2)，则直线的斜率为( )A ．－53B ．－35C ． -1 D. 13.下列点在直线2x-3y-6=0上的是( )A.(2，-1)B. (0,2)C. (3,0)D.(6,-2)4．已知点A(2，5)，B(-1，1)，则|AB |＝( )A ．5B ．4 C. 3 D ．175．直线x+y+1＝0的倾斜角为( )A. 45º B ，90º C ．135º D ．180º6.直线2x+3y+6=0在y 轴上的截距为( )．A ．3B ．2C ．-3D ．-27．经过点P(-2，3)，倾斜角为45º的直线方程为( )A. x+y+5=0B.x-y+5=0C ．x-y-5=0 D. x+y-5=08.如果两条不重合直线1l 、2l 的斜率都不存在，那么( )A ．1l 与2l 重合B ．1l 与2l 相交C ．1l //2l D.无法判定9.已知直线y= -2x-5与直线y=ax-4垂直，则a ＝( )A ．-2B ． -21C ．2D ．2110.下列直线与3x-2y+5=0垂直的是( )；A ． 2x-3y-4=0B ．2x+3y-4=0 C.3x+2y-7=0 D ．6x-4y+8=011．直线2x-y+4=0与直线x-y+5＝0的交点坐标为( )．A ．(1，6)B ．(-1，6)C ．(2，-3)D ．(2，3)12.点(5，7)到直线4x-3y-1=0的距离等于( )A ．52B ．252C ．58 D ．8 13.已知圆的一般方程为0422=-+y y x ，则圆心坐标与半径分别是( )A. (0，2)， r=2 B ．(0，2)， r=4C ．(0,-2), r=2D ．(0，-2)， r=414．直线x+y=2与圆222=+y x 的位置关系是( )A.相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定15.点A(l ，3)，B （-5，1），则以线段AB 为直径的圆的标准方程是( )A ．10)2()2(22=-++y xB ．10)2()2(22=-++y xC. 10)3()1(22=-+-y x D ．10)3()1(22=-+-y x16.若点P(2，m)到直线3x-4y+2=0的距离为4，则m 的值为( )A. m=-3 B ． m=7 C ． m=-3或m=7 D ． m=3或m=7二、填空题17.平行于x 轴的直线的倾斜角为；18.平行于y 轴的直线的倾斜角为；19.倾斜角为60º的直线的斜率为 ;20.若点(2，-3)在直线mx-y+5 =0上，则m= ；21.过点(5，2)，斜率为3的直线方程为：22.在y 轴上的截距为5，且斜率为4的直线方程为：23.将y-4=31（x —6）化为直线的一般式方程为：24.过点(-1，2)且平行于x 轴的直线方程为25.过点(O ，-3)且平行于直线2x+3y-4=0的直线方程是26.两条平行直线3x+4y-2=0和3x+4y+3=0的距离是27.已知直线1l ：mx+2y-1=0与直线2l ：x-y-l=0互相垂直，则m= ；28.圆心在点(0，2)且与直线x-2y+9 =0相切的圆的方程为29.圆086422=++-+y x y x 的圆心坐标为，半径为。

中职数学常用公式及常用结论大全

中职数学常用公式及常用结论大全一、代数运算常用公式：1. 平方差公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²，(a - b)² = a² - 2ab + b²2.完全平方公式：a²-b²=(a+b)(a-b)3. 二次方程求根公式：对于二次方程ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)，其解为 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)4. 一元二次方程因式分解公式：ax² + bx + c = a(x - α)(x - β)，其中α和β是方程的两个根。

二、几何公式和结论：1.圆的周长公式：C=2πr，其中C为圆的周长，r为半径。

2.圆的面积公式：A=πr²，其中A为圆的面积，r为半径。

3.直角三角形勾股定理：a²+b²=c²，其中c为斜边，a和b为两条边。

4.等腰三角形底边中线和高的关系：底边中线的长度等于等腰三角形的高。

5.平行四边形面积公式：A=底边×高，其中A为面积，底边为底边的长度，高为平行于底边的线段的长度。

三、函数与方程常用公式：1.直线的斜率公式：斜率m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，其中P₁(x₁,y₁)和P₂(x₂,y₂)为直线上的两个点。

2. 一次函数的一般式方程：y = kx + b，其中k为斜率，b为y轴截距。

3. 二次函数顶点坐标公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，其顶点坐标为(-b/2a, -(b² - 4ac)/4a)。

4. 一元一次方程求解公式：对于一元一次方程ax + b = 0，其解为x = -b/a。

四、概率与统计常用公式：1.随机事件的概率公式：P(A)=n(A)/n(S)，其中P(A)为事件A发生的概率，n(A)为事件A发生的次数，n(S)为样本空间中的总次数。

