【课件】高二数学 必修5 第三章课件：3.4基本不等式
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高中数学人教A版必修5第三章3.4 基本不等式课件-(共15张PPT)-
思考1：这会标中含有怎样的几何图形？ 思考2：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
a2 b2
Aa
D
1、正方形ABCD的
b
G
F
HE
面积S=＿＿a＿2 ＿＿b 2
C
２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S__＞___S′
思考3：那么它们有相等的情况吗？
所以a2 b2≥2ab.
结论：一般地，对于任意实数
a、b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和 不小于它们积 的2倍.
2 新课讲解
问题1:如果当 a 0,用b 0 去替a换, b
a2 b2 中2的a b ,能得a到, b什么结论?
辨析题：下列结论正确的是（B ）
A.当x＞0且x≠1时，lg
x＋ 1 lg x
2
B.当x＞0时， x＋ 1 2
x
C.当x≠kπ时，k∈Z，则 y＝sin
D.当a>0,b<0时，则 b ＋ a
2 x＋
2
4 s in 2
x
的最小值是4
ab
4 课堂小结
1. 重要不等式： a2 b2 2ab （a,b∈R）
2. 基本不等式： ab a b （a 0,b 0） 2
3. 利用基本不等式求最值
“一正，二定，三相等”
一正：符合基本不等式 a b≥ ab成立的前提条件，a 0,b 0
二定：化不等式的一边为2定值 三相等：必须存在取“=”号的条件，即“=”成立。
以上三点缺一不可！！！
谢谢大家
a2 b2
Aa
D
1、正方形ABCD的
b
G
F
HE
面积S=＿＿a＿2 ＿＿b 2
C
２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S__＞___S′
思考3：那么它们有相等的情况吗？
所以a2 b2≥2ab.
结论：一般地，对于任意实数
a、b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和 不小于它们积 的2倍.
2 新课讲解
问题1:如果当 a 0,用b 0 去替a换, b
a2 b2 中2的a b ,能得a到, b什么结论?
辨析题：下列结论正确的是（B ）
A.当x＞0且x≠1时，lg
x＋ 1 lg x
2
B.当x＞0时， x＋ 1 2
x
C.当x≠kπ时，k∈Z，则 y＝sin
D.当a>0,b<0时，则 b ＋ a
2 x＋
2
4 s in 2
x
的最小值是4
ab
4 课堂小结
1. 重要不等式： a2 b2 2ab （a,b∈R）
2. 基本不等式： ab a b （a 0,b 0） 2
3. 利用基本不等式求最值
“一正，二定，三相等”
一正：符合基本不等式 a b≥ ab成立的前提条件，a 0,b 0
二定：化不等式的一边为2定值 三相等：必须存在取“=”号的条件，即“=”成立。
以上三点缺一不可！！！
谢谢大家
基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件
函数的最小值为 4.
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
练习
1、若x 0，求f ( x) 12 3x的最小值 x
2、已知x 0，y 0，求证 x y 2 yx
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
2.基本不等式 基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件 （均值定理）
如果a 0, b 0，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时，取""号)
我们把 a b 叫做正数a, b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a, b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
解：∵ x 0
x
x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 ,即x 1时，原式有最小值 2 x
变式、已知x 0，求x 1 的最值 x
解：∵ x 0， x 0
x 1 [( x) 1 ] 2 ( x) 1 2
x
( x)
( x)
运用均当且值仅不当等式x 的1过,程即x中，1时a、，b原必式须有最为大“正值 数 2”．
(1)a、b均为正数;
(2)a+b与ab有一个为定值;
(3)等号必须取到。பைடு நூலகம்
以上三个条件缺一不可. “一正”、“二定”、“三相等”。
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例1、求函数y 1 x( x 3)的最小值
x3
练习:
已知x 1，求x 1 的最小值以及取得最小 值时x的值 x1
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
人教版高中数学必修五第三章3.4基本不等式第一课时教学课件共14张PPT含视频 (2份)
温馨提示
准备好你的导学案，练习本， 笔记本，课本，双色笔，最重 要的是你的激情！
基本不等式
ab a b 2
学习目标
1、熟记重要不等式、基本不等式及使用条 件，并会推导基本不等式。 2 、会写出基本不等式的变形，并会利用 基本不等式求最值。 3、掌握基本不等式的综合应用．
3班导学案反馈
小组 一组
(3)“1”的代换是解决问题的关键,代换变形后 能使用基本不等式是代换的前提,不能盲目变 形.
