2021年贵州省铜仁市铜仁第一中学三模数学(理)试题

2021年贵州省铜仁市铜仁第一中学三模数学（理）试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}{}22|22,|log A x Z x B x y x=∈-<<==，则A B =（ ） A ．(2,2)-B ．(2,0)(0,2)-C ．{}1,0,1-D ．{}1,1- 2．已知31i z i =-，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．32- B ．32 C ．32i - D ．32i 3．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，则对实数a b 、，“>||a b ”是“()()f a f b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且257,,a a a 成等比数列，则21S 的值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．35．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且3B π=，4tan 3A =，2a =，则b =（ ）A ．54B ．53CD 6．函数()e 21x f x x =--的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．36π+B ．66π+C ．312π+D ．128．若2sin 2cos22αα-=-，则tan α=（ ）A ．1-或 3-B ．1-或 13- C ．1或3 D ．1或139．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()12f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23C ．32-D ．23- 10．若正数,a b 满足211a b +=，则4821a b +--的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．1611．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则47S =（ ）A ．265B ．521C ．1034D ．205912．已知奇函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，其导函数是()f x '，当0x >时，()2()f x f x '<恒成立，则下列不等关系一定．．正确的是 A ．2(1)(2)e f f >- B ．2(1)(2)e f f ->- C ．2(1)(2)e f f -<-D ．2(2)(1)f e f -<--二、填空题 13．已知实数,x y 满足约束条件043120x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的最小值是______14．已知向量()()3,2,6,a x b x ==满足··a b a b =-，则x =__________． 15．在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径2S Cγ=．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R =__________．16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆惟底面上），圆锥底面直径为，高为10cm .打印所用部料密度为30.9g/cm ．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________g ．（取 3.14π=，精确到0.1） 三、解答题17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且4433n n S a =-，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}nb 的前n 项和nT .18．已知函数()2sin cos 2f x x x x =+- （1）求函数()f x 图象的对称轴方程与函数()f x 的单调递增区间；（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c 若02B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b =2a c +的最大值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，1==PA AB ，PB PD ==（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若E 是PC 的中点，F 是棱PD 上一点，且//BE 平面ACF ，求二面角F AC D --的余弦值.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足：2323n n S a n =--．（1）求证：数列{}1n a +是等比数列，并且求n a ；（2）令12333111log log log 222n n a a a c +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1n nd c =，求数列{}n d 的前n 项和n T ．21．已知函数()2().x x f x ae xe a R -=+∈ （1）若1x =为()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()41f x a <+，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin 0ρθθ-=，P 点的极坐标为3,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为60.（1）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值. 23．已知函数()2f x x =+．（Ⅰ）解不等式()41f x x >-+；（Ⅱ）已知()20,0a b a b +=>>，求证：()412.5x f x a b--≤+．参考答案1．D【解析】【分析】求出集合,A B 后，再求交集．【详解】由题意{1,0,1}A =-，2{|0}{|0}B x x x x =>=≠，∴{1,1}A B =-．故选D ．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题时应首先确定集合中元素．2．A【分析】由复数的运算法则直接计算即可.【详解】()()()3133311122i i i z i i i i +===-+--+，3322z i =--，虚部为32- 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题型.3．