中职数学基础模块下册第八章《直线和圆的方程》单元检测试题及参考答案

中职数学第八章《直线和圆的方程》单元检测(满分100分,时间：100分钟)一.选择题(3分*10=30分)题号12345678910答案1.已知A(2,-3),B(0,5),则直线AB的斜率是()A.4B.-4C.3D.-32、设A(-1,3),B(1,5),则直线AB的倾斜角为()A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒3.下列哪对直线互相垂直A.l1:y=2x+1;l2:y=2x-5 B.l1:y=-2;l2:y=5C.l1:y=x+1;l2:y=-x-5 D.l1:y=3x+1;l2:y=-3x-54.以A(1,2),B(1,6)为直径两端点的圆的方程是()A.(x+1)2+(y-4)2=8B.(x-1)2+(y-4)2=4C.(x-1)2+(y-2)2=4D.(x+1)2+(y-4)2=165.若P(-2,3),Q(1,x)两点间的距离为5,则x的值可以是()A.5B.6C.7D.86.方程为x2+y2-2x+6y-6=0的圆的圆心坐标是()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(2,1)7.过点A(-1,2),且,倾斜角是60︒的直线方程为()A.3x+y-2-3=0B.3x-y+2+3=0C.x-y+3=0D.x+y+3=08.下列哪对直线互相平行()A.l y=-2,l:x=5B.l y=2x+1,l:y=2x-51:21:2C.l y=x+1,l:y=-x-5D.l y=3x+1,l:y=-3x-51:21:29.下列直线与直线3x-2y=1垂直的是()A.4x-6y-3=0B.4x+6y+3=0C.6x+4y+3=0D.6x-4y-3=010.过点A(2,3),且与y轴平行的直线方程为()A.x=2B.y=2C.x=3D.y=3二.填空题(4分*8=32分)11.直线3x-2y-6=0的斜率为，在y轴上的截距为12.方程x2+y2-6x+2y-6=0化为圆的标准方程为13.两直线x+2y+3=0,2x-y+1=0的位置关系是________14.点(1，3)到直线y=2x+3的距离为____________15.平行于直线x+3y+1=0,且过点(1，2)的直线方程为16.直线2x+3y+1=0与圆x2+y2=1的位置关系是_____17.若方程x2+y2-3x+4y+k=0表示一个圆，则k的取值范围是________18.过A(-1，2)，B(2，1)，C(3，2)三点的圆方程为___________三.解答题(共6题,共计38分)19.已知两点A(2,6),B(m,-4)其中M(-1，n)为AB的中点,求m+n。

中职直线与圆的方程知识点总结

中职直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程在二维平面上，直线可以由一元一次方程表示，其一般形式为:Ax + By + C = 0其中 A、B 和 C 是实数且 A 和 B 不同时为 0。

斜截式方程：斜率为 k，截距为 b 的直线方程可以表示为：y = kx + b其中 k 是斜率，b 是截距。

点斜式方程：已知直线上一点（x₁, y₁）和直线的斜率 k，可以使用以下点斜式方程表示直线：y - y₁ = k(x - x₁)二、圆的方程在二维平面上，圆可以由圆心的坐标 (h, k) 和半径 r 表示，其标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²三、直线与圆的关系直线与圆有以下几种关系：1.直线与圆相切：当直线与圆只有一个交点时，即直线与圆相切。

相切的直线与圆的切线相切于圆的一点。

2.直线与圆相离：当直线与圆没有交点时，即直线与圆相离。

3.直线与圆相交：当直线与圆有两个交点时，即直线与圆相交。

相交的直线与圆会穿过圆的两个点。

4.直线在圆上：当直线经过圆心时，即直线在圆上。

四、直线与圆的方程求解1.判断直线与圆的位置关系：–将直线方程代入圆的标准方程，得到一个一元二次方程；–计算一元二次方程的判别式；–根据判别式的值得出直线与圆的位置关系。

2.求直线与圆的交点坐标：–将直线方程代入圆的标准方程，得到一个二元一次方程组；–解方程组，求得交点坐标。

五、举例例 1：判断直线与圆的位置关系，直线方程为 y = 2x + 1，圆的标准方程为 (x - 3)² + (y - 4)² = 9。

将直线方程代入圆的标准方程得到：(x - 3)² + (2x + 1 - 4)² = 9化简得：5x² - 14x + 9 = 0计算判别式 D = (-14)² - 4 * 5 * 9 = 4，判别式大于 0，因此直线与圆相交。

中职数学直线与圆的方程单元测试含参考答案

中职数学直线与圆的方程单元测试（一）含参考答案一、单项选择题1．已知A(2，3)，B(2，5），则线段AB 的中点坐标为（）A ．(1，2) B.（0,－1） C ．(0，－2) D ．(2，4)2．若直线l 的倾斜角是o 120，则该直线的斜率是（）A ．－1B ．0 C.3- D ．33．已知33+-=x y ，斜率为( )．A ．3B ．－3C ．－1D ．04．直线012=--y x 在y 轴上的截距为( )A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．经过点P(l ，3)，且斜率为2的直线方程是( )。