1. 两个不等式
（1） a,b R, 那么a2 b2 2ab (当且仅当a b时取""号)
（2） ab a b (当a>且0,仅b>当0a)=b时，等号成立 2
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。
得A率
二组
三组
四组
五组
六组
七组
八组
九组
十组
☺优秀：4组、5组、6组
张甲彬、陈莹、周俊伟、张德旺、张广辉、 陈志伟、孟阳、贾文昊、杨艺
加油：邢飞、兰京瑶、倪晓健
问题反馈： 1、书写潦草、答题不规范、步骤不完整 2、个别问题没完成
探究二：基本不等式的变形及应用
ab a b（a 0,b 0） 2
ab a b（a 0,b 0） 2
ab
a
2
b
（2 a
0,
b
0）
（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S （定值），那么
ab有最__大__值__14__s__2(当且仅当a____b__时取“=”）.
ab a b（a 0,b 0） 2
ab
a
2
准备好你的导学案，练习本， 笔记本，课本，双色笔，最重 要的是你的激情！
基本不等式
ab a b 2
学习目标
1、熟记重要不等式、基本不等式及使用条 件，并会推导基本不等式。 2 、会写出基本不等式的变形，并会利用 基本不等式求最值。 3、掌握基本不等式的综合应用．
3班导学案反馈
小组 一组
(3)“1”的代换是解决问题的关键,代换变形后 能使用基本不等式是代换的前提,不能盲目变 形.
1. 两个不等式
（1） a,b R, 那么a2 b2 2ab (当且仅当a b时取""号)
（2） ab a b (当a>且0,仅b>当0a)=b时，等号成立 2
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。
得A率
二组
三组
四组
五组
六组
七组
八组
九组
十组
☺优秀：4组、5组、6组
张甲彬、陈莹、周俊伟、张德旺、张广辉、 陈志伟、孟阳、贾文昊、杨艺
加油：邢飞、兰京瑶、倪晓健
问题反馈： 1、书写潦草、答题不规范、步骤不完整 2、个别问题没完成
探究二：基本不等式的变形及应用
ab a b（a 0,b 0） 2
ab a b（a 0,b 0） 2
ab
a
2
b
（2 a
0,
b
0）
（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S （定值），那么
ab有最__大__值__14__s__2(当且仅当a____b__时取“=”）.
ab a b（a 0,b 0） 2
ab
a
2
【高中数学必修五】3.4基本不等式 课件
仅当两变量值相等时取最值.简记“和定积最大”.
均值不等式
如果 a, b 是正数，那么 ab a b
2
（当且仅当 a b 时取“=”）
应用均值不等式求最值的条件:
“一正”
“二定”
“三等”
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须能
够相等
1
练习、已知正数x、y满足2x+y=1，求
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
矩形菜园的面积为 xym2
得 xy 81
xy x y 2
=18/2=9
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成 因立此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最 大，最大面积是81m2
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且
解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:
z 150 4800 120(2 3x 2 3y) 3
240000 720(x y)
由容积为4800m3,可得:3xy=4800 ， 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 720(x y) 240000 720 2 xy
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
例2：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）
mx . y xy x y 2 100, 2
当且仅当a=b时，等号成立。
所得不等式推广： 重要不等式
均值不等式
如果 a, b 是正数，那么 ab a b
2
（当且仅当 a b 时取“=”）
应用均值不等式求最值的条件:
“一正”
“二定”
“三等”
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须能
够相等
1
练习、已知正数x、y满足2x+y=1，求
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
矩形菜园的面积为 xym2
得 xy 81
xy x y 2
=18/2=9
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成 因立此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最 大，最大面积是81m2
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且
解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:
z 150 4800 120(2 3x 2 3y) 3
240000 720(x y)
由容积为4800m3,可得:3xy=4800 ， 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 720(x y) 240000 720 2 xy
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
例2：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）
mx . y xy x y 2 100, 2
当且仅当a=b时，等号成立。
所得不等式推广： 重要不等式
高中数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式课件(26张ppt)
2
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一 个“风车”图案？
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
一 、探究
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB=
a2则 b正2 方形的面积为S= a2 。b2
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等
三
角形，它们的面积2a总b和是S’=—
所以a2 b2≥2ab.