A【分析】本道题结合偶函数满足()()f x f x =-以及单调递增关系,前后推导,即可.【详解】结合偶函数的性质可得()()f x f x =-,而当,a b a b a >-<<,所以结合()f x 在 [)0,+∞单调递增,得到()()()f a f a f b =->,故a b >可以推出()()f a f b >.举特殊例子,()()()331f f f -=>,但是31-<,故由()()f a f b >无法得到a b >,故a b >是 ()()f a f b >的充分不必要条件,故选A.【点睛】本道题考查了充分不必要条件的判定,关键结合偶函数的性质以及单调关系,判定,即可,属于较容易的题.4．B【分析】由257,,a a a 成等比数列得出1a 和公差d 的关系，然后表示出和21S ．【详解】∵257,,a a a 成等比数列，∴2527a a a =，即2111(4)()(6)a d a d a d +=++，化简得1100a d +=，即110a =，∴2111210S a ==．故选B ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质．属于基础题．5．D【分析】由tan A 求出sin A ，再用正弦定理求得b ．【详解】∵ABC ∆中4tan 3A =，∴4sin 5A =， ∴由sin sin a b AB =得2sin sin 34sin 45a Bb A π===． 故选D ．【点睛】本题考查三角函数的同角关系，考查正弦定理．在已知两角及一角对边，求另一角对边时，用正弦定理求解．6．C【分析】根据函数的奇偶性，排除选项B ，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项,A D ，从而可得结果.【详解】函数()21xf x e x =--是偶函数，排除选项B ； 当0x >时，函数()21x f x e x =-- ，可得()'2xf x e =-， 当()0,ln 2x ∈时，()'0f x <，函数是减涵数，当ln 2x >时，函数是增函数，排除项选项,A D ，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象7．A【解析】 由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为211113433436,4332V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，故选A . 8．B【分析】用二倍角公式化为单角，再变为sin ,cos αα的二次齐次式，化为tan α即可求值．【详解】 ∵222222sin 4sin cos cos 2sin 2cos 24sin cos (cos sin )sin cos αααααααααααα+--=--=+22tan 4tan 12tan 1ααα+-==-+， ∴tan 1α=-或1tan 3α=-． 故选B ．【点睛】本题考查二倍角公式，同角间的三角函数关系．解题关键是“1”的代换，把关于sin ,cos αα的二次式化为二次齐次式，从而可转化为tan α．9．C【分析】利用所给等式及奇偶性推出函数的周期性，再利用所得函数的性质及函数在()0,1上的解析式逐步求解.【详解】由()()12f x f x +=-得()()()142f x f x f x +=-=+， 所以函数()f x 的周期为4，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且在()0,1上()3xf x =， 所以()()()()31log 233333log 543log 2log 211log 232f f f f -=+=-=--=-=-. 故选：C【点睛】本题考查函数的概念与性质、对数与对数函数，属于基础题.10．B【分析】 把已知211a b +=变形后代入4821a b +--化简后，再利用基本不等式求得最小值． 【详解】 ∵211a b+=，0,0a b >>，∴2,1a b >>，2a b ab +=， ∴484(1)8(2)8420421021(2)(1)22b a a b a b a b a b ab a b -+-+-+===+-------+=212(2)()10a b a b ++-222(5)102(5108a b b a =++-≥+-=，当且仅当22a b b a=，即3a b ==时，等号成立， ∴4821a b +--的最小值是8． 故选：B ．【点睛】本题考查用基本不等式求最值．解题关键是把待求化简变形，然后凑配出可用基本不等式的形式，即定值，然后用基本不等式求得最值．这时用到了“1”的代换． 11．B 【分析】先计算出杨辉三角中第47个数在第几行，然后根据每行规律得到这一行的和，然后再求其前47项的和. 【详解】根据题意杨辉三角前9行共有12345678945++++++++= 故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9， 所以前47项的和47S =0128222219+++⋅⋅⋅+++92119521=-++=故选B 项. 【点睛】本题考查杨辉三角的特点，等比数列求和，属于中档题. 12．C 【解析】 构造函数2()()x f x g x e =，所以2()2()()0xf x f xg x e-''=<，即函数在(0,)+∞上单调递减，又()f x 为奇函数，所以(1)(2)g g >即2(1)(2)e f f >，所以()()212e f f -<-，故选C .13．3- 【分析】作出可行域，及目标函数对应的直线，平移直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图OAB ∆内部（含边界），作直线:20l x y -+=，向下平移直线l ，2z x y =-+减小，当l 过点(3,0)A 时，23z x y =-+=-为最小值．故答案为：－3． 【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，并平移此直线，可得最优解． 14．-2 【分析】把已知式a b a b =-用坐标表示出来即可解得x ． 【详解】∵a b a b =-，∴182x x +=2x =-（舍去2x =）． 故答案为：2-． 【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查模的坐标运算．属于基础题． 15．3VS【解析】试题分析：若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径3vr s=”证明如下： 设三棱锥的四个面积分别为：1234,,,S S S S ， 由于内切球到各面的距离等于内切球的半径∴12341111133333V S r S r S r S r Sr =+++= ∴内切球半径3Vr S= 考点：类比推理 16．358.5 【分析】求出该模型的体积，即用圆锥体积减去正方体的体积． 