A ．012=++y xB ．012=+-y xC ．012=--y xD ．052=++y x6．直线x y 5=与直线3-=ax y 平行，则a ＝( )．A ．-1B ．0C ． 1D ．57．直线52-+y x =0与直线x ＝3的交点坐标为( )．A. (3,1)B. (1,3)C. (3,2)D. (2,3)8．点M(-3，1)到直线0543=-+y x 的距离为( )．A ．2-B ．1-C ． 2D ．19．圆心为C(2，-1)，半径为3的圆的方程为( )．A ．9)1(222=-++y x ）（B ．3)1(222=-++y x ）（ C ．9)1(222=++-y x ）（ D ．3)1(222=++-y x ）（10.圆6)5(222=++-y x ）（的圆心坐标与半径分别是( )A ．），（52-，6=rB ．），（52-，6=r C ．），（52-，6=r D ．），（52-，6=r 11. 直线02=+-m y x 过圆046422=+--+y x y x 的圆心，则m ＝( )．A ．1B ．0C ．1-D ．212.经过圆25)2(122=-++y x ）（的圆心且与直线04=--y x 垂直的直线方程为( )A ．01=++y xB ．01=+-y xC ．01=-+y xD ．01=+-y x二、填空题13．已知两点A(0，6)，B （－8，0），则线段AB 的长度为14．倾斜角为45。

完整版中职数学直线和圆的方程课件

(2)圆心为(1, 2),半径为 11的圆.
归纳小结
(1)圆的一般方程的表达式为
x2 y2 Dx Ey F 0
D2 E2 4F 0
(2)与圆的标准方程的联系
配方
一般方程展开标准方程(圆心,半径)
THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS
x2
y2
Dx
Ey
F
0表示以点(
D 2
,
E) 2
为圆心，1 D2 E2 4F为半径的圆。 2
以下方程是圆的方程吗？ x2＋y2＋2 x＋2 y＋8＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＋2＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＝0．
圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
D2 E2 4F 0
（1）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程是．
（2）圆 (x－1)2＋(y＋2)2＝25 的圆心坐标是
，
半径是
．
把圆的标准方程展开：
(xa)2 ( y b)2 r2
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
令 2a D,2b E,a2 b2 r2 F得
x2 y2 Dx ED 2E F 20 0
解得：D＝－8，E＝6，F＝0．于是所求圆的方程为
x2＋y2－8 x＋6 y＝0．
将这个方程配方，得 (x－4)2＋(y＋3)2＝25．
因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），半径为 5．
练习1下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0 _原__点_(_0,_0_) _ (2)x2 y2 2x 4y 6 0____

中职数学学业水平考试基础模块下册第6章直线和圆的方程单元测试卷含参考答案

中职数学学业水平考试基础模块下册第6章直线和圆的方程单元测试卷含参考答案一、选择题：（每题3分，共30分）1.直线y=-x+3的倾斜角是（）A ．300B ． 450C ．900 D. 13502.过点M(4，-7)且倾斜角是900的直线方程是( )A ．x=4B ． y= -7C ．不存在 D. y=4x3.点M(-3，2)到y 轴的距离是( )A.2B. 3C. 4D. 54．直线x+3y-l=0与直线3x-y+2=0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交且垂直D ．相交但不垂直5．已知直线l 的方程为y=4x-7，直线m ⊥l ，那么直线m 的斜率是( )A. 4B.-4 C ．41D ．-416.直线3x+2y-6=0在y 轴上的截距为( )．A ．-3B ．-2C ．3D ．27．经过点P(3，-2)，倾斜角为45º的直线方程为( )A. x+y+5=0B.x-y-5=0C ．x+y-5=0 D. x-y+5=08.如果直线1l 与直线y=2垂直，那么直线1l 的斜率是( )A ．0B ．2C ．21- D.不存在9.圆16)2()1(22=++-y x 圆心坐标和半径分别是( )A ．(1，-2)，4B ．(1，-2)，16C ．（-1，2），4D ．（-1，2），1610.已知圆m y x =-++22)1()8(的半径是3，那么m=( )；A ．3B ．9 C.3 D ．±911．点P(l ，2)与圆122=+y x 的位置关系是( )．A ．点P 在圆上B ．点P 在圆内 C.点P 在圆外 D ．无法确定12.关于方程062422=+-++y x y x ，下列判断正确的是( )A ．方程不表示圆B ．方程表示圆，圆心是( -2，1)C ．方程表示圆．半径r=lD ．方程表示圆，半径r=2二、填空题13.已知点M(4，-3)，N(2，1)，那么线段MN 的中点坐标是；14.直线3x-y+6=0在x 轴上的截距为；在y 轴上的截距为 .15.倾斜角为30º的直线的斜率为 ;16.直线y=3与直线y=x+l 的交点坐标是；17.过点(2，5)，斜率为-3的直线方程为：18.在y 轴上的截距为2，且斜率为5的直线方程为：19.直线1l 的方程为y=723-x ，若直线21//l l ，则直线2l 的斜率k=20.直线1l 的方程为y=723-x ，若直线21l l ⊥，则直线2l 的斜率k=21.点(O ，-3)到直线2x+3y-4=0的距离是22.两条直线3x+4y-2=0和3x+4y+3=0的位置关系是23.直线x=1与圆13)3(22=+-y x 的相交弦长是；24.圆心在点(0，2)且与直线x-2y+9 =0相切的圆的方程为25.与直线y=3x+l 垂直且在x 轴上的截距是5的直线方程是。