合作探究，问题解决
探究二：若 a 0,b 0 用 a , b 去替换 a2 b2 2a b
中的 a,b ,能得到什么结论?
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
名称
重要不等式
基本不等式
公式
a2 b2 2ab
等号成立条件
ab
a,b的取值范围 a, b R
ab a b 2
ab
a 0,b 0
常见变形
ab a2 b2 2
a b 2 ab
ab ( a b )2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例探究 例1.试判断x+ 1 (x 0)与2的大小关系？ x
学案72页例1、2
变式：若x<0,求f（x）=4x+ 9 的最值，并求取得最值时x的值. x
（2）求函数y 1 x(x 3)的最小值. x3
（3）已知：x 3，求x+ 4 的最小值. x
学案75页例2、3
课堂小结
1、 主要内容：
2. 数形结合，换元的数学思想方法。 3、不等式的简单应用：求最值。特别要注意公式适用 的条件。
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一 个“风车”图案？
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
一 、探究
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB=
a2则 b正2 方形的面积为S= a2 。b2
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等
三
角形，它们的面积2a总b和是S’=—
所以a2 b2≥2ab.
合作探究，问题解决
探究二：若 a 0,b 0 用 a , b 去替换 a2 b2 2a b
中的 a,b ,能得到什么结论?
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
名称
重要不等式
基本不等式
公式
a2 b2 2ab
等号成立条件
ab
a,b的取值范围 a, b R
ab a b 2
ab
a 0,b 0
常见变形
ab a2 b2 2
a b 2 ab
ab ( a b )2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例探究 例1.试判断x+ 1 (x 0)与2的大小关系？ x
学案72页例1、2
变式：若x<0,求f（x）=4x+ 9 的最值，并求取得最值时x的值. x
（2）求函数y 1 x(x 3)的最小值. x3
（3）已知：x 3，求x+ 4 的最小值. x
学案75页例2、3
课堂小结
1、 主要内容：
2. 数形结合，换元的数学思想方法。 3、不等式的简单应用：求最值。特别要注意公式适用 的条件。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式课件
学家大会的会标，它是根据中国古代数
学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使
它看上去象一个风车，代表中国人民热
情好客.在这个图案中既有一些相等关系，
也有一些不等关系，
对这
些等与不等的关系，
我们作些相应研究.
精品PPT
精品PPT
探究（一）:基本不等式的原理
思考1：将图中的“风车”
抽象成如图，在正方形
ABCD中有4个全等的直角
2
两边平方可得什么结论？它与不等式 a2＋b2≥2ab有什么内在联系？
( a + b)2 ³ ab 2
精品PPT
思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加
上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有
什么特色？ a 0
y ax2 bx c x1, x2 (x1 x2 )
a2 + b2 ³
2
(a + b)2 2
b
和
ab 分别为a，
2
b的算术平均数和几何平均数，如何用 文字语言表述基本不等式？
两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
精品PPT
a+b
思2 考8：如图，在直角三角形ABC中，CD
为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能
利用这个图形对基本不等式作出几何解
释吗？
C
A
O
DB
精品PPT
探究（二）：基本不等式的变通 思考1：将基本不等式 a b ab
三角形.设直角三角形的
两a2b2 条直角边长为a，b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 D
分别为多少？
A
F GE
C
H
a2 b2
|a－b |
B
人教新课标版数学高二必修5课件3.4基本不等式
探究点2 用基本不等式证明不等式
例2 已知x、y都是正数. 求证：(1) yx＋xy ≥2；证明
∵x，y都是正数， ∴xy>0，yx>0， ∴yx＋xy≥2 yx·xy＝2，即yx＋xy≥2，
当且仅当x＝y时，等号成立.