【详解】如图，是该几何体的轴截面，设正方体的棱长为a1010aa -=，解得5a =，∴该模型的体积为23150010512533V ππ=⨯⨯-=-398.33≈（3cm ）， ∴所需原料的质量为398.330.9⨯≈358.5（g ） 故答案为358.5． 【点睛】本题考查空间几何体的体积，解题关键是掌握简单几何体的几何公式．掌握柱、锥、台体的体积公式及球的体积公式等． 17．(1) 4nn a = (2) ()131449n n n T +-⨯+=【分析】（1）利用1n n n a S S -=-得出数列的递推关系，确定数列{}n a 是等比数列，然后可得通项公式，注意11a S =；（2）用错位相减法求得数列{}n b 的前n 项和． 【详解】（1）令1n =，得1114433S a a ==-，14a =∴，由已知11443344(2)33n n n n S a S a n --⎧=-⎪⎪⎨⎪=-≥⎪⎩，，， 1144=33n n n n n a S S a a --=--∴，14n n a a -∴=，∴数列{}n a 是首项为4，公比4q =的等比数列，4n n a =∴． （2）∵4n n b n =，1214244n n T n =⨯+⨯++⨯ 231414244n n T n +=⨯+⨯++⨯ ∴12134444n n n T n +-=+++-⨯1144343n n n T n ++--=-⨯，n b 的前n 项和()131449n nn T +-⨯+=【点睛】本题考查已知数列前n 项和n S 与项n a 的关系求数列的通项公式，考查用错位相减法求数列的和．在已知数列前n 项和n S 与项n a 的关系是地，通常用1n n n a S S -=-来确定数列的递推关系，但要注意这里n a 中2n ≥，1a 的求法与它们不相同，实质上11a S =，一定要注意． 18．(1) 对称轴方程为5ππ()122k x k =+∈Z ．单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)max (2)a c +=【分析】（1）利用二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求得对称轴方程和单调增区间；（2）由()02B f =求出B ，再用正弦定理把,a c 用三角函数表示，计算2a c +并化简变形，根据正弦函数的性质得出最大值． 【详解】（1） ∵()1sin 22f x x x =sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令ππ2π32x k -=+，得5ππ122k x =+，k Z ∈，∴()f x 的对称轴方程为5ππ()122k x k =+∈Z ． 令222232k x k πππππ-≤-≤+求得：5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ∴()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）πsin 023B f B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π3B =，b =由正弦定理：2sin sin sin a b c A B C===， ∴224sin 2sin 4sin 2sin 3a c A C A A π⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭)A A A ϕ⎫==+⎪⎪⎭，其中π02ϕ<<，tan ϕ=， 2π03A <<∵， π2A ϕ+=∴时，max (2)a c += 【点睛】本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，考查正弦定理，在三角函数问题中，常用方法就是化函数式（代数式）为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x k ωϕ=++的形式，然后结合正弦函数的性质求解．19．（1）证明见解析；（2． 【分析】（1）根据条件中的数据，可得PA AB ⊥，PA AD ⊥，从而得到PA ⊥平面ABCD ，得到PA BD ⊥，结合正方形中AC BD ⊥，得到BD ⊥平面PAC ；（2）以OB 、OC 、OE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，得到平面ACM 的法向量(1,0,2n =，平面ACD 的一个法向量为()0,0,1m =，由向量的夹角公式，得到答案. 【详解】（1）证明：∵1PA AB AD ===，PB PD ==∴222PA AB PB +=，222PA AD PD +=，∴PA AB ⊥，PA AD ⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABCD ∴PA ⊥平面ABCD ， 而BD ⊂平面ABCD ∴PA BD ⊥． 又∵ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥，PA AC A ⋂=，,PA AC ⊂平面.PAC ∴BD ⊥平面PAC ．（2）解：如图，连接ED ，取ED 的中点M ，设AC BD O ⋂=，连接OM ，则BE OM ，从而BE 平面ACM ，平面ACM 与PD 的交点即为F ．以OB 、OC 、OE 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，0,,02OC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，10,0,2OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2OD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 1,0,244OE OD OM ⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭， 平面ACF 即平面ACM ，设其法向量为(),,n x y z =，则0,0,n OC nOM ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，得(1,0,2n =，易知平面ACD 的一个法向量为()0,0,1m =，∴2cos ,33m n m n m n⋅===. 因为二面角F AC D --为锐二面角， 6． 【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求面面角，属于中档题. 20．(1)证明见解析， 132n n a a -=+（2n ≥），(2) 21n nT n =+ 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-得出数列的递推关系，可证明数列{1}n a +是等比数列，然后可得通项公式，注意11a S =；（2）由等差数列前n 项和公式得出n c ，用裂项相消法求数列1{}nc 的和． 