中职数学第八章直线和圆的方程小测(2018级)+参考答案

2019-2020学年第一学期2018级中职数学第八章《直线和圆的方程》测试卷（时间：90分钟，总分：100分）班级：姓名：座号：二、填空题：（3′×5=15′） 1.直线132y x =+，则该直线的斜率k = ； 2．已知点(2,0)A 和点(0,6)B ，则线段AB 的中点坐标为； 3. 如果直线670x y m -+=过原点，则m = ；4. 已知直线12:20,:210,l kx y l x y --=+-=若12l l ⊥，则k = ；5. A(1,0), B(4,4) , 求AB 的距离为 .三、解答题：（40′，每题8分）1.已知直线l 经过点(,0)A a 和(3,1)B ，问a 为何值时，直线l 的倾斜角（1）是锐角？（2）是钝角？（3）是直角？2.如图，已知圆C 的一般方程是222440x y x y +--+=. （1）求该圆的圆心坐标和直径；（2）该圆的过原点的切线方程.3. 已知直线1l ：30x y ++=， 2l ：10x y -+=，且A 为直线1l 与2l 的交点（1）求交点A 的坐标；（2）求过点A ，并且倾斜角为3π的直线方程.4.如图，直线与两坐标轴的交点为A (2,0)，B (0,2).（1）求该直线的方程；（2）求以A 为圆心，以线段AB 为半径的圆的方程.5. 如图，直线3y x m =-+与y 轴交于点(0,4)A（1）求m 的值；（2）求以A 为圆心，且过原点的圆的方程.一、选择题：（3′×15=45′）1．已知两点(1,0),(3,3)A B ，则直线AB 的斜率为（） A23 B 32C 2D 3 2．已知直线l 过点(0,1)，且与直线l '：y x =平行，则l 的方程为（） 1010A x y B x y --=+-= C 10x y -+= D 10x y ++=3．若直线1l ：2y x =与直线2l ：y ax b =+平行，则实数a 等于（） A 1 B 2 C -2 D 4 4．经过点（1，2），且倾斜角为4π的直线方程为（） A 10xy B 10xyC 10xy D 10xy5．过点(1,5)A ，且平行于直线250x y +-=的直线方程为（） A 270xyB 210xy C 210xy D 270x y6.若第一象限的点(2,)A m 到直线3420x y -+=的距离为4，则m 的值为（） A 3m =- B 7m = C 37m m =-=或 D 37m m ==或7.圆22410200x y x y ++-+=的圆心在第几象限（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 8. 340x y +=与圆22(2)(1)4x y -+-=的位置关系（）A 相离B 相切C 相交且过圆心D 相交但不过圆心 9.过圆225x y +=上一点(1,2)A ，并与该圆相切的直线方程为（）A 250x y ++=B 250x y +-=C 250x y ++=D 250x y +-= 10．半径为2，且与x 轴相切于原点的圆的方程为（）A 22(2)4x y -+=B 22(2)4x y ++=C 22(2)4x y ++=或22(2)4x y +-=D 22(2)2x y -+=或22(2)2x y ++= 11. 已知直线过点(0,2)，斜率为4- ,则直线方程是（）A. 420x y --=B. 420x y +-=C. 420x y ++=D.420x y -+= 12.过点A(2,3)、B(1,0)的直线方程是（）A 330x y --=B 330x y +-=C 330x y --=D 330x y +-=13.如图所示，直线l 经过（）A 第一、二、三象限B 第一、二、四象限C 第一、三、四象限D 第二、三、四象限14.直线1:10l y -=与直线2:20l x y +-=的交点坐标是（） A (1,1) B (1,2) C (2,1) D (2,2)15. 已知直线12:250:4270l x y l x y --=-+=与，则12l l 与的位置关系是（） . A 重合 . B 平行 . C 相交且垂直 . D 相交不垂直参考答案二、填空题：（3′×5=15′） 1.12； 2．(1,3)； 3. 0； 4. 2； 6. 5.三、解答题：（40′，每题8分）1．（1）3a > （2）3a < （3）3a = 2.（1）(1,2)，2d =；（2）340x y -=和0x =.3.（1）(2,1)--；（210y --+=.4.（1）20x y +-=；（2）22(2)8x y -+=.5.（1）4m =；（2）22(4)16x y +-=.。