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 证明
∵x，y都是正数， ∴x＋y≥2 xy>0， x2＋y2≥2 x2y2>0，x3＋y3≥2 x3y3>0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3) ≥2 xy·2 x2y2·2 x3y3＝8x3y3， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立.
引申探究 若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购 买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？ 解答
名师点评
应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学 知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求 最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调 性求解.
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解答
设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园 的面积为xy m2. 由 xy≤x＋2 y＝128＝9，可得xy≤81， 当且仅当x＝y＝9时，等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.
A.6
√B.4 2
C.2 6
D.8
∵a＋b＝3， ∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a＋b＝2 8＝4 2，
人教版高中数学必修五第三章3.4.1 基本不等式公开课教学课件 (共21张PPT)
如图，这是在北京 召开的第24届国际数学 大会的会标，会标根据 中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风 车，代表中国人民热情 好客.
问题探索
b a
a2 b2
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b, 则正方形的面积为a2S=b—2———
问2： Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△AHD2是ab全 等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得，S > S’,即
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
五、作业：
课本习题练习 1,2,3,
21
（1）a2 b2 2ab(a,b R) 当且仅当a b时取""号
（2） a b 2 ab (a当且0,b仅当0)a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数. 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件.
问题探索
b a
a2 b2
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b, 则正方形的面积为a2S=b—2———
问2： Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△AHD2是ab全 等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得，S > S’,即
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
五、作业：
课本习题练习 1,2,3,
21
（1）a2 b2 2ab(a,b R) 当且仅当a b时取""号
（2） a b 2 ab (a当且0,b仅当0)a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数. 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件.
高中数学第三章不等式3.4基本不等式课件新人教A版必修5
1 -1 ������ 1 -1 ������ 1 -1 ������
≥
2 ������������ 2 ������������ 2 ������������ · · =8. ������ ������ ������
当且仅当
1 a=b=c= 时 ,等号成立 . 3
探究一
探究二
探究三
探究四
方法总结
即 a+b+c≥ ������������ + ������������ + ������������. ∵a,b,c 为不全相等的正实数,
∴等号不成立. ∴a+b+c> ������������ + ������������ + ������������ .
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)∵a,b,c 为正实数 ,且 a+b+c=1,
3.4 基本不等式
学习目标 1.理解基本不等式的内容及其证明 , 能应用基本不等式解决求最值、证明不 等式、比较大小、求取值范围等问题. 2.通过运用基本不等式解答实际问题 ,提 高用数学手段解答现实生活中的问题的 能力和意识.
思维脉络
1
2
3
1.重要不等式 当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
∴������-1=
1
1-������ ������
=
������+������ 2 ������������ ≥ , ������ ������
1 2 ������������ 1 2 ������������ 同理 -1≥ , -1≥ . ������ ������ ������ ������
≥
2 ������������ 2 ������������ 2 ������������ · · =8. ������ ������ ������
当且仅当
1 a=b=c= 时 ,等号成立 . 3
探究一
探究二
探究三
探究四
方法总结
即 a+b+c≥ ������������ + ������������ + ������������. ∵a,b,c 为不全相等的正实数,
∴等号不成立. ∴a+b+c> ������������ + ������������ + ������������ .
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)∵a,b,c 为正实数 ,且 a+b+c=1,
3.4 基本不等式
学习目标 1.理解基本不等式的内容及其证明 , 能应用基本不等式解决求最值、证明不 等式、比较大小、求取值范围等问题. 2.通过运用基本不等式解答实际问题 ,提 高用数学手段解答现实生活中的问题的 能力和意识.
思维脉络
1
2
3
1.重要不等式 当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
∴������-1=
1
1-������ ������
=
������+������ 2 ������������ ≥ , ������ ������
1 2 ������������ 1 2 ������������ 同理 -1≥ , -1≥ . ������ ������ ������ ������
高中数学课件归纳必修5第三章不等式3.4基本不等式(1)
ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
A
2.几何意义：半弦长小于等于半径
D
a b ab 2
a O Cb B
3.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数
E
三、应用 发现运算结构，应用不等式
ab a b（a 0,b 0）
a=b
1.思考：比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积和, 你会得到怎样的不等式？
正方形ABCD的面积 > 4个直角三角形面积之和 a2 b2 2ab
(当且仅当a=b时, 等号成立)
二、新课讲解
2.得到结论：
一般地,对于任意实数 a, b,我们有a2 b2 2ab
当且仅当 a b 时，等号成立。
知识要点： （1）基本不等式的条件及结构特征
（2）基本不等式在几何、代数两方面的意义
思想方法技巧：
（1）数形结合思想 （2）换元法、作差法 （3）配凑等技巧
化简后便可得：a2+b2=c2
赵爽弦图
一 、探究
左图是在北京召开 的第24届国际数学家大 会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情 好客。你能在这个图中 找出一些相等关系或不 等关系吗?