【详解】（1）当1n =时，1113522S a a ==-，解得15a =，当2n ≥时，由2323n n S a n =--得112321n n S a n --=--， 两式相减，得1133122n n n n S S a a ---=--，即132n n a a -=+（2n ≥）， 则()1131n n a a -+=+，故数列{}1n a +是以116a +=为首项，公比为3的等比数列．（2）由（1）知123nn a +=⋅，()123331111log log log 122222n n n n a a a c n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()1211211n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 则1211111111122121223111n n c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【点睛】本题考查已知数列前n 项和n S 与项n a 的关系求数列的通项公式，考查用错位相减法求数列的和．在已知数列前n 项和n S 与项n a 的关系是地，通常用1n n n a S S -=-来确定数列的递推关系，但要注意这里n a 中2n ≥，1a 的求法与它们不相同，实质上11a S =，一定要注意．在数列求和中除等差数列等比数列的求和公式外，有两个特殊数列的和要特别注意：数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 的和用错位相减法，数列11{}n n a a +的和用裂项相消法．21．(1) 单调增区间为(1)-∞，，单调减区间为(1)+∞，． (2) ln 2102a -<≤ 【分析】 （1）求出导函数'()f x ，由'(1)0f =可得a ，再根据'()0f x >确定增区间，'()0f x <确定减区间；（2）不等式()41f x a <+变形为2e (41)e 20x x a a x -++<，令2()e (41)e 2x x g x a a x =-++，下面研究()g x 的最大值，求出'()(1)(21)xxg x e ae =--，分类0a ≤时，可确定()g x 的单调性，得最大值，由max ()0g x <可得a 的范围，同时发现当0a >时，可取00x >，使0()0g x >，即不等式不恒成立．从而最终可得a 的范围．【详解】（1）()e 2e (1)x x f x a x -'=+-，由题有(1)00f a '=⇒=，从而()2e (1)x f x x -'=-，故当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． 所以()f x 的单调增区间为(1)-∞，，单调减区间为(1)+∞，． （2）2()41e (41)e 20x x f x a a a x <+⇔-++<，令2()e (41)e 2x x g x a a x =-++， 则2()2e (41)e 2(e 2)(2e 1)x x x x g x a a a '=-++=--， （i ）当0a ≤时，因为2e 10x a -<，所以当0ln 2x <<时，()0g x '>；当ln 2x >时，()0g x '<， 从而max ()(ln 2)2ln 242g x g a ==--， 故只需2ln2420a --<，解得ln 2102a -<≤． （ii ）当0a >时，取0x 使得0e (41)0x a a -+=， 则041ln0a x a+=>，且00000()e [e (41)]220x x g x a a x x =-++=>，故不符合题意． 综上，a 的取值范围为ln 2102a -<≤． 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题，不等式()0f x <恒成立，可认为是max ()0f x <，因此可用导数求出()f x 的最大值．许多时候要用分离参数法化不等式为()f x a <(())f x a >，由max ()f x a <min (())f x a >得参数a 的范围．22．（1）曲线C 的直角坐标方程为24x y =；P 点的直角坐标为()0,3（2【分析】（1）由极坐标与直角坐标的互化可得C 的直角坐标方程为24x y =，P 点的直角坐标为()0,3P ；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用直线的参数方程中t 的几何意义1212PA PB t t t t +=+=-，再求解即可.【详解】解：（1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为24x y =，P 点的极坐标为：3,2P π⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标为()0,3P . （2）直线l 的参数方程为cos 33sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即123x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得21124t =+，整理得：2480t --=，显然有>0∆，则1248t t ⋅=-，12t t +=121248PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=，1212PA PB t t t t +=+=-==，所以11PA PB PA PB PA PB ++==⋅【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，直线的参数方程及，直线的参数方程中t 的几何意义，属中档题.23．（Ⅰ）解集为{}| 3.50.5x x x -或；（Ⅱ）证明略． 【分析】（Ⅰ）将式子进行整理，得到214x x +++>，之后应用零点分段法，解得结果； （Ⅱ）应用绝对值三角不等式，求得()2.5 2.52 4.5x f x x x --=--+≤，借助于基本不等式证得414.5a b+≥，从而证得结果. 【详解】（Ⅰ）()41f x x >-+，即为214x x +++>，该不等式等价于如下不等式组：1）2214x x x <-⎧⎨---->⎩ 3.5x ⇒<-，2）21214x x x -≤<⎧⎨+-->⎩x φ⇒∈， 3）10.5214x x x x ≥-⎧⇒>⎨+++>⎩，所以原不等式的解集为{| 3.5x x <-或0.5}x >；（Ⅱ）()2.5 2.52 4.5x f x x x --=--+≤，()(41141141415 4.5222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()412.5x f x a b--≤+. 【点睛】 该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，不等式恒成立问题，基本不等式求最值，问题的等价转化，注意思维的灵活性.。