人教版中职数学(基础模块)下册8

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.[探究] 1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示：应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，则切线不存在．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).[探究] 2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．[自测·牛刀小试]1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝|m|m2＋1<1< 5.法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的．2．(山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：选B两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．3．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a＝2，则直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，反之，则有a＝± 2.因此p是q的充分不必要条件．4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是()A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0解析：选D 法一：圆心O (0,0)，C (3，－3)的中点P ⎝⎛⎭⎫32，－32在直线l 上，故可排除A 、B 、C.法二：两圆方程相减得，6x －6y －18＝0，即x －y －3＝0.5．(重庆高考)设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B.2 C. 3D ．2解析：选D 因为直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心 (0,0)，所以所得弦长|AB |＝2.[例1] (1)(安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) (2)(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．[自主解答] (1)因为直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|a －0＋1|2≤r ＝2，可得|a ＋1|≤2，即a ∈[－3,1]．(2)圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，因为两个圆有公共点，故(x －4)2＋(kx －2)2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解之得0≤k ≤43，故最大值为43.[答案] (1)C (2)43——————————————————— 判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．(2)判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解．1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________．解析：将x 2＋y 2－2y －3＝0化为x 2＋(y －1)2＝4.由于直线l 过定点(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直线过圆内一点，从而直线l 与圆相交．答案：相交2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 设圆心C (x ，y )，则题意得(x －0)2＋(y －3)2＝y ＋1(y >0)，化简得x 2＝8y －8.[例2] (1)(北京高考)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________． (2)(济南模拟)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．[自主解答] (1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径r ＝2，所以弦长为l ＝2×r 2－d 2＝24－2＝2 2.法二：代数法：联立直线和圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋(y －2)2＝4，消去y 可得x 2－2x ＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2(2－0)2＝2 2.(2)由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.[答案] (1)22 (2)x ＋y －3＝0 ———————————————————求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB |x 1－x 2|＝3．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或3 B ．1或3 C ．－2或6D ．0或4解析：选D 圆心(a,0)到直线x －y ＝2的距离d ＝|a －2|2，则(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2|22＝22，所以a ＝0或a ＝4.4．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝10[例3] 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)从圆C 外一点P ( ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程． [自主解答] (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2. 由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3. 故直线方程为|2＝|PC |2－r 2.又∵|PM |＝|PO |，∴|PC |2－r 2＝|PO |2， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2. ∴2x －4y ＋3＝0即为所求的方程．若将本例(1)中“不过原点”的条件去掉，求直线l 的方程．解：将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得y ＝(2±6)x ；当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由直线与圆相切得x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上可知，直线l 的方程为 (2＋6)x －y ＝0或 (2－6)x －y ＝0或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.——————————————————— 求过一点的圆的切线方程的方法(1)若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程x ＝x 0.(2)若该点在圆外，则过该点的切线将有两条．若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线．5．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(点的圆的切线方程； (2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3. 由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.故方程为y －1＝34(x －3)，即3点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.2种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合．(1)从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．(2)从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算．3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点 (1)涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直；(2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；(3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条．在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错.创新交汇——直线与圆的综合应用问题1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题．2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法．[典例] (全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3. 则圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1. [名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查形式的创新，将轨迹问题、向量问题和圆的问题融为一体来考查．(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆的位置关系，同时也考查了转化与化归思想．2．解决直线和圆的综合问题要注意以下几点(1)求点的轨迹，先确定点的轨迹的曲线类型，再利用条件求得相关参数； (2)存在性问题的求解，即先假设存在，再由条件求解并检验． [变式训练]1．已知直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是直角三角形，则点P (a ，b )与点M (0,1)之间的距离的最大值为( )A.2＋1 B ．2 C. 2D.2－1解析：选A 直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则依题意可知，△AOB 是等腰直角三角形，坐标原点O 到直线2ax ＋by ＝1的距离d ＝12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2， ∴a 2＝2－b 22(－2≤b ≤2)，则|PM |＝a 2＋(b －1)2＝b 22－2b ＋2＝2|b －2|2，∴当b ＝－2时，|PM |max ＝2×|－2－2|2＝2＋1.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即|c |122＋(－5)2<1，解得－13<c <13.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的切线方程中有一个是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x ＝0D ．y ＝0解析：选C 圆心为(1，－3)，半径为1，故x ＝0与圆相切．2．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π2 C.2π3D.56π 解析：选D 由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝－33，故直线l 的倾斜角为56π.3．(陕西高考)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：选A 把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l 与圆C 相交．4．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 3 B ．4 C ．2 5D ．5解析：选B 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.6．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆，N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM ·ON (O 为坐标原点)等于( ) A ．－7 B ．－14 C ．7D ．14解析：选A 设OM ，ON 的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，cos θ＝13，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79，OM ·ON ＝3×3cos 2θ＝－7.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±338．(江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)．答案：(2，2)9．(天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．求过点P (4，－1)且与圆C ：，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －1＝2－31＋1，(m －1)2＋(n －2)2＝(m －4)2＋(n ＋1)2＝r ，解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC ＝b a＝－1，故b ＝－a ，则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2，结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.故圆C 的方程为(，n )符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ (m －4)2＋n 2＝42，m 2＋n 2≠0，(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得⎩⎨⎧ m ＝45，n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125符合题意．1．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )A ．4B ．42C ．8D ．82解析：选C 依题意，可设圆心坐标为(a ，a )，半径为r ，其中r ＝a >0，因此圆方程是(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，由圆过点(4,1)得(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2－10a ＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C 1，C 2的横坐标，|C 1C 2|＝2×102－4×17＝8.2．(天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)解析：选D 由题意可得|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，化简得mn ＝m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.3．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 与⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．解析：⊙O 的圆心为(0,0)，半径为2，⊙O ′的圆心为(4,0)，半径为6，设点P 为(x ，y )，由已知条件和圆切线性质得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简得x ＝32. 答案：x ＝324．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ，①x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，②联立①②消去y 得 2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③ ∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB ，即x 1 x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2， ∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，∴b ＝1或b ＝－4.∴满足条件的直线l 存在，其方程为 x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.。

中职数学直线与圆的方程教案新选.