一 、探究
D
C
A
b
ca
a2 b2 B
a b 2 a（b a 0,b 0）
2
例1、若
x 0 ,求 y
x
1
的最小值.
x
变1:若 x 0,求 y 3x 12 的最小值
高中数学必修五：3.4基本不等式 课件
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，
x y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，
它的面积最大，最大值是81m2。
ab ab 2
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平
均数不小于它们的几何平均数。
ab 3.我们把不等式 ab (a≥0,b≥0) 2
的最大
值，及此时x的值。
3 解： f ( x) 1 (2 x ) ，因为x>0， x
3 3 所以 2 x ≥ 2 2 x 2 6 x x 3 得 (2 x )≤ -2 6 x
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 号成立。
3 2x x
3 ，即 x 2
2
时，式中等
当a b时， ( a b) 0 2 当a b时， ( a b) 0
2
a b 2ab
2 2
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a, b R
ab
基本不等式2： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号立）
2 2 证明： ( a ) ( b ) 2 a b ∵
由于x>0，所以
人教版高中数学必修五基本不等式课件PPT
第三章 不等式
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
第三章 不等式
第三章 不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生 长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章 不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____，
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形，
即a2 b2 2ab.
第三章 不等式
【提升总结】 基本不等式： 注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号.
第三章 不等式
D
如图,AB是圆的直径，C
是AB上任一点，
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE，连接
AD,BD,
E
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
第三章 不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
第三章 不等式
第三章 不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生 长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章 不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____，
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形，
即a2 b2 2ab.
第三章 不等式
【提升总结】 基本不等式： 注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号.
第三章 不等式
D
如图,AB是圆的直径，C
是AB上任一点，
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE，连接
AD,BD,
E
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
第三章 不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．
高中数学【人教A版必修】5第三章3.4基本不等式课件(16张ppt)
半径AO=_____
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
高中数学【人教A版必修】5第三章3.4 基本不 等式课 件(16 张ppt) 【精品 】
高中数学【人教A版必修】5第三章3.4 基本不 等式课 件(16 张ppt) 【精品 】
知识要点：
1.重要不等式： a2b22a(b a,b R )
当且仅当a=b时，等号成立.
高中数学【人教A版必修】5第三章3.4 基本不 等式课 件(16 张ppt) 【精品 】
构造条件
高中数学【人教A版必修】5第三章3.4 基本不 等式课 件(16 张ppt) 【精品 】
1、本节课主要内容？
你会了 吗？
高中数学【人教A版必修】5第三章3.4 基本不 等式课 件(16 张ppt) 【精品 】
相等”
三、应用 高中数学【人教A版必修】5第三章3.4基本不等式课件(16张ppt)【精品】
当两正数积为定值时，求其和的最小值
abab（ a0,b0） ab2a（ ba0,b0）
2
例1、（1）若
求
的最小值.
(2) 若
求
的最大值.
练习1:若 x0求 y 3x12的最小值.
x
练习2:若 ab0 求 y a b 的最小值. ba
几何平均数 算术平均数
基本不等式
2.代数意义：两个正数的几何平均数小于等于算术平均数
3. 代数方法如何证明？ 4.从几何上如何解释？
高中数学【人教A版必修】5第三章3.4 基本不 等式课 件(16 张ppt) 【精品 】
代数方法： 高中数学【人教A版必修】5第三章3.4基本不等式课件(16张ppt)【精品】
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几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
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知识要点：
1.重要不等式： a2b22a(b a,b R )
当且仅当a=b时，等号成立.
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构造条件
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三、应用 高中数学【人教A版必修】5第三章3.4基本不等式课件(16张ppt)【精品】
当两正数积为定值时，求其和的最小值
abab（ a0,b0） ab2a（ ba0,b0）
2
例1、（1）若
求
的最小值.
(2) 若
求
的最大值.
练习1:若 x0求 y 3x12的最小值.
x
练习2:若 ab0 求 y a b 的最小值. ba
几何平均数 算术平均数
基本不等式
2.代数意义：两个正数的几何平均数小于等于算术平均数
3. 代数方法如何证明？ 4.从几何上如何解释？
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高中数学第三章不等式34基本不等式课件新人教A版必修5
4．若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为 ________．
【答案】9 【解析】x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y＝(x＋ 4y)1x＋1y＝1＋4＋xy＋4xy≥5＋2 xy·4xy＝9，当且仅当 x＝2y＝13 时，等号成立，则1x＋1y的最小值为 9.
(2)21x＋1y＝2x2＋xyy＝23xy. ∵2x＋y＝3≥2 2xy，∴2xy≤94. ∴21x＋1y≥39＝43，当且仅当2x＝y＝32，
4 即x＝34，y＝32时，等号成立． ∴当x＝34，y＝32时，21了基本不等式这一基础知识 的应用：两个正数，和为定值时，积有最大值；积为定值时， 和有最小值．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
重点难点
重点：会用基本不等 式进行代数式大小的 比较及求解简单的最 值问题． 难点：用基本不等式 解决简单的最大(小) 值问题.
1．基本不等式 (1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋ b2__≥____2ab，当且仅当_a_＝__b__时，等号成立．
(2)基本不等式：如果a＞0，b＞0，那么 ab__≤____a＋2 b， 当且仅当_a_＝__b__时，等号成立．
2．应用基本不等式求最值
已知x，y都为正数，则 s2 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝__y____时，积xy取得最大 值4________．
(2)若xy＝p(积为定值)，则x当＝_y_____时，和x＋y取得最 小2值p________．
1．函数f(x)＝x＋x1的最大值为(
)
高中数学第三章不等式3.4基本不等式课件新人教A版必修5
利用基本不等式求最值
(1)已知 x>2，求 x＋x－4 2的最小值； (2)已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值； (3)已知 0<x<13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值； (4)已知 x>1，y>2，且 x＋y＝15，求 z＝(x－1)(y－2)的最大值． [思路点拨] 利用基本不等式时，应按照“一正，二定， 三相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基本不 等式解之．
方法二：由1x＋9y＝1，得 (x－1)(y－9)＝9(定值)． 可知 x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2 x－1y－9＋10＝16， 当且仅当 x－1＝y－9＝3，即 x＝4，y＝12 时，上式取等号， 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
(3)∵0<x<13， ∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112， 当且仅当 x＝16时，函数 y＝x(1－3x)取得最大值112.
(4)∵x>1，y>2， ∴x－1>0，y－2>0. 又由 x＋y＝15，得(x－1)＋(y－2)＝12 ∴z＝(x－1)(y－2)≤x－1＋2 y－22＝36. 当且仅当 x－1＝y－2 时，z 有最大值 36.
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一 是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值， 求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或 配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.
2．(1)函数 y＝2x＋2x(x>0)的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．6
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.4基本不等式第一课时基本不等式
ab+ 1 ≥2 ab 1 =2,故(3)正确;由基本不等式可知,当 y >0, x >0 时,有
ab
ab
xy
y + x ≥2 y x =2 成立,这时只需 x 与 y 同号即可,故(4)错误.
xy
xy
答案:(3)
方法技能 应用基本不等式时,第一根据题目的特征,确定“a”和“b”. 它们可以是数字也可以是复杂的代数式.其次,注意“a”和“b”的符号,必 须都是正数,最后看“=”号能否成立.
(D) b + a ≥2 ab
解析:因为 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立,所以 A 错误;对于 D,因为
ab>0,所以 b + a ≥2 b a =2.
ab
ab
对于 B,C,当 a<0,b<0 时,明显错误.
故选 D.