x x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：1.平面内两点间的距离设A ,B 为平面上两点．若A ,B 都在x 轴(数轴)上(见图7-3(1))，且坐标为A (x 1,0), B (x 2,0)，初中我们已经学过，数轴上A ,B 两点的距离为 |AB |=|x 2-x 1|．同理，若A ,B 都在y 轴上(见图7-3(2))，坐标为A (0,y 1), B (0,y 2)，则A ,B 间的距离 |AB |=|y 2-y 1|．若A ,B 至少有一点不在坐标轴上，设 A , B 的坐标为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．过A ,B分别作x ,y 轴的垂线，垂线延长交于C (见图7-3(3))，不难看出C 点的坐标为(x 1,y 2)，则|AC |=|y 2-y 1|，|BC |=|x 2-x 1|，由勾股定理 |AB |=22BC AC +=221221)()(y y x x -+-．由此得平面内两点间的距离公式：已知平面内两点A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，则|AB |=221221)()(y y x x -+-． (7-1-1)例1 求A (-4,4),B (8,10)间的距离|AB |．解 x 1=-4, y 1=4；x 2=8, y 2=10，应用公式(7-1-1)，|AB |=)()(21221y y x x -+-=2210484)()(-+--=180=65．例2 已知点A (-1,-1), B (b ,5)，且|AB |=10，求b ．解：据两点间距离公式，|AB |=36)1()]1(5[)]1([222++=--+--b b =10，解得 b =7或b =-9．例3 站点P 在站点A 的正西9km 处，另一站点Q 位于P ,A 之间，距P 为5km ，且东西向距A 为6km ，问南北向距A 多少？解以A 为原点、正东方向为x 轴正向建立坐标系如图7-4，则P 的坐标为(-9,0)，|PQ |=9．设Q 坐标为(x ,y )，图7-3(2)xy O y 1 y 2 • • B A 图7-3(1) x y O x 1 x 2•• B A 图7-3(3)则x =-6，据题意要求出y ．据两点间距离公式(7-1-1)|PQ |=22069)()(y -++-=5，解得 y =±4，即站点Q 在南北向距A 是4km ．例4 如图7-5，点A ,B ,C ,D 构成一个平行四边形，求点D 的横坐标x ．解因为ABCD 是平行四边形，所以对边相等， |AB |=|CD |, |AC |=|BD |．由距离公式(7-1-1)|AB |=5311222=-++-)()(； |AC |=17212222=-+--)()(；|CD |=42242222+-=-+-)()()(x x|BD |=11341222++=-++)()()(x x 由|AC |=|BD |得11172++=)(x ，x =-1±4；由|AB |=|CD |，知x 只能取-1+4=3．所以当点A ,B ,C ,D 构成一个平行四边形时，点D 的横坐标x =3，即D 的坐标为(3,4)．课内练习1 1. 求|AB |：(1)A (8,6),B (2,1)；(2)A (-2,4),B (-2,-2)．2. 已知A (a ,-5),B (0,10)间的距离为17，求a ．3. 已知A (2,1),B (-1,2),C (5,y )，且∆ABC 为等腰三角形，求y 。

课程思政视域下的中职数学实践教学——以“圆的标准方程”教学为例

课程思政视域下的中职数学实践教学 ——以“圆的标准方程”教学为例文 / 吴海鹏■摘要：中职数学课程是中职学校各专业学生必修的公共基础课程，中职数学日常教学应通过课程思政，让学生做到内外兼修，以期达到立德树人的育人目标。

本文以“圆的标准方程”教学为例，从教学的四个要素方面阐述课程思政要达到的四个“度”，即教学主体团队化，让思政有宽度；教学内容融合化，让思政有厚度；教学环境专业化，让思政有温度；学习主体全员化，让思政有广度。

■关键词：课程思政；中职数学；“圆的标准方程”在中等职业学校数学课程中如何合理融入思想政治教育，引导学生提高职业道德水平和职业素养？笔者认为充分挖掘和运用数学学科中蕴含的思政元素，并且让课程思政成为一种教学常态和教师的自觉行为是一条重要的途径。

下面以“圆的标准方程”教学为例，从教学主体、教学内容、教学环境、学习主体四个维度探究课程思政视域下的中职数学实践教学。

一、教学主体团队化，让思政有宽度教学主体在教学中起着定航把舵的作用，因此，教学主体一定要素养高、研究深、专业强和能创新，要做到这些，就需要教学主体团队化，确保思政有宽度。

在笔者所在学校课程思政小组的领导下，学校成立数学课程思政小组，数学教研组长兼任负责人，组员不仅有数学骨干教师，还包括部分思政和专业课教师，定期开展思政教学研讨和经验交流。

经多次商议后，小组围绕坚定学生理想信念、爱党、爱国、爱社会主义、爱人民这条主线，聚焦习近平新时代中国特色社会主义思想、社会主义核心价值观、中华优秀传统文化、职业理想和道德、数学学科特征五大重点，结合数学课程标准和核心素养的要义，从数学文化与立德树人、数学思维与必备品格、数学方法与关键能力三个方面绘制了中职数学学科课程思政映射图。