2.不等式 a2+ 4 ≥4 中,等号成立的条件是( D ) a2
2
2
课堂探究
题型一 对基本不等式的理解
【例 1】 给出下列命题:(1)若 x∈R,则 x+ 1 ≥2;(2)若 a>0,b>0,则 lg a+lg b≥ x
2 lg a lgb ;(3)若 a<0,b<0,则 ab+ 1 ≥2;(4)不等式 y + x ≥2 成立的条件是
ab
xy
x>0 且 y>0.其中正确命题的序号是
ab > ab > 2
ab .而 y= log1 x 为减函数,故 Q>P>M.故选 B.
2
题型三 利用基本不等式证明不等式 【例 3】 已知 a,b,c>0,求证: a2 + b2 + c2 ≥a+b+c.
高二数学必修5第三章 不等式3-4课件(共30张PPT)
对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行“1的代换”，也可以“消元 ”等．
第二十三页，编辑于星期一：一点 十六分。
第二十四页，编辑于星期一：一点 十六分。
第二十五页，编辑于星期一：一点 十六分。
方法总结: 本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑 出基本不等式满足的条件，这是经常使用的方法，要学会观察学会变形，另 外解法2通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围 对另一个变量范围给出限制．
ab有最____值是______. 大
积定和最小, 和定积最大。
第十六页，编辑于星期一：一点 十六分。
例3、 求函数
的值域.
分类讨 论
第十七页，编辑于星期一：一点 十六分。
变式2、求下列各题的最值. （1）x>3,求
的最小值；
（2）x>1，求
的最小值；
第十八页，编辑于星期一：一点 十六分。
凑定值
的最小值是
5.
3.已知t>0, 则
的最小值为
-2 .
第二十七页，编辑于星期一：一点 十六分。
1.基本不等式及其变形。
2.应用基本不等式求最值需要注意的问题。 3.凑定值时常用的变形方法。
第二十八页，编辑于星期一：一点 十六分。
课后练习 课后习题
第二十九页，编辑于星期一：一点 十六分。
第三十页，编辑于星期一：一点 十六分。
第二页，编辑于星期一：一点 十六分。
这是2002年在北京召开的第 24届国际数学家大会会 标．会标根据中国古代数学 家赵爽的弦图设计的，颜色 的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。
第三页，编辑于星期一：一点 十六分。
第四页，编辑于星期一：一点 十六分。
第二十三页，编辑于星期一：一点 十六分。
第二十四页，编辑于星期一：一点 十六分。
第二十五页，编辑于星期一：一点 十六分。
方法总结: 本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑 出基本不等式满足的条件，这是经常使用的方法，要学会观察学会变形，另 外解法2通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围 对另一个变量范围给出限制．
ab有最____值是______. 大
积定和最小, 和定积最大。
第十六页，编辑于星期一：一点 十六分。
例3、 求函数
的值域.
分类讨 论
第十七页，编辑于星期一：一点 十六分。
变式2、求下列各题的最值. （1）x>3,求
的最小值；
（2）x>1，求
的最小值；
第十八页，编辑于星期一：一点 十六分。
凑定值
的最小值是
5.
3.已知t>0, 则
的最小值为
-2 .
第二十七页，编辑于星期一：一点 十六分。
1.基本不等式及其变形。
2.应用基本不等式求最值需要注意的问题。 3.凑定值时常用的变形方法。
第二十八页，编辑于星期一：一点 十六分。
课后练习 课后习题
第二十九页，编辑于星期一：一点 十六分。
第三十页，编辑于星期一：一点 十六分。
第二页，编辑于星期一：一点 十六分。
这是2002年在北京召开的第 24届国际数学家大会会 标．会标根据中国古代数学 家赵爽的弦图设计的，颜色 的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。
第三页，编辑于星期一：一点 十六分。
第四页，编辑于星期一：一点 十六分。
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（2） 设a, b R ,且a b,则 下 列 各 式 中 正 确 的 是（ B ）
( A)
a
2
b
ab
a2 b2 2
(B)
ab
a
2
b
a2b
2
2
(D) a2 b2 ab a b
2
2
重要结论：
2
a b a2 b2
ab
11
2
2
b
R
,
2
则ab
(
a
b
)2
,当且仅当a
b时“
”成立.
2
2.若a,b R ,则a b 2 ab,当且仅当a b时“ ”成立.
3.当ab 0时, a b （2 当a b时取“”号）. ba
4.当a R时, a 1 2. 等等
两个概念：
a
若
a1,a2,,an
R,
则
a1 a2 an n
(2)作差法
(3)分析法
要证 a b ab
只要证
2
ab 2
ab
只要证 a b 2 ab 0
只要证 ( a b)2 0
上式显然成立.当且仅当a=b时,上式中的等号成立.
所以原定理得证.
(4)数形结合 如图, AB是圆的直径, 点C是
AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作 垂直于AB的弦DE,连接AD、BD. A
正方形的面积为：a2 b2 四个直角三角形的面积和为：2ab 我们得到一个不等式： a2 b2 2ab
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方 形EFGH缩为一个点，这时有
a2 b2 2ab.
一般地，对于任意实数a，b，我们有
a2 b2 2ab.
当且仅当a=b时，等号成立。
特别地，如果a＞0,b＞0,我们用 a ，b 分别代替 a，b，可得到
a b 2 ab.
通常，我们把上式写作
ab a b (a 0,b 0). 2
基本不等式
如果a,b都是正数，则
a
2
b
ab
当且仅当a=b时等号成立
其中 a b 称为正数a,b的算术平均数 2
ab 称为正数a,b的几何平均数
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池 的总造价最低，最低总造价是297600元
课堂练习
课本第100页 练习1、2、3、4 补充练习
1(1). 求函数 y x 1 的值域。 x
(2). 求函数 y x 1 , (x 2) 的值域。 x
(3). 求函数 y x 1 , (x 2)的值域。
ab
(a,b R )
【例1】(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这 个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆
长是多少？
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大 面积是多少?
解：(1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱 笆的长为2(x+y) m.
x
课后作业
课本第100页 习题3.4A组 第2、3、4题
如果P是定___值_，那么当且仅当x=y时，S取得最小值_2__P_。
S2
如果S是定___值_，那么当且仅当x=y时，P取得最大值____。
4
【例2】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3, 深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为 120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
x y xy 2
x y 2 100, 2(x y) 40
当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最 短，最短的篱笆是40m.
解： (2)设矩形菜园的宽为xm，则长为(36-2x)m，其中 0＜x＜18 ,
其面积为: S x(36 2x) 1 2x(36 2x) 2
易证Rt△ACD∽Rt△DCB,则
D
a Cb B
BC DC
E
DC AC
即
DC ab
而这个圆的半径为 a b , 显然会大于或等于CD, 即 2
a b ab 2
其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时, 等号成立.
定理：若a,b R ,则 a b ab,当且仅当a b时“”成立.
不同形式：1.若a,
叫做n个正数
的算术平均数，n a1 a2 an 叫做n个正数的几何平均数
3种情况，5个结论 ：
当a,b R时，有a2 b2 2ab，a b 2 ab
当a,b R时，有a2 b2 2ab，a b 2 ab 当a b 0时，有a2 b2 2ab，显然“”不成立
应用：
（1）求证：a2 b2 c2 ab bc ca
1 ( 2x 36 2x )2 362 162 .
2
2
8
当且仅当2x=36-2x，即x=9时取等号，
即菜园长18m，宽为9 m时菜园面积最大为162 m2.
例题结论
应用基本不等式求最值的条件：
一正
二定
三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须 能够相等
已知x,y为正数，x+y=S,xy=P，则
所以基本不等式也称为均值不等式
ab 另为从数列的角度来看，可以把 2 看作是正数a,b
的等差中项， ab 看作是正数a,b的正的等比中项
这样基本不等式又可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．
定理 如果a,b是正数, 那么 a b ab
(当且仅当a b时取“”号) 2
证明: (1)换元法 分别用 a, b 代替 a2 b2 2ab , 即可得a b 2 ab
解：设水池底面一边的长度为xm， 的总造价为y元，根据题意，得
则水池的宽为1600
x
,水池
y 150 4800 120(23x 231600)
3
x
240000 720(x 1600) x
240000 ＋720 2 x 1600 x
240000＋720240 297600.
当且仅当x 1600 ,即x 40时, y有最小值2976000. x