其中，数学文化与立德树人主要指数学史、数学美和数学家三个方面，内容涵盖科学精神和家国情怀；价值取向和理想追求；职业精神和职业素养。

数学思维与必备品格主要涵盖转化与类比、系统与辩证、对应与逆向、直觉与逻辑、形象与创新等思维。

圆的标准方程1中职数学

32 42 r2
9 16 r2
r2 25
C(7,-3) M(4,1)
标准方程为 (x- 7 )2+(y+3 )2= 25
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练习三：
A.求以点C(17,-3)为圆心，并且经过点M(15,-6)的圆的标准方程
(x- 17)2+(y +3 )2=13
B.求以点C(7,3)为圆心，并且经过点M(5,-2)的圆的标准方程
r 2 10
圆的标准方程是 x 32 y 62 10 第6页/共15页
练习四：
过点A(-2,5),B(4,-9),且以线段AB 为直径的圆的标准方程
x 12 y 22 58
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例3：求以点C(5,2)为圆心，
并和直线3x-4y+8=0相切
的圆的标准方程
(x- 7 )2+(y - 3 )2= 29
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例3：过点A(2,3),B(4,9),且以线段 AB为直径的圆的标准方程
解 : 设圆心C(a,b)
C为AB中点
a 24 3 b 39 6
2
2
设圆的方程为 x 32 y 62 r2
将A 2, 3 代入方程
2 32 3 62 r2
3. 半径 r= d=
Ax0+By0+C
A2+B2
作业课本163页练习1.（1）（2）（3）
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C M
8.2.1圆的标准方程
1、标准方程 2、例一 3、例二 4、例三 5、小结
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过点a25b49且以线段ab为直径的圆的标准方程并和直线3x4y80相切的圆的标准方程3?54?282515练习四

中职数学基础模块下册第八章直线与圆的方程单元练习卷含参考答案

中职数学基础模块下册第八章直线与圆的方程单元练习卷含参考答案（时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题3分，共60分）1．已知A(2，0)，B(2，4)，则线段AB 的中点坐标为( )．A ．(1，2)B ．(0，－2)C ．(0，2)D ．(2，2)2．若直线l 的倾斜角是45º，则该直线的斜率为（）A ．0B ．21C ．23D ．13.过点M(－1，m)，N(l ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为() A. 1 B. －1 C ．2 D ．－24.己知直线过点(0，2)，斜率为－4，则其直线方程是( )A.4x －y －2=0 B ．4x+y －2=0 C ．4x +y +2=0 D.4x －y +2=05.直线3x+2y-6=0在y 轴上的截距为( )．A ．2B ． 3C ．-2 D. -36.直线3x+4y-7=0的斜率为( )A ．43B ．43-C ．34D ．34-7.直线x+y －1=0与直线x －y+l=0的交点是( )A. (0，1)B.(1,0)C.（0，－1)D. (－1,0)8.直线2x －y －3=0与y=2x+2的位置关系是( )．A.平行B.相交 C ．垂直 D.重合9.若直线l 过点(－1，2)，且与直线y=x 垂直，则直线l 的方程是()．A. x －y+1=0 B ．x+y+l=0 C ．x －y －1=0 D.x+y －1=010．下面两条直线互相平行的是( )．A.x －y+1=0与x+y+l=0 B ．x －y+l=0 与－x －y+1=0C ．x －y +1=0 与y=x D.x －y+1=0与y=－x+111．经过点(2，－3)且垂直于y 轴的直线的方程是( )A. x=2B. y=2C. x=－3D. y=－312．圆25)2(322=++-y x ）（的圆心坐标和半径分别为( ) A ． (－3，2)，5 B ．(3，－2)，5C ． (－3，2)， 25 D. (3，－2)， 2513．已知直线l 与直线y=x －2平行，则直线l 的倾斜角为( )．A ．6πB ． 4πC ．3π D. 2π14．以点(-1，2)为圆心，3为半径的圆的标准方程为( )A ．3)2(122=-+-y x ）（ B ． 3)2(122=++-y x ）（ C ．9)2(122=-++y x ）（ D. 9)2(122=+++y x ）（ 15.已知直线:1l 052=--y x ，直线:2l 0724=+-y x ，则1l 与2l 的位置关系是（）A.重合 B ．平行 C ．相交且垂直 D.相交不垂直16.直线053=+-y x 的倾斜角为（）A ．6πB ． 3πC ．32π D. 65π 17.圆044222=-+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（）A ． (1，-2)， 3B ．(1，-2)， 9C ． (-1，2)， 3 D. (-1，2)，918.点(5，7)到直线4x －3y －1=0的距离等于( )A.252 B ．58 C ．8 D ．52 19.直线03=+-y x 与圆9)1(122=-+-y x ）（的位置关系是（） A.相离 B ．相切 C ．相交且过圆心 D ．相交但不过圆心20．直线01543=+-y x 与圆4)2(122=-+-y x ）（的位置关系是（） A.相切 B ．相离 C ．相交且过圆心 D ．相交但不过圆心二、填空题（每题4分，共40分）21. 已知点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(0，2)，则A 与B 两点间的距离｜AB ｜=22. 若点（2，－3）在直线mx －y+1=0上，则m=23．斜率为1，且过点(0，－2)的直线方程为24．把直线的一般式方程2x －3y －9=0化成斜截式为25．过点A （－1，1），且平行于4x+2y －9=0直线方程为26．斜率为31，且在y 轴上的截距为4的直线方程为27.己知直线kx －2y －2=0与直线x －2y=0平行，则k=28.若直线8x+ay －1=0与x －2y=0垂直，则实数a=29.由点A (－6，3)，B(8，7)为端点的线段的垂直平分线方程为30.已知点A(－1，0)，B(1，0)，则以线段AB 为直径的圆的方程为第八章直线与圆的方程单元练习卷参考答案一、选择题1—5 DDCBB 6—10 BAADC 11—15 DBBCB 16—20 BADDA二、填空题21. 122.－223.x－y－2=02x－324.y=325. 2x+y+1=01x+426.y=327. 128. 429.7x+2y－11=030.12=2x+y。

第八章直线和圆的方程说课稿

第八章直线和圆的方程说课稿《直线和圆的方程》教学设计说课稿各位尊敬的专家、评委老师好：今天我说课的内容是高等教育出版社中职数学基础模块下册第8章《直线和圆的方程》的教学内容，对于这章我尝试以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分析、学情分析、教学目标分析、重难点分析、教法学法分析、课时安排、教学过程分析和教学反思8个方面对本单元进行说课。

教材分析《直线和圆的方程》是中职数学基础模块的第八章，它是众多知识的汇合点，两点间的距离与线段中点坐标，直线方程，两条直线的位置关系，圆等等。

是对口单招考试的必考点，考试题型主要以选择题和填空题的形式出现，分值维持在10分左右，一方面，本章培养学生数学思维能力和分析解决问题能力，使学生体验解析几何的应用；另一方面，又为今后学习解析几何的奠定了基础。

因此，我认为，本章本为以后的学习起到了铺垫的作用，它在整个教材中起到了承上启下的作用。

二.学情分析我所任教的是18级护理专业学生，在此之前学生已经学习了点、直线方程的一些基础知识，对基本概念具有初步认识，已具备基础知识，也具有了一定分析问题和解决问题的能力。

但是女生较多，普遍缺乏学习自信心，缺乏学习主动性和独立思考的习惯，没有良好的学习习惯和学习方法，考虑问题不全面，知识运用不灵活，学生层次参次不齐，个体差异比较明显。

三、教学目标分析根据教材结构内容，结合高一学生的认知水平以及心理特征，我从以下三个维度制定了三维目标：知识与技能：形成并掌握了直线与圆概念，理解圆的方程，通过对圆与直线的学习加深对解析几何的认识。

（2）过程与方法：通过观察、探索、讨论、合作等过程，培养学生数形结合的思维习惯，并结合实例了解这些知识在实际应用中的应用，以培养职业能力为目标。

（3）情感、态度与价值观：通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯。

四、重难点分析本着中职数学教学大纲，我确定了以下教学重点和难点。

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大家好
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(2 )圆心为 ( 1 ,2 ),半径为 1 1 的圆 .
大家好
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归纳小结
(1)圆的一般方程的表达式为
x2y2DxEyF0
D2E24F0
(2)与圆的标准方程的联系
配方
一般方程展开标准方程(圆心,半径)
大家好
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当 D2E24F0时 ,
x2y2DxEyF0表示以点(D 2,E 2)
为圆心， 1 D2E24F为半径的圆。 2
大家好
9
以下方程是圆的方程吗？ x2＋y2＋2 x＋2 y＋8＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＋2＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＝0．
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圆的一般方程
x2y2DxEyF0
D2E24F0
解得：D＝－8，E＝6，F＝0．
于是所求圆的方程为 x2＋y2－8 x＋6 y＝0．
将这个方程配方，得 (x－4)2＋(y＋3)2＝25．
因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），半径为 5．
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练习1下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0 _原__点_(_0,_0_) _ (2)x2 y2 2x 4y 6 0____
x 2y 2 D x E y F 0
大家好
6
x2y2D xEyF0
方程的特点： 1、含x2和y2项的系数都为1； 2、不含xy项。
大家好
7
是不是任何一个形如：
x2y2D xEyF0
的方程表示的曲线都是圆？
整理可得
(xD2)2(yE2)2 D2E424F
大家好
8
(xD2)2(yE2)2 D2E424F
结束
大家好
a,b r
大家好
回答下列问题
（1）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程是．
（2）圆 (x－1)2＋(y＋2)2＝25 的圆心坐标是
，
半径是
．
大家好
把圆的标准方程展开：
(x a )2 (y b )2 r 2
x2y22 a x 2 b y a2b2r20
令 2 a D , 2 b E ,a 2 b 2 r 2 F 得
数学
（基础模块）下册
大家好
第8章直线和圆的方程
• 8.1 两点间的距离和线段中点坐标 • 8.2 直线的方程 • 8.3 两条直线的位置关系 • 8.4 圆
大家好
8.4 圆
8.4.1 圆的标准方程
8.4.2 圆的一般方程
y
OAxr大 Nhomakorabea好复习回顾
圆的标准方程
(xa)2(yb)2r2
圆心的坐标和半径
大家好
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例判断方程 x2y24x6y30
是否为圆的方程，如果是，求出圆心的坐标和半径.
大家好
例求过点 O(0，0)，M(1，1)，N(4，2) 的圆的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标．
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中 D，E，F 待定．
由题意得 D FE0 F20 4D2EF200